Wykład 3
Dynamika układu punktów materialnych
Siły zewnętrzne i wewnętrzne. Środek masy
W układzie punktów materialnych siły działające na punkty dogodnie jest podzielić na
siły wewnętrzne i siły zewnętrzne. Siły wewnętrzne są to siły działające między punktami
układu. Siły zewnętrzne są to siły, które pochodzą nie od cząstek (punktów) układu. Są to siły
i
innych ciał, albo pól fizycznych, które działają na punkty układu. A więc siłę, która działa na -
ty punkt układu możemy zapisać w postaci
r� r� r�
Fi = Fi zew + Fi wew , (III.1)
r� r�
i
gdzie Fi zew - wypadkowa zewnętrzna siła, działająca na -ty punkt, a Fi wew - wypadkowa
wewnętrzna siła, która jest sumą wektorową sił pochodzących od oddziaływania z pozostałymi
punktami układu
r� r�
Fi wew = Fji . (III.2)
"
i`" j
r�
j
Fji i
Tu - siła działająca na -ty punkt ze strony punktu -tego.
Wiele informacji o zachowaniu się układu punktów materialnych możemy uzyskać na
podstawie rozważania ruchu środka masy.
r� r� r�
r1,r2,K�,rN
Niech będą wektorami wodzącymi punktów materialnych o masach
m1,m2,K�,mN
. Środkiem masy układu nazywa się punkt C , którego położenie w przestrzeni
określone jest wzorem
N
r�
miri
"
r�
i= 1
rC =
. (III.3)
N
mi
"
i= 1
m1, m2 , m3
Zadanie 1. Znalez
ć środek masy układu trzech cząstek o masach ,
umieszczonych w rogach równobocznego trójkąta.
Ox
Rozwiązanie. Trójkąt jest płaską figurą, a zatem wybierzemy osi współrzędnych i
Oy
w płaszczyz
nie trójkąta tak, jak to jest pokazano na rys.III.1. Niech boki trójkąta są równe
a
.
23
m1(0,0),
Wtedy współrzędne rogów trójkąta są równe
. Zgodnie z (III.3), punkt,
m2 (a,0), m3 (a / 2,a 3 / 2)
określający środek masy ma współrzędne:
m1 �" 0 + m2 �" a + m3 �" a / 2 a(2m2 + m3)
xśr.m = = ,
m1 + m2 + m3 2(m1 + m2 + m3 )
m1 �" 0 + m2 �" 0 + m3 �" a 3 / 2 a 3 m3
yśr.m = =
m1 + m2 + m3 2 m1 + m2 + m3
.
Rys.III.1
m1 = m2 = m3 = m
Z tych wzorów wynika, że jeżeli , to
wektor wodzący środka masy ma współrzędne (
a / 2, a / 2 3 ).
Ruch środka masy. Prawo zachowania pędu dla układu punktów materialnych
Równanie ruchu środka masy łatwo otrzymać za pomocą równań ruchu dla
poszczególnych punktów
r�
r�
mi&�&�i = Fi . (III.4)
r
Sumując równania (III.4) otrzymujemy
r�
r�
m&�&�C = F . (III.5)
r
r� r�
m = mi - masa całego układu, a F = Fi - suma wszystkich sił działających na punkty
" "
Tu
i i
materialne układu.
r�
Uwzględniając wzory (III.1) i (III.2) siłę możemy zapisać w postaci
F
N N
r� r� r�
wew
F = Fi zew + Fji . (III.6)
" " "
i= 1 i= 1 j`" i
r� r�
Fij =
Suma wszystkich sił wewnętrznych, zgodnie z trzecim prawem Newtona ( - Fji
), jest
równa zeru, ponieważ
N
r� r� r� r�
wew
F = Fji a" (Fij + Fji ) = 0
. (III.7)
" " "
i= 1 j`" i i> j
24
Istotnie, jeżeli mamy na przykład trzy ciała, to dla sumy wszystkich sił wewnętrznych możemy
zapisać
r� r� r� r� r� r� r� r� r� r� r� r� r�
wew
F = (F12 + F13 ) + (F23 + F21) + (F31 + F32 ) = (F12 + F13) + (F23 - F12 ) + (- F13 - F23 ) = 0 ,
r� r� r� r� r� r�
ponieważ, zgodnie z trzecią zasadą Newtona: - F21 - F31, F23 = - F32 .
