3.9. Twierdzenia Lagrange’a, Taylora i Maclaurina

Twierdzenie Lagrange’a

Jeśli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b] i różniczkowalna wewnątrz

tego przedziału, to istnieje wewnątrz przedziału punkt c taki, że

a

b

a

f

b

f

−

−

)

(

)

(

= f‘(c).

Twierdzenie to nosi nazwę

twierdzenia o wartości średniej. Geometrycznie orzeka

ono, że na łuku AB o równaniu y = f(x), znajduje się przynajmniej jeden punkt C, w którym

styczna jest równoległa do cięciwy łuku AB. Na rysunku c =

ξ

.

Twierdzenie – wzór Taylora

Jeżeli funkcja

f w przedziale domkniętym [x

0

, x] ma n pochodnych f ’ , f ’’ , …, f

)n)

,

to wewnątrz tego przedziału znajduje się taki punkt

c, że

f(x) = f(x

0

) +

i

n

i

i

x

x

i

x

f

)

(

!

)

(

0

1

1

0

)

(

−

∑

−

=

+

n

n

x

x

n

c

f

)

(

!

)

(

0

)

(

−

.

Wielomian

f(x

0

) +

i

n

i

i

x

x

i

x

f

)

(

!

)

(

0

1

1

0

)

(

−

∑

−

=

+

n

n

x

x

n

c

f

)

(

!

)

(

0

)

(

−

nazywamy wielomianem

Taylora rzędu n funkcji f w punkcie x

0

.

Uwagi

1.

Jeżeli we wzorze Taylora ostatni składnik równy

n

n

x

x

n

c

f

)

(

!

)

(

0

)

(

−

jest mały, to

popełnimy mały błąd, gdy go opuścimy. Wtedy

f(x)

≈

f(x

0

) +

i

n

i

i

x

x

i

x

f

)

(

!

)

(

0

1

1

0

)

(

−

∑

−

=

.

W ten sposób można obliczać wartości f(x) funkcji f z dowolną dokładnością, o ile ten

opuszczony składnik dąży do zera ze wzrostem n.

2.

Zauważ, że wyrażenie napisane po prawej stronie równości we wzorze Taylora jest

wielomianem stopnia n. To znaczy, że wartość każdej funkcji f można w przybliżeniu

obliczyć jako wartość specyficznego wielomianu.

3.

Jeśli we wzorze Taylora zastąpimy x

0

przez 0 wówczas wzór Taylora przyjmuje

postać

f(x) = f(0) +

i

n

i

i

x

i

f

)

(

!

)

0

(

1

1

)

(

∑

−

=

+

n

n

x

n

c

f

)

(

!

)

(

)

(

=

=

f(0) +

x

f

!

1

)

0

(

'

+

2

"

!

2

)

0

(

x

f

+

3

)

3

(

!

3

)

0

(

x

f

+ … +

1

)

1

(

!

)

1

(

)

0

(

−

−

−

n

n

x

n

f

+

n

n

x

n

c

f

)

(

!

)

(

)

(

.

Twierdzenie - wzór Maclaurina

Jeżeli funkcja

f w przedziale domkniętym [x

0

, x] ma n pochodnych f ’ , f ’’ , …, f

(n)

,

to wewnątrz tego przedziału znajduje się taki punkt

c, że

f(x) = f(0) +

i

n

i

i

x

i

f

)

(

!

)

0

(

1

1

)

(

∑

−

=

+

n

n

x

n

c

f

)

(

!

)

(

)

(

.

Wielomian

f(0) +

i

n

i

i

x

i

f

)

(

!

)

0

(

1

1

)

(

∑

−

=

+

n

n

x

n

c

f

)

(

!

)

(

)

(

nazywamy wielomianem

Maclaurina

rzędu n funkcji f w punkcie x

0

.

Przykład 1.

Napisz wielomian Maclaurina dla funkcji danej wzorem f(x) = ln (1 + x) ,

dla |x| < 1 i n = 4.

