Wykład 9
Kinematyka relatywistyczna
1. Masa i pęd relatywistyczny
Jeden z twórców mechaniki (klasycznej). Pierwsza zasada dynamiki  o
układach inercjalnych
Rys. 1.1 Portret Galileo Galilei (1564  1642) Giusto Sustermans)
Na pomysł I zasady dynamiki wpadł Galileusz. Podobno stało się to podczas
podró\
y. Obserwując oddalający się port, Galileusz wpadł na pomysł, \
e nie ma
znaczenia, czy z portu obserwujemy oddalający się okręt, czy te\
z pokładu
okrętu obserwujemy port. Oba spojrzenia są sobie równowa\
ne.
Układy inercjalne są sobie równowa\
ne.
1
Rys. 1.2 Transformacja Galileusza
KonsekwencjÄ… transformacji Galileusza sÄ… powszechnie znane wzory na
dodawanie prędkości. Je\
eli w pociągu poruszającym się z prędkością v0 biegnie
człowiek z prędkości u, to prędkość człowieka względem ziemi będzie równa:
v0 Ä… u, zale\
nie od tego, czy ten człowiek będzie biegł zgodnie z kierunkiem
pociÄ…gu, czy przeciwnie.
W 1887 roku Michelson i Morley wykazali w swoim słynnym doświadczeniu,
\
e prosty wzór (dodawanie prędkości, czyli transformacja Galileusza) nie działa,
gdy mamy do czynienia z obiektami poruszającymi się z prędkością światła.
Mierzyli oni prędkość światła w ró\
nych kierunkach. Zamiast otrzymywać
ró\
ne wartości (Ziemia jest planetą i wykonuje ruch wokół słońca z określoną, i
cale nie małą prędkością) za ka\
dym razem otrzymywali tę samą, stałą wartość
prędkości światła c.
Problem rozwiązał Albert Einstein. W 1905 roku opublikował pracę pt.:  Zur
Elektrodynamik bewegter Körper , Ann. Physic 17, 891-921 (1905)
( O elektrodynamice ciał w ruchu ). W pracy tej wyło\
ył podstawy szczególnej
teorii względności, rewolucyjnie zrywającej z zało\
eniami mechaniki klasycznej
(Newtonowskiej).
Rys 1.3. Albert Einstein (1879 - 1955).
2
Z okładki magazynu Time, jako człowiek stulecia.
Szczególna teoria względności oparta jest na dwóch postulatach:
1. prawa fizyki są takie same we wszystkich inercjalnych układach
odniesienia;
2. prędkość światła c jest stała i nie zle\
y od prędkości z
ródła.
Postulat 1 oznacza, \
wszystkie inercjalne układy odniesienia są takie same,
nierozró\
nialne. Postulat 2 mówi, \
e prędkość świtała c jest uniwersalną stałą,
jak stała grawitacji G czy ładunek elementarny e.
Według ostatnich pomiarów prędkość światła (w pró\
ni) wynosi:
C = 299 792 458 Ä… 1.2 m/s.
Prędkość światła w ośrodku zale\
y od elektrycznych i magnetycznych własności
tego\
ośrodka. W przypadku pró\
ni mamy zale\
ność:
1
c =
,
µ µ0
0
gdzie µ0 to podatność elektryczna, µ0 podatność magnetyczna pró\
ni.
Na bazie postulatów, Einstein podał nowe wzory transformacyjne, opisujące
przejście między układami nieruchomym O (x, y, z) i ruchomym O (x , y , z ) i
vice versa.
Rys. 1.4 Definicja układów współrzędnych
Wzory ten noszÄ… nazwÄ™ transformacji Lorentza, na pamiÄ…tkÄ™ holenderskiego
fizyka i matematyka Hendrika Lorentza (1853 - 1928), który wyprowadził je
wcześniej. W chwili początkowej t = t0 = 0 początki obu układów pokrywały się.
Punkt x porusza się razem z układem (x , y , z ).
Transformacja Lorentza (wzory):
3
x - v t
x ' =
2
v
1 -
2
c
y ' = y
z ' = z
v
t - x
2
c
t ' =
2
v
1 -
2
c
(1.1)
Otrzymaliśmy wzory opisujące przejście (transformację) z układu O do O .
A
atwo otrzymać wzory na transformacje odwrotną  przejście od układu O do
O, zamieniając prędkość v -> -v. Wzory będą wyglądać następująco:
x'+vt'
x =
v2
1-
c2
y = y'
z = z'
v
t'+ x'
(1.2)
c2
t =
v2
1-
c2
Prędkość światła c nie zmienia się, jest niezale\
na, mówimy jest inwariantna
względem transformacji Lorentza. Zauwa\
my, \
e gdy prędkość układu jest mała
w porównaniu z prędkością światła v << c to wzory na transformacje Lorentza
(wzory 1.1) przekształcają się we wzory na transformację Galileusza (rysunek
4
1.2). Mechanika klasyczne okazuje się być granicznym, szczególnym
przypadkiem mechaniki relatywistycznej.
