Kinematyka relatywistyczna
Fizyka I (B+C)
Wykład VIII:
" Paradoks bliz
niÄ…t
" Relatywistyczny efekt Dopplera
Przypomnienie
Transformacja Lorenza
dla różnicy współrzędnych dwóch wybranych zdarzeń A i B: przyjmując c a" 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"t Å‚ "t + Å‚ ² "x ÷Å‚ Å‚ Å‚ ² 0 0 "t ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
"x Å‚ ² "t + Å‚ "x ÷Å‚ Å‚ ² Å‚ 0 0 "x ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
= = ·
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
"y "y 0 0 1 0 "y ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"z "z 0 0 0 1 "z
Transformacja odwrotna: ² Ô! -²
Konsekwencje
" dylatacja czasu "x a" 0 Ò! "t = Å‚ "t
" skrócenie Lorenza "t a" 0 Ò! "x = Å‚ "x Ò! "x = "x /Å‚
A.F.Żarnecki Wykład VIII 1
Paradoks bliz
niÄ…t
Dwaj bracia - obserwatorzy mierzą czas pomiędzy dwoma zdarzeniami:
wylotem rakiety powrotem na ZiemiÄ™
Poruszają się względem siebie z prędkością porównywalną z prędkością światła
Ò! każdy z nich stwierdzi, że jego brat powinien być mÅ‚odszy (dylatacja czasu)
A.F.Żarnecki Wykład VIII 2
Paradoks bliz
niÄ…t
Ale dla obu z nich oba zdarzenia zaszły
też w tym samym miejscu
Ò! powinni być w tym samym wieku !
(z niezmienniczości interwału)
Jak rozstrzygnąc czy i który z braci będzie młodszy ?
A.F.Żarnecki Wykład VIII 3
Paradoks bliz
niÄ…t
Przyjmijmy, że podróż odbywa się z
prędkością v = 0.745 c (ł = 1.5)
Według obserwatora na Ziemi podróż
zajmie
2 × 4.3
H" 11.5

0.745
Dzięki dylatacji czasu, mierzony przez
kosmonautę czas podróży skróci się do:
11.5

H" 7.7

1.5
Ð! impulsy Å›wietlne wysyÅ‚ane
przez obu braci co rok
A.F.Żarnecki Wykład VIII 4
Paradoks bliz
niÄ…t
4.3
Dla kosmonauty odległość skróci się do H" 2.9 lat świetlnych (skrócenie Lorenza)
1.5
2 × 2.9
Podróż będzie jego zdaniem trwała H" 7.7 lat (to samo powiedział jego brat)
0.745
Ale dla kosmonauty bieg zegarów na Ziemi ulega spowolnieniu (dylatacja czasu)
0.5 × 7.7

W czasie jego lotu do układu ą-Centaura na Ziemi mija tylko H" 2.6 lat,
1.5
tyle samo czasu mija na Ziemi w czasie jego podróży powrotnej.
7.7