F12 = , F13 =
Z uwzględnieniem (III.7), równanie ruchu dla środka masy przyjmuje postać
r�
r�
zew
m&�&�C = F . (III.8)
r
Chociaż w równaniu (III.8) mamy tylko siły zewnętrzne, siły wewnętrzne w ogólnym
przypadku wpływają również na ruch środka masy. Wynika to z tego, że w ogólnym
przypadku zewnętrzne siły mogą być zależne od położeń oraz prędkości punktów układu i
r�
r� r� r� r�
zew
&� &�
czasu, tj F = f (r1,K�,rN ;r1,K�,rN ;t) . Jednak położenia i prędkości punktów zmieniają się
(patrz wzór (III.4)) zarówno pod wpływem sił zewnętrznych jak i sił wewnętrznych. Powoduje
r�
r� r� r� r�
zew
&� &�
to, że zmieniają się argumenty funkcji F = f (r1,K�,rN ;r1,K�,rN ;t) , a więc zmienia się siła
zewnętrzna.
Szczególne miejsce w mechanice zajmują układy odosobnione (izolowane albo
zamknięte). Układ nazywamy zamkniętym, jeżeli można zaniedbać oddziaływanie sił
r�
zewnętrznych z punktami układu. Dla takiego układu Fi zew = 0 , a więc zgodnie z (III.8)
r�
r�
&�
.
m&�&�C = PC = 0
r
Skąd
r�
PC = const . (III.9)
r� r�
r� r�
&� r�
PC = mrC = pi a" P
"
Tu jest pędem środka masy, a - wypadkowym pędem układu. Ze
P
i
wzoru (III.9) wynika, że w przypadku układu odosobnionego, środek masy porusza się
ruchem jednostajnym i prostoliniowym. Siły wewnętrzne nie mogą zmienić prędkości środka
masy układu. A więc pęd środka masy układu izolowanego jest stałym (niezależnym od czasu).
Prawo to nazywamy prawem zachowania pędu układu odosobnionego.
Zadanie 2. Nieruchoma bomba w postaci kuli, na którą nie działa żadna siła z zewnątrz,
wybucha w pewnej chwili. Co możemy powiedzieć o położeniu i ruchu środka masy
odłamków bomby po jej wybuchu?
25
Rozwiązanie: Do wybuchu bomby środek masy bomby pokrywał się ze środkiem kuli,
r�
(t = 0)
a pęd środka masy był równy PC (0) = 0 . Na bombę w chwili wybuchu nie działała
r�
żadna siła, a więc Fi zew = 0 . Wtedy, zgodnie z (III.9), po wybuchu bomby pęd środka masy
r�
odłamków musi pozostać równy PC (t) = 0. Z równania
r�
r�
dRC ,
PC = M = 0
dt
RC (t) = RC (0) = const
gdzie wypadkowa masa wszystkich odłamków bomby, wynika, że .
M
RC (0)
Tu środek masy odłamków w chwili wybuchu bomby. A więc środek masy odłamków
bomby pozostaje w tym miejscu, w którym znajdował się środek kuli.
Zagadnienie dwóch ciał. Masa zredukowana
Przez zagadnienie dwóch ciał rozumie się zwykle zagadnienie o ruchu dwóch
m1
wzajemnie oddziałujących punktów materialnych. Rozważmy ruch dwóch ciał o masach i
r�
r� r�
m2 Fij ( r1
i przypuśćmy, że siła oddziaływania dwóch punktów - r2 )
zależy tylko od
odległości między punktami.
