Analiza matematyczna 1/Wykład 10: Wzór Taylora. Ekstrema

Wzór Taylora. Ekstrema

Definiujemy pochodne wyższych rzędów oraz funkcje klasy . Twierdzenie Taylora pozwala nam na sformułowanie warunku wystarczającego istnienia ekstremum funkcji klasy . Pokazujemy, jak można za pomocą wielomianów Taylora przybliżać funkcje klasy , . Formułujemy twierdzenie Weierstrassa o przybliżaniu wielomianami funkcji ciągłych na przedziale domkniętym.

[Edytuj]

Pochodne wyższych rzędów

Niech będzie funkcją różniczkowalną w przedziale otwartym . Rozważmy funkcję pochodną

Definicja 10.1.

Jeśli funkcja jest różniczkowalna w punkcie , to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

to mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie , a granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą pochodną) funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem lub albo , bądź też .

Przykład 10.2.

Znanym ze szkoły przykładem pochodnej rzędu drugiego jest przyśpieszenie, równe pochodnej prędkości :

gdzie oznacza położenie punktu materialnego w chwili .

Definicję pochodnej rzędu możemy podać dla kolejnych liczb naturalnych . Często - aby uprościć wypowiedzi twierdzeń - terminem pochodna rzędu zerowego (albo krócej: zerowa pochodna) funkcji będziemy nazywać samą funkcję . Symbol pochodnej rzędu zerowego będzie oznaczać funkcję .

Niech będzie funkcją krotnie różniczkowalną, .

Definicja 10.3.

Jeśli pochodna rzędu funkcji jest różniczkowalna w punkcie , to znaczy, jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:

to mówimy, że funkcja jest krotnie różniczkowalna w punkcie , a granicę tę nazywamy pochodną rzędu (lub krótko: -tą pochodną) funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem lub , bądź .

Jeśli , na oznaczenie pochodnej rzędu funkcji w punkcie używamy raczej symboli:

albo

niż

Kolejne twierdzenie stanowi uogólnienie twierdzenia o pochodnej iloczynu dwóch funkcji na przypadek pochodnej rzędu .

Twierdzenie 10.4. [wzór Leibniza]

Niech będą funkcjami krotnie różniczkowalnymi, . Zachodzi równość

Dowód 10.4.

Zwróćmy przede wszystkim uwagę na podobieństwo wzoru Leibniza do wzoru dwumianowego Newtona. Dowody obu twierdzeń są analogiczne. Zauważmy wpierw, że twierdzenie zachodzi dla mamy bowiem . Następnie, korzystając z równości , pokazujemy, że dla dowolnej liczby zachodzi implikacja

Niech będzie liczbą całkowitą nieujemną.

Definicja 10.5.

Mówimy, że funkcja jest klasy w przedziale , jeśli jest krotnie różniczkowalna w przedziale i pochodna rzędu funkcji jest ciągła. Jeśli dla dowolnej liczby funkcja jest klasy w przedziale , to mówimy, że jest klasy w tym przedziale.

Przykład 10.6.

Dowolna funkcja wielomianowa, funkcje sinus, cosinus i wykładnicza są przykładami funkcji klasy w całym zbiorze liczb rzeczywistych. Ogólnie: dowolna funkcja dana za pomocą szeregu potęgowego jest klasy w

przedziale otwartym , gdzie jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego.

Przykład 10.7.

Funkcja jest ciągła, ale nie ma ciągłej pochodnej w dowolnym przedziale , do którego należy zero, tj. gdy . Jest więc klasy i nie jest klasy w takim przedziale. Jeśli zero nie należy do przedziału , czyli gdy lub , to restrykcja do przedziału jest wielomianem, czyli funkcją klasy .

Przykład 10.8.

Funkcja

jest różniczkowalna i jej pochodna . Stąd jeśli , to jest klasy w przedziale , ale nie jest klasy .

Przykład ten możemy łatwo dalej modyfikować. Na przykład funkcja

ma pierwszą pochodną równą , a jej drugą pochodną jest . Funkcja jest więc klasy , ale nie jest klasy w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero. Ogólnie

(gdzie , bądź też jest dowolną inną stałą różną od zera) jest funkcją klasy i nie jest klasy w dowolnym przedziale otwartym zawierającym zero.

