Wykład 3
"Ciasna to chatka, dusza moja"
św. Augustyn, Wyznania
Dynamika punkty materialnego
1. Zasady dynamiki Netwona
I. Ka\
de ciało, na które nie oddziałuje \
adna siła, albo oddziałujące siły się
równowa\
Ä…, porusza siÄ™ ruchem jednostajnym prostoliniowym.
r
r
F = m Å" ar
II.
r
FAB = -FBA
III.
I. Zasada Galileusza. Definicja układu inercjalnego.
Istnieją układy inercjalne, w których obowiązuje I zasada Newtona (Galileusza)
oraz układy nieinercjalne.
Przykłady układów inercjalnych i nieinercjalnych.
II Siła jest proporcjonalna do przyśpieszenia a współczynnikiem
proporcjonalności jest masa.
r
r
F = m Å" a
(1)
Jest to równanie ró\
niczkowe rzędu 1-szego, lecz poniewa\
prędkość to
pochodna wektora wodzÄ…cego otrzymujemy:
r r
2
r
dv d r
F = m Å" = m Å"
(2)
dt dt2
równanie ró\
niczkowe rzędu 2-go.
Gdy działająca siła jest stała (F = const) sprawa jest prosta, otrzymujemy ruch
jednostajnie przyśpieszony. Ciało porusza się ruchem jednostajnie
przyspieszonym.
1
Problem powstaje, gdy siła F nie jest stała, zmienia się w czasie. Gdy siła F nie
jest stała, musimy rozwiązać układ 3 równań ró\
niczkowych rzędu 2-go (w
przestrzeni 3D).
2
d x
Fx (t) = m Å"
dt2
2
d y
Fy (t) = m Å"
dt2
(3)
2
d z
Fz (t) = m Å"
dt2
Pamiętamy, \
e wektor wodzący punktu r ma współrzędne:
r
r = [x, y, z]
Powróćmy do równania (1). Przekształcamy to równanie:
r r r
r
r dv d(m Å" v) dp
F = m Å" a = m Å" = =
dt dt dt
gdzie
r
v
p = m Å" v
jest to pęd cząstki.
Równanie
r
r
dp
F =
(4)
dt
Bardziej ogólna postać II zasady dynamiki Newtona.
Przykłady: ruch ciała o zmiennej masie
a) rakieta;
b) czÄ…stka relatywistyczna.
Ruch takiego obiektu opisuje równanie (4).
Równanie 4 to prawidłowa postać drugiej zasady dynamiki.
Co się dzieje, gdy mamy wiele sił działających na ciało materialne?
2
Obliczamy siłę wypadkową (geometrycznie, suma wektorów sił):
r r r r
F = F1 + F2 +K+ Fn ,
I stosujemy II zasadę dynamiki Newtona (równania 1 albo 4).
III Zasad dynamiki.
Siłą reakcji jest równa co wartości sile akcji, lecz jest przeciwnie skierowana.
r r
FAB = -FBA
(5)
Rys. Ilustracja trzeciego prawa Newtona.
2. Przykłady sił.
1. Siła tarcia
r r
FT = µ Å" N
2. Siłą sprę\
ystości sprę\
yny (1D)
F = -k Å" x
3
3. Siła grawitacji (Prawo powszechnego cią\
enia)
v
r
M m r
F = -G Å"
r2 r
4. Siła oporu powietrza
r
v
FT = -k Å" v
5. Siła Lorentza
r r r
r
F = q Å" (E + v × B)
Przykład :
ruch czÄ…stki o Å‚adunku q w polu elektrycznym (2D)
a)
rStałym
E = [E,0]
r
v = [v0 cosÄ…,v0 sinÄ…]
Rozwiązanie: ruch jednostajnie przyśpieszony.
b)
rzmiennym
E = [E0 sin(Ét),0]
r
v = [v0 cosÄ…,v0 sinÄ…]
Rozwiązanie: x(t) jest zło\
eniem ruchu jednostajnego i ruchy oscylujÄ…cego
(harmonicznego)
Równania Newtona podstawa fizyki klasycznej: mechanika (klasyczna), teoria
grawitacji (klasyczna), prÄ…d w przewodniku, i wiele innych
Opisuj doskonale ruch makroskopowego ciała w warunkach  normalnych ,
czyli takich, z jakim mamy do czynienia.
Zawodzi dla bardzo małych ciał: molekuły, atomy, elektrony, itd. (mechanika
kwantowa) dla ciał poruszających się z bardzo du\
ą prędkością (mechanika
4
relatywistyczna  STW), jak równie\
dla bardzo silnych pól grawitacyjnych
(OTW). Przykłady zjawisk do opisu których nie stosujemy ZDN:
przewodnictwo w półprzewodniku, nadprzewodnictwo, własności optyczne
materiałów, magnetyzm.
Mechanika kwantowa: siła, pęd, poło\
enie  operatory działające na stan
kwantowy opisany przez funkcjÄ™ falowÄ….
3. Układy inercjalne
Spełniona I zasada dynamiki Newtona (zasada Galileusza).
