POLITECHNIKA WROCŁAWSKA INSTYTUT FIZYKI	Sprawozdanie z ćwiczenia nr 81
KORNEL WALICA Nr grupy: 1 Prowadzący: dr E. Rysiakiewicz	TEMAT: Wyznaczanie promienia krzywizny soczewki i długości fali świetlnej za pomocą pierścieni Newtona.
Wydział: Elektroniki Rok: 1	DATA: 23.03.1999 OCENA:

Cel ćwiczenia:

• poznanie prążków interferencyjnych równej grubości,

• wykorzystanie tego zjawiska do celów pomiarowych..

Część teoretyczna:

Szczególnym przypadkiem interferencji są tzw. pierścienie Newtona. Można je łatwo zaobserwować, jeśli na płaskiej płytce szklanej, zwanej sprawdzianem, umieści się soczewkę płasko-wypukłą. Miedzy powierzchnią płaską sprawdzianu, a sferyczną soczewki tworzy się klin powietrzny o zmiennym kącie. Prążki interferencyjne równej grubości, tworzące się w takim klinie, mają kształt kolisty. W miarę wzrostu odległości od środkowego, ciemnego prążka, utworzonego w miejscu styku obu powierzchni, kolejne prążki coraz bardziej się zagęszczają, aż przestają być rozróżnialne.

Zasada pomiaru promienia krzywizny R_s soczewki lub długości fali świetlnej  polega w zasadzie na bezpośrednim pomiarze średnicy określonego kołowego prążka interferencyjnego. W praktyce mierzy się tylko prążki ciemne. Są one węższe od prążków jasnych, co wpływa korzystnie na dokładność pomiaru. Prążek ciemny jest zbiorem punktów, dla którego m jest stałe, równe nieparzystej wielokrotności /2, i dla którego:

h_m =
, gdzie m

także jest stałe. Stąd właśnie pochodzi nazwa prążki równej grubości, ponieważ grubość powietrza h_m wzdłuż całego m-tego prążka jest stała. Aby uniknąć niezręcznego nazywania konkretnych prążków połówkowymi rzędami interferencji, np. prążek
, wzór ten można przedstawić w postaci zawierającej numer prążka K:

h_k
K= 0, 1, 2, 3, ... .

gdzie h_k jest wysokością klina K-tego ciemnego prążka,  zaś długością fali w powietrzu. Różnica wysokości h = h_k+1-h_k między kolejnymi prążkami K+1 i K wynosi /2. Prążki interferencyjne są więc warstwicami określającymi przyrost wysokości o /2. Korzystając z poniższego rysunku można zapisać:

(R_s - h_k)² + r_k² = R_s².

Stąd

a po podstawieniu powyższej zależności dla h_k:

Wartość r_k² jest na ogół kilka milionów razy większa niż h_k², tak więc bez popełnienia dostrzegalnego błędu można ostatecznie w przybliżonej postaci napisać:

K = 1, 2, 3, ... .

Znając promień r_k K-tego prążka kołowego można obliczyć wielkość promienia krzywizny soczewki R_s .

Rysunek 1.

Przyrządy pomiarowe:

Przyrządem umożliwiającym dogodną obserwację prążków oraz pomiar ich średnic jest mikroskop, na stoliku którego umieszcza się płasko-równoległą płytkę szklaną P. Na taką płytkę nakłada się mierzoną soczewkę płasko-wypukłą L₀ tak, aby jej strona wypukła stykała się z płytką. Oba elementy są oświetlone przez obiektyw mikroskopu równoległą wiązką światła monochromatycznego za pomocą oświetlacza O z filtrem F monochromatyzującym światło, soczewki L₁ i półprzepuszczalnego zwierciadła Z, umieszczonego nad obiektywem mikroskopu. Okular mikroskopu wyposażony jest w tzw. krzyż celowniczy. W płaszczyźnie tego krzyża tworzy się obraz prążków interferencyjnych Newtona. W celu obserwacji kolejnych prążków należy pokręcać śrubą stolika, co umożliwia jego przesuw. Wielkość przesuwu jest mierzona za pomocą czujnika zegarowego. Mała wskazówka tego czujnika wskazuje milimetry, a duża - setne części milimetra.

