ELEMENTY

BA D

ANIA

FUNK

CJI

J

EDN EJ

Z M

IENN EJ

Zakładam, że już umiesz liczyć pochodne i powtórzyłeś elementarz szkoły średniej. Rozwiążę

ci parę przykładów zadań bardziej zaawansowanych. Własną naukę powinieneś zacząć od zba-
dania najprostszej funkcji, czyli dowolnego wielomianu. Potem możesz zmierzyć się z następu-
jącym przykładem:

Zadanie 1.

Dana jest funkcja f (x) =

x

+ 1

x

2

− 3x

a) Zbadać monotoniczność i ekstrema

b) Zinterpretować krańcowość w punkcie x

o

= 4

c) Zinterpretować elastyczność w punkcie x

o

= 4

Ad.1 a)

Nie zapomnij o zbadaniu dziedziny funkcji!

Założenie: x

2

− 3x



0 ⇒ x(x − 3)



0 ⇒ x



0 ∧ x



3 ⇒

D

= R\

0, 3

Badając znak pochodnej funkcji znajdziemy przedziały jej monotoniczności.

Zbadajmy zatem znak pochodnej.

f

′

(x) =

x

2

− 3

x − (x + 1)(2x − 3)

(x

2

− 3

x

)

2

=

−

x

2

− 2

x

+ 3

(x

2

− 3

x

)

2

, D

′

= R\















0, 3















Pamiętaj, że D

′

⊂ D

Znak tej pochodnej zależy wyłącznie od znaku licznika, ponieważ mianownik w dziedzinie jest
dodatni, co można i trzeba krótko zapisać

sgnf

′

(x) = sgn( − x

2

− 2x + 3), bo ∀x ∈ D

′

(x

2

− 3x)

2

>

0

Znak wielomianu badamy zaznaczając na rysunku położenie jego wykresu względem osi OX.
Jeżeli wykres jest położony powyżej osi, to znaczy, że jego wartości są dodatnie (sgnf

′

(x) = + ).

Jeżeli znajduje się poniżej osi OX, wartości są ujemne (sgnf

′

(x) = − ).

Pamiętaj, by zawsze na wykresie zaznaczyć dziedzinę funkcji.

Przejdźmy zatem do zbadania znaku funkcji kwadratowej y = − x

2

− 2x + 3 znajdującej się w

liczniku.

∆ = 16 ⇒ x = − 3 ∨ x = 1

Uzyskane rezultaty umieszczamy w tabeli i jest ona ostateczną

odpowiedzią.

x

( − ∞, − 3) − 3 ( − 3, 0) (0, 1)

1

(1, 3) (3, ∞)

f

′

(x)

−

0

+

+

0

−

−

f

(x)

ց

min

ր

ր

max

ց

ց

y

m in

= f ( − 3) =

− 2

18

= −

1
9

y

m ax

= f (1) =

2

− 2

= − 1

1

Ad.1 b)

f

k

(4) = f

′

(4) =

− 16 − 8 + 3

16

= −

21
16

Jeżeli x wzrośnie o 1 jednostkę od 4, to y spadnie o

około

21
16

j.



f

(4) ≈ f (3) −

21
16



Ad. 1 c)

f

(4) =

5
4

⇒ Ef (4) =

4

f

(4)

f

′

(4) =

4

5

4

( −

21
16

)

= −

4 · 4 · 21

5 · 16

= −

21

5

= − 4, 2

Jeżeli x wzrośnie o 1% od 4, to y spadnie o

około

4,2%.

Spróbuj teraz wraz ze mną rozwiązać kolejne zadanie. Postaraj się zrobić to maksymalnie

samodzielnie.

Zadanie 2.

Dana jest funkcja f (x) = xe

1

x

a) Zbadać monotoniczność i ekstrema.

b) Zbadać wypukłość i punkty przegięcia.

c) Podać interpretację ekonomiczną Ef (5) pod założeniem, że funkcja jest kosztem zużycia

prądu przy suszeniu x ton śliwek.

Ad.2 a)

D

= R\{0}

f

′

(x) =

e

1

x

+ x



−

1

x

2



e

1

x

=

e

1

x



1 −

1

x



D

′

= R\{0}

∀x ∈ D

e

1

x

>

0 ⇒ sgn f

′

(x) = sgn



1 −

1

x



= sgn

x − 1

x

= sgn(x − 1)x , bo znak ilorazu jest taki

sam, jak znak iloczynu.

I znów wystarczy narysować wykres funkcji kwadratowej y = (x − 1)x, a wyniki umieścić w
tabeli. Prawda, jakie to proste?

x

( − ∞, 0) (0, 1)

1

(1, ∞)

f

′

(x)

+

−

0

+

f

(x)

ր

ց

min

ր

y

m in

= e

Ad.2 b)

Jak wiesz, potrzebna nam będzie druga pochodna. Popatrz na finalny wzór pierwszej pochodnej
i licz.