Rozwiązanie

Przyjmujemy, że

−

1 < x < 1 oraz podstawiamy we wzorze Maclaurina:

f(x) = ln(1+x), f(0) = ln 1 = 0 oraz n = 4.

Otrzymujemy, gdzie c jest taką liczbą, że 0 < c < x :

ln (1+x)

= 0 +

i

i

i

x

i

f

)

(

!

)

0

(

3

1

)

(

∑

=

+

4

)

4

(

)

(

!

)

(

x

n

c

f

=

=

1

)

1

(

)

(

!

1

)

0

(

x

f

+

2

)

2

(

)

(

!

2

)

0

(

x

f

+

3

)

3

(

)

(

!

3

)

0

(

x

f

+

4

)

4

(

)

(

!

4

)

(

x

c

f

.

Obliczamy pomocniczo kolejne pochodne funkcji

f(x) = ln (1+x):

[ln(1+x)]

(1)

= (1+x)

-1

, pochodna w zerze równa 1;

[ln(1+x)]

(2)

= (

−

1) (1+x)

-2

, pochodna w zerze równa

−

1;

[ln(1+x)]

(3)

= 2(1+x)

-3

, pochodna w zerze równa 2;

[ln(1+x)]

(4)

=

−

6(1+x)

-4

, pochodna w c równa

−

6(1+c)

-4

.

Obliczone wartości podstawiamy i otrzymujemy:

ln (1 + x) =

x

!

1

1

+

2

!

2

1

x

−

+

3

!

3

2

x +

4

4

!

4

)

1

(

6

x

c

−

+

−

= x

−

½ x

2

+

3

1

x

3

−

4

)

1

(

4

1

c

+

x

4

.

Ostatecznie:

ln (1 + x) = x

−

½ x

2

+

3

1

x

3

−

4

)

1

(

4

1

c

+

x

4

.

A także ln (1 + x)

≈

x

−

½ x

2

+

3

1

x

3

. Na przykład, gdy x = ½ , wtedy

ln (1,5) ½

−

½ ( ½ )

2

+

3

1

( ½ )

3

=

12

5

≈

0,42.

Uwaga

Można udowodnić, że:

ln(1+x) = x –

2

1

x

2

+

3

1

x

3

–

4

1

x

4

+

5

1

x

5

–…

Przykład 2.

Wykorzystując rozwinięcie funkcji f(x) = ln (1+ x) wyznacz przybliżenie wymierne

liczby niewymiernej ln ½ oraz liczby ln 2.

Skoro ln (1 + x) = x

−

½ x

2

+

3

1

x

3

−

4

)

1

(

4

1

c

+

x

4

dla |x| < 1 , więc przyjmując

x = - ½ mamy;

ln (

2

1

) = (

−

2

1

)

−

½ (

−

2

1

)

2

+

3

1

(

−

2

1

)

3

−

4

)

1

(

4

1

c

+

(

−

2

1

)

4

=

=

−

2

1

−

8

1

−

24

1

−

4

)

1

(

64

1

c

+

=

−

24

16

−

4

)

1

(

64

1

c

+

, gdzie

−

2

1

< c < 0.

Wiedząc, że

−

2

1

< c < 0 otrzymujemy, że

−

4

1

<

−

4

)

1

(

64

1

c

+

<

−

64

1

i dalej

−

24

16

−

4

1

<

−

24

16

−

4

)

1

(

64

1

c

+

<

−

24

16

−

64

1

,

−

12

11

<

−

3

2

−

4

)

1

(

64

1

c

+

<

−

192

131

.

−

12

11

< ln (

2

1

) <

−

192

131

,

czyli

−

0,917 < ln (

2

1

) <

−

0,682 .

Przyjmując, że ln ( ½ )

≈

- 0,79 popełniamy błąd nie większy niż 0,12.

Wiemy, że ln ( ½ ) = ln1 – ln 2.