A
ącznie powinno minąć H" 5.1 lat, ale brat na Ziemi stwierdzi, że minęło 11.5 lat
1.5
Gdzie znika ponad 6 lat !?
A.F.Żarnecki Wykład VIII 5
Paradoks bliz
niÄ…t
ct
Kosmonauta obserwuje wskazania
ct 
zegara na Ziemi.
ct
Na zegarze tym przybywa  skokowo
ponad 6 lat w momencie zmiany przez
x
kosmonautę układu współrzędnych.
Zegar na Ziemi nie może być wprost
porównywany z zegarem kosmonauty
Ò! zawsze porównywany jest z najbliższym
x 
zegarem układu współporuszającego się.
Ò! Istotna jest synchronizacja zegarów
Synchronizacja zmienia siÄ™ przy
zmianie układu odniesienia.
x
A.F.Żarnecki Wykład VIII 6
skok czasu
Paradoks bliz
niÄ…t
ct
Kosmonauta obserwuje wskazania
ct 
zegara na Ziemi porównując go
ct
zawsze z najbliższym zegarem
jego układu.
x
W chwili startu (t = t = 0)
Z 
jest to jego własny zegar Z.
Z
Gdy dotrze do celu sÄ… to zegary
Z (przed) i Z (po zawróceniu).
Z
x 
Także obserwator na Ziemi może
obserwować wskazania zegarów
kosmonauty (Z, Z i Z ) porównując
je ze swoją siatką zegarów.
x
A.F.Żarnecki Wykład VIII 7
Paradoks bliz
niÄ…t
Rakieta
Czas na Ziemi według kosmonauty
Dolatując do celu, po t <" 4 latach (według swo-
t
jego zegara Z), kosmonauta stwierdza, że na Ziemi
12 lat
Z mineło t <3 lata.
Kosmonauta opiera siÄ™ na wskazaniach zegara Z
Z 
zsynchronizowanego z Z.
Po zawróceniu informacja o wskazaniach zegara
na Ziemi pochodzi od zegara Z , też zsynchroni-
zowanego z Z ale w nowym układzie odniesienia.
Według zegara Z w chwili zawracania zegar na
Z
Ziemi wskazywał t >9 lat.
t
8 lat
Z
A.F.Żarnecki Wykład VIII 8
Paradoks bliz
niÄ…t
Ziemia
Według obserwatora na Ziemi bieg
Wskazania zegarów kosmonauty
zegara Z kosmonauty jest spowolniony
rejestrowane przez obserwatora na Ziemi
na skutek dylatacji czasu.
t
Kosmonauta z
le ocenił bieg czasu
8 lat
na Ziemi gdyż:
" najpierw użył zegara Z
Z
który spieszył się względem Z
Z
Z 
" potem użył zegara Z
który spóz
niał się względem Z
12 lat
t
Według obserwatora nia Ziemi, zawrócenie rakiety Z, oraz zdarzenia porównania
czasu na Ziemi z przelatującymi zegarami Z i Z nie były równoczesne.
W chwili zawracania zegar Z dawno minął Ziemię, a zegar Z jeszcze do niej nie doleciał.
A.F.Żarnecki Wykład VIII 9
Paradoks bliz
niÄ…t
Dokonany przez kosmonautÄ™ pomiar
czasu jaki upłynął na Ziemi jest
nieprawidłowy, ze względu na zmianę
układu odniesienia.
Na ziemi minęło 11.5 lat.
Obaj obserwatorzy zgadzają się, że dla
kosmonauty minęło 7.7 lat.
 Ziemianin kosmonauta
A.F.Żarnecki Wykład VIII 10
Efekt Dopplera
Dwa przypadki  klasyczne :
Ruchome z
ródło Ruchomy obserwator
c
c
t1 t2 v v
t2 t1
f f
f f
c/f v/f
v/f c/f
c/f
c/f
Częstość dz
więku i długość fali
Częstość i długość fali mierzona przez
mierzona przez obserwatora
ruchomego obserwatora:
nieruchomego względem ośrodka:

f = f 1 - ²  =
( )
f
1 - ²
f =  =  1 + ²
( )
1 + ²
Ale światło nie potrzebuje  ośrodka . Powinien się liczyć tylko ruch względny !...
A.F.Żarnecki Wykład VIII 11
Efekt Dopplera
Jeśli z
ródło i/lub obserwator poruszają się z dużymi prędkościami
1 1
Ò! należy uwzglÄ™dnić dylatacjÄ™ czasu Å‚ = =
(1 - ²)(1 + ²)
1 - ²2
Ruchome z
ródło Ruchomy obserwator
PoruszajÄ…ce siÄ™ z
ródło drga z Dla poruszającego się obserwatora czas
częstością ł razy mniejszą: biegnie wolniej, mierzona częstość jest
ł razy większa:
f/Å‚ 1 - ²
f = = f
1 - ²
1 + ² 1 + ²
f = Å‚ f 1 - ² = f
( )
1 + ²
Ò! PeÅ‚na symetria !
A.F.Żarnecki Wykład VIII 12
Efekt Dopplera
Ruch z
ródła
ct ct
Wysłanie impulsu w układzie O :
A : (T, 0, 0, 0)
W układzie O: (c = 1)
A : (Å‚ T, ²Å‚ T, 0, 0)
Na pokonianie odlegÅ‚oÅ›ci ²Å‚T
B
Å›wiatÅ‚o potrzebuje ²Å‚ T czasu
Ò! dotarcie impulsu Å›wiatÅ‚a do ob-
serwatora O: A x
B : (Å‚ T + ²Å‚ T, 0, 0, 0)
1 + ²
T = Å‚(1 + ²) T = T
1 - ² x
A.F.Żarnecki Wykład VIII 13
Efekt Dopplera
Wysłanie impulsu w układzie O:
Ruch obserwatora
A : (T, 0, 0, 0)
ct ct
Dotarcie impulsu do obserwatora O :
B : (T + "T, "T, 0, 0)
Prędkość O względem O:
"T ²
² = Ò! "T = T
T + "T 1 - ²
Współrzędne dotarcia impulsu w O:
T ² T
B
B : ( , , 0, 0)
1 - ² 1 - ²
x
A
Ò! wedÅ‚ug O (dylatacja czasu)
T
B : ( , 0, 0, 0)
Å‚(1 - ²)
T 1 + ²
Ò! T = = T
Å‚(1 - ²) 1 - ²
x
A.F.Żarnecki Wykład VIII 14
Efekt Dopplera
t - czas wysłania impulsu mierzony w układzie O :
Przypadek ogólny
A : (t, 0, h, 0)
y
ródło światła przelatuje w
odległości h od obserwatora:
Współrzędne tego zdarzenia w układzie O:
y y
A : (Å‚ t, Å‚² t, h, 0)
h A
Ò! czas dotarcia impulsu do obserwatora O (B):
l t
t = Å‚t + l = Å‚t + (Å‚²t)2 + h2
Åš
B
Różnica dt między czasami dotarcia dwóch
x
x
O O
impulsów wysłanych w odstępie czasu dt
v
z
Ò! współczynnik przesuniÄ™cia dopplerowskiego:
z

Å‚2²2t x
 dt
= = Å‚ + = Å‚ 1 + ² = Å‚ 1 + ² cos Åš
( )



 dt l
(Å‚²t)2 + h2
Åš - kÄ…t obserwacji (!)
A.F.Żarnecki Wykład VIII 15
Efekt Dopplera
Przypadek ogólny
10
² = 0.9
y y
² = 0.8
² = 0.6
h A
² = 0.3
l t
Åš
B
1
x
x
O O
v
z
z
Przesunięcie długości fali:
0 50 100 150

 T

= = Å‚ 1 + ² cos Åš Åš [o]
( )



 T
Zmiana częstości także dla Ś = 90ć% !!!
Klasycznie nie ma zmiany częstości...
A.F.Żarnecki Wykład VIII 16
l

/

Efekt Dopplera
W warunkach ziemskich efekt Dopplera Obecne pomiary
dla światła jest istotny tylko w wyjątkowych
przypadkach.
Przesunięcie ku czerwieni w widmach
odległych galaktyk zaobserwował po raz
pierwszy Hubble w 1929 r.
Zauważył on, że prędkość  ucieczki rośnie
z odległością (prawo Hubbla):
v = H r
r - odległość od Ziemi, H - stała Hubbla
Ò! wiek WszechÅ›wiata:
T = 13.7 Ä… 0.2 GYr
H = 71+4 km/(s · MP c)
-3
A.F.Żarnecki Wykład VIII 17