Kinematyka: opis ruchu
Fizyka I (B+C)
Wykład V:
" Efekt Dopplera
" Transformacja Galileusza
" Doświadczenie Michelsona-Morleya
Efekt Dopplera
Ruchome z
ródło
z
ródło dżwięku o częstości f poruszające się z prędkością v
względem ośrodka w którym prędkość dz
więku wynosi c.
Dla uproszczenia: krótkie impulsy wysyłane co "t = 1/f:
c
t1 - wysłanie pierwszego impulsu
t1 t2 v
t2 - wysłanie drugiego impulsu
odległość między impulsami:
f f
c c v
=  = +
f f f
c/f v/f





c/f
Częstość dz
więku i długość fali
mierzona przez obserwatora nieruchomego względem ośrodka:
f v
f =  =  1 +
v
1 + c
c
A.F.Żarnecki Wykład V 1
Efekt Dopplera
Ruchomy obserwator
obserwator porusza się z prędkością v względem ośrodka i z
ródła dżwięku
c
aby dogonić obserwatora impuls
v
t2 t1
musi pokonać odległość
c c v
=  = +
f f
f f f



v/f c/f





c/f
Mierzona częstość i długość fali:
v 
f = f 1 -  =
v
c 1 -
c
W klasycznym efekcie Dopplera zmiana częstości zależy nie tylko od względnej
prędkości z
ródła i obserwatora ale i ruchu względem ośrodka.
A.F.Żarnecki Wykład V 2
Efekt Dopplera
Przypadek ogólny
Zarówno z
ródło jak i obserwator poruszają się względem ośrodka.
y
Jeśli znamy ruch z
ródła i obserwatora w układzie
c
związanym z ośrodkiem:
v
v
r(t) r (t)
r
r
To możemy wyznaczyć czas t w jakim sygnał
wyemitowany w chwili t dotrze do obserwatora.
x
Zadany jest on przez warunek:
z
r (t ) - r(t) = c (t - t)
Jeśli równanie to można jednoznacznie rozwiązać to efekt Dopplera daje się wyrazić
bardzo prostą zależnością:
1
f "t dt -1
"t
= = Ò! f = f ·
1
f "t dt
"t
A.F.Żarnecki Wykład V 3
Efekt Dopplera
Przykład
Głośnik wirujący po okręgu, w płaszczyz
nie obserwatora
y
x(t) = r cos Ét
y(t) = r sin Ét
x a" 0
x
y a" -l
Ć
r
Droga sygnału wyemitowanego w czasie t:
d = c (t - t) = (l + r sin Ét)2 + r2 cos2 Ét
c
l 2r r2
Ò! t = t + 1 + sin Ét +
d
c l l2
l
Dla l r:
r rÉ
t H" t + sin Ét Ò! f H" f (1 - cos Ét)
c c
A.F.Żarnecki Wykład V 4
Efekt Dopplera
Przykład
r=1m f=100Hz É=0
Głośnik
1
nieruchomy
0.5
z
ródło
obserwator
0
-0.5
-1
0 0.1 0.2
t [s]
A.F.Żarnecki Wykład V 5
0
A/A
Efekt Dopplera
Przykład
r=1m f=100Hz É=5*6.28s-1
Głośnik
1
wirujÄ…cy
0.5
z
ródło
obserwator
0
-0.5
-1
0 0.1 0.2
t [s]
A.F.Żarnecki Wykład V 6
0
A/A
Transformacja Galileusza
Efekt Dopplera wiąże się z ruchem z
ródła względem obserwatora (a nie ośrodka) !
Ò! porównujemy pomiary wykonywane w różnych ukÅ‚adach odniesienia...
Zdarzenie
Zdarzenie: jednoczesne określenie czasu i położenia.
Zjawisko zachodzÄ…ce w pewnym miejscu w przestrzeni i w pewnej chwili czasu.
Przykłady:
" pomiar położenia ciała (w danej chwili czsu)
" zderzenie kulek
" rozszczepienie jÄ…dra atomowego
" wysłanie impulsu (świetlnego, dz
więkowego, itp...)
" rejestracja impulsu
ZDARZENIE = CZAS + POA
OŻENIE
A.F.Żarnecki Wykład V 7
Transformacja Galileusza
Efekt Dopplera
y y
v
t
t O
O
x
x
z
z
Zdarzeniem jest zarówno wysłanie kolejnego impulsu, jak i jego rejestracja.
Oba typy zdarzeń mogą być zmierzone (czas i położenie) przez obu obserwatorów:
O zwiÄ…zanego ze z
ródłem i rejestrującego impulsy O.
Dla każdego przekazywanego impulsu mamy łącznie 4 pomiary
Transformacja ukladu współrzędnych
W przypadku ogólnym obserwując to samo zdarzenie
każdy z obserwatorów może zmierzyć inne współrzędne.
Jeśli wiemy jak obserwatorzy poruszają się względem siebie,
powinniÅ›my móc wyznaczyć transformacje (t, x, y, z) Ô! (t , x , y , z )
A.F.Żarnecki Wykład V 8
Transformacja Galileusza
Efekt Dopplera
y y
v
t
t O
O
x
x
z
z
Przyjmijmy, że obserwatorzy (początki ich układów) mijają się w chwili t = t = 0
Wysłanie imuplsu n w układzie O : (t , x , y , z ) = (n T, 0, 0, 0) T - okres drgań.
W układzie O: (t, x, y, z) = (n T, n T V, 0, 0) V - prędkość O w O.
n T V
Rejestracja impulsu n w układzie O: (t, x, y, z) = (n T + , 0, 0, 0)
c
V
Ü
Ò! Okres mierzony przez O: T = T (1 + )
c
Rejestracja impulsu n w układzie O :
2
n T V n T V
(t , x , y , z ) = (n T + , -n T V - , 0, 0)
c c
2
n T V n T V
Według obserwatora O impuls przebył drogę n T V + w czasie
c c
V
Ò! PrÄ™dkość impulsu mierzona przez O : Ü = c(1 + ) = c + V
c
c
A.F.Żarnecki Wykład V 9
Transformacja Galileusza
Uniwersalnosc czasu
Była podstawowym założeniem w fizyce klasycznej (Newtonowskiej)
Czas nie zależał od układu odniesienia.
Å„Å‚
ôÅ‚
t = t
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x = x + V t

