Kinematyka: opis ruchu
Fizyka I (B+C)
Wykład IV:
" Ruch jednostajnie przyspieszony
" Ruch harmoniczny
" Ruch po okręgu
Klasyfikacja ruchów
Ze względu na tor wybrane przypadki szczególne
" prostoliniowy, odbywający się wzdłuż lini prostej
Zawsze możemy tak wybrać układ współrzędnych aby
y(t) = z(t) = 0 Ò! r(t) = ix · x(t)
" płaski, odbywający się w ustalonej płaszczyz
nie
z(t) = 0 Ò! r(t) = ix · x(t) + iy · y(t)
" po okręgu
Ze względu na przyspieszenie
" jednostajny Ò! wartość prÄ™dkoÅ›ci pozostaje staÅ‚a: |V | = const
" jednostajnie przyspieszony Ò! przyspieszenie jest staÅ‚e: a = const
A.F.Żarnecki Wykł IV 1
ad
Ruch jednostajnie przyspieszony
Prostoliniowy
Prędkość jest liniową funkcją czasu:
t
V = V0 + a dt = V0 + a · (t - t0)
t0
Położenie jest kwadratową funkcją czasu:
t t
x = x0 + V dt = x0 + V0 + a · (t - t0) dt
[ ]
t0 t0
1
= x0 + V0 · (t - t0) + a · (t - t0)2
2
Drogi w kolejnych odcinkach czasu majÄ… siÄ™ do siebie jak kolejne liczby nieparzyste:
x1 : x2 : x3 : ... = 1 : 3 : 5 : 7 : ...
A.F.Żarnecki Wykł IV 2
ad
Ruch jednostajnie przyspieszony
W ogólnym przypadku ruch jednostajnie przyspieszony nie jest prostoliniowy.
V = V0 + a · (t - t0)
1
r = r0 + V0 · (t - t0) + a · (t - t0)2
2
Ruch będzie się odbywał w płaszczyz
nie przechodzÄ…cej przez r0
i wyznaczonej przez kierunki wektorów V0 i a.
Możemy wybrać układ współrzędnych tak aby:
ix Ä„" a iy || a

Ò! ruch jednostajny (X) •" ruch jednostajnie przyspieszony (Y) •" spoczynek (Z):
ax = 0 Vx = Vx,0 = const x = x0 + Vx,0 · (t - t0)
1
ay = a Vy = Vy,0 + a t
y = y0 + Vy,0 · (t - t0) + a · (t - t0)2
2
az = 0 Vz = 0
z = 0
A.F.Żarnecki Wykł IV 3
ad
Ruch jednostajnie przyspieszony
Ruch w polu grawitacyjnym
y
Ruch ciala w jednorodnym polu grawitacyjnym:
a = g = (0, -g, 0)
V0
g
Åš
(wygodny wybór układu współrzędnych)
h
Pole grawitacyjne Ziemi możemy przyjąć za jednorodne,
jeśli badamy ruch na odległościach |"r| RZ
Rodzaje ruchu:
x
" spadek swobodny: V0 = 0 (ruch prostoliniowy)
" rzut pionowy: ¸ = Ä…Ä„/2 (ruch prostoliniowy)
" rzut poziomy: ¸ = 0
" rzut ukoÅ›ny: ¸ = 0, Ä„/2, ...

A.F.Żarnecki Wykł IV 4
ad
Ruch jednostajnie przyspieszony
Spadek swobodny
y
g
x
Położenie zależy kwadratowo od czasu:
g
y = h - · t2 y(0) = h, Vy(0) = 0



2
A.F.Żarnecki Wykł IV 5
ad
Ruch jednostajnie przyspieszony
Spadek swobodny
Wyniki  domowych pomiarów:
0
g = 9.7 Ä… 0.7 m/s2
-0.2
-0.4
-0.6
0 0.1 0.2 0.3
t [s]
A.F.Żarnecki Wykł IV 6
ad
y
[
m
]
Ruch jednostajnie przyspieszony
y
Ruch w polu grawitacyjnym
V0
Niezależność ruchów: t0 = 0, x0 = 0, y0 = h
h Åš
x = Vx,0 · t = V0 cos ¸ · t
Ò! ruch w poziomie zależy tylko od Vx,0
g
x
l
y = h + Vy,0 · t - · t2
2
g
= h + V0 sin ¸ · t - · t2
2
Ò! ruch w pionie zależy tylko od Vy,0
2h
Rzut poziomy ¸ = 0 Ò! Vy,0 Ò! czas spadania nie zależy od V0: t =
g
(1) (2)
(1) (2)
Dwa ciaÅ‚a o tym samym Vx,0 = Vx,0 Ò! taki sam ruch w poziomie: x (t) = x (t)
A.F.Żarnecki Wykł IV 7
ad
Ruch jednostajnie przyspieszony
Ruch w polu grawitacyjnym
y
V
0
h Åš
x
l
g
Tor w rzucie ukoÅ›nym: Ò! y = h + x · tan ¸ - x2 · Ò! parabola
2
2V0 cos2 ¸2
2
V0 Ä„
ZasiÄ™g dla h=0 Ò! l = sin(2¸) Ò! najwiÄ™kszy zasiÄ™g dla ¸ = (45ć%)
g 4
A.F.Żarnecki Wykł IV 8
ad
Ruch harmoniczny
Szczególny przykład ruchu drgającego:
x
1
x = A · sin(Ét + Ć)
0.5
0
1 2
Parametry
t
-0.5
" amplituda A
-1
" czÄ™stość koÅ‚owa É
2Ä„
okres drgań T =
É
" faza początkowa Ć
dx
PrÄ™dkość: V = = É A · cos(Ét + Ć)
dt
dV
Przyspieszenie: a = = -É2 A · sin(Ét + Ć) = -É2 · x
dt
A.F.Żarnecki Wykł IV 9
ad
Ruch harmoniczny
Równanie oscylatora harmonicznego:
d2x
= -É2 x




