ÿþW y k Ba d 1
K i n e m a t y k a p u n k t u m a t e r i a l n e g o
M e c h a n i k a k l a s y c z n a . M o d e l e w m e c h a n i c e . U k Ba d o d n i e s i e n i a .
M e c h a n i k a k l a s y c z n a z a j m u j e s i b a d a n i e m r u c h ó w c i a B m a k r o s k o p o w y c h w
p r z e s t r z e n i i w c z a s i e . W c e l u u p r o s z c z e n i a o p i s u r u c h u c i a Ba m a k r o s k o p o w e g o j a k o c a Bo [c i w
m e c h a n i c e k l a s y c z n e j w p r o w a d z a m y i d e a l i z a c j e ( m o d e l e ) . G Bó w n e m o d e l e w m e c h a n i c e
k l a s y c z n e j t o s 1 ) m o d e l p u n k t u m a t e r i a l n e g o , o r a z 2 ) m o d e l c i a Ba s z t y w n e g o a l b o m o d e l
b r y By s z t y w n e j .
P u n k t e m m a t e r i a l n y m n a z y w a m y c i a Bo o n i e s k o Dc z e n i e m a By c h ( z e r o w y c h )
w y m i a r a c h . O c z y w i [c i e w p r z y r o d z i e n i e i s t n i e j p u n k t y m a t e r i a l n e . J e d n a k m o d e l p u n k t u
m a t e r i a l n e g o b a r d z o d o b r z e o p i s u j e , n a p r z y k Ba d , r u c h Z i e m i d o o k o Ba S Bo Dc a . J e s t t o
z w i z a n e z t y m , |e p r o m i e D Z i e m i j e s t o 2 5 0 0 0 r a z y m n i e j s z y n i | o d l e g Bo [ Z i e m i o d S Bo Dc a .
N i e s t e t y , w p r z y b l i |e n i u m o d e l u p u n k t u m a t e r i a l n e g o n i e m o |e m y u w z g l d n i w i a d o m e g o
f a k t u , |e Z i e m i a w y k o n u j e r u c h o b r o t o w y d o o k o Ba s w o j e j o s i , w s k u t e k c z e g o m a m y d z i e D i
n o c . T e n r u c h o b r o t o w y m o |e m y r o z w a |y k o r z y s t a j c z k o l e j n e g o m o d e l u ( p r z y b l i |e n i a ) -
m o d e l u c i a Ba s z t y w n e g o . C i a Be m s z t y w n y m n a z y w a m y c i a Bo , k t ó r e g o k s z t a Bt o r a z r o z m i a r y
n i e u l e g a j z m i a n i e p o d c z a s r u c h u c i a Ba . W p r z y r o d z i e n i e i s t n i e j c i a Ba s z t y w n e , p o n i e w a |,
j a k n a p r z y k Ba d w p r z y p a d k u r u c h u o b r o t o w e g o , c i a Bo z a w s z e d e f o r m u j e s i ( p r z y p o m n i j m y
s o b i e , j a k a s i Ba d z i a Ba n a o s o b z n a j d u j c s i n a k a r u z e l i ) . J e d n a k t e d e f o r m a c j e w w i e l u
p r z y p a d k a c h s t a k m a Be , |e r u c h c i a Ba w b a r d z o d o b r y m p r z y b l i |e n i u m o |e m y r o z w a |a j a k o
r u c h c i a Ba s z t y w n e g o . J e |e l i m o d e l c i a Ba s z t y w n e g o n i e o p i s u j e r u c h u c i a Ba m a k r o s k o p o w e g o
i c i a Bo d e f o r m u j e s i , m u s i m y s t o s o w a k o l e j n e m o d e l e , k t ó r e s r o z w a |a n e w m e c h a n i c e
o [r o d k ó w c i g By c h .
N a j p i e r w b d z i e m y r o z w a |a l i r u c h p u n k t u m a t e r i a l n e g o . J e |e l i p u n k t m a t e r i a l n y
p o r u s z a s i o d p o Bo |e n i a A d o p o Bo |e n i a B ( r y s . I . 1 ) , t o j e g o p r z e m i e s z c z e n i e m o |e m y
p r z e d s t a w i z a p o m o c s t r z a Bk i . R z e c z y w i s t a d r o g a p u n k t u m a t e r i a l n e g o n i e m u s i b y
A B
o c z y w i [c i e l i n i p r o s t , a z a t e m s t r z a Bk a p r z e d s t a w i a j e d y n i e e f e k t r u c h u , a n i e p r a w d z i w y
r u c h .