Ponieważ układ dwóch ciał jest zamkniętym, zgodnie z (III.9) pęd środka masy układu
jest całką ruchu, a więc środek masy porusza się względem układu inercjalnego ruchem
K
jednostajnym i prostoliniowym i
r�
r� r� r�
PC = m� = m1� + m2� = const . (III.10)
C 0 10 20
r� r� r�
� � �
m = m1 + m2 C 0 - prędkość środka masy; i - prędkości początkowe
Tu ;
10 20
odpowiednich punktów.
Ruch jednostajny i prostoliniowy określa, jak wiemy z kinematyki punktu materialnego,
wzór
r� r� r�
rC = rC 0 + � t
, (III.11)
C 0
r�
rC 0
gdzie - wektor określający położenie środka masy w początkowej chwili.
/
Rozpatrzmy teraz ruch punktów względem układu , w którym środek masy
K
/ /
znajduje się w spoczynku i w początku układu odniesienia . Układy odniesienia i są
K
K K
układami inercjalnymi. Z rys. III.2 wynika, że
26
r� r� r�/
ri = rC + ri
, (III.12)
r�/
/
ri i
gdzie - wektor wodzący -tego punktu w układzie , w którym środek masy spoczywa.
K
Z zasady względności Galileusza
/
wynika, że równania ruchu w układzie
K
muszą mieć taką samą postać jak równania
ruchu w układzie , czyli
K
r�
r� r� r�
m1&�&�/ = F21( r2/ - r1/ )
r1
, (III.13a)
r�
r� r� r�
m2&�&�2/ = F12 ( r2/ - r1/ )
r
. (III.13b)
Rys.III.2. Ruch dwóch ciał.
r� r� r� r� r�
m1r1 + m2r2 = (m1r1/ + m2r2/ ) + (m1 + m2 )rC
Ze wzoru (III.12) mamy:
. Skąd, uwzględniając, że
r� r� r�
rC = (m1r1 + m2r2 ) /(m1 + m2 )
, otrzymujemy
r� r�
m1r1/ + m2r2/ = 0 . (III.14)
/
Ze wzoru (III.14) wynika, że położenia punktów i 2 w układzie nie są niezależne:
1
K
r� r�
zmiana na przykład wektora r1/ jednoznacznie określa o ile zmieni się wektor r2/ .
r� r� r� r� r�
Wprowadzając wektor r a" r2 - r1 = r2/ - r1/ , wyznaczający względne położenie punktów i
biorąc pod uwagę (III.14) znajdujemy, że
r� m2 r� r� m1 r�
r1/ = - r, r2/ = r
. (III.15)
m m
Na podstawie związków (III.15) możemy rozdzielić zmienne w równaniach (III.13). Mnożąc
m2 m1
równanie (III.13a) przez , a równanie (III.13b) przez i biorąc pod uwagę, iż zgodnie z
r� r�
trzecim prawem Newtona - F21 otrzymujemy
F12 =
r�
r�
m2m1&�&�/ = - m2F12 ,
r1
r�
r�
m1m2&�&�2/ = m1F12 .
r
Skąd mamy
r� r�
&�&�/ r�
m1m2 (&�&�2/ - r1 ) = F12 (m1 + m2 ) . (III.16)
r
Wprowadzając wielkość
27
m1m2
� =
m1 + m2 , (III.17)
która nosi nazwę masy zredukowanej, równanie (III.16) możemy zapisać w postaci
r�
r� r�
&�&�
� r = F12 ( r )
. (III.18)
A zatem zagadnienie dwóch ciał sprowadzone zostało do równoważnego zagadnienia o
r�
�
ruchu punktu materialnego o masie zredukowanej i wektorze wodzącym w polu sił o
r
symetrii kulistej z nieruchomym centrum siły umieszczonym w środku masy układu dwóch
punktów.