dt2
d2r
= -É2 r




dt2
Równanie oscylatora dobrze opisuje zachowanie wielu układów fizycznych:
" ciężarek na sprężynie
" wahadło matematyczne (dla małych wychyleń)
" kamerton, struna, itp...
A.F.Żarnecki Wykł IV 10
ad
Równiania rózniczkowe
Równanie oscylatora harmonicznego jest przykładem równania różniczkowego
Nasza wiedza nt. ruchu ciała przedstawiana jest często w postaci równan różniczkowych
(równań ruchu). Aby znalez
ć opis ruchu ciała trzeba te równania rozwiązać.
Równania rzędu pierwszego
Postać ogólna: Jeśli potrafimy rozdzielić zmienne
dy
F (x, y, y ) = 0
y = = f(x) · g(y)
dx
Najłatwiej rozwiązać problemy, które dają
to rozwiązanie równania sprowadza się do
się sprowadzić do postaci rozwikłanej
całkowania:
względem pochodnej:
dy
= f(x) dx + C
g(y)
y = f(x, y)
lub (postać równoważna):
a(x, y) dx + b(x, y) dy = 0
A.F.Żarnecki Wykł IV 11
ad
Równiania rózniczkowe
Przykład Równanie liniowe (w y i y )
Rozpad promieniotwórczy. Ogólna postać dla rzędu pierwszego:
Liczba rozpadów w jednostce czasu jest
dy
+ P (x) · y = Q(x)
proporcjonalna do liczby atomów izotopu:
dx
dN
= -Ä…N Ä… > 0
dt
" rozwiązujemy równanie jednorodne:
rozpady oznaczajÄ… zmniejszanie siÄ™
dv
+ P (x) · v = 0
liczby atomów izotopu
dx
RozwiÄ…zanie:
dN
" podstawiając do wyjściowego równania
= -Ä… dt + C
N
y = u · v dostajemy
ln N = -Ä…t + C
P (x)dx
du
= C · Q(x) e
N(t) = N0 e-Ä…t
dx
gdzie N0 a" N(0) = eC
A.F.Żarnecki Wykł IV 12
ad
Równiania rózniczkowe
d2x
Równanie oscylatora harmonicznego = - É2 x
dt2
Jest równaniem rzędu drugiego. Ale Następnie możemy wrócić do zależności od
eliminując czas możemy sprowadzić je do czasu:
równania rzędu pierwszego:
dx
= Ä… É a2 - x2
dt
d2x dv dv dx dv
= = · = · v
dx
dt2 dt dx dt dx
Ò! = Ä… É dt
a2 - x2
dv
Ò! v = -É2 x
dx
x
Ò! arcsin = Ä… Ét + C
które możemy wycałkować:
a
Ò! x = a sin(Ét + C)
v dv = -É2 x dx
v = a É cos(Ét + C)
Ò! v = Ä… É a2 - x2
A.F.Żarnecki Wykł IV 13
ad
Ruch po okręgu
Y
Położenie ciała może być opisane
V
jednÄ… zmiennÄ…:
s
" kąt w płaszczyz
nie XY - Ć r
Ć
X
" dÅ‚ugość Å‚uku okrÄ™gu - s = r · Ć
Prędkość:
ds dĆ
V = = r = r É
dt dt
dĆ
prÄ™dkość kÄ…towa É =
dt
dÉ d2Ć
Przyspieszenie kÄ…towe: Ä… = =
dt dt2
Ruch jednostajny po okrÄ™gu: Ä… = 0 Ò! É = const Ò! V = const
ale V = const Ò! a = 0 !?

A.F.Żarnecki Wykł IV 14
ad
Ruch po okręgu
Z
Prędkość w zapisie wektorowym:
É
V = É × r
Y
Przyspieszenie:
r
Ć
dV dÉ dr
V
s
a = = × r + É ×
dt dt dt
X
= Ä… × r + É × V
= at + an
Oprócz przyspieszenia stycznego at ę! V , opisującego zmianę |V |,
Ä™!
jest też przyspieszenie normalne an, odpowiedzialne za zmianę kierunku V w czasie.
an = É × (É × r) = -É2 · r A × (B × C) = (A · C) · B - (A · B) · C
przyspieszenie dośrodkowe
A.F.Żarnecki Wykł IV 15
ad
Ruch po okręgu
Ruch jednostajny po okrÄ™gu Ô! przyspieszenie styczne: at = 0
Ò! a = an = -É2 · r
Y
Ruch jednostajny po okręgu jest złożeniem dwóch
V
niezależnych ruchów harmionicznych:
s
r
Ä„
x = r · cos(É · t) = r · sin(É · t + )
Ć
X
2
y = r · sin(É · t)
Ruch po okrÄ™gu Ð!Ò! różnica faz "Ć = Ä…Ä„
2
Ciekawostka:
Ruch harmoniczny można przedstawić jako złożenie dwóch ruchów po okręgu...
A.F.Żarnecki Wykł IV 16
ad