Kinematyka: opis ruchu
Fizyka I (B+C)
Wykład III:
" Pojęcia podstawowe
�! punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych
�! tor, prędkość, przyspieszenie
�! pochodna i całka z funkcji
" Ruch jednostajny
" Ruch jednostajnie przyspieszony
Pojęcia podstawowe
Punkt materialny
Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać.
Zazwyczaj przyjmujemy, z
e punkt materialny powinien być dostatecznie mały.
Nie jest to jednak konieczne !
Przykład:  wózek na torze powietrznym.
Ważne jest, żeby ciało nie miało dodatkowych  stopni swobody
(np. obroty , drgania własne, stany wzbudzone)
Położenie punktu materialnego całkowicie określa jego  stan .
�! pojęcie punktu materialnego umożliwia prosty opis wielu sytuacji fizycznych.
Naogół przyjmujemy, że punkt materialny obdarzony jest masą.
A.F.Żarnecki Wykł III 1
ad
Pojęcia podstawowe
Ruch
Zmiana położenia ciała względem wybranego układu odniesienia.
Układ odniesienia
Ciało, które wybieramy jako  punkt odniesienia .
Najczęściej jest nim Ziemia...
Układ odniesienia można też zdefiniować określając jego położenie (lub ruch)
względem wybranego ciała lub grupy ciał.
Przykład:
" układ środka masy zderzających się cząstek
" układ związany ze środkiem Galaktyki
A.F.Żarnecki Wykł III 2
ad
Pojęcia podstawowe
Układ współrzędnych
Służy do określenia położenia ciała w danym układzie odniesienia
Z
Położenie możemy zapisać na wiele
z
różnych sposobów:
P
" układ współrzędnych kartezjańskich:
iz
r
r = x � ix + y � iy + z � iz
iy Ś
a" (x, y, z)
ix
Y
" układ współrzędnych biegunowych:
y
Ć
l
r = (r, Ś, Ć)
x
" układ współrzędnych walcowych:
X
r = (l, Ć, z)
A.F.Żarnecki Wykł III 3
ad
Pojęcia podstawowe
Tor ruchu
Opisuje zmianę położenia ciała w czasie
Z
W ogólnym przypadku -
postać parametryczna toru:
P
x = x(t) y = y(t) z = z(t)
r = x(t), y(t), z(t) = r(t)
( )
r(t)
Y
Wektor położenia ciała r (wszystkie jego
współrzędne) wyrażamy jako funkcje
czasu.
X
A.F.Żarnecki Wykł III 4
ad
Pojęcia podstawowe
Tor ruchu Funkcje
W szczególnych przypadkach możliwe W fizyce bardzo często staramy się opisać
jest odwrócenie jednej z zależności: zależności pomiędzy różnymi wielkościami
w postaci funkcyjnej.
t = F (x)
Naogół do oznaczenia funkcji używamy
czas wyrażamy jako funkcję współrzędnej
symbolu odpowiadającego danej wielkości
�! postać uwikłana toru:
fizycznej, np.:
droga - s, wysokość - h, prędkość - v
y = y(F (x)) = y(x) z = z(x)
Postać funkcyjna zależy jednak od wyboru
r = x, y(x), z(x)
( )
argumentu funkcji !
W przypadku opisu toru:
y(t) i y(x) to dwie różne funkcje !
choć opisują tą samą wielkość fizyczną
A.F.Żarnecki Wykł III 5
ad
Pojęcia podstawowe
Prędkość średnia
Z
W odstępie czasu:
t1
"t12 = t2 - t1
V
punkt materialny przemieścił się o:
" r12 t2
r1
"r12 = r2 - r1 = r(t2) - r(t1)
r2 Y
Prędkość średnią definiujemy jako

"r12

X
V12 =
"t12
A.F.Żarnecki Wykł III 6
ad
Pojęcia podstawowe
Prędkość chwilowa
Każdy pomiar prędkości musi trwać skończony okres czasu.
Zawsze więc mierzymy prędkość średnią.
Pojęcie prędkości chwilowej wprowadzamy jako graniczną wartość prędkości średniej
dla nieskończenie krótkiego czasu pomiaru, "t 0 :
"r
v = lim
"t0
"t
Matematycznie odpowiada to definicji pochodnej:
dr dx dy dz
v = = Y = � ix + � iy + � iz = vx � ix + vy � iy + vz � iz
dt dt dt dt
Pochodna wektora a" wektor pochodnych składowych tego wektora
2 2 2
v = |v| = vx + vy + vz