C
J e |e l i d a l e j p u n k t m a t e r i a l n y p o r u s z a s i o d p u n k t u d o p u n k t u , p r z e m i e s z c z e n i e
B
t o m o |e m y p r z e d s t a w i z a p o m o c s t r z a Bk i . W y p a d k o w y e f e k t t y c h d w ó c h
B C
C
p r z e m i e s z c z e D p r z e d s t a w i a s t r z a Bk a Bc z c a p u n k t A i p u n k t ( r y s . I . 1 ) .
3
M a t e m a t y c z n i e m o |e m y t o z a p i s a w p o s t a c i
. ( I . 1 )
A B + B C = A C
W m a t e m a t y c e i f i z y c e , w i e l k o [c i , m a j c e
o k r e [l o n z a r ó w n o w a r t o [, j a k i k i e r u n e k
o r a z p o d l e g a j c e p e w n y m r e g u Bo m d o d a w a n i a
i m n o |e n i a ( o k t ó r y c h b d z i e m o w a p ó zn i e j )
n a z y w a m y w e k t o r a m i . G r a f i c z n i e w e k t o r y
R y s . I . 1 . D o d a w a n i e w e k t o r ó w
p r z e d s t a w i a m y j a k o s t r z a Bk i .
A w i c p r z e m i e s z c z e n i e p u n k t u m a t e r i a l n e g o o d d o w o l n e g o p o Bo |e n i a A d o
d o w o l n e g o p o Bo |e n i a B m o |e m y o p i s a z a p o m o c w e k t o r a . N a z w a w e k t o r p o c h o d z i z
A B
Ba c i n y i o z n a c z a p r z e w o zn i k , c o k o j a r z y s i z p r z e m i e s z c z e n i e m . W f i z y c e i s t n i e j e w i e l e
w i e l k o [c i f i z y c z n y c h , k t ó r e m o |e m y p r z e d s t a w i z a p o m o c s t r z a Be k ( w e k t o r ó w ) . S t o s i Ba ,
p r d k o [, p r z y s p i e s z e n i e i t d .
R e g u B o k r e [l a j c d o d a w a n i e d w ó c h w e k t o r ó w i l u s t r u j e r y s . I . 1 . D l a t e g o |e b y z n a l e z
rð rð
rð rð
a a
s u m d w ó c h w e k t o r ó w i , m u s i m y n a r y s o w a w e k t o r ; n a s t p n i e r y s u j e m y w e k t o r ,
b b
rð
rð
a
t a k , a b y k o n i e c w e k t o r a s t y k a B s i z o s t r z e m w e k t o r a . W t e d y o s t r z e w y p a d k o w e g o
b
rð rð rð
rð
rð
a
w e k t o r a s t y k a s i z o s t r z e m w e k t o r a i Bc z y k o n i e c w e k t o r a i o s t r z e w e k t o r a .
a + b b b
M e t o d a g e o m e t r y c z n a d o d a w a n i a w e k t o r ó w j e s t d o [ |m u d n a w p r z y p a d k u d o d a w a n i a k i l k u
w e k t o r ó w w p r z e s t r z e n i t r ó j w y m i a r o w e j .
I n n m e t o d d o d a w a n i a w e k t o r ó w j e s t m e t o d a a n a l i t y c z n a , w y k o r z y s t u j c a
r o z k Ba d a n i e w e k t o r ó w n a s k Ba d o w e , w j a k i m [ s z c z e g ó l n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h . C z s t o
j a k o u k Ba d w s p ó Br z d n y c h w y b i e r a m y t r z y w z a j e m n i e p r o s t o p a d Be p r o s t e , k t ó r e p r z e c i n a j s i
O
w p u n k c i e - p o c z t k u u k Ba d u ( r y s . I . 2 ) . T a k i u k Ba d w s p ó Br z d n y c h n a z y w a s i u k Ba d e m
k a r t e z j a Ds k i m i p o r a z p i e r w s z y b y B w p r o w a d z o n y w Ba [n i e p r z e z K a r t e z j u s z a . W u k Ba d z i e
k a r t e z j a Ds k i m p o Bo |e n i e p u n k t u o k r e [l a w e k t o r w o d z c y p u n k t u :
rð rð rð rð
r = x Å" e x + y Å" e y + z Å" e z .
( I . 2 )
rð rð
x , y , z
e x e y rð
e z
W i e l k o [c i n a z y w a m y w s p ó Br z d n y m i p u n k t u . W e k t o r y , i t w o r z t a k z w a n
b a z k a r t e z j a Ds k i e g o u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h i s t o b e z w y m i a r o w e j e d n o s t k o w e (
rð rð rð rð
rð
e x = e y = e z = 1 ) w e k t o r y . O z n a c z e n i e a
a
o k r e [l a w a r t o [ b e z w z g l d n w e k t o r a , c z y l i
rð
d Bu g o [ s t r z a Bk i , k t ó r a p r z e d s t a w i a w e k t o r a .
