plik


ÿþWykBad 1 Kinematyka punktu materialnego Mechanika klasyczna. Modele w mechanice. UkBad odniesienia. Mechanika klasyczna zajmuje si badaniem ruchów ciaB makroskopowych w przestrzeni i w czasie. W celu uproszczenia opisu ruchu ciaBa makroskopowego jako caBo[ci w mechanice klasycznej wprowadzamy idealizacje (modele). GBówne modele w mechanice klasycznej to s 1) model punktu materialnego, oraz 2) model ciaBa sztywnego albo model bryBy sztywnej. Punktem materialnym nazywamy ciaBo o nieskoDczenie maBych (zerowych) wymiarach. Oczywi[cie w przyrodzie nie istniej punkty materialne. Jednak model punktu materialnego bardzo dobrze opisuje, na przykBad, ruch Ziemi dookoBa SBoDca. Jest to zwizane z tym, |e promieD Ziemi jest o 25 000 razy mniejszy ni| odlegBo[ Ziemi od SBoDca. Niestety, w przybli|eniu modelu punktu materialnego nie mo|emy uwzgldni wiadomego faktu, |e Ziemia wykonuje ruch obrotowy dookoBa swojej osi, wskutek czego mamy dzieD i noc. Ten ruch obrotowy mo|emy rozwa|y korzystajc z kolejnego modelu (przybli|enia) - modelu ciaBa sztywnego. CiaBem sztywnym nazywamy ciaBo, którego ksztaBt oraz rozmiary nie ulegaj zmianie podczas ruchu ciaBa. W przyrodzie nie istniej ciaBa sztywne, poniewa|, jak na przykBad w przypadku ruchu obrotowego, ciaBo zawsze deformuje si (przypomnijmy sobie, jaka siBa dziaBa na osob znajdujc si na karuzeli). Jednak te deformacje w wielu przypadkach s tak maBe, |e ruch ciaBa w bardzo dobrym przybli|eniu mo|emy rozwa|a jako ruch ciaBa sztywnego. Je|eli model ciaBa sztywnego nie opisuje ruchu ciaBa makroskopowego i ciaBo deformuje si, musimy stosowa kolejne modele, które s rozwa|ane w mechanice o[rodków cigBych. Najpierw bdziemy rozwa|ali ruch punktu materialnego. Je|eli punkt materialny porusza si od poBo|enia A do poBo|enia B (rys.I.1), to jego przemieszczenie mo|emy przedstawi za pomoc strzaBki . Rzeczywista droga punktu materialnego nie musi by AB oczywi[cie lini prost, a zatem strzaBka przedstawia jedynie efekt ruchu, a nie prawdziwy ruch. C Je|eli dalej punkt materialny porusza si od punktu do punktu , przemieszczenie B to mo|emy przedstawi za pomoc strzaBki . Wypadkowy efekt tych dwóch BC C przemieszczeD przedstawia strzaBka Bczca punkt A i punkt (rys.I.1). 3 Matematycznie mo|emy to zapisa w postaci . (I.1) AB + BC = AC W matematyce i fizyce, wielko[ci, majce okre[lon zarówno warto[, jak i kierunek oraz podlegajce pewnym reguBom dodawania i mno|enia (o których bdzie mowa pózniej) nazywamy wektorami. Graficznie wektory Rys.I.1. Dodawanie wektorów przedstawiamy jako strzaBki. A wic przemieszczenie punktu materialnego od dowolnego poBo|enia A do dowolnego poBo|enia B mo|emy opisa za pomoc wektora . Nazwa wektor pochodzi z AB Baciny i oznacza przewoznik, co kojarzy si z przemieszczeniem. W fizyce istnieje wiele wielko[ci fizycznych, które mo|emy przedstawi za pomoc strzaBek (wektorów). S to siBa, prdko[, przyspieszenie itd. ReguB okre[lajc dodawanie dwóch wektorów ilustruje rys.I.1. Dlatego |eby znalez rð rð rð rð a a sum dwóch wektorów i , musimy narysowa wektor ; nastpnie rysujemy wektor , b b rð rð a tak, aby koniec wektora stykaB si z ostrzem wektora . Wtedy ostrze wypadkowego b rð rð rð rð rð a wektora styka si z ostrzem wektora i Bczy koniec wektora i ostrze wektora . a + b b b Metoda geometryczna dodawania wektorów jest do[ |mudna w przypadku dodawania kilku wektorów w przestrzeni trójwymiarowej. Inn metod dodawania wektorów jest metoda analityczna, wykorzystujca rozkBadanie wektorów na skBadowe, w jakim[ szczególnym ukBadzie wspóBrzdnych. Czsto jako ukBad wspóBrzdnych wybieramy trzy wzajemnie prostopadBe proste, które przecinaj si O w punkcie - pocztku ukBadu (rys.I.2). Taki ukBad wspóBrzdnych nazywa si ukBadem kartezjaDskim i po raz pierwszy byB wprowadzony wBa[nie przez Kartezjusza. W ukBadzie kartezjaDskim poBo|enie punktu okre[la wektor wodzcy punktu: rð rð rð rð r = x Å" ex + y Å" ey + z Å" ez . (I.2) rð rð x, y, z ex ey rð ez Wielko[ci nazywamy wspóBrzdnymi punktu. Wektory , i tworz tak zwan baz kartezjaDskiego ukBadu wspóBrzdnych i s to bezwymiarowe jednostkowe ( rð rð rð rð rð ex = ey = ez = 1) wektory. Oznaczenie a a okre[la warto[ bezwzgldn wektora , czyli rð dBugo[ strzaBki, która przedstawia wektor a . 4 Korzystajc z geometrycznej reguBy dodawania wektorów Batwo udowodni, |e rð rð rð rð a = x Å" ex , rð i rð rð otrzymujemy wBa[nie wektor r . Warto b = y Å" ey c = z Å" ez sumujc trzy wektory rð podkre[li, |e w ró|nych ukBadach wspóBrzdnych, wektor r ma ró|ne warto[ci liczbowe x, y, z wspóBrzdnych . Wrómy teraz do opisu ruchu punktu materialnego. {eby opisa ruch punktu materialnego w przestrzeni i w czasie musimy wprowadzi tak zwany ukBad odniesienia. UkBad odniesienia to ukBad wspóBrzdnych oraz zegar. Dla pomiaru czasu mo|emy korzysta z dowolnego okresowego procesu fizycznego, na przykBad z wahadBa. W ukBadzie SI s jednostk pomiaru czasu jest sekunda ( ). Rys.I.2. KartezjaDski ukBad wspóBrzdnych W mechanice klasycznej (mechanice Newtona) zakBada si, |e czas pBynie we wszystkich ukBadach odniesienia tak samo. Oznacza to, |e w pocigu i w samolocie, na Ziemi i na SBoDcu wskazówki zegarów obracaj si z tak sam prdko[ci. Umownie mechanika zostaBa podzielona na kinematyk oraz dynamik. Je|eli zajmujemy si opisem ruchu ciaB, nie rozwa|ajc przyczyn wywoBujcych ten ruch, to mówimy, |e mamy do czynienia z kinematyk. Je|eli uwzgldniamy siBy, które wywoBuj ruch ciaB, to mówimy, |e mamy do czynienia z dynamik. Najprostszym zagadnieniem kinematyki jest oczywi[cie kinematyka punktu materialnego. Kinematyka punktu materialnego Mówimy, |e ruch punktu materialnego jest caBkowicie okre[lony, je|eli znamy poBo|enie tego punktu w wybranym ukBadzie wspóBrzdnych w dowolnej