Wydział WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.1

dr Jolanta Dymkowska

Różniczka funkcji

Zad.1 Wyznacz różniczki funkcji:

1.1 f (x) =

√

x

2

−1

x

+ arcsin

1

x

1.2 f (x) = ln e

2x

+ 1

− 2 arctg e

x

1.3 f (x) = ( x

2

+ 9 ) arctg

x

3

− 3x

Zad.2 Oblicz, korzystając z różniczki, przybliżoną wartość wyrażenia:

2.1 ln(1, 02)

2.2

3

√

8, 12

2.3 arctg (1, 01)

2.4 e

−0,05

2.5 arcsin (0, 505)

2.6

1

√

8,99

Wzór Taylora

Zad.3 Napisz wzór Taylora rzędu n dla funkcji f (x) w otoczeniu punktu x

0

:

3.1 f (x) = arcsin x

n = 1, x

0

= 0

3.2 f (x) = x cos x

n = 3, x

0

= 0

3.3 f (x) = x

2x

n = 1, x

0

= 1

3.4 f (x) = ln(x

2

+ x − 2)

n = 2, x

0

= 2

Zad.4 Napisz wzór Maclaurina dla funkcji f (x) :

4.1 f (x) = 4 sin x cos x

4.2 f (x) = e

3x

4.3 f (x) =

1

√

1−x

Zad.5 Napisz wzór Taylora dla funkcji f (x) w otoczeniu punktu x

0

:

5.1 f (x) = cos x

x

0

=

π

2

5.2 f (x) = e

2x

x

0

= 1

5.3 f (x) =

1

x

x

0

= −1

Zad.6 Wielomian f (x) = x

4

− 5x

3

+ x

2

− 3x + 4 przedstaw jako sumę potęg dwumianu x − 4 .

Zad.7 Oszacuj błędy wzorów przyblożonych:

7.1

e

x

≈ 1 + x +

x

2

2

+

x

3

6

+

x

4

24

0 6 x 6 1

7.2

tg x ≈ x +

x

3

6

|x| 6 0, 1

7.3

√

1 + x ≈ 1 +

x

2

−

x

2

8

|x| 6

1
4

Twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a

Zad.8 Sprawdź, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle’a w podanych przedziałach:

8.1 f (x) = x

3

+ 4x

2

− 7x − 10

− 1 6 x 6 2

8.2 f (x) = ln sin x

π

6

6 x 6

5π

6

8.3 f (x) =

π

4

− arctg |x|

− 1 6 x 6 1

Zad.9

Nie znajdując pochodnej funkcji f (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5) oblicz ilość pierwiastków równania

f

0

(x) = 0 i podaj przedziały, w których one leżą.

Zad.10 Sprawdź, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Lagrange’a w podanych przedziałach:

10.1 f (x) = x − x

2

− 2 6 x 6 1

10.2 f (x) = arctg x

0 6 x 6 1

Zad.11 Zastosuj twierdzenie Lagrange’a do funkcji f (x) = arctg x na przedziale

 −1 ,

√

3

 . Wyznacz odpowiednie

punkty.

Twierdzenie de L’Hospitala

Zad.12 Oblicz granice funkcji:

12.1

lim

x→0

1

e

x

−1

12.2

lim

x→∞

x+1

ln x

12.3

lim

x→0

arctg 2x

x

2

+3x

12.4

lim

x→0

e

3x

−3x−1

sin

2

5x

12.5

lim

x→0

x−arctg x

x

3

12.6

lim

x→∞

ln x

√

x

2

−1

12.7

lim

x→0

1−cos x

2x

2

12.8

lim

x→1

x

2

−1+ln x

e

x

−e

12.9

lim

x→1

−

e

√

1−x

−1

sin(x−1)

12.10

lim

x→

π

2

cos x − sin x + 1

sin 2x − cos x

12.11

lim

x→0

+

ln sin 2x
ln sin 3x

12.12

lim

x→∞

ln ln x

x

12.13

lim

x→0

e

x

−e

−x

−2x

x−sin x

12.14

lim

x→1

e

x−1

−e

1−x

−2x+2

x−1−sin(x−1)

12.15

lim

x→0



1

x

−

1

e

x

−1



12.16

lim

x→1



1

ln x

−

1

x−1



12.17

lim

x→0

1

x

2

− ctg

2

x

12.18

lim

x→0

1

x

2

−

1

sin

2

x

12.19

lim

x→∞

(

√

x − ln x )

12.20

lim

x→0

+

x e

1

x

12.21

lim

x→0

+

√

x ln x

12.22

lim

x→0

+

tg x · ln x

12.23

lim

x→0

−

tg x · e

1

x2

12.24

lim

x→∞

x

2

e

−x

2

12.25

lim

x→

π

2

+

x −

π

2

tg x

12.26

lim

x→0

+

x

2

ln x

12.27

lim

x→−∞

x e

x

12.28

lim

x→∞

x arctg x

12.29

lim

x→0

+

x

x

2

12.30

lim

x→0

+

1 +

1

x

x

12.31

lim

x→0

(tg x)

tg 2x

12.32

lim

x→0

+

1

x

sin x

12.33

lim

x→∞

(ln x)

1

x

12.34

lim

x→0

sin x

x

1

x2

12.35

lim

x→∞

x

1

x

12.36

lim

x→0

arctg x

x

1

x2

12.37

lim

x→0

(1+x)

1

x

− e

x