Rys. Dwa układy odniesienia przesunięte względem siebie
Przejście między jednym a drugim układem znajdujemy korzystając z
transformacji Galileusza, która ma bardzo prostą postac w tym przypadku:
r
v v v'
r = r0 + v0t + r
(6)
Wzory transformacji Galileusza
w przypadku gdy v jest równoległe do osi X a r0 = 0 mamy:
x = v0t + x';
y = y'
(7)
z = z';
5
Ale układ O mo\
e być tak\
e obrócony (przemieszczony i obrócony):
Rys. Dwa układy odniesienia przesunięte i obrócone
Wówczas:
r r
v v
r '= Rr + vt + r0
(9)
ogólna postać transformacja Galileusza uwzględniająca przesunięcie (translację)
oraz obrót, gdzie: R  macierz obrotu, v  prędkość układu, r0  poło\
enie
poczÄ…tkowe
Przykład:
1. obrót o kÄ…t Õ w pÅ‚aszczyz
nie XY, oÅ› Z jest osiÄ… obrotu, macierz obrotu
ma postać
cosÕ sinÕ 0
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚sinÕ - cosÕ 0śł
R =
ïÅ‚ śł
(10)
ïÅ‚ śł
0 0 1ûÅ‚
ðÅ‚
2. obrót o kÄ…t ² w pÅ‚aszczyz
nie XZ, oÅ› Y jest osiÄ… obrotu, macierz obrotu
ma postać
6
cos ² 0 sin ²
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
R = 0 1 0
ïÅ‚ śł
(11)
ïÅ‚- sin ² 0 cos ²
śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Stopnie swobody czÄ…stki:
a) na osi (koralik na drucie),
b) na płaszczyz
nie
c) na powierzchni walca, sfery, itp.&
d) w przestrzeni 3D
e) czÄ…stka dwuatomowa w przestrzeni 3D
Stopnie swobody a zasady zachowania.
4. Nieinercjalne układy odniesienia.
1. Siła bezwładności
Obliczając dwukrotną pochodną równania na transformację Galileusza (8)
otrzymamy równanie:
r r r
a = a0 + a'
(12)
gdzie a0 to przyśpieszenie układu.
r r
a = a'= 0
Nawet gdy , ciało ma zerowe przyśpieszenie względem obydwu
r
a0 `" 0
układów, to i wówczas . Ciało ma niezerowe przyśpieszenie wynikające
z przyśpieszenia układu odniesienia. Nawet gdy na ciało nie działa (a=0), to w
przypadku układów nieinercjalnych na ciało działa siła nazywana siłą
bezwładności.
r
r
Fb = -m Å" a0
(13)
Przykład:
a) gwałtownie hamujący samochód, pociąg, itp.
b) winda - jako przykład układu inercjalnego,
c) winda, jako przykład inercjalnego.
Kiedy winda jest układem inercjalnym a kiedy nienercjalnym?
Zadanie:
JakÄ… masÄ™ (ciÄ™\
ar) ciała wska\
e waga umieszczona w poruszajÄ…cej siÄ™ windzie?
Rozpatrzyć przypadki, gdy:
7
a) winda porusza się ze stałą prędkością (skierowaną do góry i w dół),
b) gdy winda porusza się ze stałym przyśpieszeniem (skierowanym do góry i
w dół),
c) gdy widna jest nieruchoma.
2. Siła Coriolisa
ZiemiÄ™ w pierwszym przybli\
eniu mo\
emy traktować jako układ inercjalny,
ale& w istocie jest układem nieinercjalnym. Dlaczego?
Ziemia obraca się wokół osi, stąd na poruszające się ciało, działać będzie siła
Coriolisa (francuski in\
ynier i matematyk Gaspard Gustave Coriolis).
Pełne wyprowadzenie przyśpieszenia Coriolisa podano na wykładzie
poprzednim.
Przyśpieszenie Coriolisa jest równe:
r r r
ac = 2v ×É
(14)
Siła Coriolisa wynosi:
r
r r
Fc = 2mv ×É
(15)
Przykłady działania siły Coriolisa:
a) Wahadło Foucaulta.
W wielu miejscach na świecie. Pierwsze w Pary\
u, w kościele Inwalidów
Rys. Wahadło Foucaulta w Panteonie (Pary\
)
8
Płaszczyzna drgań wahadło obraca się z częstością (z wyjątkiem biegunów):
É E" É0 sinÕ
(14)
É0 Õ
gdzie częstość obrotu Ziemi (150/godz.) - szerokość geograficzna
Wzór uproszczony! Wzór (14) ma zastosowanie, gdy amplituda drgań wahadła
jest znacznie mniejsza od długości wahadła.
Zastosowania praktyczne:
a) podmywanie brzegów rzek,
b) prÄ…dy morskie,
c) huragany, cyklony i inne tego typu zjawiska atmosferyczne.
Rys. Powstawanie cyklonów na półkuli północnej
9
Praktyka.
Rys. Huragan Rita.
Skutki siły Coriolisa:
" na półkuli północnej wiatr ma tendencję do skręcania w prawo, a na
południowej - w lewo;
" na półkuli północnej mocniej podmywane są prawe brzegi rzek
(odpowiednio: na południowej - lewe);
" na półkuli północnej wiry wodne oraz cyklony poruszają się odwrotnie do
ruchu wskazówek zegara (na południowej - przeciwnie).
Wa\
ne dla artylerzystów, nawigatorów samolotów, sterowniczych rakiet itp.
Foucault's pendulum.
http://www.youtube.com/watch?v=wlhHWYKswik
Visualization of the Coriolis and centrifugal forces
http://www.youtube.com/watch?v=49JwbrXcPjc&feature=related
Hurricane KATRINA from satellite
http://www.youtube.com/watch?v=_SLXYRJnYm0
Hurricane Destruction
http://www.youtube.com/watch?v=H9VpwmtnOZc
10