Wiadomości wstępne

Teoria mnogości to jeden z fundamentów matematyki. Praktycznie każdy fragment analizy czy algebry pełnymi garściami czerpie z teorii mnogości. Ma szerokie zastosowanie w teorii prawdopodobieństwa jak i wielu bardziej zawiłych dziedzinach jak topologia. Podstawą teorii mnogości jest niesprzeczny zestaw aksjomatów, podany po raz pierwszy przez Georga Cantora. Poniżej przedstawiam najbardziej ogólne ujęcie aksjomatyczne:

I. Aksjomat jednoznaczności

Dla każdego x jeśli to, że x należy do A jest równoważne z tym, że x należy do B to A=B.

II. Aksjomat zbioru pustego

Istnieje zbiór zwany pustym, taki że nie posiada on żadnego elementu.

III. Aksjomat sumy zbiorów

Dla dowolnej rodziny zbiorów A mówimy, że x należy sumy A jeśli istnieje w w rodzinie A taki zbiór A' że x należy do A'.

IV. Aksjomat zbioru potęgowego

Dla dowolnego zbioru A istnieje zbiór potęgowy P(A) zawierający wszystkie podzbiory zbioru A.

V. Aksjomat nieskończoności

Istnieje zbiór nieskończony N który definiujemy jak następuje. Zbiór pusty do niego należy, oraz indukcyjnie jeśli X należy do N to zbiór będący sumą X i {X} (elementu z X) rownież należy do N.

VI. Aksjomat wyboru (pewnik wyboru)

Dla dowolnej rodziny A zbiorów niepustych istnieje taki zbior W, który ma dokładnie jeden element wspólny z z każdym zbiorem należącym do rodziny A.

VII. Aksjomat zastępowania formuły f(x,y)

Jeśli dla każdego x istnieje y takie, że f(x,y), to istnieje zbiór B taki, że y należy do B wtedy i tylko wtedy gdy istnieje x należące do A takie, że f(x,y), gdzie A jest zbiorem.

Na podstawie powyższych aksjomatów, wyprowadza się wszystkie znane już w szkole podstwawowej działania na zbiorach. Pominę szczegółowe dowody, wymienię jedynie właściwości.

1. Suma zbiorów.

2. Iloczyn zbiorów

3. Różnica zbiorów.

4. Różnica symetryczna zbiorów.

Cztery podstwowe działania na zbiorach mają szereg właściwości, z których większość można łatwo udowodnić stosując tautologie rachunku zdań. Poniżej prezentuje kilkanaście najważnieszych, większość z nich widać gołym okiem, nad niektórymi trzeba się trochę zastanowić, nie powinno być jednak kłopotów z udowodnieniem żadnego z nich.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

---