[Edytuj]

Wzór Taylora

Niech będzie wielomianem. Zauważmy, że wartości pochodnych rzędu w punkcie wyrażają się prosto za pomocą współczynników tego wielomianu:

Każda następna pochodna rzędu wyższego niż stopień wielomianu jest równa zeru, i to nie tylko w punkcie zero, ale w każdym punkcie .

Uogólnieniem tej obserwacji jest następujące twierdzenie Taylora:

Twierdzenie 10.9.

Niech będzie funkcją krotnie różniczkowalną w przedziale . Wówczas dla dowolnych punktów , takich, że istnieje punkt taki, że

gdzie

Definicja 10.10.

Wielomian

nazywamy wielomianem Taylora rzędu funkcji o środku w punkcie .

Nim wykażemy twierdzenie Taylora, zauważmy, że z założenia o istnieniu pochodnej rzędu funkcji w przedziale wynika, że funkcja i wszystkie jej pochodne aż do rzędu włącznie, istnieją i są ciągłe w tym przedziale.

Zauważmy też, że w przypadku twierdzenie Taylora sprowadza się do twierdzenia Lagrange'a:

Dowód 10.9.

(twierdzenia Taylora) Niech będzie stałą określoną tak, że zachodzi równość

Aby dowieść twierdzenia, wystarczy pokazać, że istnieje punkt taki, że . Rozważmy dla funkcję

Zauważmy, że i z określenia stałej mamy również: . Z twierdzenia Rolle'a wynika więc, że istnieje taki, że . Zauważmy następnie, że nie tylko funkcja , ale również kolejne jej pochodne dla zerują się w punkcie . Wobec tego, że i , z twierdzenia Rolle'a, wnioskujemy o istnieniu kolejnego punktu , w którym zeruje się druga pochodna funkcji , tj. . Powtarzając rozumowanie dla kolejnych pochodnych , na podstawie twierdzenia Rolle'a wnioskujemy o istnieniu punktów takich, że . Zwróćmy uwagę, iż ostatni ze znalezionych punktów jest tym punktem, którego istnienie postulujemy w tezie twierdzenia. Zauważmy, że pochodna rzędu funkcji wynosi

(Pochodna rzędu wielomianu jest w każdym punkcie równa zeru, gdyż wielomian ten jest stopnia co najwyżej .) Stąd .

Jednym z ważniejszych wniosków z wykazanego twierdzenia jest warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji dwukrotnie różniczkowalnej.

Twierdzenie 10.11.

Niech będzie funkcją klasy w przedziale (czyli funkcją dwukrotnie różniczkowalną o ciągłej drugiej pochodnej w przedziale ). Załóżmy, że w punkcie pochodna zeruje się.

a) Jeśli , to osiąga minimum lokalne w punkcie .

b) Jeśli , to osiąga maksimum lokalne w punkcie .

Dowód 10.11.

a) Załóżmy, że . Ze wzoru Taylora i z założenia o zerowaniu się pierwszej pochodnej danej funkcji mamy

gdzie jest pewną liczbą z przedziału . Stąd znak różnicy jest taki sam jak znak drugiej pochodnej w pewnym punkcie pośrednim między punktem a . Z założenia o ciągłości drugiej pochodnej na mocy własności Darboux wnioskujemy, że nie tylko w samym punkcie druga pochodna jest dodatnia, ale również w pewnym otoczeniu tego punktu. Biorąc więc na tyle mały przyrost , aby zarówno jak i należały do przedziału, w którym jest dodatnia i nie zeruje się, otrzymamy nierówność również w punkcie pośrednim. Stąd osiąga minimum lokalne w punkcie , gdyż w pewnym otoczeniu punktu . Dowód implikacji b) przebiega podobnie.

Zauważmy, że podane twierdzenie nie rozstrzyga o istnieniu ani o typie ekstremum w przypadku, gdy oraz .

Przykład 10.12.

Rozważmy funkcje , , . Łatwo zauważyć, że zarówno pierwsza jak i druga pochodna każdej z tych trzech funkcji w punkcie zerują się, podczas gdy osiąga maksimum w tym punkcie, a minimum. Natomiast funkcja w ogóle nie osiąga ekstremum w punkcie .

Uwaga 10.13.