Praca sił a energia kinetyczna
r�
Rozważmy ruch punktu materialnego pod wpływem siły . Niech wskutek działania
F
c(AB)
tej siły punkt przemieszcza się wzdłuż krzywej (rys.III.3).
Podzielmy tą krzywą na bardzo małe
r� r�
" si
przedziały , takie, aby siła miała prawie
F
stałą wartość i kierunek w tym przedziale.
r�
Pracą siły Fi podczas przemieszczenia
r�
" si
punktu materialnego o nazywa się iloczyn
r�
r�
" si
skalarny dwóch wektorów Fi i :
r�
Rys.III.3. Praca siły r� r�
F
r� r�
Ai = (Fi �" " si ) = Fi �" " si �" cosą . (III.19)
i
Tu spotykamy się z pojęciem iloczynu skalarnego dwóch wektorów. Iloczynem
r�
r�
skalarnym dwóch wektorów a i b jest nazywany skalar równy iloczynowi wartości
r�
r�
bezwzględnych wektorów a i b , oraz cosinusa mniejszego kąta � między tymi wektorami
r� r�
r� r�
c = (a �" b) = a �" b �" cos�
. (III.20)
Symbolem mnożenia skalarnego dwóch wektorów jest kropka.
r� r� r� r� r�
r�
a = axex + ayey + azez ,
Jeżeli zapisać wektory a i b przez ich współrzędne (
r�
r� r� r�
b = bxex + byey + bzez
), to iloczyn skalarny tych dwóch wektorów możemy zapisać w postaci
r� r� r� r� r� r� r�
r�
(axex + ayey + azez ) �" (bxex + byey + bzez ) =
a �" b =
r� r� r� r� r� r�
= axbx (ex �" ex ) + axby (ex �" ey ) + axbz (ex �" ez ) +
r� r� r� r� r� r�
+ aybx (ey �" ex ) + ayby (ey �" ey ) + aybz (ey �" ez ) +
28
r� r� r� r� r� r�
+ azbx (ez �" ex ) + azby (ez �" ey ) + azbz (ez �" ez )
. (III.21)
Ponieważ
r� r� r� r� r� r�
(ex �" ex ) = (ey �" ey ) = (ez �" ez ) = 1�" 1�" cos(00 ) = 1
,
r� r� r� r� r� r� r� r� r� r� r� r�
(ex �" ey ) = (ey �" ex ) = (ex �" ez ) = (ez �" ex ) = (ey �" ez ) = (ez �" ey ) = 1�" 1�" cos(900 ) = 0
,
ze wzoru (III.21) otrzymujemy
r�
r�
a �" b = axbx + ayby + azbz
. (III.22)
r�
r�
" si 0
Wróćmy teraz do wzoru (III.18) określającego pracę siły Fi . Gdy
będziemy
r� r�
" si dsi
zamiast skończonej wielkości przemieszczenia pisać , co oznacza nieskończenie małą
r�
dsi
wielkość przemieszczenia . W matematyce nieskończenie małą zmianę funkcji nazywają
du(x) u(x) x
różniczką. Różniczką ( ) funkcji w danym punkcie nazywamy iloczyn pochodnej
x
( du / dx ) przez nieskończenie mały przyrost dx zmiennej
du
du = �" dx
.