2

f

′′

(x) =



−

1

x

2



e

1

x



1 −

1

x



+

e

1

x



1

x

2



=

e

1

x



1

x

2



− 1 +

1

x

+ 1



=

1

x

2

e

1

x

1

x

D

′′

= R\{0}

Podobnie, jak przy badaniu monotoniczności funkcji, by zbadać jej wypukłość funkcji rozpatru-
jemy znak drugiej pochodnej.

∀x ∈ D

1

x

2

e

1

x

>

0 zatem sgnf

′′

(x) = sgn

1

x

= sgn x

x

( − ∞, 0)

(0, ∞)

f

′′

(x)

−

+

f

(x) ⌢

wklęsła

⌣

wypukła

Funkcja nie ma punktów przegięcia. Pamiętaj, że warunkiem koniecznym ich istnienia jest ist-
nienie miejsc zerowych drugiej pochodnej. Możesz napisać krótko: brak pp.

Ad. 2c)

Ef

(5) =

5

f

(5)

f

′

(5) =

5

5e

1

5

e

1

5



1 −

1
5



=

4
5

= 0, 8

Jeżeli zwiększy się ilość śliwek o 1% od 5 ton, to koszt zużycia prądu na ich suszenie wzrośnie o

około

0,8%.

Jeżeli dobrnąłeś do tego miejsca, gratuluję. Na koniec rozwiążemy jeszcze jedno zadanie i

mam nadzieję, że cały ten zestaw pomoże ci w pełni samodzielnym uporaniu się z zadaniami z
książki.

Zadanie 3.

Dana jest funkcja f (x) = 2x

2

− 6x + 4 + ln(4x − 1)

a) Zbadać monotoniczność i ekstrema.

b) Zbadać wypukłość i punkty przegięcia.

c) Podać interpretację ekonomiczną f

′



1
2



d) Zinterpretować Ef (2)

Ad.3 a)

Założenie: 4x − 1 > 0 ⇒ x >

1
4

⇒

D

=



1
4

,

∞



f

′

(x) = 4x − 6 +

4

4x − 1

=

(4x − 6)(4x − 1) + 4

4x − 1

=

16x

2

− 28

x

+ 10

4x − 1

=

2(8x

2

− 14

x

+ 5)

4x − 1

D

′

=



1
4

,

∞



∀x ∈ D

2

4x − 1

>

0

Wynika to ze zrobionego wcześniej założenia, czyli wystarczy zbadać znak

funkcji kwadratowej znajdującej się w liczniku.

3

sgnf

′

(x) = sgn(8x

2

− 14x + 5)

∆ = 36 ⇒ x =

1
2

∨ x =

5
4

x



1
4

,

1
2



1
2



1
2

,

5
4



5
4



5
4

,

∞



f

′

(x)

+

0

−

0

+

f

(x)

ր

max

ց

min

ր

y

m ax

= f



1
2



=

1
2

− 3 + 4 + ln1 =

3
2

y

m in

= f



5
4



=

5
2

−

15

2

+ 4 + ln4 = − 1 + ln4

Ad.3 b)

Pierwsza pochodna jest zapisana w kilku postaciach. Drugą pochodną najłatwiej policzyć z

pierwszego wzoru.

f

′′

(x) =



4x − 6 +

4

4x − 1



′

= 4 −

16

(4x − 1)

2

=

4(4x − 1)

2

− 16

(4x − 1)

2

= 4

(4x − 1)

2

− 4

(4x − 1)

2

= 4

(4x − 1 − 2)(4x − 1 + 2)

(4x − 1)

2

f

′′

(x) =

(4x − 3)(4x + 1)

(4x − 1)

2

D

′′

=



1
4

,

∞



∀x ∈ D (4x − 1)

2

>

0 ⇒ sgnf

′′

(x) = sgn(4x − 3)(4x + 1)

x



1
4

,

3
4



3
4



3
4

,

∞



f

′′

(x)

−

0

+

f

(x) ⌢

wklęsła

pp

⌣

wypukła

f

(

3
4

) =

5
8

+ ln2

Ad.3 c)

f

′



1
2



= 0

Jeżeli x wzrośnie o 1 jednostkę od

1
2

, to wartość funkcji w przybliżeniu nie ulegnie zmianie.

Ad.3 d)

Ef

(2) =

2

ln

7

(8 − 6 +

4
7

) =

36

7ln 7

Jeżeli x wzrośnie o 1% od x = 2, to wartość funkcji wzrośnie w przybliżeniu o

36

7ln 7

% .

Reszta należy do ciebie. Musisz sam rozwiązać kilka zadań. Staraj się, by zapis rozwiązań nie

odbiegał od zobaczonego tutaj.

Jeżeli czegoś nie rozumiesz, napisz!

Jeżeli zauważyłeś błąd, napisz!

Powodzenia.

4