SCHEMAT MIKROSKOPU DO POMIARU PIERŚCIENI NEWTONA

Oznaczenia:

t - przesuwany stolik mikroskopu,

P - szklana płytka płasko-równoległa,

L₀ - mierzona soczewka,

ob - obiektyw mikroskopu,

Z - zwierciadło półprzeźroczyste dzielące światło,

ok - okular,

O - oświetlacz,

F - wymienny filtr,

L₁ - soczewka

Część pomiarowa:

1. Wyznaczanie promienia krzywizny R_s soczewki.

Pomiaru promieni ciemnych prążków dokonano w następujący sposób:

- pokręcając śrubą stolika, zliczano liczbę kolejnych ciemnych prążków, przesuwających się (np. lewo) przez pionowe ramię krzyża celowniczego; każdemu kolejnemu prążkowi odpowiada kolejny numer prążka K,

- naprowadzając środek K-tego wybranego prążka na pionowe ramię krzyża, odczytywano wskazanie ₁ czujnika,

- przesuwając stolik w kierunku przeciwnym odczytywano wskazania ₂ dla tego samego prążka. Różnica obu wskazań daje średnicę tego prążka. Jego promień wynosi r_k = 0,5|₁-₂|.

Dla znanego r_k oraz danego  obliczono promień krzywizny soczewki R_s. Pomiarów dokonano dla dwóch soczewek. Wyniki pomiarów i obliczeń przedstawiono poniżej:

I soczewka:

K	1	2	rk	Rs	
	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[nm]
5	2,95	6,79	1,92	1134,27	650
10	1,99	7,70	2,86	1258,40	650
15	1,48	8,37	3,44	1213,70	650
			Średnia:	1202,12

II soczewka:

K	1	2	rk	Rs	
	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[nm]
3	2,56	8,20	2,82	4078,15	650
5	1,68	9,13	3,72	4257,96	650
10	0,13	10,83	5,35	4403,46	650
			Średnia:	4246,52

gdzie:

K - numer prążka,

₁- wskazanie czujnika przy przesuwie stolika mikroskopu w prawo,

_- wskazanie czujnika przy przesuwie stolika mikroskopu w lewo,

r_k - promień prążka, obliczony ze wzoru: r_k = 0,5|₁-₂|,

R_s- promień krzywizny badanej soczewki, obliczony ze wzoru:

 długość fali świetlnej filtru (w tym przypadku znana i stała dla wszystkich pomiarów).

Średnie (arytmetyczne) długości promieni R_s zostały obliczone ze wzoru:

2. Wyznaczanie długości fali świetlnej filtru interferencyjnego dla znanej wartości R_s promienia krzywizny soczewki (wyznaczonego w punkcie pierwszym).

Pomiaru długości fali  filtru interferencyjnego dokonano w następujący sposób:

- na oświetlacz mikroskopu nałożono badany filtr interferencyjny i zmierzono średnicę K-tego ciemnego prążka,

- korzystając z tego, że znana jest już wartość R_s, obliczono długość fali  dla różnych wartości r_k .

Wyniki pomiarów i obliczeń przedstawiono poniżej:

I soczewka:

Filtr zielony:

K	1	2	rk	Rs	
	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[nm]
5	3,09	6,62	1,76	1202,12	515
10	2,22	7,51	2,64	1202,12	580
15	1,57	8,12	3,28	1202,12	593
				Średnia:	563

Filtr żółty:

K	1	2	rk	Rs	
	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[nm]
5	3,10	6,59	1,74	1202,12	504
10	2,26	7,46	2,60	1202,12	562
15	1,66	8,08	3,21	1202,12	571
				Średnia:	546

II soczewka:

Filtr zielony:

K	1	2	rk	Rs	
	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[nm]
3	2,77	7,99	2,61	4246,52	535
5	1,88	8,85	3,48	4246,52	570
10	0,51	10,40	4,94	4246,52	575
				Średnia:	560

Filtr żółty:

K	1	2	rk	Rs	
	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[nm]
3	2,84	8,01	2,58	4246,52	522
5	2,00	8,83	3,42	4246,52	551
10	0,60	10,38	4,89	4246,52	563
				Średnia:	545

Oznaczenia w tabelkach są identyczne jak w punkcie 1.

Wartość  została obliczona z następującego wzoru:

Za R_S podstawiono średnią arytmetyczną pomiarów z punktu pierwszego.

Średnie (arytmetyczne) długości fali  zostały obliczone ze wzoru:

Rachunek błędów:

1. Promień krzywizny soczewki:

Soczewka	RS	RS	δRS
	[mm]	[mm]	[%]
1	1202,12	36,29	3,0
2	4246,52	94,08	2,2

Błąd R_S został obliczony z następującego wzoru:

dla poziomu ufności 68,2%.

