OPIS RUCHU
Wektor położenia, promień wodzący
Ć
r = x Å" x + y Å" w
+ z Å" Ä™
z
r
y
0
x
Ć
x t = x(t)x
( )
y t = y(t)w

( )
r = r(t)
z t = z(t)Ä™
( )
Równanie ruchu
Ć
r t = x t Å" x + y t Å" w
+ z t Å" Ä™
( ) ( ) ( ) ( )
Eliminując z tych równań czas otrzymujemy
równanie toru
z = F (x, y)
1
PR
DKOŚĆ
Prędkość średnia
r2 - r1 "r
vr = =
t2 - t1 "t
prędkość średnia punktu
"t =t2-t1
w czasie
Prędkość
(prędkość chwilowa)
"t 0
"r dr
v = lim =
"t0
"t dt
dr
v =
dt
dx dy dz
prędkość jest zawsze
Ć
v = x + w
+ Ä™
styczna do toru
dt dt dt
2
PRZYSPIESZENIE
Przyspieszenie średnie
v2 - v1 "v
asr = =
t2 - t1 "t
Przyspieszenie
"t 0
"v dv
a = lim0 =
"t
"t dt
dv
a =
dt
dvy
dvx dvz
Ć
a = Å" x + Å" w
+ Å" Ä™
dt dt dt
2
d r
a =
dt2
2 2 2
d x d y d z
Ć
a = Å" x + Å" w
+ Å" Ä™
dt2 dt2 dt2
3
SKA
ADOWE PRZYSPIESZENIA
Przyspieszenie ma składowe ax, ay i az oraz as i an
as
an
a = as + an
przyspieszenie styczne do toru, opisujÄ…ce zmiany
wartości prędkości
dv
as =
v - wartość prędkości
dt
przyspieszenie normalne, prostopadłe do toru 
opisujące zmiany kierunku prędkości
dv
a =
d t
2
v
an =
Á - promieÅ„ krzywizny toru.
Á
4
CAA
KA NIEOZNACZONA - FUNKCJA
FUNKCJ
PIERWOTN

