Wykład 2
"Cała nauka to fizyka, reszta to zbieranie znaczków"
Sir Ernest Rutherford
Powy\
szy cytat wyra\
a pewien fakt. Fizyka nie zajmuje siÄ™ zbieraniem suchych
faktów (owych znaczków) - jest nauką, której celem jest poznawanie
fundamentalnych praw przyrody.
Kinematyka
1. Wektory
Wektor  uporządkowana para punktów.
Trzy wielkości, charakteryzujące:
" Zwrot
" kierunek
" Wartość (długość  moduł wektora)
Rodzaje wektorów:
a) Swobodne;
b) W układzie współrzędnych
Działania na wektorach:
1. Mno\
enie przez liczbÄ™,
2. Dodawanie wektorów,
3. Mno\
enie wektorów;
a) Skalarne;
b) Wektorowe;
4. Normalizacja wektora
Dodawanie wektorów
Rys. 1. Dodawanie wektorów
1
Iloczyn skalarny wektorów
Własności
a) przemienny
b) pole powierzchni
c) równy zero dla wektorów prostopadłych
Iloczyn wektorowy
Własności wektora (do wyznaczenia)
a) kierunek,
b) zwrot
c) wartość, długość wektora
Rys. 2. Iloczyn wektorowy
Własności iloczynu wektorowego:
a) nieprzemienny
b) równy zera dla wektorów równoległych
Wektor jednostkowy, normalizacja wektora
Rys. 3. Normalizacja wektora
2
Wektor i wersor.
r
a(t) = a(t)Å" â(t)
â(t) =1 lub
â(t) Å" â(t) =1
4. Pochodna wektora
r
r d r
v = ;
dt
Wektor w kartezjańskim układzie współrzędnych
Rys. 4. Układ kartezjański i wektory w układzie współrzędnych
U\
yteczne to\
samości wektorowe:
r
r
a Å" b = axbx + ayby + azbz ;
r
r
a × b = Ä™x (aybz - azby ) + Ä™y (azbx - axbz ) + Ä™z (axby - aybx )
r r r
r r r r r r
(a × b) × c = (a Å" c) Å" b - (b Å" c) Å" a
r r r
r r r r r r
a × (b × c) = (a Å" c) Å" b - (b Å" a) Å" c
r r r
r r r r r r
a Å" (b × c) = c Å" (a × b) = b Å" (c × a)
3
Rys. 5. Składowe wektora: normalna i styczna do powierzchni
Rachunek ró\
niczkowy i całkowy, elementy.
2. Ruch prostoliniowy
Znane wzory na ruch jednostajny prostoliniowy:
s = v Å" t;
"s
"v = ;
"t
prędkość średnia i średnie przyspieszenie
"v
"a = ;
"t
i jednostajnie przyśpieszony:
v = v0 + at;
1
2
x = v0t + at
2
i
2
v2 = v0 + 2a s
równanie Torricellego
Wzory te wyprowadzamy korzystajÄ…c z definicji:
d x
v = ;
dt
Gdzie r - wektor wodzÄ…cy punktu materialnego
4
dv
a = ;
dt
Zadanie:
1. Rzut pionowy. Znalez
ć równania ruchu dla rzutu pionowego.
3. Ruch punktu materialnego.
Ruch 3D. Ogólny przypadek.
v
r = [x, y, z]
r
v = [vx ,vy ,vz ]
r
a = [ax , ay , az ]
Wektor wodzÄ…cy:
r
r = ęx x + ęy y + ęz z
Prędkość:
r
r d r
v = ;
dt
d x d y d z
vx = ; vy = ; vz =
dt dt dt
Przyśpieszenie:
r
r dv
a = ;
dt
dvy
dvx dvz
ax = ; ay = ; az =
dt dt dt
5
Zadanie:
1. Rzut ukośny. Znalez
ć równania ruchu i równie toru dla rzutu ukośnego.
Ruch krzywoliniowy
r
Ć
r (t) = r(t)Å"r(t) = Ä™r (t) Å"r(t)
Policzyć prędkość i przyśpieszenie.