TransformacjÄ™ Lorentza (1.1) mo\
na w krótszej postaci przepisać wprowadzając
v 1
oznaczenia: ² = ; Å‚ = ; przybiorÄ… wówczas formÄ™:
2
c
1- ²
²
t'= Å‚ (t - x)
c
x'= Å‚ (x - vt),
(1.3)
z'= z
z'= z
W notacji macierzowej powy\
sze równania (1.2, 1.3) na transformację Lorentza
zapiszemy w prostej postaci
²
îÅ‚
t'
îÅ‚ Å‚Å‚
Å‚ - Å‚ 0 0Å‚Å‚ îÅ‚t Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚x'śł c
ïÅ‚- vÅ‚ Å‚ 0 0śł ïÅ‚xśł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
=
(1.4a)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
y' y
0 0 1 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚z'śł ïÅ‚zśł
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 1śł ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
²
îÅ‚
t
îÅ‚ Å‚Å‚
Å‚ Å‚ 0 0Å‚Å‚ îÅ‚t' Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚xśł
ïÅ‚vÅ‚ cÅ‚ 0 0śł ïÅ‚x'śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
=
(1.4b)
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
y y'
0 0 1 0
ïÅ‚ śł
ïÅ‚zśł ïÅ‚z'śł
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
0 0 0 1śł ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Gdzie [t, x, y, z] to współrzędne punktu w czasoprzestrzeni, składaj śię z trzech
wymiarów przestrzennych [x, y, z] oraz czasu [t].
W mechanice relatywistycznej czas przestaje odró\
niać się od współrzędnych
przestrzennych. Czas pomno\
ony przez prędkość światła c staje się dodatkową
współrzędną. Przestrzeń zamienia się w czasoprzestrzeń 4 wymiarową (4D): 3
współrzędne przestrzenne, 4  ta współrzędna czas.
Wez
my dwa ró\
ne punkty w czasoprzestrzeni. Kwadrat odległości dwóch
punktów w czasoprzestrzeni jest niezmiennikiem przekształcenia (transformacji)
Lorentza.
("s)2 = (c"t)2 - ("x)2 - ("y)2 - ("z)2
(1.5)
5
Wielkość "s zdefiniowaną zale\
nością (1.5) nazywamy interwałem
czasoprzestrzennym.
Rys. 1.5 Czasoprzestrzeń Minkowskiego. Sto\
ek świetlny.
Rys 1.5 przedstawia dwu wymiarowy rzut czterowymiarowej (4D)
czasoprzestrzeni, nazywanej czasoprzestrzeniÄ… Minkowskiego (1908). Pionowa
oś to oś czasu; pozioma  współrzędną przestrzenną. Linia przerywano to linia
świata obserwatora. Górna środkowa ćwiartka, to zbór przyszłych mo\
liwych,
widzialnych zdarzeń dla obserwatora (przyszłość), dolna środkowa ćwiartka to
zbiór przeszłych zdarzeń (przeszłość), punkt przecięcia oznacza teraz
niejszość.
Dwie środkowe ćwiartki oznaczają obszary czasoprzestrzeni niedostępne dla
obserwatora (c skończone!). Punkty oznaczają zdarzenia w czasoprzestrzeni.
Mo\
liwe to wartością interwału (dwie współrzędne: t, x)
a) interwał typu przestrzennego, nie ma związku przyczynowo między
zdarzeniami, zdarzenia wewnÄ…trz i na zewnÄ…trz sto\
ka świetlnego
(rys. 1.5)
("s)2 < 0, c"t < "x
(1.6a)
b) interwał typu czasowego, mo\
e istnieć związek przyczynowo  skutkowy
między zdarzeniami, zdarzenia le\
Ä… wewnÄ…trz sto\
ka świetlnego (rys. 1.5)
("s)2 > 0, c"t > "x
(1.6b)
6
c) interwał zerowy, zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym,
zdarzenia na pobocznicy sto\
ka świetlnego (rys. 1.5)
("s)2 = 0, c"t = "x
(1.6c)
2. Zjawiska relatywistyczne.
Ze szczególną teorią względności związane są zjawiska, sprzeczne z fizyką
klasyczną i wykraczające poza nasze potoczne doświadczenie. Obserwowalne
one jedynie wówczas, gdy mamy do czynienia z ruchem, z prędkościami,
porównywalnymi do prędkości światła.
2.1 Relatywistyczne dodawanie prędkości.
Niech układ O porusza się z prędkością v1 (skierowaną wzdłu\
osi X układy O,
rys. 1.4), a w układzie O punkt x porusza się z prędkością v2. Prędkość punktu
x względem nieruchomego układu O będzie równa:
v1 + v2
v =
(2.1.1)
v1v2
1+
c2
Przykład: v1= v2= 0.98 c,
0.98c + 0.98c
v = = 0.9998c
.
(0.98c)2
1+
c2
Dla v1= v2= c, otrzymamy v =c.