4
K o r z y s t a j c z g e o m e t r y c z n e j r e g u By d o d a w a n i a w e k t o r ó w Ba t w o u d o w o d n i , |e
rð
rð rð
rð
a = x Å" e x , rð i rð rð o t r z y m u j e m y w Ba [n i e w e k t o r r . W a r t o
b = y Å" e y c = z Å" e z
s u m u j c t r z y w e k t o r y
rð
p o d k r e [l i , |e w r ó |n y c h u k Ba d a c h w s p ó Br z d n y c h , w e k t o r r m a r ó |n e w a r t o [c i l i c z b o w e
x , y , z
w s p ó Br z d n y c h .
W r ó m y t e r a z d o o p i s u r u c h u p u n k t u
m a t e r i a l n e g o . {e b y o p i s a r u c h p u n k t u
m a t e r i a l n e g o w p r z e s t r z e n i i w c z a s i e m u s i m y
w p r o w a d z i t a k z w a n y u k Ba d o d n i e s i e n i a .
U k Ba d o d n i e s i e n i a t o u k Ba d w s p ó Br z d n y c h
o r a z z e g a r .
D l a p o m i a r u c z a s u m o |e m y k o r z y s t a z
d o w o l n e g o o k r e s o w e g o p r o c e s u f i z y c z n e g o ,
n a p r z y k Ba d z w a h a d Ba . W u k Ba d z i e S I
s
j e d n o s t k p o m i a r u c z a s u j e s t s e k u n d a ( ) .
R y s . I . 2 . K a r t e z j a Ds k i u k Ba d w s p ó Br z d n y c h
W m e c h a n i c e k l a s y c z n e j ( m e c h a n i c e N e w t o n a ) z a k Ba d a s i , |e c z a s p By n i e w e
w s z y s t k i c h u k Ba d a c h o d n i e s i e n i a t a k s a m o . O z n a c z a t o , |e w p o c i g u i w s a m o l o c i e , n a Z i e m i
i n a S Bo Dc u w s k a z ó w k i z e g a r ó w o b r a c a j s i z t a k s a m p r d k o [c i .
U m o w n i e m e c h a n i k a z o s t a Ba p o d z i e l o n a n a k i n e m a t y k o r a z d y n a m i k . J e |e l i
z a j m u j e m y s i o p i s e m r u c h u c i a B, n i e r o z w a |a j c p r z y c z y n w y w o Bu j c y c h t e n r u c h , t o
m ó w i m y , |e m a m y d o c z y n i e n i a z k i n e m a t y k . J e |e l i u w z g l d n i a m y s i By , k t ó r e w y w o Bu j r u c h
c i a B, t o m ó w i m y , |e m a m y d o c z y n i e n i a z d y n a m i k . N a j p r o s t s z y m z a g a d n i e n i e m k i n e m a t y k i
j e s t o c z y w i [c i e k i n e m a t y k a p u n k t u m a t e r i a l n e g o .
K i n e m a t y k a p u n k t u m a t e r i a l n e g o
M ó w i m y , |e r u c h p u n k t u m a t e r i a l n e g o j e s t c a Bk o w i c i e o k r e [l o n y , j e |e l i z n a m y
p o Bo |e n i e t e g o p u n k t u w w y b r a n y m u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h w d o w o l n e j c h w i l i . Z p u n k t u
x ( t ) , y ( t ) , z ( t )
m a t e m a t y c z n e g o , t o o z n a c z a , |e w i e m y j a k z a l e | o d c z a s u w s p ó Br z d n e
p u n k t u m a t e r i a l n e g o , i n n y m i s Bo w y w i e m y , j a k z a l e |y o d c z a s u w e k t o r w o d z c y p u n k t u
m a t e r i a l n e g o
rð rð rð rð
r ( t ) = x ( t ) Å" e x + y ( t ) Å" e y + z ( t ) Å" e z .
( I . 3 )
rð
r ( t )
K r z y w a w t r ó j w y m i a r o w e j p r z e s t r z e n i n o s i n a z w t o r u a l b o t r a j e k t o r i i p u n k t u
m a t e r i a l n e g o . W a r t o p o d k r e [l i , |e k a |d y p u n k t t r a j e k t o r i i m a o k r e [l o n y c z a s , k t ó r e w s k a z u j e
n a t o , k i e d y p u n k t m a t e r i a l n y b y B a l b o b d z i e w t y m w Ba [n i e p u n k c i e .
