Dynamika relatywistyczna
Fizyka I (B+C)
Wykład XVII:
" Doświadczenie Rutherforda
" Relatywistyczna definicja pędu
" Akceleratory czÄ…stek
Zderzenia sprężyste
Podsumowanie
Maksymalny kÄ…t rozproszenia  pocisku
" dla m1 < m2:
Układ laboratoryjny:
0 d" ¸1 d" Ä„
V
2
V =0
2
" dla m1 e" m2:
Q
2
b
m2
0 d" sin ¸1 d"
V Q
1 1
m1
y
V
1
Dla  tarczy ograniczenie nie zależy
x
od stosunku mas:
Ä„
0 < ¸2 <
2
A.F.Żarnecki Wykład XVII 1
Doświadczenie Rutherforda
Model Thomson
Po odkryciu elektronu (1897),
Cała objętość atomu była jednorodnie
J.J.Thomson zaproponował model
naładowana dodatnio ( ciastko ),
atomu w postaci  ciastka
a wewnątrz  pływały elektrony ( rodzynki ).
z rodzynkami .
Ponieważ ładunek był rozłożony równomiernie
w dużej objętości, nie powinien silnie zakłócać
a
ruchu przechodzÄ…cy czÄ…stek Ä….
Oczekujemy jedynie niewielkich odchyleń
toru...
E
Wpływ elektronów można zaniedbać ze
względu na małą masę.
R
A.F.Żarnecki Wykład XVII 2
Doświadczenie Rutherforda
W modelu Thomsona można było
Doświadczenie Rutherforda
oszacować maksymalny kąt rozproszenia
Rozpraszanie czÄ…stek Ä…
czÄ…stki Ä… i byÅ‚ on maÅ‚y ¸max Ä„.
na cienkiej złotej folii
Odpowiada to sytuacji rozproszenia
 pocisku na dużo lżejszej  tarczy .
Masa przypadajÄ…ca na jednostkÄ™
 rozmytego ładunku atomu wynosiła
1
ok. masy czÄ…stki Ä….
8
Obserwowano błyski wywoływane przez
padajÄ…ce czÄ…stki na ekranie scyntylacyjnym
A.F.Żarnecki Wykład XVII 3
Doświadczenie Rutherforda
Pokaz
Przed wsunięciem tarczy cząstki ą
obserwujemy tylko dla Åš H" 0.
WiÄ…zka czÄ…stek ze z
ródła jest dobrze
skolimowana.
zrodlo
Oddziaływanie z tarczą zmniejsza
a Au
strumień cząstek lecących  do
przodu (Åš H" 0)
Rozproszone czÄ…stki Ä… obserwu-
Q
jemy w szerokim zakresie kątów
Ä„
detektor
rozproszenia, także dla ¸ e"
2
A.F.Żarnecki Wykład XVII 4
Doświadczenie Rutherforda
Wyniki pomiarów
Przeprowadzonych przez H.Geigera i E.Marsdena (1911):
Oczekiwane Uzyskane
A.F.Żarnecki Wykład XVII 5
Doświadczenie Rutherforda
Wyniki pomiarów
Przeprowadzonych przez Zaobserwowano rozproszenia czÄ…stek Ä… pod
max
H.Geigera i E.Marsdena: bardzo dużymi kÄ…tami, ¸ ¸T h , czego nie
można było wyjaśnić w modelu Thomsona
 To było tak jakbyście wystrzelili
piętnastocalowy pocisk w kierunku kawałka
bibułki, a on odbił się i was uderzył.



