Chemia - Zestaw nr 6. Własności funkcji różniczkowalnych.

Twierdzenie de L’Hospitala. Badanie funkcji.

• Twierdzenie Rolle’a.

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale ha, bi i istnieje f

0

(x) na przedziale (a, b) oraz f (a) = f (b),

to istnieje taki punkt c ∈ (a, b), że f

0

(c) = 0.

• Twierdzenie Lagrange’a.

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym o końcach x

0

i x oraz ma pierwszą pochodną

wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c leżący między x

0

i x, że

f (x) − f (x

0

) = f

0

(c)(x − x

0

).

• Twierdzenie i wzór Taylora.

Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne do rzędu (n − 1) włącznie na przedziale domkniętym o końcach
x

0

i x oraz pochodną rzędu n wewnątrz tego przedziału, to istnieje taki punkt c leżący w przedziale

otwartym o końcach x

0

i x (tzn. c = x

0

+ ϑ(x − x

0

) dla pewnego ϑ ∈ (0; 1)), że

f (x) =

n−1

X

k=0

f

(k)

(x

0

)

k!

(x − x

0

)

k

+

f

(n)

(c)

n!

(x − x

0

)

n

.

• Twierdzenie de L’Hospitala. Jeżeli

1. funkcje

f (x)

g(x)

i

f

0

(x)

g

0

(x)

są określone w pewnym sąsiedztwie punktu x

0

(x

0

może być ±∞);

2. lim

x→x

0

f (x) = lim

x→x

0

g(x) = 0 albo lim

x→x

0

f (x) = lim

x→x

0

g(x) = ∞ (−∞ lub +∞)

3. istnieje lim

x→x

0

f

0

(x)

g

0

(x)

(skończona lub nieskończona),

to istnieje także lim

x→x

0

f (x)

g(x)

, przy czym lim

x→x

0

f (x)

g(x)

= lim

x→x

0

f

0

(x)

g

0

(x)

. (Uwaga: Granica po lewej stronie tej

równości może istnieć nawet wtedy, gdy granica po prawej stronie nie istnieje.)

• Prosta y = mx + n jest asymptotą ukośną lewostronną (odpowiednio prawostronną) krzywej

y = f (x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją skończone granice lim

x→−∞

f (x)

x

= m i lim

x→−∞

[f (x) − mx] = n

(odpowiednio lim

x→+∞

f (x)

x

= m i lim

x→+∞

[f (x) − mx] = n)

1) Wiadomo, że f jest ciągła w ha, bi i różniczkowalna w (a, b) oraz że f

0

jest ciągła i różniczkowalna w

(a, b). Ponadto istnieje punkt x

0

∈ (a, b), taki że f (a) = f (x

0

) = f (b). Wykazać, że wtedy istnieje punkt

c ∈ (a, b), taki że f

00

(c) = 0.

2) Policzyć, stosując twierdzenie de L’Hospitala, granice funkcji:

a0) lim

x→0

ln(1 + x) + (1 + x) sin x + cos x − 2x − 1

x

3

;

a) lim

x→0

e

x

− e

−x

+ 3x

x

;

b) lim

x→0+

ln sin x

ln sin 2x

;

c) lim

x→0

 1

x

−

1

e

x

− 1



;

d) lim

x→1+

(x − 1) ln(x − 1);

e) lim

x→1+

(x − 1)

(x−1)

;

f ) lim

x→2+



ln

1

x − 2



(x−2)

;

g) lim

x→π/4

(tg x)

tg 2x

;

h) lim

x→∞

(π/2 − arc tg x)

1/ln x

;

i) lim

x→∞

(x + 2)e

1/x

− x

; j) lim

x→0+

x

x

2

;

k) lim

x→0

1 − cos x

2

x

2

sin x

2

;

l) lim

x→0

[ln(x + 1)]

x

;

m) lim

x→∞

 2

π

arc tg x



x

;

n) lim

x→0+



ln

1

x



x

(zob. f ));

o) lim

x→1−

ln x ln(1 − x);

p) lim

x→0

 arc sin x

x



1/x

2

;

q) lim

x→0

x + ln(

√

1 + x

2

− x)

x

3

.

1

3) Znaleźć asymptoty wykresów funkcji:

a) f (x) = xe

1
x

;

b) f (x) = x ln



e +

1

x



;

c) f (x) =

1

e

x

− 1

;

d) f (x) =

x

2

− x + 4

2x + 2

.

4) Znaleźć przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji:

a) f (x) = xe

−x

;

b) f (x) =

= x −

2

3

x

3

− 4 ln |x|;

c) f (x) =

1

1 − x

2

;

d) f (x) =

ln x

√

x

;

e) f (x) = e

arc tg x

;

f ) f (x) = ln (1 + x

2

);

g) f (x) =

x

3

x

2

+ 12

;

h) f (x) = x

2

ln x.

5) Zbadać przebieg zmienności funkcji:

a) f (x) =

3

√

2x

2

− x

3

;

b) f (x) =

x

3

√

x

2

− 1

;

c) f (x) = |x|

1/x

;

d) f (x) =

2x

3

x

2

− 4

e) f (x) =

r 2 − x

1 + x

;

f ) f (x) =

√

8x

2

− x

4

;

g) f (x) =

e

1/(1−x

2

)

1 + x

2

;

h) f (x) = xe

−

1

x + 1 .

Uwaga: w podpunktach g) i h) badać tylko pierwszą pochodną.

6) Dla chętnych: dla funkcji f , danej wzorem f (x) =

(

sin x

x

dla x 6= 0

1

dla x = 0

zbadać: a) ciągłość w

punkcie 0; b) istnienie pochodnej w punkcie 0; c) ciągłość tej pochodnej w punkcie 0. (Stosować tw. de
L’Hospitala.)

2