5
t 1
N i e c h w c h w i l i p u n k t m a t e r i a l n y z a j m u j e p o Bo |e n i e A ( R y s . I . 3 ) , a w c h w i l i
t 2 > t 1
p ó zn i e j s z e j t e n s a m p u n k t z a j m u j e p o Bo |e n i e B . I l o r a z
rð rð rð
rð p r z e m i e s z c z e n i e " r - r A
r B
Å = a" a"
( I . 4 )
p r z e d z i a l c z a s u " t t 2 - t 1
n a z y w a s i p r d k o [c i [r e d n i p u n k t u m a t e r i a l n e g o . Z a p o m o c s k Ba d o w y c h ( w s p ó Br z d n y c h )
w e k t o r ó w r ó w n a n i e ( I . 4 ) m o |e m y z a p i s a w p o s t a c i
rð rð rð 1 rð rð rð
Å e x + Å e y + Å e z a" [ ( x B - x A ) e x + ( y B - y A ) e y + ( z B - z A ) e Z . ( I . 5 )
x y z
t 2 - t 1
x A , y A , z A x B , y B , z B
T u s w s p ó Br z d n y m i w e k t o r a w o d z c e g o p u n k t u A , a s
w s p ó Br z d n y m i w e k t o r a w o d z c e g o p u n k t u B .
Z r ó w n a n i a ( I . 5 ) w y n i k a , |e
x B
" x - x A
Å a" a"
( I . 6 a )
x
" t t 2 - t 1
" y y B - y A
Å a" a"
( I . 6 b )
y
" t t 2 - t 1
z B
" z - z A
Å a" a"
( I . 6 c )
z
" t t 2 - t 1
R y s . I . 3 . T o r p u n k t u m a t e r i a l n e g o
rð rð rð
" r = r B - r A
J a k w i d a z R y s . I . 3 , z w r o t w e k t o r a p r z e m i e s z c z e n i a , a w i c i z w r o t
rð
rð
r B
w e k t o r a p r d k o [c i [r e d n i e j n i e p o k r y w a s i , w o g ó l n y m p r z y p a d k u , a n i z w e k t o r e m a n i
Å
rð
r A
z w e k t o r e m .
Z a d a n i e 1 : p u n k t m a t e r i a l n y p o r u s z a s i w z d Bu | t o r u
rð rð rð rð
r ( t ) = ( A Å" t ) Å" e x + ( B Å" t ) Å" e y + ( C Å" t ) Å" e z , g d z i e A , B , C
s s t a Be . O b l i c z m y p r d k o [ [r e d n i n a
" t = t 2 - t 1
o d c i n k u c z a s o w y m .
R o z w i z a n i e :
" x x ( t 2 ) - x ( t 1 ) t 2 - t 1
Å = = = A = A
,
x
" t t 2 - t 1 t 2 - t 1
" y y ( t 2 ) - y ( t 1 ) t 2 - t 1
Å = = = B = B
,
y
" t t 2 - t 1 t 2 - t 1
6
" z z ( t 2 ) - z ( t 1 ) t 2 - t 1
Å = = = C = C
,
z
" t t 2 - t 1 t 2 - t 1
a z a t e m
rð
rð rð rð
Å ( t ) = A Å" e x + B Å" e y + C Å" e z = c o n s t
.
rð rð
2
r ( t ) = ( A Å" t ) Å" e x +
Z a d a n i e 2 : p u n k t m a t e r i a l n y p o r u s z a s i w z d Bu | t o r u
rð rð
2
+ ( B Å" t ) Å" e y + ( C Å" t ) Å" e z , g d z i e A , B , C
s s t a Be . O b l i c z m y s k Ba d o w e w e k t o r a p r d k o [c i
" t = t 2 - t 1
[r e d n i e j n a o d c i n k u c z a s o w y m .
R o z w i z a n i e :
2 2
" x t 2 - t 1
Å = = A = A Å" ( t 2 + t 1 )
,
x
" t t 2 - t 1
2 2
" y t 2 - t 1
Å = = B = B Å" ( t 2 + t 1 )
,
y
" t t 2 - t 1
" z z ( t 2 ) - z ( t 1 ) t 2 - t 1
Å = = = C = C
.
z
" t t 2 - t 1 t 2 - t 1
Z a d a n i e 3 : p r o m i e D Z i e m i w y n o s i o k o Bo R H" 6 4 0 0 k m . O b l i c z m y [r e d n i p r d k o [
r u c h u o b r o t o w e g o c i a Ba z n a j d u j c e g o n a r ó w n i k u p o w i e r z c h n i Z i e m i .
R o z w i z a n i e : c i a Bo z n a j d u j c e n a r ó w n i k u p o w i e r z c h n i Z i e m i w c i g u d o b y ( 2 4
2 À R = Å" 6 4 0 0 =
g o d z i n y ) p o k o n u j e d r o g 6 , 2 8 4 0 1 9 2 k m , a z a t e m p r d k o [ [r e d n i a w y n o s i
2 À R 4 0 1 9 2
Å = = H" 1 7 0 0
k m / h .