chwili. Z punktu x(t), y(t), z(t) matematycznego, to oznacza, |e wiemy jak zale| od czasu wspóBrzdne punktu materialnego, innymi sBowy wiemy, jak zale|y od czasu wektor wodzcy punktu materialnego rð rð rð rð r (t) = x(t) Å" ex + y(t) Å" ey + z(t)Å" ez . (I.3) rð r (t) Krzywa w trójwymiarowej przestrzeni nosi nazw toru albo trajektorii punktu materialnego. Warto podkre[li, |e ka|dy punkt trajektorii ma okre[lony czas, które wskazuje na to, kiedy punkt materialny byB albo bdzie w tym wBa[nie punkcie. 5 t1 Niech w chwili punkt materialny zajmuje poBo|enie A (Rys.I.3), a w chwili t2 > t1 pózniejszej ten sam punkt zajmuje poBo|enie B . Iloraz rð rð rð rð przemieszczenie " r - rA rB Å = a" a" (I.4) przedzial czasu " t t2 - t1 nazywa si prdko[ci [redni punktu materialnego. Za pomoc skBadowych (wspóBrzdnych) wektorów równanie (I.4) mo|emy zapisa w postaci rð rð rð 1 rð rð rð Å ex + Å ey + Å ez a" [(xB - xA )ex + (yB - yA )ey + (zB - zA )eZ . (I.5) x y z t2 - t1 xA, yA, zA xB , yB , zB Tu s wspóBrzdnymi wektora wodzcego punktu A , a s wspóBrzdnymi wektora wodzcego punktu B . Z równania (I.5) wynika, |e xB " x - xA Å a" a" (I.6a) x " t t2 - t1 " y yB - yA Å a" a" (I.6b) y " t t2 - t1 zB " z - zA Å a" a" (I.6c) z " t t2 - t1 Rys.I.3. Tor punktu materialnego rð rð rð " r = rB - rA Jak wida z Rys.I.3, zwrot wektora przemieszczenia , a wic i zwrot rð rð rB wektora prdko[ci [redniej nie pokrywa si, w ogólnym przypadku, ani z wektorem ani Å rð rA z wektorem . Zadanie 1: punkt materialny porusza si wzdBu| toru rð rð rð rð r (t) = (AÅ" t) Å" ex + (B Å" t) Å" ey + (C Å" t) Å" ez , gdzie A, B,C s staBe. Obliczmy prdko[ [redni na " t = t2 - t1 odcinku czasowym . Rozwizanie: " x x(t2 ) - x(t1) t2 - t1 Å = = = A = A , x " t t2 - t1 t2 - t1 " y y(t2 ) - y(t1) t2 - t1 Å = = = B = B , y " t t2 - t1 t2 - t1 6 " z z(t2 ) - z(t1) t2 - t1 Å = = = C = C , z " t t2 - t1 t2 - t1 a zatem rð rð rð rð Å (t) = AÅ" ex + B Å" ey + C Å" ez = const . rð rð 2 r (t) = (AÅ" t ) Å" ex + Zadanie 2: punkt materialny porusza si wzdBu| toru rð rð 2 + (B Å" t ) Å" ey + (C Å" t) Å" ez , gdzie A, B,C s staBe. Obliczmy skBadowe wektora prdko[ci " t = t2 - t1 [redniej na odcinku czasowym . Rozwizanie: 2 2 " x t2 - t1 Å = = A = AÅ" (t2 + t1) , x " t t2 - t1 2 2 " y t2 - t1 Å = = B = B Å" (t2 + t1) , y " t t2 - t1 " z z(t2 ) - z(t1) t2 - t1 Å = = = C = C . z " t t2 - t1 t2 - t1 Zadanie 3: promieD Ziemi wynosi okoBo R H" 6 400 km. Obliczmy [redni prdko[ ruchu obrotowego ciaBa znajdujcego na równiku powierzchni Ziemi. Rozwizanie: ciaBo znajdujce na równiku powierzchni Ziemi w cigu doby (24 2À R = Å" 6400 = godziny) pokonuje drog 6,28 40 192 km, a zatem prdko[ [rednia wynosi 2À R 40192 Å = = H" 1700 km/h. " t 24 t1 Prdko[ci chwilow w chwili nazywa si granic prdko[ci [redniej, gdy zarówno rð " t " r , jak i d| do zera rð rð rð " r dr Å = lim0 a" . (I.7) " t’! " t