dx
r�
dsi
Przez różniczkę wzór (III.18) przyjmuje postać
r�
r�
Ai = (Fi �" dsi ) . (III.23)
Skorzystamy teraz z drugiej zasady Newtona i zapiszemy wzór (III.23) w postaci
r�
r�
r� d� r�
i
Ai = (Fi �" dsi ) = m �" �" dsi . (III.24)
dt
r� r� r�
dsi = (dsi / dt) �" dt a" � �" dt
Biorąc pod uwagę, że , ze wzoru (III.24) znajdujemy
i
r� r�
d� r� d� r� r� r�
i i
Ai = m �" �" dsi = m �" �" dt �" � = m �" � �" d� . (III.25)
i i i
dt dt
Uwzględniając wzór (III.22), zapiszmy wzór (III.25) w postaci
r� r�
Ai = m �" � �" d� = m �" (� d� + � d� + � d� )
. (III.26)
i i ix ix iy iy iz iz
u(x)
W matematyce udowodniono, że dla dowolnej funkcji
d
un = n �" un- 1
. (III.27)
dx
Skąd dla różniczki d(un ) znajdujemy
d(un ) = n �" un- 1 �" dx . (III.28)
29
Korzystając ze wzoru (III.28), mamy:
2 2 2
d(� ) d(� ) d(� )
ix iz
� d� = , � iyd� iy = iy , ,
� d� =
ix ix iz iz
2 2
2
a zatem
2
�ł �ł
m m m�
2 2 2 2
�ł �ł
Ai = �" d(� + � + � ) = d(� ) = d�ł i �ł
. (III.29)
ix iy iz i
2 2 2
�ł łł
r�
Wzór (III.29) określa pracę siły Fi podczas przemieszczenia punktu materialnego o
r�
dsi .
nieskończenie małe przemieszczenie Okazuje się, że wzór (III.29) jest słuszny również w
przypadku skończonych przemieszczeń oraz w przypadku gdy siła działająca na punkt
r�
(x, y, z)
materialny zależy od współrzędnych . A więc praca, którą wykonuje siła F(x, y, z)
podczas przemieszczenia ciała od punktu do punktu (rys.III.3) jest równa
A B
2 2 2
�ł �ł m� m�
m�
B A
A = " �ł �ł = - . (III.30)
�ł �ł
2 2 2
�ł łł
� �
Tu - prędkość ciała w punkcie , natomiast jest prędkością ciała w punkcie .
B A
B A
Jeżeli wprowadz
my wielkość
1 r�2 1
2
T = m� = m�
, (III.31)
2 2
wzór (III.30) możemy zapisać w postaci
A = TB - TA
. (III.32)
2
Wielkość T = m� 2 nazywa się energią kinetyczną punktu materialnego. A zatem
r�
praca wykonana przez siłę jest równa różnicy energii kinetycznych w końcowym B i
F
początkowym punkcie.
A
Jednostki energii kinetycznej i pracy są takie same. W układzie jednostek SI pracę i
energię kinetyczną mierzymy w dżulach. 1 J (dżul)= 1 N (niuton) m (metr).
Praca może być dodatnia albo ujemna. Jeżeli praca jest dodatnia, to zgodnie z (III.30)
prędkość ciała w końcowym punkcie będzie większa niż prędkość ciała w początkowym
B
punkcie . A zatem, w przypadku dodatniej pracy ciało porusza się z przyspieszeniem. W
A
przypadku ujemnej pracy prędkość ciała w końcowym punkcie B będzie mniejsza niż
prędkość ciała w początkowym punkcie , a więc ruch ciała zachodzi z opóz
nieniem.
A
30
Jeżeli na punkt materialny nie działa żadna siła z zewnątrz, to, zgodnie z pierwszą
zasadą Newtona, prędkość ciała pozostaję stałą, a zatem
TB = TA
. (III.33)
Każda praca jest wykonywana w jakimś czasie. Przedział
" Ai
dA
P = lim =
(III.34)
" ti
" ti dt
nazywa się mocą chwilową z
ródła siły, która wykonuje tą pracę. W układzie SI jednostką
mocy jest wat. 1 W (wat) = 1 J (dżul)/ 1 s (sekunda).
/ /
Zadanie: Rozważmy dwa inercjalne układy odniesienia i i niech układ
K
K K
r�
�
porusza się względem układu ze stałą prędkością . Poruszający się w przestrzeni punkt
K
0
r�
/ /
materialny ma w określonej chwili w układzie prędkość . Znalez
ć energię kinetyczną
K �
punktu materialnego w układzie .