danej funkcji f(x) nazywamy funkcję F(x) taką, że
F (x) = f(x)
Funkcja pierwotna określona jest z dokładnością do
stałej
F1(x) = F(x) + C1
CAA
KA NIEOZNACZONA
f (x)dx = F(x) + C
+"
f(x)dx - wyrażenie podcałkowe
5
CAA
KI NIEOZNACZONE
Wzory na całkowanie można otrzymać przez
odwrócenie wzorów na różniczkowanie:
d
xn = nxn -1
( )
dx
1
1
dx = ln(x)
xmdx = xm+1
+"
+"
m + 1 x
+"cos xdx = sin x
+"sin xdx = -cos x
x
+"e dx = ex
x
a
x
+"a dx = ln a dla a > 0 i a `" 1
" Reguły całkowania:
f (x)dx
+"a f (x)dx = a +"
+"(u + v - w)dx = +"udx + +"vdx - +"wdx
6
CAA
KA OZNACZONA - LICZBA
(a,b) dzielimy na n przedziałów " xi = xi - xi -1
wewnÄ…trz każdego przedziaÅ‚u wybieramy punkt ¾i
b
n
f (x)dx = lim0 f (¾i )"xi
"
+"
"xi
i=1
a
n0
Jeżeli istnieje granica i nie zależy od wyboru punktów xi
i ¾i , to nazywamy jÄ… caÅ‚kÄ… oznaczonÄ….
f(x)dx - wyrażenie
podcałkowe
a - dolna granica
b - górna granica
x - zmienna całowania
7
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
b a
a
f (x)dx = - f (x)dx f (x)dx = 0
+" +" +"
a b a
b c b
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx
+" +" +"
a a c
b b
f (x)dx
+"c Å" f (x)dx = c Å"+"
a a
b b b b
+"[u(x) + v(x) - w(x)]dx = +"u(x)dx + +"v(x)dx - +"w(x)dx
a a a a
8
TWIERDZENIE O WARTOÅšCI
ÅšREDNIEJ
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale (a, b) to
istnieje punkt ¾ taki, że
b
f (x)dx = (b - a)Å" f (¾ )
+"
a
f(¾) - wartość Å›rednia f(x) w przedziale (a, b)
PODSTAWOWE TWIERDZENIE
RACHUNKU CAA
KOWEGO
f (x)dx = F(x) + C
Jeżeli
+"
b
b
to
f (x)dx = F (b) - F (a) a" F (x)
+"
a
a
9
PRZYKA
ADY RUCHU
1. Ruch prostoliniowy
Ć
x r
Wybieramy układ współrzędnych tak, aby ,
Ć
(1) r t = x t Å" x
( ) ( )
dx
dx
= v
Ć Ć
(2) v t = Å" x = v t Å" x
( ) ( )
dt
dt
dv
dv
Ć Ć = a
(3) a t = Å" x = a t Å" x
( ) ( )
dt dt
i zajmujemy się tylko wartościami funkcji x(t), v(t) i a(t)
" ze wzoru (2) x (t )
t
dx = vÅ" dt
dx = vdt
+" +"
x t
0 0
t
x0 = x t0
x = x0 + vdt ( )
+"
t0
" ze wzoru (3)
v ( t )
t
dv = aÅ" dt
d v = ad t
+" +"
v0 t0
t
v = v0 + adt
v0 = v t0
( )
+"
t0
10
RUCH PROSTOLINIOWY JEDNOSTAJNY
a = 0, v = const.
t
x = x0 + v(t - t0)
x = x0 +
+"vdt
t0
11
RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
a = const. oraz t 0 = 0
t
v = v0 +
+"adt = v0 + at
0
t t
x = x0 +
0
+"vdt = x0 + +"(v + at)dt
0 0
1
2
x = x0 + v0t + at
2
12
PRZYKA
ADY RUCHU
2. Ruch krzywoliniowy
dr dv
v = a =
dt dt
vdt = dr adt = dv
r (t) v (t)
t t
+"vdt = +"dr +"adt = +"dv
0 r (0) 0 v (0)
t t
+"vdt = r(t) - r(0) +"adt = v(t) - v(0)
0
0
t
t
v(t) = v0 +
r(t) = r0 +
+"adt
+"vdt
0
0
13
RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
a = const.
t
v(t) = v0 +
+"adt
0
t
v(t) = v0 + a
+"dt
0
v = v0 + at
t
r(t) = r0 +
+"vdt
0
t
r(t) = r0 +
0
+"(v + at)dt
0
t t
r(t) = r0 +
0
+"v dt + +"(at)dt
0 0
t t
r(t) = r0 + v0
+"dt + a+"tdt
0 0
1
r = r0 + v0t + at2
2
14
RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
a = const.
v = v0 + at
1
r = r0 + v0t + at2
2
Wektory prędkości i przyspieszenia nie muszą być
równoległe.
Wektor prędkości leży w płaszczyz
nie wyznaczonej przez
wektory a i v0 i przechodzÄ…cej przez punkt zdefiniowany
przez wektor r0.
Ruch odbywający się ze stałym przyspieszeniem jest ruchem
płaskim. Torem ruchu jest w ogólnym przypadku parabola.
Przykładem takiego ruchu jest ruch w pobliżu powierzchni
ziemi ze stałym przyspieszeniem, czyli tzw. "rzut ukośny
g = const.
15
PRZYKA
AD - RZUT UKOÅšNY
a = -g Å" w

v0 x = v0 Å" cos¸
vx = v0x
v0 y = v0 sin ¸
vy = v0 y - gt
x(t) = v0 x Å" t
1
2
y(t) = y0 + v0 y Å" t - gt
2
Równania te opisują jednoznacznie ruch ciała.
Eliminując z nich czas można wyznaczyć tor punktu, y(x) 
jest nim parabola
PodstawiajÄ…c y(Ä) = 0 można okreÅ›lić czas trwania ruchu Ä ,
Wartość x w chwili Ä, x(Ä) daje zasiÄ™g.
16