dt rð W matematyce granic (I.7) nazywamy pochodn wektora r wzgldem czasu i oznaczamy rð dr rð &ð jako . W fizyce czsto pochodn wzgldem czasu oznaczaj jako . Warto podkre[li, |e r dt wektor prdko[ci chwilowej w ogólnym przypadku mo|e mie dowolny kierunek wzgldem kierunku wektora wodzcego. (L /T ) Prdko[ chwilowa, zgodnie z (I.7) ma wymiar (dBugo[/czas) czyli . W m / s ukBadzie jednostek SI prdko[ mierzymy w jednostkach . Zadanie 4: punkt materialny porusza si tak, |e 7 rð rð rð r (t) = AÅ" t + B , (I.8) rð rð gdzie i s staBe wektory nie zale|ne od czasu. Obliczmy prdko[ chwilow. A B Rozwizanie: rð rð rð rð rð rð rð " r [AÅ" (t + " t) + B] - [At + B] Å = lim0 = lim0 = A = const . (I.9) " t’! " t’! " t " t rð Wic równanie (I.8) opisuje ruch punktu materialnego ze staB prdko[ci . Mo|e powsta A rð pytanie: co oznacza wektor w równaniu (I.8)? Sens fizyczny a raczej matematyczny tego B t = 0 wektora Batwo otrzyma rozwa|ajc pocztkow chwil , czyli rozwa|ajc chwil, kiedy wBczyli[my zegar. Podstawiajc t = 0 do równania (I.8) otrzymujemy, |e rð rð rð r0 a" r (t = 0) = B , (I.10) rð t = 0 a zatem wektor okre[la poBo|enie punktu materialnego w pocztkowej chwili . Biorc B rð rð pod uwag (I.10) i wprowadzajc oznaczenie równanie (I.8) mo|emy zapisa w A = Å postaci rð rð rð r (t) = r0 + Å Å" t . (I.11) Równanie (I.11) opisuje prostoliniowy (wzdBu| prostej) i jednostajny (ze staB prdko[ci) ruch punktu materialnego. Zadanie 5: punkt materialny porusza tak, |e rð rð rð rð 1 r (t) = A Å" t2 + B Å" t + C , (I.12) 2 rð rð rð rð rð rð gdzie , i s to wektory staBe. 1) Jakie wymiary maj wektory , i ? 2) Obliczy A B C A B C prdko[ chwilow punktu. Rozwizanie: 1. Z lewej strony równania (I.12) znajduje si wektor, który ma wymiar dBugo[ci, a zatem z prawej strony musi by te| wektor o wymiarze dBugo[ci. Std wynika, |e rð rð rð 2 (L /T ) wektor ma wymiar ( ), wektor ma wymiar prdko[ci , a wektor ma L /T A B C wymiar dBugo[ci L . 2. rð rð rð rð rð rð 1 1 2 rð [ A(t + " t)2 + B(t + " t) + C] - [ At + Bt + C] rð " r 2 Å = lim0 = lim0 2 = " t’! " t’! " t " t 8 rð rð rð 1 A Å" t Å" " t + A Å" (" t)2 + B Å" " t rð rð . (I.13) 2 = lim0 = AÅ" t + B " t’! " t Je|eli znów rozwa|my pocztkow chwil t0 = 0 , to ze wzoru (I.13) otrzymamy, |e rð staBy wektor bdzie prdko[ci punktu materialnego w chwili t0 = 0 . B Ze wzoru (I.13) wynika tak|e, |e w ogólnym przypadku prdko[ chwilowa punktu materialnego mo|e by zmienn w czasie. Iloraz rð rð rð rð " Å Å (t2 ) - Å (t1) a a" a" (I.14) " t t2 - t1 nazywa si przyspieszeniem [rednim. Przyspieszeniem chwilowym nazywa si granic przyspieszenia [redniego, gdy rð " Å " t zarówno , jak i d| do zera rð rð rð " Å dÅ a = lim0 a" . (I.15) " t’! " t dt Biorc pod uwag wzór (I.7), okre[lajcy wektor prdko[ci, wzór (I.15) mo|emy zapisa w postaci rð rð 2 rð d dr d r ëø öø a = a" ìø ÷ø . (I.16) 2 dt dt dt íø øø rð