K
Rozwiązanie: Zgodnie z prawem dodawania prędkości w mechanice nie
relatywistycznej, prędkość punktu materialnego w układzie K jest równa:
r� r� r�
/
� = � + �
.
0
A zatem energia kinetyczna punktu w układzie wynosi:
K
m m r� r� m r� r� r� r� 1
2 / / 2 / 2
T = � = (� �" � ) = [(� )2 + 2(� �" � ) + � ] = T + ( p/ �" � ) + m�
. (III.35)
0 0 0 0
2 2 2 2
m
/ /
/
T = (� )2 - energia kinetyczna punktu materialnego w układzie odniesienia ,
Tu
K
2
r� r�
/
p/ = m� - pęd punktu w tym układzie.
Literatura do Wykładu 3.
1. Robert Resnik, David Halliday: Fizyka 1, Wydawnictwo PWN, Warszawa, 1994,
str.141 - 160.
2. Sz. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna, t.1, PWN, Warszawa 1980, str. 71-83 i 116-
134.
Zadania do Wykładu 3
1. Masa Księżyca jest w przybliżeniu równa 0,013 masy Ziemi, a odległość od środka
Księżyca do środka Ziemi jest około 60 razy większa od promienia Ziemi. Jak daleko
31
od środka Ziemi leży środek masy układu Ziemia-Księżyc, jeżeli promień Ziemi wynosi
w przybliżeniu 6400 km? Odpowiedz
: 4900 km.
m1 > > m2 m2
2. Udowodnić, że jeżeli , to masa zredukowana jest rzędu .
3. Przykładem zagadnienia dwóch ciał jest zagadnienie o ruchu dwóch punktów
m1 m2
materialnych o masach i połączonych ze sobą nieważką sprężyną o długości l .
t0
W chwili sprężyna została rozciągnięta. Wprowadzając masę zredukowaną zapisać
równanie ruchu dla tego zagadnienia.
4. Udowodnić, że
r� r�
,
a �" a = a2
r�
2 2 2
gdzie a = a = ax + ay + az .
5. Udowodnić, że
r�2 r� r�
.
dr = 2r �" dr = 2r �" dr
Wskazówka: Skorzystać, ze wzorów (III.22) i (III.28).
r�
�
6. Cząstka ą (jądro atomu helu) jest emitowana z prędkością przez jądro uranu-238,
ą
pozostające początkowo w spoczynku. Co możemy powiedzieć o ruchu powstałego
jądra toru-234 i o ruchu środka masy układu tor + cząstka ą ?
m
7. Ciało o masie wiszące na linie spuszczamy z wysokości h pionowo w dół ze stałym
g / 3
skierowanym do dołu przyspieszeniem, równym . Znalez
ć pracę, którą
A =
wykonujemy. Odpowiedz
: - 2mgh / 3
.
8. Wiązka zawierająca 1016 cząstek ą zostaje zahamowana w szklance wody. Zakładając,
że każda cząstka ą miała energię kinetyczną 4 MeV (1eV = 1,6 J), a w szklance
�" 10- 19
m =
wody znajdowało się 200 g wody oszacować o ile wzrosła temperatura wody?
" T
" Q = mc" T c = 4,186
Przy rozwiązaniu zadania skorzystać ze wzoru , gdzie
J/g�" K -
m " Q
ciepło właściwe wody, - masa wody, - ilość energii dostarczonej do wody w
postaci ciepła. Odpowiedz
: " T H" 80 K.
9. Co sekundę z progu wodnego o wysokości 100 m spada 1200 m3 wody. Przyjmując, że
� energii kinetycznej uzyskanej przy spadaniu wody zmienia się w generatorze
hydroelektrycznym w energię elektryczną, znalez
ć moc tego generatora. Odpowiedz
:
8,8 kW.
�" 105
32
10. Energie kinetyczne ciała w różnych układach inercjalnych są różne (patrz wzór
r�
(III.35)). Czy praca, którą wykonuje siła nad ciałem też będzie różna w różnych
F
układach inercjalnych?
33