Ò!


ôÅ‚
y = y
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = z
Konsekwencją uniwersalności czasu jest jednak względność prędkości
Każda prędkość, także prędkość światła zmienia się przy zmianie okładu odniesienia
v = v + V
Tr. Galileusza
A.F.Żarnecki Wykład V 10
Transformacja Galileusza
Zdarzenia wysłania i odbioru impulsów mierzone z punktu widzenia:
obserwatora zwiÄ…zanego ze z
ródłem obserwatora rejestrującego impulsy
t
t
ruch zrodla
ruch
2T
2T
obserwatora
T
T
T
T
x
x
-2Tc -Tc
Tc Tc 2Tc
WiÄ™ksza prÄ™dkość propagacji impulsów: Ü = c + V
c
A.F.Żarnecki Wykład V 11
impuls
impuls
impuls
impuls
Transformacja Galileusza
Przedstawienie graficzne
t t
Dla dowolnego zdarzenia Z,
czas w obu układach jest ten sam
Z
linie stałego czasu pokrywają się
2T
Obaj obserwatorzy mierzÄ… takie
T
same wartości dla
T
" czasu pomiędzy emisjami
kolejnych impulsów T
x
" czas pomiędzy rejestracją
Ü
kolejnych impulsów T
x
Tc 2Tc
Efekt Dopplera wynika z faktu, że inny czas przyjmują za okres drgań...
A.F.Żarnecki Wykład V 12
impuls
impuls
Efekt Dopplera
Ruch ośrodka
Przyjmijmy, że z
ródło dz
więku i obserwator są względem siebie w spoczynku.
Niech ich prędkość względem ośrodka wynosi v
v c v
f
f  f
L
Częstość mierzona przez obserwatora jest wynikiem złożenia dwóch efektów Dopplera:
v f v
f = f 1 + = · 1 + = f
v
c 1 + c
c
Częstość się nie zmienia, ale zmienia się czas miedzy wysłaniem a rejestrają impulsu:
L L c "t
"t = = · = Ò!




v
c + v c c + v 1 +
c
A.F.Żarnecki Wykład V 13
Efekt Dopplera
Ruch ośrodka
z
ródło dżwięku i obserwator nie muszą poruszać się w ośrodku wzdłuż lini je łączącej...
Rozważmy ruch w kierunku prostopadłym: przeprawa łódką przez rzekę
c
v
f f
c
v v
L
Częstość mierzona w dowolnym punkcie na lini łączącej z
ródło i obserwatora wynosi f
Czas miedzy wysłaniem a rejestrają impulsu:
L L c "t
"t = = · =
2
c
v
c2 - v2 c2 - v2
1 -
c
Czas propagacji zależy od prędkości układu z
ródło-obserwator względem ośrodka.
A.F.Żarnecki Wykład V 14
Doświadczenie Michelsona-Morleya
1887
Pomiar prędkości Ziemi względem eteru
Czas przelotu światła w ramionach
interferometru:
L1 L1
"t1 = +
c + vZ c - vZ
2L1 1
= ·
c 1 - ²2
2L2 1
"t2 = ·
c
1 - ²2
v
² =
c
Kierunek ruchu względem eteru jest
wyróżniony !
A.F.Żarnecki Wykład V 15
Doświadczenie Michelsona-Morleya
Wyniki
Światło z dwóch ramion interferometru
interferuje ze sobÄ…
Przy obrocie interferometru oczekujemy
Ò! zmiany "t1 - "t2
Ò! zmiany fazy
Ò! przesuniÄ™cia prążków interferencyjnych
Brak efektu !!!
A.F.Żarnecki Wykład V 16
Doświadczenie Michelsona-Morleya
Wyniki
Negatywny wynik doświadczenia Michelsona-Morleya wskazywał,
że Ziemia nie porusza się względem ośrodka, w którym rozchodzi się światło.
Doświadczenia tego typu powtarzano wielokrotnie, także w dłuższych okresach
(aby wykorzystać zmianę kierunku prędkości Ziemi w ruchu orbitalnym)
zawsze z wynikiem negatywnym.
Wszystkie wyniki wskazują, że prędkość światła jest stała
i nie zależy od układu odniesienia.
Nie da się to jednak pogodzić z transformacją Galileusza
i postulatem uniwersalności czasu.
A.F.Żarnecki Wykład V 17