Wzór, który występuje w tezie twierdzenia Taylora:

nazywamy wzorem Taylora z resztą Lagrange'a

Jeśli oznaczymy przyrost argument funkcji przez , to wzór ten przyjmie postać

dla pewnej liczby dobranej tak, aby . Tę postać nazywamy wzorem Taylora z resztą Cauchy'ego

W szczególnym przypadku, gdy otrzymamy wzór

który nazywamy wzorem Maclaurina z resztą

Uwaga 10.14.

Jeśli jest wielomianem stopnia , to dla dowolnej liczby wielomian Taylora rzędu o środku w punkcie jest dokładnie równy wielomianowi , to znaczy

  przy czym  

Powstaje naturalne pytanie, czy dla innych funkcji (niekoniecznie wielomianów) wzór Taylora pozwala na przedstawienie funkcji za pomocą wielomianu Taylora tak, aby reszta była jak najmniejsza i zmierzała do zera, gdy rośnie , czyli gdy rośnie stopień wielomianu Taylora funkcji .

Odpowiedź na pytanie uzyskamy, stosując np. wzór Taylora z resztą Cauchy'ego.

Twierdzenie 10.15.

Niech będzie funkcją krotnie różniczkowalną i niech . Jeśli

(czyli wartość bezwzględna pochodnej rzędu funkcji jest ograniczona przez stałą , która nie zależy od wyboru punktu z przedziału ), to dla dowolnej liczby takiej, że , zachodzi oszacowanie:

Dowód 10.15.

Szacując resztę we wzorze Taylora (z resztą Cauchy'ego), otrzymamy:

Wniosek 10.16.

Jeśli pochodna rzędu funkcji jest ograniczona w przedziale , to dla dowolnych punktów oraz z tego przedziału mamy oszacowanie

gdzie .

Dowód 10.16.

Jeśli , wniosek sprowadza się do poprzedniego twierdzenia. Jeśli , należy powtórzyć poprzednie rozumowanie

w przedziale .

Przykład 10.17.

Oszacowanie reszty we wzorze Maclaurina funkcji sinus jest wyjątkowo proste

gdzie

gdyż wartość bezwzględna pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji sinus jest ograniczona z góry przez 1. Wzór ten pozwala wyznaczyć wartość z zadaną z góry dokładnością. Na przykład, chcąc wyznaczyć z dokładnością do , wystarczy wskazać taką liczbę , aby zachodziła nierówność , czyli . Na mocy wykazanego powyżej wniosku mamy oszacowania:

natomiast

a więc suma różni się (a dokładniej: jest większa) o nie więcej niż jedną dziesięciomilionową od .

Przykład 10.18.

Równie łatwo można oszacować resztę we wzorze Maclaurina funkcji cosinus

gdyż wartość bezwzględna pochodnych dowolnie wysokiego rzędu funkcji cosinus jest ograniczona z góry przez 1, więc

[Edytuj]

Przybliżanie funkcji ciągłych wielomianami

Powstaje naturalne pytanie, czy reszta we wzorze Maclaurina stanowi ciąg zbieżny do zera, jeśli funkcja jest klasy w przedziale zawierającym punkt ? Negatywna odpowiedź na to pytanie zawarta jest w kolejnym przykładzie.

Przykład 10.19.

Funkcja

jest różniczkowalna w każdym punkcie . W szczególności zerują się wszystkie pochodne w punkcie zero, tj.

(fakt ten wykażemy w kolejnym module), czyli wszystkie współczynniki wielomianu Taylora o środku w zerze są zerowe. Z twierdzenia Taylora mamy równość: . Zwróćmy uwagę, że dla dowolnej liczby funkcja przyjmuje wartość dodatnią, więc reszta nie stanowi ciągu zbieżnego do zera.

Twierdzenie Taylora nie jest optymalnym narzędziem do przybliżania dowolnych funkcji różniczkowalnych za pomocą wielomianów, gdyż - jak pokazaliśmy w powyższym przykładzie - istnieją funkcje klasy (czyli takie, które mają ciągłe pochodne dowolnie wysokiego rzędu), których nie da się w rozsądny sposób przybliżyć za pomocą wielomianów Taylora .

Prawdziwe jest jednak twierdzenie, które gwarantuje możliwość przybliżania funkcji ciągłych na przedziale domkniętym wielomianami.

Twierdzenie 10.20. [twierdzenie Weierstrassa]

Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za pomocą wielomianów, tzn. jeśli jest funkcją ciągłą, to istnieje ciąg wielomianów taki, że

Dowód tego ważnego twierdzenia wykracza poza ramy tego kursu. Można natomiast łatwo podać efektywną konstrukcję ciągu wielomianów, które przybliżają jednostajnie daną funkcję ciągłą na przedziale .