1. Prędkość
r
r d r d(Ä™r (t) Å"r(t)) d r dÄ™r
v = = = ęr + r
dt dt dt dt
r
ęr r
gdzie wersor wektora .
Zadanie: wykazać, \
e pochodne wektora jednostkowego spełniają związek
(pochodna wektora):
dÄ™r dÕ
= Ä™Õ
dt dt
dÄ™Õ
dÕ
= -ęr
dt dt
gdzie:
Ä™r Å" Ä™Õ = 0
Ä™r, Ä™Õ Ä™r, Ä™Õ
Znaczy to, \
e wersory są prostopadłe względem siebie.
Prędkość:
r d r dÄ™r d r dÕ
& & &
v = Ä™r + r = Ä™r + rÄ™Õ = Ä™rr + rÄ™ÕÕ = Ä™rr + rÄ™ÕÉ
dt dt dt dt
6
gdzie
dÕ
É =
prędkość kątowa.
dt
Ruch krzywoliniowy.
Składowa styczna prędkości
vs = rÉ
iloczyn promienia i prędkości kątowej, jest to zale\
ność przybli\
ona, poniewa\
z
r r
r, É
sÄ… to wektory.
składowa radialna prędkości
d r
&
vr = r =
dt
2. Przyśpieszenie:
r
r dv d
& & &&-
& &
a = = (Ä™rr + rÄ™ÕÕ) = Ä™r (r rÉ2) + Ä™Õ (2Ér + rÉ); (*)
dt dt
Sprawdzić powy\
szy wzór!
Wykorzystujemy zale\
ność wią\
ąca prędkość liniową, prędkość kątową i
promień wodzący:
r r r
v = É × r
lub
v = É Å" r
dla wektorów prostopadłych
Ruch krzywoliniowy:
a) składowa styczna przyśpieszenia:
& &
as = 2Ér + rÉ
b) składowa normalna (radialna) przyśpieszenia,
7
&&
an = r - rÉ2
Interpretacja poszczególnych wyra\
eń.
Przykłady.
1. Ruch po okręgu ze stalą prędkości liniową:
&
r = const; r = 0
&
É = const; É = 0
r
r d v v2
a = = Ä™r (-rÉ2) + Ä™Õ (0) = [-rÉ2,0] = [- ,0];
dt r
a) przyśpieszenie dośrodkowe (składowa normalna albo radialna przyśpieszenia)
v2
an = ados = - ;
r
b) przyśpieszenie styczne (składowa styczna przyśpieszenia)
Przyśpieszenie kątowe definiujemy jako:
2
dÉ d Õ
µ = = ;
dt dt2
stÄ…d ostanie wyra\
enie w drugim członie równania (*) będzie równy:
dv
&
as = rÉ = r µ = ;
dt
gdzie v  prędkość styczna punktu po torze.
Dla ruchu po okręgu otrzymamy następujące przyśpieszenie:
8
&
r = const; r = 0
&
É = const; É = 0
r v2 dv
a = [- , ];
r dt
2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
v2 dv
a = ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
r dt
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Je\
eli spełnione są warunki:
r "
wówczas
an = 0
a cała wartość przyśpieszenia to składowa styczna
dv
a = as = = const
dt
Ciało porusza się ze stałym przyspieszeniem równym składowej stycznej.
2. Ruch jednostajnie przyśpieszony;
Zakładamy, \
e:
r  ma jakąś wartość, nie musi być stałe, r(t),
r `" "
przyśpieszenie styczne jest równe 0.
as = 0
wtenczas
an `" 0, a `" 0
9
Ka\
dy ruch krzywoliniowy, czyli taki, którego torem nie jest linia prosta, jest
ruchem przyśpieszonym.
3. Przyśpieszenie Coriolisa.
r r r
ac = 2v ×É
lub
r
r r
Fc = 2mv ×É
Znaczenie przyśpieszenia Coriolisa. Gdzie mo\
emy je zaobserwować w naturze?
Rys. 6. Jeden z huraganów, skutek istnienia siły Coriolisa
10