4
1
Zadanie 7. Obliczyć granicę x
lim(ln x) .
x→∞
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać ∞0. Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-mu.
d
1
1
1
ln(ln x)
⋅
1
ln(ln x)
1
1
x
dx
ln
lim ln(ln x) = lim
⋅ ln(ln x) = lim
= lim
= lim x x = lim ⋅
= 0
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x
x
d
x→∞
1
x→∞ x ln x x
dx
Stąd
1
lim(ln x)
0
x = e = 1.
x→∞
4.5. Zadania różne
Zadanie 8. Obliczyć granicę lim x ctg x .
x→0
0
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 0 · ∞. Sprowadzamy je do postaci
.
0
d x
x
x
0
1
lim x ctg x = lim
= lim
= = lim dx
= lim
= limcos2 x = 1.
x
0
→
x
0
→
1
x
0
→ tg x
0
x
0
→
d
x
0
→
1
x
0
→
tg x
ctg x
dx
cos2 x
Zadanie 9. Obliczyć granicę x
lim 1
( − sin x ctg
)
.
x→0
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 1∞. Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-mu.
x
x
x
ctg
ln 1
( − sin )
ln 1
( −
lim ln 1
( − sin x)
= limctg x ln 1
( − sin x) = 0 ⋅ ∞ = lim
=
sin )
lim
= 0 =
x→0
x→0
x→0
1
x→0
tg x
0
ctg x
d
1
ln 1
( − sin x)
(− cos x)
dx
−
x
− cos3
1 sin
=
x
lim
= lim
= lim
= −1.
x→0
d
x→0
1
x→0 1 − sin x
tg x
dx
cos2 x
Stąd
ctg
1
−
1
lim 1
( − sin x
x
)
= e = .
x→0
e
5
Zadanie 10. Obliczyć granicę x
lim(sin x tg
)
.
x→0
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 0
0 . Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-mu.
tg
ln(sin )
ln(sin )
x
x
x
∞
lim ln(sin x)
= limtg x ln(sin x) = 0 ⋅ ∞ = lim
= lim
=
=
x→0
x→0
x→0
1
x→0
ctg x
∞
tg x
d
1
ln(sin x)
⋅ cos x
dx
sin
= lim
= lim
x
= −lim(sin x ⋅ cos x) = 0 .
x→0
d
x→0
1
x→0
ctg x
−
dx
sin2 x
Stąd
lim(sin x)tg x
0
= e = 1.
x
0
→
Zadanie 11. Obliczyć granicę x
lim(ct x tg
g )
.
x
0
→
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 0
∞ . Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę loga-rytmu.
tg
ln c
( tg )
ln c
( tg )
x
x
x
∞
lim ln c
( tg x)
= limtg x ln c
( tg x) = 0 ⋅ ∞ = lim
= lim
=
=
x→0
x→0
x→0
1
x→0
ctg x
∞
tg x
1
d
x
⋅ d ctg
l c
n( tg )
x
ctg x dx
1
= lim dx
= lim
= lim
= 0 .
x→0
d
x→0
d
x→0 ctg x
ctg x
ctg x
dx
dx
Stąd
lim(ctg x)tg x
0
= e = 1.
x→0
Zadanie 12. Obliczyć granicę lim(tg x ⋅ ln x) .
x→0
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 0 · ∞.
d
1
x
ln x
ln x
∞
ln
2 x
lim(tg x ⋅ ln x) = lim
= lim
=
= lim dx
= lim
x
= −
sin
lim
= 0 =
x→0
x→0
1
x→0 ctg x
∞ x→0 d
x→0
x
0
x
ctg x
− 1
→
0
tg x
dx
sin2 x
d sin2 x
2sin x
dx
⋅ cos
= −
x
lim
= −lim
= 0 .
x→0
d
x→0
1
x
dx
6
Zadanie 13. Obliczyć granicę lim(sin x ⋅ ctg2 x) .
x→0
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 0 · ∞.
d sin x
sin x
sin x
0
cos x
1
dx
2
1
li (
m sin x ⋅ ct 2
g )
x = lim
= lim
= = lim
= lim
= li c
m os x ⋅ cos 2 x = .
x
0
→
x
0
→
1
x
0
→ t 2
g x
0
x
0
→ d
x
0
→
1
2 x 0
→
2
t 2
g x
⋅2
ct 2
g x
dx
cos2 2 x
1
Zadanie 14. Obliczyć granicę x
lim 1
( − sin x sin
)
.
x→0
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać ∞
1 . Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-mu.
1
1
ln 1
( −
x
lim ln 1
( − sin x)sin x =
sin )
0
li
m
⋅ ln 1
( − sin x) = 0 ⋅ ∞ = lim
= =
x→0
x→0 sin x
x→0
sin x
0
d
1
ln 1
( − sin x)
(− cos x)
1
dx
1 − sin
= lim
= lim
x
= −lim
= 1
− .
x→0
d
x→0
cos
x→0
x
1 − sin x
sin x
dx
Stąd
1
1
−
1
lim 1
( − sin x sin x
)
= e = .
x→0
e
Zadanie 15. Obliczyć granicę x
lim 1
( − cos x tg
)
.
x→0
Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 0
0 . Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-mu.
tg
ln 1
(
cos )
ln 1
(
cos )
x
−
x
−
x
∞
lim ln 1
( − cos x)
= limtg x ln 1
( − cos x) = 0 ⋅ ∞ = lim
= lim
=
=
x→0
x→0
x→0
1
x→0
ctg x
∞
tg x
d
d
ln 1
( −
1
cos x)
⋅
3
x
3
x
dx
1 −
sin
sin
=
x
lim
=
cos
lim
x
= −
sin
lim
= 0 = −lim dx
=
x→0
d
x→0
1
x→0 1 −
x
0
x
d
ctg x
−
→
cos
0
1
( − cos x)
dx
sin2 x
dx
2sin2 x ⋅ cos
= −
x
lim
= −2limsin x ⋅ cos x = 0 .
x→0
sin
x→0
x
Stąd
lim 1
( − cos x)tg x
0
= e = 1.
x→0