A.F.Żarnecki Wykł III 7
ad
Pojęcia podstawowe
Pochodna funkcji Interpretacja graficzna
Pochodną funkcji y = f(x) w punkcie x0
y
definiujemy jako granicę
df f(x0 + "x) - f(x0)
"y
a" lim
ą
"x0
dx "x
"x
a" f (x0) a" fŁ(x0)
x
x
0
y
dx, df - symboliczne przedstawienie
df
= tan ą
granicznie małych przyrostów,  różniczek
dx
można na nich wykonywać podstawowe
ą
operacje arytmetyczne
x
x
0
A.F.Żarnecki Wykł III 8
ad
Pojęcia podstawowe
Pochodna funkcji Przykłady
Nie zawsze funkcja jest różniczkowalna !
" f(x) = C = const
Funkcja musi być ciągła.
d C - C
"y
f(x) = lim = 0
Granice lewo i prawostronna
"x
"x0
dx "x
(policzone dla "x < 0 i "x > 0)
muszą być równe.
" f(x) = a � x2
Przykład: f(x) = |x|
d a(x + "x)2 - ax2
f(x) = lim
nie jest różniczkowalna dla x = 0.
"x0
dx "x
ax2 + 2ax"x + x"x2 - ax2
= lim
"x0
"x
Naogół zakładamy, że funkcje opisujące
2ax"x + x"x2
rzeczywiste układy fizyczne są ciągłe i
= lim = 2ax
"x0
"x
różniczkowalne.
A.F.Żarnecki Wykł III 9
ad
Pojęcia podstawowe
Pochodne wybranych funkcji Reguły różniczkowania
f(x) = xn �! f (x) = n xn-1 y = C � u �! y = C � u
1 - n
y = u + v �! y = u + v
f(x) = �! f (x) =
xn xn+1
y = u � v �! y = u � v + u � v
f(x) = ex �! f (x) = ex
u u � v - u � v
y = �! y =
f(x) = sin x �! f (x) = cos x
v v2
C - stała
f(x) = cos x �! f (x) = - sin x
u, v - funkcje, v = 0

A.F.Żarnecki Wykł III 10
ad
Pojęcia podstawowe
Pochodna funkcji złożonej Pochodna funkcji odwrotnej
Jeśli funkcja ma funkcję odwrotną:
Jeśli y = F g(x)
( )
y = f(x) �! x = f-1(y) a" g(y)
�! y = F (u) � g (x)
Wtedy pochodna funkcji odwrotnej:
gdzie u = g(x)
1
g =
Na różniczkach:
y
dy dy du
y = = � Na różniczkach:
dx du dx
dx 1
=
dy
dy
dx
Przykład:
Przykład:
2
y = ex
x = ln y �! y = ex
2 2
�! y = ex � 2x = 2x ex
dx 1 1 1
�! x = = = =
dy
dy ex y
dx
A.F.Żarnecki Wykł III 11
ad
Pojęcia podstawowe
Prędkość chwilowa Przyspieszenie średnie
W odstępie czasu: "t12 = t2 - t1
prędkość zmienia się o:
V
"V12 = V2 - V1 = V (t2) - V (t1)
P
" t 0

"V12

Przyspieszenie średnie: a12 =
"t12
r
t1 V1
V1
t2
r1
r2
Wektor prędkości chwilowej
"V12
jest styczny do toru
a
V2
A.F.Żarnecki Wykł III 12
ad
Pojęcia podstawowe
Przyspieszenie chwilowe
" t 0
P
Podobnie jak w przypadku prędkości - graniczna
wartość dla nieskończenie krótkiego pomiaru:
"V dV
Ł
a = lim = = V
"t0
"t dt
a
r
V
Przyspieszenie chwilowe jest pochodną
po czasie prędkości chwilowej:
dV dVx dVy dVz
a = = � ix + � iy + � iz
dt dt dt dt
V
= ax � ix + ay � iy + az � iz
" t 0
a
Opisuje  tempo zmian prędkości...
A.F.Żarnecki Wykł III 13
ad
Klasyfikacja ruchów
Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne
" prostoliniowy, odbywający się wzdłuż lini prostej
Zawsze możemy tak wybrać układ współrzędnych aby
y(t) = z(t) = 0 �! r(t) = ix � x(t)
" płaski, odbywający się w ustalonej płaszczyz
nie
z(t) = 0 �! r(t) = ix � x(t) + iy � y(t)
" po okręgu
Ze względu na przyspieszenie
" jednostajny �! wartość prędkości pozostaje stała: |V | = const
" jednostajnie przyspieszony �! przyspieszenie jest stałe: a = const
A.F.Żarnecki Wykł III 14
ad
Ruch jednostajny prostoliniowy
Najprostszy przypadek ruchu:
" Jednostajny: |V | = const
�! a = 0
V
" Prostoliniowy: = const
V
Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi X:
V
dx
V = =


