Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
Wykład FIZYKA I
2. Kinematyka punktu materialnego
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej
http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Kinematyka zajmuje się związkami między położeniem,
prędkością i przyspieszeniem badanej cząstki  nie obchodzi
nas, skąd bierze się przyspieszenie czy przyczyna, która
ruch powoduje (SIA
A).
Pojęcia wstępne
·ð Ruch mechaniczny  zmiana wzajemnego poÅ‚ożenia ciaÅ‚ w przestrzeni (lub
jednych ich części względem drugich) pod wpływem czasu.
·ð Punkt materialny  ciaÅ‚o, którego rozmiary i ksztaÅ‚ty możemy w danym
zagadnieniu pominąć.
·ð UkÅ‚ad odniesienia  ciaÅ‚o, jego część lub grupa ciaÅ‚ wzglÄ™dem siebie
nieruchomych, względem których podajemy położenie danego ciała w przestrzeni.
·ð Równania ruchu  opisujÄ… zmiany poÅ‚ożenia ciaÅ‚a w przestrzeni w funkcji czasu.
·ð Trajektoria ruchu  krzywa w przestrzeni, opisujÄ…ca zmianÄ™ poÅ‚ożenia ciaÅ‚a.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Układy współrzędnych
(3-D) Kartezjański układ współrzędnych (2-D prostokątny):
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Układy współrzędnych
(2-D) Układ współrzędnych biegunowych:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Układy współrzędnych
(3-D) Układ współrzędnych cylindrycznych:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Układy współrzędnych
(3-D) Układ współrzędnych sferycznych:
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Podstawowe zasady:
·ð WzglÄ™dność ruchu  każdy ruch mechaniczny jest wzglÄ™dny, bo
polega na wzajemnym przemieszczaniu się ciał; charakter ruchu
ciała jest różny w zależności od układu odniesienia.
·ð Zasada niezależnoÅ›ci ruchów (superpozycji)  jeÅ›li jakiÅ› punkt
bierze udział jednocześnie w kilku ruchach, to wypadkowe
przesunięcie punktu równe jest sumie wektorowej przesunięć
wykonanych przez ten punkt w tym samym czasie w każdym z
tych ruchów oddzielnie.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
NIEZWYKLE WAŻNE
2×ð2=4
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Definicje podstawowych wielkości
·ð PrÄ™dkość
Wielkość wektorowa, która określa zarówno szybkość ruchu, jak i jego
kierunek w danej chwili.
rð rð rð
Prędkość chwilowa:
r(ðt)ð-ð r(ðt0)ð dr
rð
v ºð lim ºð
t®ðt0
t -ð t0 dt
JednostkÄ… jest metr na sekundÄ™.
·ð Przyspieszenie
Wielkość wektorowa, która określa zmiany wektora prędkości w czasie
rð rð rð rð
(zarówno wartości, jak i kierunku).
2
v(ðt)ð-ð v(ðt0)ð dv d r
rð
Przyspieszenie chwilowe:
a ºð lim ºð =ð
t®ðt0
t -ð t0 dt dt2
Jednostka: metr na sekundÄ™ na sekundÄ™.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Klasyfikacja ruchów
Ze względu na tor (trajektorię) ruchu:
- prostoliniowe (postępowe);
- krzywoliniowe (w tym: po okręgu, rzut ukośny);
Ze względu na zależność położenia od czasu:
- jednostajne;
- jednostajnie zmienne (przyspieszone, opóz
nione);
- pozostałe...;
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Ruchy prostoliniowe (postępowe)
Ruch jednostajny
 Jednostajność oznacza liniową zależność położenia od czasu i stałość prędkości:
rð rð rð
rð rð
r(ðt)ð =ð r0 +ð v0t
v(ðt)ð ºð v0 =ð const(ðt)ð
rð rð
r0 ºð r(ð0)ð  to wektor poÅ‚ożenia poczÄ…tkowego (zwiÄ…zany z wyborem ukÅ‚adu
współrzędnych);
rð rð
v0 ºð v(ð0)ð
 to wektor prędkości początkowej (w tym wypadku jest ona stała w
czasie całego ruchu);
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Ruchy prostoliniowe (postępowe)
Ruch jednostajnie przyspieszony
Tu  jednostajne przyspieszenie oznacza stałość przyspieszenia od czasu.