rð 2 2 W matematyce wielko[ nosi nazw drugiej pochodnej od r , wzgldem czasu. W d r / dt rð &ð&ð fizyce czsto t pochodn oznaczaj jako . r Przyspieszenie, zgodnie z (I.14) i (I.15) ma wymiar (prdko[/czas) czyli 2 (L /T ) Å" (1/T ) = L /T . W ukBadzie jednostek SI przyspieszenie mierzymy w jednostkach . m / s2 Zadanie 6: punkt materialny porusza si wzdBu| toru okre[lonego wzorem (I.12): rð rð rð rð 1 r (t) = A Å" t2 + B Å" t + C . 2 Obliczmy przyspieszenie chwilowe punktu. Rozwizanie: prdko[ punktu materialnego poruszajcego si wzdBu| trajektorii (I.12) jest okre[lona wzorem (I.13): rð rð rð rð " r Å = lim0 = AÅ" t + B . " t’! " t Korzystajc z tego wzoru otrzymujemy 9 rð rð rð rð rð rð rð rð " Å [A(t + " t) + B] - [At + B] AÅ" " t . (I.17) a = lim0 = lim0 = lim0 = A = const " t ’! " t ’! " t’! " t " t " t rð a0 Oznaczajc staBe przyspieszenie punktu jako , prdko[ i wektor wodzcy punktu w chwili rð rð t0 = 0 r0 jako Å 0 i , wzór (I.12) mo|emy zapisa w postaci rð rð rð 1 rð 2 r (t) = r0 + Å Å" t + a0 Å" t . (I.18) 0 2 rð rð r0 Å Równanie (I.18) opisuje ruch punktu materialnego ze staBym przyspieszeniem. StaBe , i 0 rð a0 , okre[lajce poBo|enie, prdko[ i przyspieszenie punktu materialnego w chwili t = 0 pocztkowej nazywamy warunkami pocztkowymi. t0 = 0 Zadanie 7: ciaBo znajdujce si na dachu domu zaczyna w chwili swobodnie spada na powierzchnie Ziemi. 1) Napisa wzór okre[lajcy trajektori tego ciaBa. 2) ZakBadajc, |e dach domu znajduje si na wysoko[ci 4,9 m od powierzchni Ziemi znalez czas spadku ciaBa oraz 3) prdko[ ciaBa w chwili zderzenia z Ziemi. Rozwizanie: 1) Ze szkoBy [redniej wiemy, |e ciaBo spada na powierzchnie Ziemi ze staBym 2 przyspieszeniem g = 9,8 m / s , które nazywa si przyspieszeniem grawitacyjnym Ziemi. Wektor tego przyspieszenia jest skierowany w dobrym przybli|eniu ku [rodkowi Ziemi. Oz Wybierzemy o[ od [rodka Ziemi ku górze, a pocztek ukBadu wybierzemy na powierzchni Ziemi. Zgodnie z (I.18), trajektori spadajcego ciaBa, okre[la wzór 1 2 h(t) = z(t) = - g Å" t + h0 , (I.19) 2 rð h0 = 4,9m g gdzie . Tu uwzgldnili[my, |e wektor ma ujemn skBadow wzdBu| wybranej osi rð Oz oraz, |e w chwili pocztkowej ciaBo znajdowaBo si w spoczynku (Å 0 = 0 ). t = 0 h(t) = 0 2) Ze wzoru (I.19) znajdujemy, |e w chwili gdy ciaBo dotknie si Ziemi ( ) upBynie czas 2h0 t = = 1 s . (I.20) g 3) prdko[, któr bdzie miaBo ciaBo w chwili zderzenia ciaBa z Ziemi okre[la wzór (I.13) Å (t) = g Å" t . (I.21) Po podstawieniu (I.20) do tego wzoru otrzymujemy 10 Å = g Å" tsp = 9,8 H" m/s 36 km/h . Literatura do WykBadu 1. 1. Robert Resnik, David Halliday: Fizyka 1, Wydawnictwo PWN, Warszawa, 1994, str. 13  87. 