kÄ…t rozproszenia ¸ -
A.F.Żarnecki Wykład XVII 6
Doświadczenie Rutherforda
a
Model Rutherforda
E
Rutherford zaproponował
jÄ…drowy model atomu.
R
-10
Cały dodatni ładunek atomu (10 m)
Przechodząca cząstka zawsze czuje cały
skupiony jest w praktycznie punktowym
Å‚adunek dodatni Ò! kÄ…ty rozproszenia sÄ…
-14
(10 m) jÄ…drze
dużo większe.
A.F.Żarnecki Wykład XVII 7
Doświadczenie Rutherforda
Model Rutherforda
Ponieważ cząstka ą rozprasza się na jądrze jako całości, a masa jądra MAu Mą
Ò! brak ograniczeÅ„ na kÄ…t rozproszenia czÄ…stki Ä…
możliwe nawet (choć maÅ‚o prawdopodobne) rozproszenie o ¸ > Ä„/2.
Rozkład kątowy
Obserwowany rozkład kątowy rozproszonych cząstek ą
proporcjonalna do tzw. rózniczkowego przekroju czynnego
dà Z2ą2
N(¸) <" =
¸
d&!
4E2 sin4 2
Wzór Rutherforda
SkoÅ„czone prawdopodobieÅ„stwo rozproszenia ¸ = Ä„ !
A.F.Żarnecki Wykład XVII 8
Pęd relatywistyczny
Granice podejścia klasycznego
Elektron w kondensatorze Potrafimy wytwarzać pola elektryczne
(najprostszy  akcelerator czÄ…stek):
E <" 10 MV/m = 107 V/m
Dla elektronu:
q<0
me = 9.1 · 10-31kg = 0.5 MeV/c2
|qe| a" 1 e = 1.6 · 10-19C
Ò! a H" 20 m-1 · c2 H" 2 · 1018m/s2
W podejściu klasycznym elektron powinien
- U +
osiągnąć prędkość światła już po przebyciu
Klasycznie:
"x H" 2.5 cm !!!
ma = F = qE
Ò! konieczność modyfikacji praw ruchu
A.F.Żarnecki Wykład XVII 9
Pęd relatywistyczny
Uogólnienie praw ruchu Doświadczenie myślowe
W przypadku klasycznym: Zderzenie dwóch kul o jednakowej masie m:
m=const
dv d(mv) dp
F = m = =
dt dt dt
-V
Otrzymujemy równoważną postać
II prawa Newtona (p = mv - pęd cząstki):
Y
dp X
F =
dt
V
Aby zachować prawo ruchu w tej postaci
dla v <" c Ò! modyfikacja definicji pÄ™du
Pędy obu kul są równe co do wartości
ale przeciwnie skierowane
p = f(v) · mv
f(v) - poprawka relatywistyczna
A.F.Żarnecki Wykład XVII 10
Pęd relatywistyczny
Doświadczenie myślowe
Prędkość wzdłuż osi Y drugiej kuli jest
Przejdz
my do układu w którym jedna z
zmniejszona na skutek dylatacji czasu:
kul porusza się tylko wzdłuż osi Y:
Vy 1
Vx
V2,y = Å‚ =
2
Å‚
1 - vx/c2
-Vy / g
V2
Ale pędy obu kul wzdłuż osi Y
muszą pozostać równe !
Y
(aby nie zmienił się wynik doświadczenia)
X
ëÅ‚ öÅ‚
2
vy ÷Å‚
vy
ìÅ‚
2
V1 Vy
m f(vy) vy = m f vx +
íÅ‚ Å‚Å‚
Å‚2 Å‚
PrzechodzÄ…c do granicy vy 0:
Dwia kule Ò! dwa ukÅ‚ady odniesienia
f(vx) = Å‚ · f(0) = Å‚
Wybór jednej z kul łamie symetrię zagadnienia !
chcemy zachować granicę klasyczna: f(0) = 1
A.F.Żarnecki Wykład XVII 11
Pęd relatywistyczny
Równanie ruchu
Dla przypadku ruchu relatywistycznego: Rozwiązanie ruchu pod wpływem stałej siły
elektrycznej F = qE:
dp
F =
d² qE
dt
= (1 - ²2)3/2
dt mc


p = m Å‚ v = mc Å‚ ²

d² qE
1
Ò! = dt
Å‚ =
mc
(1 - ²2)3/2
1 - ²2
CaÅ‚kujemy podstawiajÄ…c ² = sin u:
W przypadku ruchu jednowymiarowego:
du qE
= dt
cos2 u mc
d
F = mc Å‚ ²
( )
qE
dt
Ò! tan u = · t
mc
d²
= mc Å‚3
przyjmując, że cząstka spoczywała w t = 0
dt
Ò! przyspieszenie maleje jak Å‚-3 !
A.F.Żarnecki Wykład XVII 12
Pęd relatywistyczny
Ruch pod wpływem stałej siły
1
Otrzymujemy rozwiÄ…zanie w postaci:
0.8
Ä…t
0.6
²(t) =
1 + (Ä…t)2
0.4
qE
0.2