" t 2 4
t 1
P r d k o [c i c h w i l o w w c h w i l i n a z y w a s i g r a n i c p r d k o [c i [r e d n i e j , g d y z a r ó w n o
rð
" t
" r , j a k i d | d o z e r a
rð rð
rð " r d r
Å = l i m 0 a"
. ( I . 7 )
" t ’!
" t d t
rð
W m a t e m a t y c e g r a n i c ( I . 7 ) n a z y w a m y p o c h o d n w e k t o r a r w z g l d e m c z a s u i o z n a c z a m y
rð
d r
rð
&ð
j a k o . W f i z y c e c z s t o p o c h o d n w z g l d e m c z a s u o z n a c z a j j a k o . W a r t o p o d k r e [l i , |e
r
d t
w e k t o r p r d k o [c i c h w i l o w e j w o g ó l n y m p r z y p a d k u m o |e m i e d o w o l n y k i e r u n e k w z g l d e m
k i e r u n k u w e k t o r a w o d z c e g o .
( L / T )
P r d k o [ c h w i l o w a , z g o d n i e z ( I . 7 ) m a w y m i a r ( d Bu g o [/ c z a s ) c z y l i . W
m / s
u k Ba d z i e j e d n o s t e k S I p r d k o [ m i e r z y m y w j e d n o s t k a c h .
Z a d a n i e 4 : p u n k t m a t e r i a l n y p o r u s z a s i t a k , |e
7
rð rð
rð
r ( t ) = A Å" t + B , ( I . 8 )
rð rð
g d z i e i s s t a Be w e k t o r y n i e z a l e |n e o d c z a s u . O b l i c z m y p r d k o [ c h w i l o w .
A B
R o z w i z a n i e :
rð rð rð rð
rð
rð
rð " r [ A Å" ( t + " t ) + B ] - [ A t + B ]
Å = l i m 0 = l i m 0 = A = c o n s t . ( I . 9 )
" t ’! " t ’!
" t " t
rð
W i c r ó w n a n i e ( I . 8 ) o p i s u j e r u c h p u n k t u m a t e r i a l n e g o z e s t a B p r d k o [c i . M o |e p o w s t a
A
rð
p y t a n i e : c o o z n a c z a w e k t o r w r ó w n a n i u ( I . 8 ) ? S e n s f i z y c z n y a r a c z e j m a t e m a t y c z n y t e g o
B
t = 0
w e k t o r a Ba t w o o t r z y m a r o z w a |a j c p o c z t k o w c h w i l , c z y l i r o z w a |a j c c h w i l , k i e d y
w Bc z y l i [m y z e g a r . P o d s t a w i a j c t = 0 d o r ó w n a n i a ( I . 8 ) o t r z y m u j e m y , |e
rð
rð rð
r 0 a" r ( t = 0 ) = B , ( I . 1 0 )
rð
t = 0
a z a t e m w e k t o r o k r e [l a p o Bo |e n i e p u n k t u m a t e r i a l n e g o w p o c z t k o w e j c h w i l i . B i o r c
B
rð
rð
p o d u w a g ( I . 1 0 ) i w p r o w a d z a j c o z n a c z e n i e r ó w n a n i e ( I . 8 ) m o |e m y z a p i s a w
A = Å
p o s t a c i
rð rð rð
r ( t ) = r 0 + Å Å" t
. ( I . 1 1 )
R ó w n a n i e ( I . 1 1 ) o p i s u j e p r o s t o l i n i o w y ( w z d Bu | p r o s t e j ) i j e d n o s t a j n y ( z e s t a B p r d k o [c i )
r u c h p u n k t u m a t e r i a l n e g o .
Z a d a n i e 5 : p u n k t m a t e r i a l n y p o r u s z a t a k , |e
rð rð rð
rð 1
r ( t ) = A Å" t 2 + B Å" t + C
, ( I . 1 2 )
2
rð rð
rð rð rð rð
g d z i e , i s t o w e k t o r y s t a Be . 1 ) J a k i e w y m i a r y m a j w e k t o r y , i ? 2 ) O b l i c z y
A B C A B C
p r d k o [ c h w i l o w p u n k t u .
R o z w i z a n i e : 1 . Z l e w e j s t r o n y r ó w n a n i a ( I . 1 2 ) z n a j d u j e s i w e k t o r , k t ó r y m a w y m i a r
d Bu g o [c i , a z a t e m z p r a w e j s t r o n y m u s i b y t e | w e k t o r o w y m i a r z e d Bu g o [c i . S t d w y n i k a , |e
rð
rð rð
2
( L / T )
w e k t o r m a w y m i a r ( ) , w e k t o r m a w y m i a r p r d k o [c i , a w e k t o r m a
L / T
A B C
w y m i a r d Bu g o [c i L .
2 .
rð rð rð rð rð rð
1 1
2
rð
[ A ( t + " t ) 2 + B ( t + " t ) + C ] - [ A t + B t + C ]
rð " r
2
Å = l i m 0 = l i m 0 2 =
" t ’! " t ’!
