Dynamika relatywistyczna
Fizyka I (B+C)
Wykład XVIII:
" Energia relatywistyczna
" Transformacja Lorenza energii i pędu
" Masa niezmiennicza
" Zderzenia relatywistyczne
Energia relatywistyczna
Dla ruchu ciała pod wpływem stałej siły otrzymaliśmy:
c
x(t) = 1 + (Ä…t)2 - 1
Ä…
Ä…t F
²(t) = Ä… =

mc
1 + (Ä…t)2
1
Można zauważyć, że:
Å‚(t) = = 1 + (Ä…t)2
1 - ²2(t)
mc2
Ò! x(t) = (Å‚ - 1)
F
Energia kinetyczna jest równa pracy wykonanej przez siłę:
Ek(t) = F · x(t) = m c2 Å‚(t) - 1
( )
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 1
Energia relatywistyczna
Transformacja
Wprowadzamy energiÄ™ spoczynkowÄ…:
Możemy zauważyć, że:
Eć% = m c2
E = ł Eć%
Energia całkowita:
p c = ² Å‚ Eć%
E = Eć% + Ek = m c2 · Å‚
Jeśli cząstka porusza się wzdłuż osi X:
Poprzednio wyprowadziliśmy już
E = ł Eć%
wyrażenie na pęd:
c px = ² Å‚ Eć%
p = m c · ² Å‚
c py = 0
W układzie własnym cząstki: pć% = 0
c pz = 0
Zgodnie z definicją układu środka masy.
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 2
Energia relatywistyczna
Transformacja
Formalnie możemy zapisać:
(pć% = pć%,x = pć%,y = pć%,z = 0)
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
E Å‚ Eć% + Å‚ ² c pć%,x Å‚ Å‚ ² 0 0 Eć% ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
c px ÷Å‚ Å‚ ² Eć% + Å‚ c pć%,x ÷Å‚ Å‚ ² Å‚ 0 0 c pć%,x ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= ·
ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
c py ÷Å‚ = c pć%,y 0 0 1 0 c pć%,y ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
c pz c pć%,z 0 0 0 1 c pć%,z
Okazuje się, że energia i pęd podlegają, przy zmianie układu odniesienia,
transformacji Lorenza identycznej z transformacją czasu i położenia.
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 3
Masa niezmienicza
Niezmiennik transformacji
Z definicji czynnika Lorenza Wyrażenie:
1
s = M2 c4 = E2 - c2 p2
Å‚ =
1 - ²2
jest niezmiennikiem transformacji Lorenza
dla dowolnego układu fizycznego
Ò! Å‚2 - ²2Å‚2 = Å‚2(1 - ²2) = 1
(nie zależy od wyboru układu odniesienia)
2 2 2
Å‚2 Eć% - ²2Å‚2 Eć% = Eć%
"
M a" s - masa niezmienicza układu
(masa inwariantna)
E2 - c2 p2 = m2 c4
Kluczowa wielkość w opisie zderzeń
relatywistycznych...
niezależnie od prędkości cząstki,
czyli niezależnie od ukłądu odniesienia
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 4
Energia relatywistyczna
Transformacja Lorenza
Transformacja Lorenza ma zastosowanie do wszystkich czterowektorów:
" czterowektor położenia (w czasoprzestrzeni): (ct, x, y, z)
" czterowektor energii-pędu ( czteropęd ): (E, cpx, cpy, cpz)
" czteropotencjał pola elektromagnetycznego: (Ś, Ax, Ay, Az)
1 "A
E = - Åš - B = A



c "t
" różnica dwóch czterowektorów (np. odstęp między zdarzeniami, przekaz czteropędu...)