Błąd δR_S został obliczony ze wzoru:

Ostatecznie można zapisać:

R_S1 = (1203 ± 37) [mm], δR_S1 = 3,0 [%]

R_S2 = (4267 ± 95) [mm], δR_S2 = 2,2 [%]

2. Długości fal świetlnych filtrów interferencyjnych dla znanej wartości R_s promienia krzywizny soczewki (wyznaczonego w punkcie pierwszym):

Błąd względny procentowy δ_% został obliczony metodą pochodnej logarytmicznej, by uwzględnić w nim wartość błędu R_S.

ln  = ln r_k² - ln K - ln R_S

Błąd
został wyznaczony następująco:

- obliczono wartość
dla każdej wartości r_k dla obu soczewek i obu filtrów (r_k z tabel punktu drugiego Części pomiarowej), przyjmując r_k = 0,01 (błąd czujnika pomiarowego mikroskopu),

- wartości te wstawiono do powyższego wzoru, otrzymując w rezultacie po trzy wartości błędu
dla każdej długości fali,

- wszystkie wartości
pomnożono przez 100% - otrzymano błąd względny procentowy - wartości te przedstawiono poniżej:

I soczewka	I soczewka	II soczewka	II soczewka
Filtr zielony	Filtr żółty	Filtr zielony	Filtr żółty
δ% [%]	δ% [%]	δ% [%]	δ% [%]
4,2	4,2	3,0	3,0
3,8	3,8	2,8	2,8
3,6	3,6	2,6	2,6

- uśredniono wartości δ_% (z każdych trzech otrzymano odpowiednio jedną, odpowiadającą danej długości fali) - wartości te przedstawiono (w poniższych tabelach) jako ostateczne:

Filtr zielony:

Soczewka		δ	
	[nm]	[%]	[nm]
1	563	3,8	21,39
2	560	3,8	21,28

Ostatecznie można zapisać:

₁ = (563 ± 22) [nm], δ₁ = 4,0 [%]

₂ = (560 ± 22) [nm], δ₂ = 4,0 [%]

Filtr żółty:

Soczewka		δ	
	[nm]	[%]	[nm]
1	546	2,8	15,29
2	545	2,8	15,26

Ostatecznie można zapisać:

₃ = (546 ± 16) [mm], δ₃ = 3,0 [%]

₄ = (545 ± 16) [mm], δ₄ = 3,0 [%]

Dyskusja błędów i wnioski:

W wyniku pomiarów i obliczeń został wyznaczony promień krzywizny R_S badanych soczewek oraz długości fal świetlnych przepuszczonych przez monochromatyczne filtry: zielony i żółty. Każda długość fali świetlnej posiada określoną ilość prążków interferencyjnych. Dzięki ich obserwacji oraz wykonaniu pomiarów i obliczeń możemy wyznaczyć długość fali światła, która uległa temu zjawisku.

Wyznaczenie promienia krzywizny soczewki nie jest zbyt trudne. Wystarczający jest zestaw złożony z mikroskopu oraz ze źródła światła o znanej długości fali. Wyznaczanie promienia krzywizny soczewki zostało szczegółowo opisane w punkcie 1 Części pomiarowej. Można także zauważyć, że odległość między prążkami zależy od kąta klina, ponieważ gdy kąt klina jest stały to odległość między prążkami jest stała. W przeprowadzonym doświadczeniu odległość między prążkami malała w miarę oddalania się od środka. Spowodowane to było tym, iż kąt klina był zmienny, gdyż użyta soczewka była wypukła.

Wyznaczanie długości fal świetlnych filtrów interferencyjnych dla znanej wartości R_s promienia krzywizny soczewki sprowadza się do pomiaru promieni wybranych prążków - podobnie jak przy wyznaczaniu promienia krzywizny soczewki. Następnie, przekształcając wzór na promień krzywizny soczewki R_s, można wyznaczyć długość fali  dla znanej wartości R_s (wyznaczonej najpierw). Należy dodać, że filtr zielony o znanej długości fali świetlnej =570 [nm] potraktowano w badaniach jako filtr o nieznanej długości fali, aby przekonać się o dokładności wykonywanych pomiarów. Wyznaczone wartości różnią się od wartości danej - świadczy to o dokładności pomiarów.

Wykorzystane w doświadczeniu przyrządy pomiarowe były niedokładne w porównaniu z wielkością obserwowanych obiektów. Niemożliwy był też precyzyjny odczyt wskazań czujnika oraz ustawienie krzyża na środku danego prążka. Bardzo wielkie znaczenie miała także czystość stykających się powierzchni: szklanej płytki płasko-równoległej oraz badanej soczewki. Wszystkie te czynniki ujemnie wpływają na dokładność pomiarów mierzonych wielkości. Należy też zauważyć, iż występująca we wzorze na promień krzywizny soczewki długość fali  była wcześniej zmierzona również z pewnym błędem.

---