Kinematyka relatywistyczna
Fizyka I (B+C)
Wykład VII:
" Transformacja Lorenza
" Interwał czasoprzestrzenny i przyczynowość
" Skrócenie Lorenza
Przypomnienie
Dylatacja czasu
Dla obserwatora O zegar w początku układu
O chodzi wolniej...
c
L
Ale układy powinny być równoważne !?
Pozorny paradoks wynika z faktu, że pomiar
v
O O
narusza symetrię między układami:
obserwujemy zegar, który jest związany z
konkretnym układem odniesienia.
Obserwator O powie, że w układzie O : Obserwator O powie, że w układzie O:
" zegary nie sÄ… poprawnie zsynchronizowane
" wszystkie zegary chodzą wolniej niż powinny
Ò! peÅ‚na symetria
Czy jesteśmy w stanie powiązać pomiary czasu i położenia w obu układach ?
Tak jak to robiliśmy w przypadku klasycznym (transformacja Galileusza)...
A.F.Żarnecki Wykład VII 1
c
Transformacja Galileusza
Przypomnienie
Zakładając uniwersalność czasu otrzymaliśmy:
Å„Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ôÅ‚ t = t t 1 0 0 0 t
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x = x + V t x V 1 0 0 x
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚

ìÅ‚ ÷Å‚ = ìÅ‚ ÷Å‚ · ìÅ‚ ÷Å‚

ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
y = y y 0 0 1 0 y
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = z z 0 0 0 1 z




Transformacja Galileusza jest transformacjÄ… liniowÄ….
Dzieki temu żadnen punkt w przestrzeni ani żadna chwila czasu nie jest wyróżniona.
W fizyce liczą się tylko zmiany położenia i odstępy czasu:
prawa przyrody nie mogą zależeć od wyboru układu odniesienia...
A.F.Żarnecki Wykład VII 2
Transformacja Lorenza
Transformacja liniowa
Aby zachować niezmienniczość praw przyrody względem przesunięć w czasie
i przestrzeni, transformacja współrzędnych między układami powinna mieć postać
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
t t
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x x
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚


ìÅ‚ ÷Å‚ = L · ìÅ‚ ÷Å‚ L 4 × 4


íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
y y
z z
Wymiary poprzeczne
y y
Rozawżmy jednostkowe pręty umieszczone w obu
układach wzdłuż osi Y (lub Z).
L L
Z symetrii zagadnienia, żaden obserwator nie może
stwierdzić, że jego pręt jest dłuższy
x
x
O O
Ò! y = y
v
z
z
z = z
A.F.Żarnecki Wykład VII 3
Transformacja Lorenza
Szukamy więc transformacji w ogólnej postaci:
t = A t + B x
x = C t + D x y = y z = z
Dylatacja czasy
Przyjmijmy, że w obu układach pierwsze  tyknięcie
zegara świetlnego ma współrzędne (0, 0, 0, 0).
c
L
Drugie  tyknięcie w układzie O : (t , 0, 0, 0)
v
W układzie O:
O O
1
t = Å‚ · t Å‚ =
1 - ²2
v
Ò! x = ² · ct = ²Å‚ · ct ² =
c
Ò! A = Å‚ C = ²Å‚c
A.F.Żarnecki Wykład VII 4
c
Transformacja Lorenza
Predkość światła
Przyjmijmy, że w chwili mijania się obserwatorów t = t = 0
z początku układów emitowane są dwa impulsy światła, zgodnie i przeciwnie do v.
Dla obu obserwatorów rozchodzą się one z prędkością c.
O O
pierwszy impuls x = ct x = ct Ò! Ct + D(ct ) = c · At + B(ct )
drugi impuls x = -ct x = -ct Ò! Ct - D(ct ) = -c · At - B(ct )
dodajÄ…c i odejmujÄ…c stronami otrzymujemy:
1 1
B = C = ²Å‚
c2 c
D = A = Å‚
A.F.Żarnecki Wykład VII 5
Transformacja Lorenza
Ostatecznie otrzymujemy
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
c t c Å‚ t + Å‚ ² x ÷Å‚ Å‚ Å‚ ² 0 0 c t ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
x c Å‚ ² t + Å‚ x ÷Å‚ Å‚ ² Å‚ 0 0 x ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= = ·
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
y y 0 0 1 0 y ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
z z 0 0 0 1 z
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
cosh · sinh · 0 0 c t ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
sinh · cosh · 0 0 x ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= ·
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
0 0 1 0 y ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 0 1 z
ct traktujemy jako  czwarty wymiar (zazwyczaj zapisujemy jako wymiar  zerowy - x0)
Transformacja Lorenza a"  obrót w  płaszczyz
nie ct-x dla ruchu wzdłuż osi X
A.F.Żarnecki Wykład VII 6
Transformacja Lorenza
Przedstawienie graficzne
 Tyknięcia zegara O rejestrowane Te same zdarzenia rejestrowane
w układzie O : w układzie O:
O
ct
ct
O
x
x
 tykniÄ™cia obrazujÄ… nam oÅ› ct Ò! obrót ?
A.F.Żarnecki Wykład VII 7
Transformacja Lorenza
Przedstawienie graficzne
ct
ct
Długość jednostki układu O
w układzie O: 1 = ł
(dylatacja czasu)
Ale także obserwator O widzi
dylatacjÄ™ czasu O !
x
wykres Minkowskiego Ò!
x
A.F.Żarnecki Wykład VII 8
Porównanie
Transformacja Galileusza Transformacja Lorenza
ct ct ct
ct
Z
x
x
x
x
" oÅ› x pokrywa siÄ™ z x " oÅ› x nachylona do x
Ò! uniwersalność czasu
" skale x i ct  wyciągnięte
(linie stałego czasu zawsze poziome)
w stosunku do x i ct
A.F.Żarnecki Wykład VII 9
Transformacja Lorenza
Dodawanie prędkości
Niech ciało porusza się z prędkością u = (u , 0, 0) w układzie odniesienia O .
Przyjmując, że w chwili t = t = 0 ciało znajdowało się w początku układu:
x = u · t
Transformując równanie ruchu do układu O otrzymamy:
c t = Å‚ c t (1 + ² ² )
u
x = Å‚ c t (² + ² ) ² =
c
u
Otrzymujemy relatywistyczne prawo dodawania prÄ™dkoÅ›ci ² =
c
² + ²
² =
1 + ² ²
² = 1 Ò! ² = 1 (c=const); ², ² < 1 Ò! ² < 1 (prÄ™dkość graniczna)
A.F.Żarnecki Wykład VII 10
Transformacja Lorenza
HEP
2
10 elektron 50 MeV
1
-2
10
rozpad Ä…
-4
10
-6
10
Slonce w Galaktyce
-8
Ziemia
Merkury
10
-10
satelita
10
-12
samolot
10
-14
10
2 3 4 5
1 10 10 10 10 10
v [km/s]
Ò! astrofizyka i fizyka czÄ…stek elementarnych (High Energy Physics)
A.F.Żarnecki Wykład VII 11
Å‚
-1
Transformacja Lorenza
Wyrażenia na Transformację Lorenza uzyskaliśmy przy założeniu,
że początki układów mijają się w chwili t = t = 0.