Niezmiennikiem transformacji Lorenza jest  kwadrat każdego czterowektora
2 2
A(4) = A2 - A = A2 - A2 - A2 - A2
0 0 x y z
" zmiana poÅ‚ożenia Ò! interwaÅ‚: sAB = ("t)2 - ("x)2 - ("y)2 - ("z)2
2
" energia-pÄ™d Ò! masa niezmiennicza: M = E2 - p2 - p2 - p2
x y z
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 5
Zderzenia relatywistyczne
Układ środka masy
Otrzymujemy związki na wspólczynniki
Energia układu cząstek: E = Ei
i
transformacji do układu środka masy:
Pęd układu cząstek: P = pi
i
Ò! masa niezmiennicza M
c P
² =
E
Jak znalez
ć układ środka masy P = 0 ?
E
Å‚ =
M c2
Wiemy, że w CMS E = M
P
² Å‚ =
M c
Ò! E = Å‚ M
c P = ² Å‚ M
obowiązują zarówno dla pojedyńczej
cząstki jak i dowolnego układu cząstek
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 6
Zderzenia relatywistyczne
Rozpraszanie elastyczne
Rozważmy zderzenie  pocisku o masie m1 Transformacja do układu środka masy:
i energii E1 z  tarczÄ… o masie m2.
2
E1 - m2
P
1
m1 m2
² = =
E
1
E E1 + m2
V1
V =0
2 E E1 + m2
Å‚ = =
M
Dla układu dwóch ciał mamy: (c a" 1) 2 E1 m2 + m2 + m2
1 2
E = E1 + E2 = E1 + m2
2
P E1 - m2
1
²Å‚ = =
2
P = P1 = E1 - m2
M
1 2 E1 m2 + m2 + m2
1 2
2 2
M2 = E2 - P = (E1 + m2)2 - P1
= m2 + m2 + 2 E1 m2
1 2
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 7
Zderzenia relatywistyczne
Rozpraszanie elastyczne
Pęd obu ciał w układzie środka masy:
E1 = M - E2
P
E1m2 + m2
1
p 1 = p 2 = ²Å‚ m2 = m2
=
M
2 E1 m2 + m2 + m2
1 2
2
(E1 - m2) m2
1 2
(p )2 =
Jeśli spełniona ma być zasada zachowania
m2 + m2 + 2 E1 m2
1 2
pędu i zasada zachowania energii to tak jak
w przypadku klasycznym:
Energie w układzie środka masy:
p 1 = p 2 = p = p
1 2
E
E2 = Å‚ m2 = m2
M
W układzie środka masy wartości pędów
(E1 + m2)m2
nie ulegajÄ… zmianie.
=
2 E1 m2 + m2 + m2
Warunek: m 1 = m1 i m 2 = m2 !!!
1 2
Rozpraszanie elastyczne
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 8
Zderzenia relatywistyczne
m1 = m2
Dla zderzeń cząstek o równej masie: Energia i pęd obu ciał w układzie środka masy:
(z transformacji Lorenza dla spoczywającego ciała)
E = E1 + m
p = Å‚ ² m
2
P = P1 = E1 - m2
E = Å‚ m
2
M2 = E2 - P = 2 E1 m + 2 m2
1
Ò! współczynniki transformacji:
(p )2 = m (E1 - m)
2
E1 + m
1
Å‚ =
(E )2 = m (E1 + m)
2m
2
E1 - m
² =
E1 + m
E1 - m
² Å‚ =
2m
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 9
Zderzenia relatywistyczne
m1 = m2
W układzie środka masy rozproszenie Transformacja do układu laboratoryjnego:
opisuje kÄ…t ¸ :
p1,x = Å‚ p 1,x + Å‚ ² E1
= Å‚2 ² m (1 + cos ¸ )
y
p1,y = Å‚ ² m sin ¸
p* p
1
1
1
Q* Q1
Å‚2 ² m = P
x
2
p
2 Możliwe wartości p1,x i p1,y spełniają:
Q2
2 2
P P
Å‚2 p2 + p1,x - =
1,y
2 2
p 1,x = Å‚ ² m cos ¸
Ò! elipsa
p 1,y = Å‚ ² m sin ¸
transformacja Lorenza  rozciąga rozkład
E1 = Å‚ m
pędów wzdłuż kierunku ruchu pocisku.
