Dynamika relatywistyczna 3-1
3. Dynamika relatywistyczna
Zasada zachowania pędu mówi, że w układzie odosobnionym
zawierającym n cząstek ich całkowity pęd obliczony w chwili t0 i pęd w
dowolnej chwili póz
niejszej t sÄ… jednakowe:
pc(t0) = pc(t)
Dla składowej x oznacza to w szczególności, że
n n
ui - predkosci poczatkowe
Å„Å‚
Å" uix = Å"Uix
òÅ‚U - predkosci koncowe E 3-1
"mi "mi
1 1 ół i
Jeżeli zmienimy układ odniesienia na poruszający się z prędkością v w
kierunku osi x, to po uwzględnieniu transformacji Galileusza otrzymamy
n n
"m Å" (uix - v) = "m Å" (Uix - v)
i i
1 1
E 3-2
n n
Å" u'ix = Å"U 'ix
"mi "mi
1 1
Zasada zachowania pędu jest prawdziwa we wszystkich układach
odniesienia.
Według teorii względności prędkości transformują się inaczej i
powinniśmy zapisać
n n
uix - v Uix - v
E 3-3
Å" = Å"
"mi "mi
vuix 1 vUix
1
1 - 1 -
c2 c2
W ogólnym przypadku równania (1) i (3) nie mogą być równocześnie
spełnione. Usunięcie tej sprzeczności wymagało zmodyfikowania
definicji pędu relatywistycznego.
m0
p = Å" u
Pęd cząstki o masie własnej m0.
u2
1 -
c2
Dynamika relatywistyczna 3-2
Transformacja Lorentz a dla pędu-energii.
u
Å„Å‚
px - E
ôÅ‚
c2 ;
p'x = E jest całkowitą energią relatywistyczną
ôÅ‚
u2
czÄ…stki swobodnej:
ôÅ‚
1 -
ôÅ‚ c2
ôÅ‚
m0 Å" c2
p'y = py; p'z = pz;
òÅ‚
E =
2
u
ôÅ‚
1 -
c2
ôÅ‚E'= E + u Å" px
ôÅ‚
u2
1 -
Jest to definicja Einsteina energii czÄ…stki
ôÅ‚
c2
swobodnej.
ôÅ‚
ół
Tak zdefiniowany pęd jest zachowany w każdym układu odniesienia.
Obliczymy teraz przybliżoną wartość energii relatywistycznej cząstki
swobodnej poruszającej się z małą prędkością u<tym z wzoru przybliżonego:
(1+ x)a E" 1+ a Å" x; | x |<< 1
Dla maÅ‚ych prÄ™dkoÅ›ci (u<m0 Å" c2
u2 1 u2
E = = m0 Å" c2(1 - )- 2 E" m0 Å" c2(1 + )
c2 2c2
u2
1 -
c2
m0 Å" u2
E E" m0 Å" c2 +
2
klasycznÄ… energiÄ… kinetycznÄ…, jeżeli dodać do niej staÅ‚y skÅ‚adnik m0·c2.
E0 = m0 Å" c2
nazywa siÄ™ energiÄ… spoczynkowÄ… czÄ…stki
Hipoteza Einsteina, że ze spoczywającą cząstką swobodną o masie
wÅ‚asnej m0 jest zwiÄ…zana energia m0·c2, zostaÅ‚a sformuÅ‚owana w 1905
roku i została potwierdzona doświadczalnie.
Dynamika relatywistyczna 3-3
Relatywistyczną definicję pędu najczęściej uważa się również za
określenie względności masy.
Masa cząstki poruszającej się jest większa od jej masy własnej
(spoczynkowej)
m0
m(v) =
definicja masy relatywistycznej
v2
1-
c2
Przy takiej definicji masy pęd relatywistyczny i energia całkowita
wynoszÄ…
p = m Å" v E = m Å" c2
Relatywistyczna energia kinetyczna jest określona podobnie jak
klasyczna, jako przyrost energii czÄ…stki zwiÄ…zany z jej ruchem z
prędkością v i wynosi:
Ek = E - E0
c2
Ek = (m - m0)c2 =( -1)Å" m0 Å" c2
c2 -v2
Poprzednio już sprawdziliśmy, że przy takiej definicji energia kinetyczna
relatywistyczna pokrywa się z klasyczną dla prędkości v<Dynamika relatywistyczna 3-4
Równoważność masy i energii
Wzór Einsteina
E = m Å" c2
był podstawą do sformułowania zasady równoważności masy i energii (w
tej sytuacji c2 służy do przeliczania jednostek).
Jeżeli masa spoczynkowa układu zmniejsza się o "m, to wyzwala się
przy tym energia w ilości
"E = "m Å" c2
Wynik ten potwierdzono doświadczalnie. Przykładem może być rozpad
swobodnego neutronu na proton, elektron i antyneutrino
~
n0 p+ + e- +½e
Neutron ma masę spoczynkową większą od mas spoczynkowych
protonu, elektronu i antyneutrina razem o około
"m = 13,9 Å"10-31 kg
Zmierzone energie kinetyczne cząstek  produktów rozpadu neutronu
wynoszÄ… razem 1,25Å"10-13 J co zgadza siÄ™ w granicach dokÅ‚adnoÅ›ci
pomiarowych z wartością
2
"m Å" c2
Innym przykładem jest zjawisko fotoelektryczne lub zjawisko Comptona,
w których foton  cząstka związana z polem elektromagnetycznym  o
energii
E = h Å"½
Zachowuje się jak cząstka o masie mf i pędzie pf, wynoszących:
h Å"½ h Å"½
mf = ; p = = mf Å" c
f
c2 c
Dynamika relatywistyczna 3-5
Siła w mechanice relatywistycznej
Zmiana definicji pędu relatywistycznego pociąga konieczność zmiany
definicji siły, jeżeli chcemy zachować formę drugiej zasady dynamiki
Newtona.
Siła relatywistyczna jest pochodną pędu relatywistycznego
względem czasu własnego obserwatora
dp
F a"
dt
Ponieważ przy zmianie układu odniesienia transformują się i pęd i czas,
to w przypadku ogólnym siła zmienia wartość i kierunek.
W szczególności okazuje się, że siły magnetyczne między prądami
elektrycznymi, są wynikiem transformacji sił elektrycznych między
ładunkami elektrycznymi przy przejściu do poruszającego się układu
odniesienia.
Jeżeli w układzie Ox na cząstkę działa siła
F(Fx,Fy, Fz )
i w układzie Ox poruszającym się względem Ox cząstka (chwilowo) ma
prędkość 0, to
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚F'x = Fx
ôÅ‚
ôÅ‚F' = Fy
òÅ‚
y
2
1 - ²
ôÅ‚
ôÅ‚
Fz
F'z =
ôÅ‚
2
ôÅ‚ 1- ²
ół