" t " t
8
rð rð rð
1
A Å" t Å" " t + A Å" ( " t ) 2 + B Å" " t
rð rð
. ( I . 1 3 )
2
= l i m 0 = A Å" t + B
" t ’!
" t
J e |e l i z n ó w r o z w a |m y p o c z t k o w c h w i l t 0 = 0 , t o z e w z o r u ( I . 1 3 ) o t r z y m a m y , |e
rð
s t a By w e k t o r b d z i e p r d k o [c i p u n k t u m a t e r i a l n e g o w c h w i l i t 0 = 0 .
B
Z e w z o r u ( I . 1 3 ) w y n i k a t a k |e , |e w o g ó l n y m p r z y p a d k u p r d k o [ c h w i l o w a p u n k t u
m a t e r i a l n e g o m o |e b y z m i e n n w c z a s i e . I l o r a z
rð rð rð
rð " Å Å ( t 2 ) - Å ( t 1 )
a a" a"
( I . 1 4 )
" t t 2 - t 1
n a z y w a s i p r z y s p i e s z e n i e m [r e d n i m .
P r z y s p i e s z e n i e m c h w i l o w y m n a z y w a s i g r a n i c p r z y s p i e s z e n i a [r e d n i e g o , g d y
rð
" Å " t
z a r ó w n o , j a k i d | d o z e r a
rð rð
rð " Å d Å
a = l i m 0 a"
. ( I . 1 5 )
" t ’!
" t d t
B i o r c p o d u w a g w z ó r ( I . 7 ) , o k r e [l a j c y w e k t o r p r d k o [c i , w z ó r ( I . 1 5 ) m o |e m y z a p i s a w
p o s t a c i
rð rð
2
rð d d r d r
ëø öø
a = a"
ìø ÷ø . ( I . 1 6 )
2
d t d t d t
íø øø
rð rð
2 2
W m a t e m a t y c e w i e l k o [
n o s i n a z w d r u g i e j p o c h o d n e j o d r , w z g l d e m c z a s u . W
d r / d t
rð
&ð&ð
f i z y c e c z s t o t p o c h o d n o z n a c z a j j a k o .
r
P r z y s p i e s z e n i e , z g o d n i e z ( I . 1 4 ) i ( I . 1 5 ) m a w y m i a r ( p r d k o [/ c z a s ) c z y l i
2
( L / T ) Å" ( 1 / T ) = L / T . W u k Ba d z i e j e d n o s t e k S I p r z y s p i e s z e n i e m i e r z y m y w j e d n o s t k a c h
.
m / s 2
Z a d a n i e 6 : p u n k t m a t e r i a l n y p o r u s z a s i w z d Bu | t o r u o k r e [l o n e g o w z o r e m ( I . 1 2 ) :
rð rð rð
rð 1
r ( t ) = A Å" t 2 + B Å" t + C
.
2
O b l i c z m y p r z y s p i e s z e n i e c h w i l o w e p u n k t u .
R o z w i z a n i e : p r d k o [ p u n k t u m a t e r i a l n e g o p o r u s z a j c e g o s i w z d Bu | t r a j e k t o r i i
( I . 1 2 ) j e s t o k r e [l o n a w z o r e m ( I . 1 3 ) :
rð
rð rð
rð " r
Å = l i m 0 = A Å" t + B
.
" t ’!
" t
K o r z y s t a j c z t e g o w z o r u o t r z y m u j e m y
9
rð rð rð rð rð
rð
rð
rð " Å [ A ( t + " t ) + B ] - [ A t + B ] A Å" " t
. ( I . 1 7 )
a = l i m 0 = l i m 0 = l i m 0 = A = c o n s t
" t ’! " t ’! " t ’!
" t " t " t
rð
a 0
O z n a c z a j c s t a Be p r z y s p i e s z e n i e p u n k t u j a k o , p r d k o [ i w e k t o r w o d z c y p u n k t u w c h w i l i
rð rð
t 0 = 0 r 0
j a k o Å 0 i , w z ó r ( I . 1 2 ) m o |e m y z a p i s a w p o s t a c i
rð rð rð 1 rð
2
r ( t ) = r 0 + Å Å" t + a 0 Å" t
. ( I . 1 8 )
0
2
rð rð
r 0 Å
R ó w n a n i e ( I . 1 8 ) o p i s u j e r u c h p u n k t u m a t e r i a l n e g o z e s t a By m p r z y s p i e s z e n i e m . S t a Be , i
0
rð
a 0
, o k r e [l a j c e p o Bo |e n i e , p r d k o [ i p r z y s p i e s z e n i e p u n k t u m a t e r i a l n e g o w c h w i l i
t = 0
p o c z t k o w e j n a z y w a m y w a r u n k a m i p o c z t k o w y m i .