rð
rð
rð rð rð
at2
rð rð rð
a(ðt)ð =ð const(ðt)ð
r(ðt)ð =ð r0 +ð v0t +ð
v(ðt)ð =ð v0 +ð at
2
(oznaczenia jak w p.1)
Ruch jednostajnie opóz
niony:
rð
rð
v0
a
skierowany przeciwnie do
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
B
N
M
Ruchy krzywoliniowe
C
D
®ð ®ð ®ð
rð rð
v(ðt)ð-ð v(ðt0)ð BD BC CD
rð
a ºð lim =ð lim =ð lim +ð lim
t®ðt0 Dðt®ð0 Dðt®ð0 Dðt®ð0
t -ð t0 Dðt Dðt Dðt
®ð
dv
rð
CD
rð
 to przyspieszenie styczne: as =ð
as ºð lim
Dðt®ð0
dt
Dðt
®ð
BC
rð v2
rð
 to przyspieszenie normalne:
an ºð lim
an =ð
Dðt®ð0
Dðt
R
gdzie: R jest promieniem krzywizny toru.
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Ruchy krzywoliniowe
dv
przyspieszenie styczne: rð
 charakteryzuje szybkość zmiany liczbowej
as =ð
wartości prędkości ruchu;
dt
rð
as =ð 0
gdy to ruch nazywamy jednostajnym;
rð
gdy as =ð const Ä…ð 0 to jest to ruch jednostajnie zmienny;
przyspieszenie normalne:
v2  charakteryzuje szybkość zmiany kierunku
rð
an =ð
prędkości ruchu;
R
rð
w ruchu prostoliniowym:
an =ð 0
1 Dðað
=ð
definiowany jest poprzez:
promień krzywizny R
R Dðs
przyspieszenie całkowite:
rð rð rð
2 2
a =ð an +ð as
a =ð an +ð as
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Ruch po okręgu
·ð W ruchu po okrÄ™gu:
rð rð
" przyspieszenie normalne an nazywamy dośrodkowym ad
rð rð
" zawsze jest speÅ‚niony warunek: as ^ð ad
rð
rð
ad
as
R
·ð Ruchem jednostajnym po okrÄ™gu
nazywamy ruch, w którym:
rð
v2
i
as =ð 0 ad =ð
R
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Ruch po okręgu
·ð  KÄ…towe wielkoÅ›ci kinematyczne w ruchu po okrÄ™gu:
dað
- prędkość kątowa: (pseudowektor)
wð ºð
dt
2
dwð d wð
- przyspieszenie kÄ…towe: (pseudowektor)
eð ºð ºð
dt dt2
·ð Parametry ruchu po okrÄ™gu:
2pð
(to NIE jest definicja OKRESU!)
- okres ruchu: T =ð
wð
1 wð
- częstotliwość obiegu:
f ºð =ð
T 2pð
·ð ZwiÄ…zki miÄ™dzy wielkoÅ›ciami kÄ…towymi i liniowymi w ruchu po okrÄ™gu
rð
rð rð rð
rð rð
as =ð eð ´ð R
v =ð wð ´ð R
g Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Ruch dwuwymiarowy  rzut ukośny
y
g
v0
H
v0y
að
x
L
KorzystajÄ…c z zasady superpozycji:
Ruch w kierunku  x : jednostajny z prędkością
vox =ð v0 cosað
Ruch w kierunku  y : jednostajnie opóz
niony z prędkością początkową i przyspieszeniem
g
voy =ð v0 sinað
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Ruch dwuwymiarowy  rzut ukośny
gt2
·ð Równania ruchu:
x(ðt)ð =ð v0xt
y(ðt)ð =ð v0 yt -ð
2
·ð SkÅ‚adowe prÄ™dkoÅ›ci:
vx(ðt)ð =ð v0x vy(ðt)ð =ð v0 y -ð gt
·ð Trajektoria ruchu:
g
(jak ją otrzymać?)
y(ðx)ð =ð tgað ×ð x -ð ×ð x2
2
2(ðvo cosað)ð
2
·ð Parametry toru (jak je wyznaczyć z równaÅ„ ruchu?):
v0 sin(ð2að)ð
L =ð
g
- zasięg:
2
v0 sin2 að
H =ð
- maksymalna wysokość wzniesienia:
2g
Dr hab. inż. Władysław Artur Woz
niak
KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
Wartości średnie na przykładzie prędkości
x(ðt)ð-ð x(ðt0)ð
·ð Ruch jednostajny:
v ºð
t -ð t0
n n
åðs åðv tn
n n
i=ð1 i=ð1
·ð Ruch ze zmiennÄ… prÄ™dkoÅ›ciÄ…: v =ð =ð
n n
åðt åðt
n n
i=ð1 i=ð1
b
·ð Przy ciÄ…gÅ‚ej zmianie prÄ™dkoÅ›ci:
òðv(ðt)ðdt
a
v =ð
tb -ð ta