dt
�! x = x0 + V � (t - t0) x0 = x(t0)
"x
t0 t
Położenie (przebyta droga) jest liniową funkcją czasu.
Drogi przebyte w równych odcinkach czasu są sobie równe.
A.F.Żarnecki Wykł III 15
ad
Pojęcia podstawowe
Całkowanie funkcji
Przypadek ogólny: znamy prędkość V (t)
czy możemy wyznaczyć zależność położenia od czasu ?
Możemy sumować przesunięcia dx po krótkich przedziałach czasu dt.
Przesunięcie ciała w czasie "t = t - t0:
V
"x = dx = V dt
dt dt
dt
Przechodząc do granicy dt 0:
t
"x
dx
"x = V dt
t0
t0 t
całka oznaczona
Interpretacja graficzna: pole pod krzywą
A.F.Żarnecki Wykł III 16
ad
Pojęcia podstawowe
Całkowanie funkcji
Całkowanie funkcji to operacja odwrotna do różniczkowania.
Polega na znalezieniu tzw. funkcji pierwotnej, czyli funkcji,
która po zróżniczkowaniu da funkcję wyjściową:
dF (x)
f(x) = F (x) a" �!�! F (x) = f(x) dx
dx
Przykłady Całka oznaczona
Przyrost wartości funkcji pierwotnej:
cos(x) dx = sin(x) + C
F (x) = f(x) dx
1
x2
dx = ln(x) + C
x
�! f(x)dx = F (x2) - F (x1)
x1
ex dx = ex + C
brak stałej całkowania !
funkcja pierwotna może być wyznaczona
z dokładnością do stałej
A.F.Żarnecki Wykł III 17
ad
Pojęcia podstawowe
Reguły całkowania
Wynikają z odpowiednich reguł dla różniczkowania:
C � f(x) dx = C f(x) dx
[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx
f(x) g (x) dx = f(x) g(x) - f (x) g(x) dx



f(g(x)) g (x) dx = f(u) du
u=g(x)




1
�! f(ax + b) dx = f(u) du
a
u=ax+b
f (x)
dx = ln |f(x)| + C
f(x)
A.F.Żarnecki Wykł III 18
ad
Ruch jednostajnie przyspieszony
Jednostajnie przyspieszony: a = const
dV
a = �! dV = a dt
dt
t
�! V = V0 + a dt
t0
V = V0 + a � (t - t0) V0 = V (t0)
Prostoliniowy
V
Ruch jest prostoliniowy: = const �! V || a = const
V
Przyspieszenie musi mieć kierunek zgodny z kierunkiem prędkości
A.F.Żarnecki Wykł III 19
ad
Ruch jednostajnie przyspieszony
Prostoliniowy (�! jednowymiarowy)
a
Prędkość jest liniową funkcją czasu:
t
V = V0 + a dt = V0 + a � (t - t0)
"V
t0
t0 t
Położenie jest kwadratową funkcją czasu:
t t
V
x = x0 + V dt = x0 + V0 + a � (t - t0) dt
[ ]
t0 t0
1
= x0 + V0 � (t - t0) + a � (t - t0)2
"x
2
1
= x0 + (V + V0) � (t - t0)
2
t0 t
A.F.Żarnecki Wykł III 20
ad
Ruch jednostajnie przyspieszony
Przyjmijmy, że w chwili t0 = 0 ciało spoczywa: V0 = V (t0) = 0.
Mierzymy drogę jaką ciało przebywa w równych przedziałach czasu:
"tn = tn - tn-1 = "t
�! tn = n � "t
Przebyta droga:
1
x(t) = a � t2
2
1
"xn = x(tn) - x(tn-1) = a � t2 - t2
n n-1
2
1 1
= a � "t2 n2 - (n - 1)2 = a � "t2 � (2n - 1)
2 2
Drogi w kolejnych odcinkach czasu mają się do siebie jak kolejne liczby nieparzyste:
x1 : x2 : x3 : ... = 1 : 3 : 5 : 7 : ...
A.F.Żarnecki Wykł III 21
ad
Ruch jednostajnie przyspieszony
Spadek swobodny
y
g
x
Położenie zależy kwadratowo od czasu:
g
y = h - � t2 y(0) = h, Vy(0) = 0




2
A.F.Żarnecki Wykł III 22
ad
Ruch jednostajnie przyspieszony
Spadek swobodny
Wyniki  domowych pomiarów:
0
g = 9.7 ą 0.7 m/s2
-0.2
-0.4
-0.6
0 0.1 0.2 0.3
t [s]
A.F.Żarnecki Wykł III 23
ad
y
[
m
]