t 0 = 0
Z a d a n i e 7 : c i a Bo z n a j d u j c e s i n a d a c h u d o m u z a c z y n a w c h w i l i s w o b o d n i e
s p a d a n a p o w i e r z c h n i e Z i e m i . 1 ) N a p i s a w z ó r o k r e [l a j c y t r a j e k t o r i t e g o c i a Ba . 2 )
Z a k Ba d a j c , |e d a c h d o m u z n a j d u j e s i n a w y s o k o [c i 4 , 9 m o d p o w i e r z c h n i Z i e m i z n a l e z
c z a s s p a d k u c i a Ba o r a z 3 ) p r d k o [ c i a Ba w c h w i l i z d e r z e n i a z Z i e m i .
R o z w i z a n i e :
1 ) Z e s z k o By [r e d n i e j w i e m y , |e c i a Bo s p a d a n a p o w i e r z c h n i e Z i e m i z e s t a By m
2
p r z y s p i e s z e n i e m g = 9 , 8 m / s , k t ó r e n a z y w a s i p r z y s p i e s z e n i e m g r a w i t a c y j n y m Z i e m i .
W e k t o r t e g o p r z y s p i e s z e n i a j e s t s k i e r o w a n y w d o b r y m p r z y b l i |e n i u k u [r o d k o w i Z i e m i .
O z
W y b i e r z e m y o [ o d [r o d k a Z i e m i k u g ó r z e , a p o c z t e k u k Ba d u w y b i e r z e m y n a p o w i e r z c h n i
Z i e m i . Z g o d n i e z ( I . 1 8 ) , t r a j e k t o r i s p a d a j c e g o c i a Ba , o k r e [l a w z ó r
1
2
h ( t ) = z ( t ) = - g Å" t + h 0
, ( I . 1 9 )
2
rð
h 0 = 4 , 9 m g
g d z i e . T u u w z g l d n i l i [m y , |e w e k t o r m a u j e m n s k Ba d o w w z d Bu | w y b r a n e j o s i
rð
O z o r a z , |e w c h w i l i p o c z t k o w e j c i a Bo z n a j d o w a Bo s i w s p o c z y n k u ( Å 0 = 0 ) .
t = 0
h ( t ) = 0
2 ) Z e w z o r u ( I . 1 9 ) z n a j d u j e m y , |e w c h w i l i g d y c i a Bo d o t k n i e s i Z i e m i ( )
u p By n i e c z a s
2 h 0
t = = 1
s . ( I . 2 0 )
g
3 ) p r d k o [, k t ó r b d z i e m i a Bo c i a Bo w c h w i l i z d e r z e n i a c i a Ba z Z i e m i o k r e [l a w z ó r
( I . 1 3 )
Å ( t ) = g Å" t
. ( I . 2 1 )
P o p o d s t a w i e n i u ( I . 2 0 ) d o t e g o w z o r u o t r z y m u j e m y
1 0
Å = g Å" t s p = 9 , 8 H"
m / s 3 6 k m / h .
L i t e r a t u r a d o W y k Ba d u 1 .
1 . R o b e r t R e s n i k , D a v i d H a l l i d a y : F i z y k a 1 , W y d a w n i c t w o P W N , W a r s z a w a , 1 9 9 4 , s t r .
1 3 8 7 .
2 . S z . S z c z e n i o w s k i , F i z y k a d o [w i a d c z a l n a , t . 1 , P W N , W a r s z a w a 1 9 8 0 , s t r . 2 9 - 4 9 .
Z a d a n i a d o W y k Ba d u 1
1 . K o r z y s t a j c z m e t o d y g e o m e t r y c z n e j o r a z m e t o d y a n a l i t y c z n e j d o d a w a n i a w e k t o r ó w
u d o w o d n i , |e
rð rð
rð rð
a + b = b + a ( p r a w o p r z e m i e n n o [c i )
rð rð
rð rð rð rð
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ( p r a w o l c z n o [c i ) .
rð
2 . W e k t o r u j e m n y ( - b
) o k r e [l a m y j a k o w e k t o r , k t ó r e g o d Bu g o [ j e s t t a k a s a m a j a k
rð rð
d Bu g o [ w e k t o r a , l e c z j e s t o n p r z e c i w n i e s k i e r o w a n y n i | w e k t o r . S f o r m u Bo w a
b b
r e g u By o d e j m o w a n i a d w ó c h w e k t o r ó w .
3 . P u n k t m a t e r i a l n y p o r u s z a t a k , |e
rð rð rð rð
rð 1 1
2
r ( t ) = A Å" t 3 + B Å" t + C Å" t + D
,
3 2
rð rð
rð rð rð rð rð rð
g d z i e , , i s s t a Be w e k t o r y . 1 ) J a k i e w y m i a r y m a j w e k t o r y , , i ? 2 )
A B C D A B C D
O b l i c z y p r d k o [ c h w i l o w p u n k t u m a t e r i a l n e g o .