Składając prędkości nigdy nie przekroczymy prędkości światła. Gdy prędkości
są małe, w porównaniu z prędkością światła, z równania (1.4) otrzymujemy
klasyczna wartość: v= v1+v2.
2.2 Dylatacja czasu.
KorzystajÄ…c z transformacji Lorentza (i transformacji odwrotnej) mo\
emy
zapisać ró\
nicę współrzędnych dwóch zdarzeń w czasoprzestrzeni:
²
"t'= Å‚ ("t - "x) , (2.2.1)
c
"x'= Å‚ ("x - v "t), (2.2.2)
oraz
7
²
"t = Å‚ ("t'+ "x') , (2.2.3)
c
"x = Å‚ ("x'+v "t') , (2.2.4)
Zakładamy, \
e zegar znajduje się w układzie  nieruchomym O i spoczywa w
tym układzie ( "x = 0 ). Drugi zegar spoczywa w poruszającym się układzie
O ( "x'= 0 ). Związek między ró\
nicami w czasie dwóch (tych samych) zdarzeń,
zarejestrowanych w układach O i O , otrzymamy z równania (2.2.1):
"t'= Å‚ "t
(2.2.5).
Jest to równanie opisujące zjawisko relatywistycznej dylatacji czasu. Czas "t'
zmierzony w poruszającym się układzie O jest większy od czasu "t
zmierzonego w nieruchomym układzie O.
Przykład:
CzÄ…stki elementarne zwane mionami (µ) powstajÄ… w wysokich partiach
atmosfery na wysokości 10 km., na skutek oddziaływania z promieniowaniem
kosmicznym. Czas \
ycia mionów t0=2 x 10-6 s. Jaką drogę pokonają miony? Czy
i jaka część dotrze do powierzchni Ziemi?
a) klasyczne rozwiÄ…zanie:
droga s= c t0 = 3 108 [m/s]x 2 10-6 s = 600 m.
Mion nie dotrze do powierzchni Ziemi.
b) relatywistyczne rozwiÄ…zanie:
niech v = 0.999 c;
Czas \
ycia mionu nale\
y obliczyć, korzystając z (2.2.5)
t0 210-6
t = = = 45x10-6 s
,
v2 1- (0.999)2
1-
c2
droga jakÄ… pokona mion wynosi:
s = c t = 0.999 x 3 108 [m/s] x 45 10-6 s = 13.5 km.
Mion z łatwością dociera do powierzchni Ziemi.
Druga odpowiedz
jest prawdziwa: miony docierajÄ… do powierzchni Ziemi!
2.2 Skrócenie długości (relatywistyczne).
Niech długość pręta wynosi l0 (w układzie spoczywającym). Ile wyniesie
długość tego samego pręta poruszającego się z prędkością v? Patrz rys. 2.1.
8
Rys. 2.1 Relatywistyczne skrócenie długości.
Korzystamy z równania 2.2.4, zakładając, \
e "t'= 0 , pomiaru długości, czyli
poło\
enia końców pręta, dokonujemy w tej samej chwili czasu.
"x
"x'=
, (2.2.6)
Å‚
lub:
l0 v2
l = = l0 1-
, (2.2.6)
Å‚ c2
Równanie to pokazuje, \
e pręt poruszający się (l, "x' ) jest krótszy ni\
ten sam
pręt spoczywający (l0, "x ).
2.2 Przyczynowość i prędkość światła.
Na rys 2.3 przedstawiono sto\
ek świetlny z zaznaczonymi trzema zdarzeniami:
A, B, C.
9
Rys. 2.2 Sto\
ek świetlny.
Zdarzenia A, B le\
Ä… wewnÄ…trz sto\
ka świetlnego w tej samej czasoprzestrzeni
oddzielone jedynie czasem. A jest pierwsze, B póz
niejsze w czasie. Podró\
od A
do B jest mo\
liwa. Zdarzenia A, B mogą (nie muszą, ale mogą) być powiązane
zwiÄ…zkiem przyczynowo  skutkowym: A  przyczyna, B  skutek. Sytuacja jest
odmienna w przypadku pary zdarzeń A, C. Tutaj zdarzenia le\
Ä… oddzielone
przestrzennie. Zdarzenia A, C nie mogą być powiązane; nie mo\
e istnieć między
nimi związek przyczynowo  skutkowy. Gdyby tak było, informacja musiałaby
wędrować z prędkością wy\
szÄ… ni\
prędkość światła. Lecz to prowadziłoby do
logicznego paradoksu: istniałby układ, w którym A byłoby przyczyną, a C 
skutkiem, lecz istniałby równie\
układ, w którym C byłoby przyczyną zaś A 
skutkiem. Zatem np. zdarzenie A mogłoby być zarazem przyczyną, jak i
skutkiem. A to jest logiczna sprzeczność.
Dlatego nie jest mo\
liwa podró\
z prędkością większą ni\
prędkość światła i nie
sÄ… mo\
liwe podró\
e w czasie. Gdyby takie efekty były dopuszczalne, oznaczało
by to zerwanie związków przyczynowo  skutkowych, czyli cud logiczny.
10