Ò! zdarzenie to ma w obu ukÅ‚adach współrzÄ™dne (0, 0, 0, 0)
W ogólności Transformację Lorenza opisuje transformację różnicy współrzędnych
dwóch wybranych zdarzeń A i B: "t = tB - tA, "x = xB - xA ...
PrzyjmujÄ…c c a" 1:
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"t Å‚ "t + Å‚ ² "x ÷Å‚ Å‚ Å‚ ² 0 0 "t ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
"x Å‚ ² "t + Å‚ "x ÷Å‚ Å‚ ² Å‚ 0 0 "x ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= = ·
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
"y "y 0 0 1 0 "y ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"z "z 0 0 0 1 "z
JeÅ›li przyjmiemy, że w obu ukÅ‚adach A = (0, 0, 0, 0) Ò! transformacja współrzÄ™dnych.
A.F.Żarnecki Wykład VII 12
Transformacja Lorenza
Względność równoczesności
ct
ct
ct
ct
A
A B
B
x
Ô!
x
x
x
Dwa zdarzenia równoczesne w układzie O nie są równoczesne w układzie O
Kolejność w jakiej zaobserwuje je obserwator O zależy od położenia zdarzeń
w stosunku do kierunku ruchu względnego.
A.F.Żarnecki Wykład VII 13
Transformacja Lorenza
Interwał
Interwał czasoprzestrzenny między dwoma zdarzeniami definiujemy jako:
sAB = ("t)2 - ("x)2 - ("y)2 - ("z)2
Interwał jest niezmiennikiem transformacji Lorenza !  odległość w czasoprzestrzeni
Nie zależy od układu odniesienia, w którym go mierzymy.
Przyczynowość
Jeśli sAB > 0 to można znalez
ć taki układ odniesienia,
w którym zdarzenia A i B będą zachodzić w tym samym miejscu.
"
sAB określa odstęp czasu między zdarzeniami w tym układzie
JeÅ›li zdarzenia A i B zwiÄ…zane sÄ… z ruchem jakiejÅ› czÄ…stki Ò! czas wÅ‚asny
sAB > 0 - interwał czasopodobny
Ò! Zdarzenia A i B mogÄ… być powiÄ…zane przyczynowo.
Ich kolejność jest zawsze ta sama.
A.F.Żarnecki Wykład VII 14
Transformacja Lorenza
Przyczynowość
Jeśli sAB < 0 to można znalez
ć taki układ odniesienia,
w którym zdarzenia A i B będą zachodzić w tej samej chwili.
"
-sAB określa odległość przestrzenną między zdarzeniami w tym układzie
np. mierzona długość ciała ( A i B - pomiary położenia końców)
sAB < 0 - interwał przestrzeniopodobny
Ò! Zdarzenia A i B NIE mogÄ… być powiÄ…zane przyczynowo !
Kolejność zdarzeń zależy od układu odniesienia.
Jeśli sAB = 0 to w żadnym układzie odniesienia
zdarzenia A i B nie będą zachodzić w tej samej chwili ani w tym samym miejscu
sAB = 0 - interwał zerowy
Zdarzenia A i B może połączyć przyczynowo jedynie impuls świetlny
A.F.Żarnecki Wykład VII 15
Transformacja Lorenza
Przyczynowość
O -  tu i teraz
sOA > 0 i tA > 0
bezwzględna przyszłość: zdarzenia
na które możemy mieś wpływ
sOA < 0
zdarzenia bez zwiÄ…zku przyczynowego
sOA > 0 i tA < 0
bezwzględna przeszłość: zdarzenia
które mogły mieś wpływ na nas
A.F.Żarnecki Wykład VII 16
Skrócenie Lorenza
O - układ związany z rakietą
o długości L0.
ct
ct
Pomiar długości:
równoczesny pomiar
linie swiata
położenia obu końców.
Pomiar AB w układzie O:
"xAB = L
"tAB a" 0
x
W układzie O :
"x AB a" L0
A B
1
L
Ò! L = L0
Å‚ x
skrócenie Lorenza "t AB = 0 !!!

A.F.Żarnecki Wykład VII 17
o
L
Skrócenie Lorenza
Skrócenie Lorenza ma związek ze względnością równoczesności:
Obserwator O uważa, że równocześnie Obserwator O stwierdzi, że wcześniej
zmierzył położenie obu końców rakiety zmierzono położenie przodu niż tyłu rakiety
(zdarzenia A i B): Ò! rakieta przesunęła siÄ™ Ò! zÅ‚y pomiar
ct
ct
ct
ct
x
A
x
B
A B
x
x
L
A.F.Żarnecki Wykład VII 18
o
L
Skrócenie Lorenza
Paradoks  tyczki w stodole
L >L
2
O
O
V
L
L2
Obserwator O powie, że tyczka się skóciła i zmieściła w stodole. (jeśli < L)
Å‚
Biegacz O stwierdzi, że to stodoła się skróciła. Tyczka nie mogła się w niej zmieścić.
Obaj majÄ… racjÄ™ !!!
Różni ich zdanie na temat kolejności zdarzeń: minięcia wrót stodoły przez końce tyczki.
Zdarzenia te są rozdzielone przestrzennie (s < 0) - kolejność zależy od układu...
A.F.Żarnecki Wykład VII 19