Ä… =

mc
0
-3 -2 -1
10 10 10 1 10
W naszym przykładzie (e- w polu t [ns]
1
10MV )
m
-1
10
Ä… <" 6 · 109 s-1, Ä…-1 <" 0.17 ns
-2
10
W granicy Ä… t 1:
-3
10
-4
1
10
1 - ²(t) H"
-5
2Ä…2t2
10
-6
nigdy nie osiÄ…gniemy ² = 1
10
-3 -2 -1
10 10 10 1 10
t [ns]
Ale: p(t) = mc Ä… · t  roÅ›nie <" t !
A.F.Żarnecki Wykład XVII 13
b
1-
b
Pęd relatywistyczny
2
10
Ruch pod wpływem stałej siły
10
RozwiÄ…zujÄ…c dalej otrzymujemy:
1
-1
10
dx c Ä…t
-2
=
10
dt
-3
1 + (Ä…t)2
10
-4
10
c Ä…t d(Ä…t)
-5
10
Ò! x(t) = dx =
-6
Ä…
10
1 + (Ä…t)2
-3 -2 -1
10 10 10 1 10
t [ns]
c
= 1 + (Ä…t)2 - 1
Ä…
0
W granicy Ä… t 1:
c
x(t) H" c t -
Ä…
W naszym przykładzie:
-0.1
światło wyprzedzi elektron tylko o 5 cm !!!
-3 -2 -1
10 10 10 1 10
t [ns]
A.F.Żarnecki Wykład XVII 14
x(t)
[
m
]
x(t) - ct
[
m
]
Akceleratory
Akcelerator liniowy
Nie jesteśmy w stanie wytwarzać napięć Przy odpowiednim dobraniu długości
statycznych wiekszych niż ok. 10 MV. kolejnych elementów i częstości napięcia
zasilajÄ…cego, czÄ…stka trafia zawsze na
Aby nadać czątkom większe pędy
pole przyspieszajÄ…ce.
mysimy przyspieszać je  na raty .
Ò! zwielokrotnienie uzyskiwanych pÄ™dów
CzÄ…stka przechodzÄ…ca przez kolejne
 kondensatory :
Częstość jest zazwyczaj stała
Ò! dÅ‚ugoÅ›ci kolejnych elementów rosnÄ…
q>0
E
proporcjonalnie do prędkości cząstki.
Dla ² 1: L const
Ò! akcelerator może skÅ‚adać siÄ™ z wielu
jednakowych elementów
U
A.F.Żarnecki Wykład XVII 15
Liniowy akcelerator protonów
w ośrodku Fermilab (USA)
A.F.Żarnecki Wykład XVII 16
Akceleratory
Wnęka rezonansowa
W praktyce do przyspieszania cząstek wykorzystujemy wnęki rezonansowe:
Klistron
Wewnątrz wnęki wytwarzana jest stojąca fala elektromagnetyczna.
Częstości rzędu 1 GHz - mikrofale.
Wnęki rezonansowe pozwalają uzyskiwać natężenia pola rzędu 10 MV/m
Ò! dla uzyskania pÄ™du 1 GeV/c (Å‚ H" 2000) potrzebny jest akcelerator o dÅ‚ugoÅ›ci <"100m
A.F.Żarnecki Wykład XVII 17
Wnęka rezonansowa
A.F.Żarnecki Wykład XVII 18
Projekt ILC
TESLA
Jeden z trzech projektów
liniowy akcelerator e+e- w ośrodku
DESY w Hamburgu.
Zbudowany z wykorzystaniem nad-
przewodzących wnęk rezonansowych.
DÅ‚ugość 2 × 15 km
Ò! energie wiÄ…zek 250 400 GeV
Å‚ <" 5 · 105
Szeroka współpraca międzynarodowa
A.F.Żarnecki Wykład XVII 19
Akceleratory
Akcelerator kołowy Cyklotron
Zamiast używać wielu wnęk można Jeśli v c częstość cyklotronowa
też wykorzystać pole magnetyczne w jednorodnym polu magnetycznym
do  zapętlenia cząstki:
QBv

É = =

p
B
E
U
CzÄ…stki przechodzÄ… przez ten sam obszar
przyspieszajÄ…cy wiele razy...
Ò! pierwszy akcelerator: E.O.Lawrence, 1932.
A.F.Żarnecki Wykład XVII 20
Akceleratory
Cyklotron
Ernest Lawrence Schemat Pierwszy cyklotron
A.F.Żarnecki Wykład XVII 21
Akceleratory
Akcelerator kołowy
Każdy segment składa się z
Wpółczesne akceleratory kołowe
" wnęk przyspieszających (A)
zbudowane sÄ… z wielu powtarzajÄ…cych
" magnesów zakrzywiających (B)
się segmentów:
" układów ogniskujących (F)
F A
B
Największym zbudowanym akceleratorem był
LEP w CERN pod Genewą (obwód ok. 27 km).
W tym samym tunelu budowany jest
obecnie akcelerator LHC.
A.F.Żarnecki Wykład XVII 22
LHC
Budowa eksperymentu CMS w LHC
Przewidywane uruchomienie: 2007
A.F.Żarnecki Wykład XVII 23
LEP/LHC, CERN, Genewa
27 km obwodu !!!
A.F.Żarnecki Wykład XVII 24