4 . P r o s t o l i n i o w y i j e d n o s t a j n y r u c h p u n k t u m a t e r i a l n e g o o k r e [l a w z ó r ( I . 1 1 )
rð rð rð
r ( t ) = Å Å" t + r 0 .
0
W j a k i m p r z y p a d k u p r o s t a , w z d Bu | k t ó r e j p o r u s z a s i p u n k t m a t e r i a l n y p o k r y w a s i z
rð rð
r 0
k i e r u n k i e m a ) w e k t o r a ; b ) w e k t o r a Å 0 .
5 . O d l e g Bo [ Z i e m i o d S Bo Dc a w y n o s i o k o Bo R H" 1 5 0 k m . O b l i c z y [r e d n i
1 0 6
p r d k o [ r u c h u o b r o t o w e g o Z i e m i d o o k o Ba S Bo Dc a .
* )
x O y
6 . P u n k t m a t e r i a l n y p o r u s z a s i n a p Ba s z c z y zn i e t a k , |e
rð rð rð
r ( t ) = A Å" [ c o s ( É t ) Å" e x + s i n ( É t ) Å" e y ]
,
g d z i e A i É s w i e l k o [c i s t a Be . 1 ) O b l i c z y p r d k o [ c h w i l o w p u n k t u m a t e r i a l n e g o .
rð rð
r ( t )
2 ) J a k j e s t z o r i e n t o w a n y w e k t o r Å ( t ) w z g l d e m w e k t o r a .
1 1
W s k a z ó w k a : S k o r z y s t a z e w z o r ó w
2
c o s [ É ( t + " t ) ] = c o s ( É t ) - ( É Å" " t ) Å" s i n ( É t ) + O ( " t ) , ( I . 2 2 )
2
s i n [ É ( t + " t ) ] = s i n ( É t ) + ( É Å" " t ) Å" c o s ( É t ) + O ( " t ) , ( I . 2 3 )
2
O ( " t ) ( " t ) 2 ( " t ) 3
g d z i e o z n a c z a w y r a z y z a w i e r a j c e , i t d .
7 . T o r p u n k t u m a t e r i a l n e g o j e s t o k r e [l o n y w z o r e m
rð rð
rð
3
r ( t ) = A Å" t - B Å" t ,
rð rð
g d z i e i s s t a Be w e k t o r y . 1 ) O b l i c z y p r z y s p i e s z e n i e c h w i l o w e p u n k t u m a t e r i a l n e g o .
A B
rð rð
2 ) Z a Bó |m y , |e w e k t o r y i m a j t e n s a m z w r o t . C o m o |n a p o w i e d z i e o c h a r a k t e r z e
A B
rð rð
r u c h u p u n k t u m a t e r i a l n e g o ? 3 ) Z a Bó |m y , |e w e k t o r j e s t p r o s t o p a d By d o w e k t o r a . C o
A B
m o |n a p o w i e d z i e o c h a r a k t e r z e r u c h u p u n k t u m a t e r i a l n e g o ?
8 . T o r p u n k t u m a t e r i a l n e g o j e s t o k r e [l o n y w z o r e m
rð rð 1 rð
2
r ( t ) = ( a Å" t ) Å" e x + ( h - g Å" t ) Å" e z
,
2
g
a , h
g d z i e i s s t a Be . 1 ) C o m o |n a p o w i e d z i e o c h a r a k t e r z e r u c h u p u n k t u
m a t e r i a l n e g o ? 2 ) J a k i r e a l n y r u c h c i a Ba m a t a k i t o r ?
* )
x O y
9 . P u n k t m a t e r i a l n y p o r u s z a s i n a p Ba s z c z y zn i e t a k , |e
rð rð rð
r ( t ) = A Å" [ c o s ( É t ) Å" e x + s i n ( É t ) Å" e y ]
,
g d z i e A i É s w i e l k o [c i s t a Be . 1 ) O b l i c z y p r z y s p i e s z e n i e c h w i l o w e p u n k t u
rð
rð
r ( t )
a
m a t e r i a l n e g o . 2 ) J a k j e s t z o r i e n t o w a n y w e k t o r p r z y s p i e s z e n i a w z g l d e m w e k t o r a
rð
o r a z w e k t o r a p r d k o [c i Å ( t ) .
W s k a z ó w k a : S k o r z y s t a z e w z o r ó w ( I . 2 2 ) , ( I . 2 3 )
* )
G w i a z d k a o z n a c z a , |e t o j e s t z a d a n i e p o d w y |s z o n e j t r u d n o [c i .
1 2
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