Definicja 10.21.

Niech będzie funkcją ciągłą. Dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej definiujemy wielomian Bernsteina rzędu funkcji wzorem

Uwaga 10.22.

Podobieństwo wzoru definiującego wielomian Bernsteina do wzoru dwumianowego Newtona nie jest przypadkowe. Weźmy np. funkcję , stałą w przedziale . Wówczas na mocy wzoru Newtona

Zauważmy, że wielomian Bernsteina rzędu jest wielomianem stopnia nie wyższego niż . Można wykazać, że jeśli jest wielomianem stopnia nie wyższego niż , to dla dowolnej liczby . Przypomnijmy, że analogiczną własność mają również wielomiany Taylora (zob. uwaga 10.14.).

Najciekawszą własność ciągu wielomianów Bernsteina podaje

Twierdzenie 10.23. [twierdzenie Bernsteina]

Jeśli jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów Bernsteina zmierza do jednostajnie na przedziale , to znaczy

Krótki, szczegółowy dowód tego faktu przeprowadzony w oparciu o nierówność Czebyszewa (zob. wykład z rachunku prawdopodobieństwa i statystyki) można znaleźć na przykład w podręczniku P.Billingsleya, Prawdopodobieństwo i miara, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1987, str. 91-92. Zwróćmy uwagę, że twierdzenie Weierstrassa zachodzi nawet dla funkcji klasy , tj. takich, od których nie wymagamy, aby były różniczkowalne w którymkolwiek punkcie. Przykład takiej funkcji, która jest tylko ciągła i nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie, podaliśmy w poprzednim module.

@@@@@@@@@@@@@@@@

Ćwiczenie 10.1.

Wyznaczyć ekstrema funkcji

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e) ,

f) .

Wskazówka

Najpierw należy określić dziedzinę badanych funkcji. Następnie wyznaczyć punkty krytyczne, badając pochodną (nie zapomnieć sprawdzić, czy otrzymane punkty są w dziedzinie) i zbadać znak pochodnej w ich sąsiedztwie. Można też badać znak drugiej pochodnej w punktach krytycznych.

f) Przypomnijmy, że funkcje postaci rozważa się przy założeniu . By policzyć pochodną tych funkcji, można je przedstawić w postaci (dlaczego?). Szukając punktów krytycznych drugiej funkcji w tym podpunkcie, zastanówmy się, kiedy suma dwóch składników nieujemnych jest równa zero.

Rozwiązanie

a) Dziedziną funkcji jest zbiór . Liczymy pochodną

która jest określona w całej dziedzinie funkcji i ma dwa punkty krytyczne i . Ponieważ w pierwszym z tych punktów pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, a w drugim z ujemnego na dodatni, ma w punkcie maksimum, a w punkcie minimum.

Dziedziną funkcji jest . Liczymy pochodną

która jest określona w całej dziedzinie funkcji i ma dwa punkty krytyczne i . W pierwszym z tych punktów pochodna nie zmienia znaku (w całym przedziale jest nieujemna), w drugim natomiast zmienia z dodatniego na ujemny, zatem ma w punkcie maksimum i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.

Pochodna funkcji dana wzorem

jest określona w całej dziedzinie tej funkcji, to znaczy w zbiorze , ma jedno miejsce zerowe i jest nieujemna. Zatem funkcja nie ma ekstremów.

b) Zarówno funkcja jak i jej pochodna

są zdefiniowane dla dowolnego argumentu rzeczywistego . Punkty krytyczne pochodnej to punkty postaci , oraz , gdzie . Policzmy drugą pochodną . Zatem , dla dowolnego . Wnioskujemy stąd, że funkcja ma minima w punktach oraz maksima w punktach .

Zarówno funkcja , jak i jej pochodna

są określone w zbiorze . Punkty krytyczne mają postać , gdzie , ale pochodna jest nieujemna w całym zbiorze liczb rzeczywistych, zatem funkcja nie ma ekstremów.

c) Dziedziną funkcji i jej pochodnej

jest zbiór . Funkcja ma dwa punkty krytyczne i , w obu pochodna zmienia znak, odpowiednio z plusa na minus i na odwrót, zatem ma w maksimum i w minimum.