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 10
Zderzenia relatywistyczne
m1 = m2
Ä„
KÄ…ty rozproszenia mierzone w LAB: Dla rozproszenia z ¸ =
2
sin ¸
1
tan ¸1 =
tan ¸ = < 1
Å‚(1 + cos ¸ )
Å‚
sin ¸
tan ¸2 =
Å‚(1 - cos ¸ )
p
1
p*
Q*
1 Q1
Kąt pomiędzy cząstkami:
Q2
2Å‚
tan(¸1 + ¸2) =
p
2
sin ¸ (Å‚2 - 1)
2

0 Å‚ "
Ä„
Å‚ sin ¸
¸1 + ¸2 <
2
W granicy ultrarelatywistycznej rozproszenie zachodzi naogół pod małymi kątami
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 11
Zderzenia relatywistyczne
m1 E1 <" m2
Rozważmy zderzenie elastyczne z ciężką
 tarczÄ… lekkiego  pocisku (m1 m2)
PomijajÄ…c wyrazy z m1 mamy:
o wysokiej energii (E1 <" m2)
E = E1 + m2
m1 m2
E
1
2
P = E1 - m2 H" E1
1
V1
V =0
2
Sytuacja z jaką często mamy do
M2 = m2 + m2 + 2 E1 m2
1 2
czynienia w zderzeniach fizyki czÄ…stek
H" 2 E1 m2 + m2
2
(rozpraszanie elektonów, mionów lub
neutrin na tarczach jÄ…drowych).
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 12
Zderzenia relatywistyczne
m1 E1 <" m2
Współczynniki transformacji do układu Transformacja rozproszonego pocisku do
środka masy: (m1 0) układu laboratoryjnego:
E1 + m2
p1,x = Å‚ p 1,x + Å‚ ² E1
Å‚ =
2E1m2 + m2
= Å‚ p (² + cos ¸ )
2
p1,y = p sin ¸
E1
² =
E1 + m2
Możliwe wartości p1,x i p1,y spełniają:
E1
2 2
² Å‚ =
Å‚ p1,y + p1,x - Å‚ ² p = Å‚p 2
2E1m2 + m2
2
Ò! elipsa
Ò! p = ² Å‚ m2
W granicy ² 1 (E1 m2) pocisk
E1m2
=
rozprasza siÄ™ zawsze   do przodu !
2E1m2 + m2
2
(p1,x e" 0)
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 13
Zderzenia elastyczne
Nierelatywistyczne Relatywistyczne
W granicy m1 m2 tarcza prze- Nawet dla m1 m2, jeśli E1 <" m2 pocisk może
jmuje bardzo niewielką część en- przekazać tarczy znaczną część swojej energii.
ergii pocisku.
y
p
Rozproszony pocisk ma prak-
1
p*
1
tycznie niezmienionÄ… energiÄ™ i
Q* Q1
x
wartość pędu.
p
2
V
1
V =0
2
Q2
V
CM
Rysunek dla E1 = 3 m2, m1 = 0.
V
1
Dla E1 m2 nawet bardzo lekka sonda może
 wybić cząstkę tarczy...
Rysunek dla m2 = 10 m1
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 14
Zderzenia relatywistyczne
Zderzenia nieelastyczne
Zderzenia elastyczne - czÄ…stki rozproszone takie same jak czÄ…stki zderzajÄ…ce siÄ™
Jest to jednak bardzo szczególny przypadek
W oddziaływaniach cząstek elementarnych, zwłaszcza przy wysokiej energii,
obserwujemy bardzo wiele reakcji, w których powstają nowe cząstki:
" Produkcja pojedyńczej cząstki (tzw.  rezonansu ): a + b c
" Produkcja dwóch cząstek: a + b c + d
jedna z nich może być cząstką stanu początkowego
" Produkcja wielu czÄ…stek: a + b X
gdzie X oznacza dowolny stan wieloczÄ…stkowy
A.F.Żarnecki Wykład XVIII 15