Marcin Kwoka Rzeszów 1996.05.07
I ED rok 1995/96
gr. Laboratoryjna nr 3.
ĆWICZENIE 7
Wyznaczanie logarytmicznego dekrementu tłumienia
i współczynnika tłumienia.
I. Część teoretyczna.
Ważnym fizycznym modelem opisującym wiele zjawisk mechanicznych, elektrycznych, optycznych itd. jest oscylator harmoniczny prosty, którego postać przedstawiają równania:
x(t)=Asin(ωt + ϕ) (1)
lub x(t)=Aei(ωt+ ϕ) (2)
x - chwilowe wychylenie punktu materialnego z położenia równowagi,
A - amplituda drgań,
- częstość kołowa
ϕ - faza
e - podstawa logarytmu naturalnego.
W idealnym oscylatorze amplituda drgań, częstość i energia mechaniczna nie ulegają zmianie, jedynie energia kinetyczna przechodzi w trakcie drgań w energię potencjalną i na odwrót.
W rzeczywistości jednak energia oscylatora ulega rozproszeniu w trakcie ruchu. W zależności od konkretnego układu mechanicznego tłumienie (zanikanie) drgań jest wynikiem sił lepkości, tarcia itp. Najprostszym przypadkiem jest tzw. oscylator harmoniczny tłumiony, w którym siła tłumiąca w każdej chwili jest proporcjonalna do prędkości v drgającego punktu o masie m. Bilans sił w takim układzie można zapisać równaniem:
m⋅a(t) = -k⋅x(t) - ⋅v(t) (3)
Marcin Kwoka Rzeszów 1996.05.07
I ED rok 1995/96
gr. Laboratoryjna nr 3.
gdzie a(t) - chwilowe przyspieszenie,
k - współczynnik proporcjonalności między siłą harmoniczną a
wychyleniem x(t)
γ - współczynnik tłumienia wyrażony w [kg/s]
Z równania (3) wynika równanie różniczkowe:
d2 x(t) γ dx(t) k
___ + _ __ + _ x(t) = 0 (4)
dt2 m dt m
Czynnik γ/2m = β [1/s] - współczynnik tłumienia
Czynnik k/m = ω02 [1/s] - częstość własna oscylatora harmonicznego,
Rozwiązaniem równania (4) jest funkcja x(t) w postaci:
x(t) = Ae-βt sin(ωtłt + ϕ) (5)
Widzimy, że amplituda ruchu tłumionego zmienia się z czasem wg. zależności:
A(t) = Ae-βt
Logarytmiczny dekrement tłumienia σ , który jest wygodnym parametrem charakteryzującym stopień tłumienia układu, zdefiniowany jest następująco:
A(t) Ae-βt
σ = ln ___ = ln ____ = βT (7)
A(t+T) Ae-β(t + T)
Mierząc zatem wielkość maksymalnego wychylenia dwu kolejnych drgań, a więc A w chwili t i po upływie okresu T wielkość A(t + T), można wyznaczyć zarówno logarytmiczny dekrement tłumienia σ , jak i współczynnik tłumienia β
Marcin Kwoka
I ED rok 1995/96
gr. Laboratoryjna nr 3.
Wnioski:
Średnia wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia otrzymana z pomiarów wynosi σ = 0,147 , a współczynnika tłumienia β = 0,0254.
Dość duży rozrzut tych wielkości spowodowany jest bardzo dużymi błędami odczytu związanymi z przyjętym układem pomiarowym.
Ze względu na zbyt małą ilość pomiarów nie można skorzystać z teorii prawdopodobieństwa przy wyznaczaniu błędu pomiarowego.
Marcin Kwoka
I ED rok 1995/96
gr. Laboratoryjna nr 3.
Lp. |
α′ |
α′′ |
t |
n |
T |
σ |
β |
σśr ± Δσ |
βśr ± Δβ |
|
[ ] |
[ ] |
[ ] |
[ ] |
[ ] |
[ ] |
[ ] |
[ ] |
[ ] |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|