Dziedziną funkcji i jej pochodnej

jest zbiór . Badana funkcja ma minimum w punkcie krytycznym i maksimum w punkcie krytycznym .

d) Funkcja i jej pochodna są określone w . Jedynym punktem krytycznym jest i funkcja ma w nim maksimum.

Funkcja jest określona w i parzysta, zatem wystarczy ją zbadać w przedziale . Tam pochodna jest dana wzorem

Liczymy drugą pochodną

Ponieważ wartość jest dodatnia, funkcja ma w punkcie krytycznym minimum. Z parzystości funkcji wynika, że również w punkcie jest minimum.

e) Dziedziną funkcji i jej pochodnej

jest zbiór liczb rzeczywistych. Badana funkcja ma maksimum w punkcie i minimum w punkcie .

Natomiast funkcja i jej pochodna

są określone tylko w przedziale . Ponieważ jest większe od 1, funkcja ma tylko jeden punkt krytyczny i ma w nim minimum.

f) Funkcja jest rozważana tylko dla dodatnich argumentów i jej pochodna jest też zdefiniowana w przedziale . Jedynym punktemkrytycznym jest punkt i ma w nim minimum.

Natomiast funkcja i jej pochodna

są zdefiniowane dla dowolnego argumentu rzeczywistego. Zauważmy, że jest wszędzie nieujemna, ponieważ oraz dla dowolnego . Zatem w punkcie krytycznym nie ma ekstremum. ( jest jedynym punktem krytycznym, bo nieujemna suma zeruje się tylko wtedy, gdy oba składniki się zerują, a jest jedynym pierwiastkiem funkcji każdej z tych funkcji).

Ćwiczenie 10.2.

Wyznaczyć ekstrema funkcji

a) ,

b) ,

c) ,

d) .

Wskazówka

Podobnie jak w ćwiczeniu 10.1. wyznaczamy dziedzinę funkcji i punkty krytyczne oraz badamy znak pochodnej w sąsiedztwie punktów krytycznych.

a) Pierwszą z tych funkcji można zapisać w innej, dobrze znanej postaci (jakiej?).

Rozwiązanie

a) Zauważmy, że można też zapisać w postaci . Funkcja ta ma minimum w punkcie i jest to jedyny punkt krytyczny tej funkcji, bo jej pochodna

jest nieokreślona tylko w punkcie i nigdzie się nie zeruje.

Dziedziną funkcji jest zbiór , a jej pochodnej zbiór . Pochodna nigdzie się nie zeruje, ale zmienia znak z ujemnego dla argumentów ujemnych na dodatni dla argumentów dodatnich. Funkcja ma zatem w minimum.

Wreszcie funkcja zdefiniowana dla wszystkich liczb rzeczywistych ma dodatnią pochodną , zdefiniowaną wszędzie poza zerem, które jest punktem krytycznym. Funkcja nie ma żadnego ekstremum, bo jej pochodna jest dodatnia.

b) Dziedziną funkcji jest suma przedziałów , a jej pochodnej

zbiór . Ponieważ funkcja jest nieujemna, osiąga minimum globalne w swoim jedynym miejscu zerowym . Ponadto ma również minimum w drugim punkcie krytycznym .

Natomiast również nieujemna funkcja jest zdefiniowana w przedziale i podobnie jak poprzednia funkcja osiąga swoje minimum globalne w swoim jedynym miejscu zerowym . Jest to jedyny punkt krytyczny funkcji , ponieważ jej pochodna

nie zeruje się w żadnym punkcie swojej dziedziny .

c) Dziedzinami wszystkich funkcji rozważanych w tym podpunkcie jest cały zbiór liczb rzeczywistych, natomiast ich pochodne nie są określone w zerze.

Jeśli , to

Punktami krytycznymi są i . Funkcja ma maksimum w punkcie i minimum w punkcie , ponieważ pochodna odpowiednio zmienia znak.

Jeśli , to

Funkcja ma minimum w punkcie i maksimum w punkcie .

Wreszcie jeśli , to i jedynym punktem krytycznym jest . Funkcja ma minimum w tym punkcie.

d) Zauważmy, że dla dowolnego rzeczywistego argumentu . Dlatego dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych, natomiast pochodna

jest nieokreślona tylko w punkcie . Funkcja ma minimum w tym punkcie.