2. Sz. Szczeniowski, Fizyka do[wiadczalna, t.1, PWN, Warszawa 1980, str. 29 - 49. Zadania do WykBadu 1 1. Korzystajc z metody geometrycznej oraz metody analitycznej dodawania wektorów udowodni, |e rð rð rð rð a + b = b + a ( prawo przemienno[ci) rð rð rð rð rð rð a + (b + c) = (a + b) + c ( prawo lczno[ci) . rð 2. Wektor ujemny ( - b ) okre[lamy jako wektor, którego dBugo[ jest taka sama jak rð rð dBugo[ wektora , lecz jest on przeciwnie skierowany ni| wektor . SformuBowa b b reguBy odejmowania dwóch wektorów. 3. Punkt materialny porusza tak, |e rð rð rð rð rð 1 1 2 r (t) = AÅ" t3 + B Å" t + C Å" t + D , 3 2 rð rð rð rð rð rð rð rð gdzie , , i s staBe wektory. 1) Jakie wymiary maj wektory , , i ? 2) A B C D A B C D Obliczy prdko[ chwilow punktu materialnego. 4. Prostoliniowy i jednostajny ruch punktu materialnego okre[la wzór (I.11) rð rð rð r (t) = Å Å" t + r0 . 0 W jakim przypadku prosta, wzdBu| której porusza si punkt materialny pokrywa si z rð rð r0 kierunkiem a) wektora ; b) wektora Å 0 . 5. OdlegBo[ Ziemi od SBoDca wynosi okoBo R H" 150 km. Obliczy [redni 106 prdko[ ruchu obrotowego Ziemi dookoBa SBoDca. *) xOy 6. Punkt materialny porusza si na pBaszczyznie tak, |e rð rð rð r (t) = AÅ" [cos(É t) Å" ex + sin(É t) Å" ey ] , gdzie A i É s wielko[ci staBe. 1) Obliczy prdko[ chwilow punktu materialnego. rð rð r (t) 2) Jak jest zorientowany wektor Å (t) wzgldem wektora . 11 Wskazówka: Skorzysta ze wzorów 2 cos[É (t + " t)] = cos(É t) - (É Å" " t) Å" sin(É t) + O(" t ) , (I.22) 2 sin[É (t + " t)] = sin(É t) + (É Å" " t) Å" cos(É t) + O(" t ) , (I.23) 2 O(" t ) (" t)2 (" t)3 gdzie oznacza wyrazy zawierajce , itd. 7. Tor punktu materialnego jest okre[lony wzorem rð rð rð 3 r (t) = AÅ" t - B Å" t , rð rð gdzie i s staBe wektory. 1) Obliczy przyspieszenie chwilowe punktu materialnego. A B rð rð 2) ZaBó|my, |e wektory i maj ten sam zwrot. Co mo|na powiedzie o charakterze A B rð rð ruchu punktu materialnego? 3) ZaBó|my, |e wektor jest prostopadBy do wektora . Co A B mo|na powiedzie o charakterze ruchu punktu materialnego? 8. Tor punktu materialnego jest okre[lony wzorem rð rð 1 rð 2 r (t) = (a Å" t) Å" ex + (h - g Å" t ) Å" ez , 2 g a, h gdzie i s staBe. 1) Co mo|na powiedzie o charakterze ruchu punktu materialnego? 2) Jaki realny ruch ciaBa ma taki tor? *) xOy 9. Punkt materialny porusza si na pBaszczyznie tak, |e rð rð rð r (t) = A Å" [cos(É t) Å" ex + sin(É t) Å" ey ] , gdzie A i É s wielko[ci staBe. 1) Obliczy przyspieszenie chwilowe punktu rð rð r (t) a materialnego. 2) Jak jest zorientowany wektor przyspieszenia wzgldem wektora rð oraz wektora prdko[ci Å (t) . Wskazówka: Skorzysta ze wzorów (I.22), (I.23) *) Gwiazdka oznacza, |e to jest zadanie podwy|szonej trudno[ci. 12

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2 Kinematyka punktu materialnego
Wyklad 6 kinematyka ruchu obrotowego punktu materialnego
Wyklad 9 Kinematyka relatywistyczna
DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO W JEDNYM WYMIARZE
Dynamika punktu materialnego
Wyklad 3 Dynamika punkty materialnego

więcej podobnych podstron