4 Wyrazenia nieoznaczone Regula de L' Hospitala, uzupelnienie str 4 6

background image

4

Zadanie 7. Obliczyć granicę

x

x

x

1

)

(ln

lim

.


Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać ∞

0

. Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-

mu.

0

ln

1

1

lim

1

1

ln

1

lim

)

ln(ln

lim

)

ln(ln

lim

)

ln(ln

1

lim

)

ln(ln

lim

1

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

dx

d

x

dx

d

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Stąd

1

)

(ln

lim

0

1

=

=

e

x

x

x

.


4.5. Zadania różne

Zadanie 8.
Obliczyć granicę

x

x

x

ctg

lim

0

.

Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 0 · ∞. Sprowadzamy je do postaci

0

0

.

1

cos

lim

cos

1

1

lim

tg

lim

0

0

tg

lim

ctg

1

lim

ctg

lim

2

0

2

0

0

0

0

0

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

dx

d

x

dx

d

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

.


Zadanie 9. Obliczyć granicę

x

x

x

ctg

0

)

sin

1

(

lim

.

Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 1

. Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-

mu.

=

=

=

=

=

=

0

0

tg

)

sin

1

ln(

lim

ctg

1

)

sin

1

ln(

lim

0

)

sin

1

ln(

ctg

lim

)

sin

1

ln(

lim

0

0

0

ctg

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

sin

1

cos

lim

cos

1

)

cos

(

sin

1

1

lim

tg

)

sin

1

ln(

lim

3

0

2

0

0

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

dx

d

x

dx

d

x

x

x

.

Stąd

e

e

x

x

x

1

)

sin

1

(

lim

1

ctg

0

=

=

.


background image

5

Zadanie 10. Obliczyć granicę

x

x

x

tg

0

)

(sin

lim

.

Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać

0

0 . Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-

mu.

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

ctg

)

ln(sin

lim

tg

1

)

ln(sin

lim

0

)

ln(sin

tg

lim

)

ln(sin

lim

0

0

0

tg

0

0

)

cos

(sin

lim

sin

1

cos

sin

1

lim

ctg

)

ln(sin

lim

0

2

0

0

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

dx

d

x

dx

d

x

x

x

.

Stąd

1

)

(sin

lim

0

tg

0

=

=

e

x

x

x

.

Zadanie 11. Obliczyć granicę

x

x

x

tg

0

)

ctg

(

lim

.

Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać

0

. Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę loga-

rytmu.

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

ctg

)

ctg

ln(

lim

tg

1

)

ctg

ln(

lim

0

)

ctg

ln(

tg

lim

)

ctg

ln(

lim

0

0

0

tg

0

0

ctg

1

lim

ctg

ctg

ctg

1

lim

ctg

)

ctg

ln(

lim

0

0

0

=

=

=

=

x

x

dx

d

x

dx

d

x

x

dx

d

x

dx

d

x

x

x

.

Stąd

1

)

ctg

(

lim

0

tg

0

=

=

e

x

x

x

.

Zadanie 12. Obliczyć granicę

)

ln

tg

(

lim

0

x

x

x

.

Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 0 · ∞.

=

=

=

=

=

=

=

=

0

0

sin

lim

sin

1

1

lim

ctg

ln

lim

ctg

ln

lim

tg

1

ln

lim

)

ln

tg

(

lim

2

0

2

0

0

0

0

0

x

x

x

x

x

dx

d

x

dx

d

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

0

1

cos

sin

2

lim

sin

lim

0

2

0

=

=

=

x

x

x

dx

d

x

dx

d

x

x

.

background image

6

Zadanie 13. Obliczyć granicę

)

2

ctg

(sin

lim

0

x

x

x

.

Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać 0 · ∞.

2

1

2

cos

cos

lim

2

1

2

2

cos

1

cos

lim

2

tg

sin

lim

0

0

2

tg

sin

lim

2

ctg

1

sin

lim

)

2

ctg

(sin

lim

2

0

2

0

0

0

0

0

=

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

dx

d

x

dx

d

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

.

Zadanie 14. Obliczyć granicę

x

x

x

sin

1

0

)

sin

1

(

lim

.

Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać

1 . Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-

mu.

=

=

=

=

=

0

0

sin

)

sin

1

ln(

lim

0

)

sin

1

ln(

sin

1

lim

)

sin

1

ln(

lim

0

0

sin

1

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

sin

1

1

lim

cos

)

cos

(

sin

1

1

lim

sin

)

sin

1

ln(

lim

0

0

0

=

=

=

=

x

x

x

x

x

dx

d

x

dx

d

x

x

x

.

Stąd

e

e

x

x

x

1

)

sin

1

(

lim

1

sin

1

0

=

=

.

Zadanie 15. Obliczyć granicę

x

x

x

tg

0

)

cos

1

(

lim

.

Rozwiązanie. Wyrażenie ma postać

0

0 . Logarytmujemy funkcję i obliczamy granicę logaryt-

mu.

=

=

=

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

ctg

)

cos

1

ln(

lim

tg

1

)

cos

1

ln(

lim

0

)

cos

1

ln(

tg

lim

)

cos

1

ln(

lim

0

0

0

tg

0

=

=

=

=

=

=

)

cos

1

(

sin

lim

0

0

cos

1

sin

lim

sin

1

sin

cos

1

1

lim

ctg

)

cos

1

ln(

lim

3

0

3

0

2

0

0

x

dx

d

x

dx

d

x

x

x

x

x

x

dx

d

x

dx

d

x

x

x

x

0

cos

sin

lim

2

sin

cos

sin

2

lim

0

2

0

=

=

=

x

x

x

x

x

x

x

.

Stąd

1

)

cos

1

(

lim

0

tg

0

=

=

e

x

x

x

.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
4. Wyrazenia nieoznaczone. Regula de L' Hospitala, uzupelnienie str. 4, 6
9 Reguła de L'Hospitala Symbole nieoznaczone
9 Reguła de L Hospitala Symbole nieoznaczone
AMI 22 Regula De L'Hospitala i Nieznany (2)
(3655) reguła de l hospitala
AMI 22 Reguła De L Hospitala
11 Reguła de l Hospitala Równość asymptotyczna
9 Regula de LHospitala Symbole nieoznaczone
5 Rózniczka, wzór Taylora, tw de L'Hospitala
11 Reguła de
060 Tw de L'Hospitala, badanie funkcji
de l'Hospital
Korzystając z granic podstawowych wyrażeń nieoznaczonych oblicz podane granice
Sem 1. Wykład, Wyrażenia Nieoznaczone
AM I, am6 pochodna 2, OBLICZANIE GRANIC WYRAŻEŃ NIEOZNACZONYCH TYPU ,
5 Rózniczka, wzór Taylora, tw de L'Hospitala

więcej podobnych podstron