Niech będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Zauważmy, że ponieważ , więc , a w konsekwencji . Pokazaliśmy w ten sposób, że dziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych. Pochodna

nie jest zdefiniowana w punktach i , ale zmienia znak w ich sąsiedztwach. Funkcja ma minimum w punkcie i maksimum w punkcie .

Ćwiczenie 10.3.

Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji

a) ,

b)
w przedziale .

Wskazówka

Należy poszukać punktów krytycznych wewnątrz przedziału i porównać wartości funkcji w tych punktach z wartościami funkcji na krańcach przedziału.

Rozwiązanie

Obie funkcje są dobrze określone w badanym przedziale. Liczymy pochodne

Funkcja nie ma pochodnej w i

W przedziale obie te funkcje mają jeden punkt krytyczny .

Ponieważ i , najmniejszą wartością funkcji w przedziale jest , a największą .

Dla funkcji mamy i , zatem najmniejszą wartością funkcji w przedziale jest , a największą .

Ćwiczenie 10.4.

Znaleźć wymiary puszki do konserw w kształcie walca o objętości , do sporządzenia której zużyje się najmniej blachy.

Wskazówka

Jeśli jest promieniem podstawy walca, a jego wysokością oraz wiemy, że objętość walca wynosi , to jaka jest zależność między i ? Wyrazić pole powierzchni całkowitej walca jako funkcję i poszukać, gdzie osiąga ona minimum.

Rozwiązanie

Jeśli jest promieniem podstawy walca, jego wysokością, a jego objętością, to . Zatem dla naszej puszki zachodzi , a stąd . Niech oznacza pole powierzchni całkowitej walca, wtedy , gdzie . Liczymy pochodną . Zatem jedynym punktem krytycznym jest i osiąga w tym punkcie minimum. Jeśli , to również , czyli puszka musi mieć promień podstawy równy cm i wysokość również 5 cm, by do jej sporządzenia użyto najmniej blachy.

Ćwiczenie 10.5.

a) Udowodnić, że niezależnie od wyboru parametru funkcja ma minimum w punkcie .

b) Wykorzystując wzór Taylora dla , wyznaczyć przybliżoną wartość i oraz oszacować błąd przybliżenia.

Wskazówka

a) Ciekawym przypadkiem jest oczywiście . Jaki znak ma iloczyn niezerowych punktów krytycznych funkcji ?

b) Na mocy wniosku ze wzoru Taylora zachodzi

gdzie dla pewnych takich, że

Rozwiązanie

a) Policzmy pochodną . Jeśli , to ma oczywiście minimum globalne w . Jeśli , to dla czynnika kwadratowego pochodnej , jest więc dodatnia, a w konsekwencji ma trzy różne punkty krytyczne , w tym . Ze wzorów Viete'a mamy , zatem są tego samego znaku. Stąd już wynika, że funkcja ma minimum w punkcie .

b) Stosujemy najpierw wzór Taylora do funkcji w punkcie i dla . Jeśli , to otrzymujemy

i bo .

Dla otrzymujemy

i

Następnie stosujemy wzór Taylora do funkcji w punkcie i dla . Jeśli , to otrzymujemy

i bo .

Dla otrzymujemy

oraz

Ćwiczenie 10.6.

Niech

Pokazać, że ma -tą pochodną nieciągłą w , a należy do klasy , ale nie ma -ej pochodnej w , dla .

Wskazówka

Wystarczy zbadać odpowiednie granice w : funkcji ilorazu różniczkowego dla funkcji , pochodnych funkcji i tak dalej.

Rozwiązanie

Wszystkie zdefiniowane w tym zadaniu funkcje są klasy poza zerem. Granica nie istnieje z definicji Heinego, bo na przykład , a , zatem nie jest ciągła w zerze.

Mamy także z twierdzenia o iloczynie funkcji ograniczonej i zbieżnej do zera , jeśli , zatem funkcja jest ciągła w .

Następnie widzimy, że nie istnieje (jest to ta sama granica, którą liczyliśmy dla funkcji ), zatem nie ma pochodnej

w zerze.

Natomiast ponieważ dla , wszystkie następne funkcje są różniczkowalne

i .

Pochodna jest nieciągła w , bo i nie istnieje (co pokazujemy analogicznie jak dla ).

Pochodne są ciągłe dla , co wynika po raz kolejny z twierdzenia o granicy iloczynu funkcji ograniczonej i funkcji zbieżnej do zera. Kontynuujemy rozumowanie dalej...

7