Zatem ln 2 = - ln ( ½ ) = 0,79 z błędem nie większym niż 0,12.

Zadania do samodzielnego rozwiązywania

Zadanie 1.

Napisz wielomian Taylora dla funkcji f w punkcie x

0

rzędu n:

a) f(x) = x

3

+ 2x

2

+ 5 , x

0

= 1, n = 4 ,

b) f(x) = x

4

+ 2x + 1 , x

0

= 2, n = 5 ,

c) f(x) = x

10

– 3x

5

+ 1 , x

0

= 1 , n = 4 .

Zadanie 2.

Napisz wielomian Taylora dla funkcji f w punkcie x

0

rzędu n:

a) f(x) = xe

x

, x

0

=

−

1, n = 2 ,

b) f(x) = e

x

, x

0

=

−

1 , n = 6 ,

c) f(x) =

1

2

−

+

x

x

, x

0

=

−

2 , n = 2 ,

d) f(x) = sinx , x

0

= 0,25

π

, n = 3,

e) f(x) = arc tg x , x

0

= 0 , n = 3.

Zadanie 3.

Korzystając ze wzoru Taylora uzasadnij, że:

a) e

x

> 1 + x + 0,5x

2

dla x > 0 , b) sin x > x

−

6

3

x

dla 0 < x < 0,5

π

,

c) cos x > 1 – 0,5x

2

dla 0 < x < 0,5

π

, d)

x

+

1

< 1 + 0,5x – 0,125x

2

dla x >

−

1 .

Zadanie 4.

Wykorzystując podane obok wzory napisz wielomian Maclaurina dla funkcji f, gdy:

a) f(x) = e

x

,

b) f(x) = sin x ,

c) f(x) = cos x .

( e

x

)

(n)

= e

x

(sin x)

(n)

= sin(x+ 0,5n

π

)

(cos x)

(n)

= cos(x +0,5n

π

)

Zadanie 5.

Korzystając ze wzoru Maclaurina wyznacz przybliżenie wymierne liczby niewymiernej:

a) e , b) sin 1 , c) ln

2

3

.

Odpowiedzi

Zad. 1.: a) f(x) = 8 +7(x–1) + 5(x–1)

2

+ (x–1)

3

,

b) f(x) = 21 + 34(x–2) + 24(x–2)

2

+ 12(x–2)

3

+ (x–2)

4

,

c) f(x)

≈

3 – 5(x–1) + 15(x–1)

2

+ 90(x–1)

3

+ 195(x – 1)

4

.

Zad. 2.: a) x e

x

≈

e

-1

[-1 + 0,5(x+1)

2

] ,

b) e

x

≈

e

-1

[1 + (x+1) + 0,5(x+1)

2

+

!

3

1

(x+1)

3

+ … +

!

6

1

(x+1)

6

] ,

c) f(x)

≈

–

3

1

(x+2) –

9

1

(x+2)

2

,

d) sin x

≈

2

2

+

2

2

(x –

4

π

) –

4

2

(x –

4

π

)

2

–

12

2

(x –

4

π

)

3

,

e) arc tg x

≈

x -

3

1

x

3

.

Zad. 4.: a) e

x

= 1 + x +

!

2

1

x

2

+

!

3

1

x

3

+

!

4

1

x

4

+ … ,

b) sin x = x –

!

3

1

x

3

+

!

5

1

x

5

–

!

7

1

x

7

+ …

c) cos x = 1 –

!

2

1

x

2

+

!

4

1

x

4

–

!

6

1

x

6

+ …

Zad. 5.: a) e

x

= 1 + 1 +

!

2

1

+

!

3

1

+

!

4

1

+ … , e

≈

2,7183 ,

b) sin 1 = 1 –

!

3

1

+

!

5

1

–

!

7

1

+ … , sin 1

≈

0,8418 ,

c) ln 1,5 =

2

1

–

8

1

+

3

1

8

1

–

4

1

16

1

+

5

1

32

1

–… , ln 1,5

≈

0,4055.