Wydział ILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
Przebieg zmienności funkcji
Zad.1 Wyznacz wszystkie asymptoty wykresu funkcji: 1.1 f (x) = x2+2
1.2 f (x) =
x4
1.3 f (x) =
ex
x
x3−x
x+1
1.4 f (x) = x e−x
1.5 f (x) = ln (4 − x2)
1.6 f (x) = arctg 1
x2
1
1.7 f (x) = x e x
1.8 f (x) = ln (1 + ex)
1.9 f (x) = arcsin 1x
1.10 f (x) = (x2 + 2) e−x2
1.11 f (x) =
x
1.12 f (x) = x arctg 1
ln x
x
√
1.13 f (x) =
1 + x2 + 2x
1.14 f (x) = ln (3−x)
1.15 f (x) = (x + 1) arctg x
x−2
x2
1.16 f (x) = e x2−1
1.17 f (x) = sin 2x
1.18 f (x) = arccos x−1
x
2x−1
Zad.2 Wykaz, że funkcja f (x) jest stała, oblicz tą stałą: 2.1 f (x) = arctg x − arcsin
x
√
2.2 f (x) = cos2 x + cos2 (x + π ) − cos x cos (x + π ) x2+1
3
3
Zad.3 Zbadaj monotoniczność i wyznacz ekstrema funkcji: 3.1 f (x) = x2+2
3.2 f (x) = x e−x2
3.3 f (x) = x ln x
x
√
3.4 f (x) = arctg x − ln (1 + x2)
3.5 f (x) = 3 x2
3.6 f (x) =
2
1+cos2 x
3.7 f (x) = ln2 x + ln x
3.8 f (x) = x2 e−x
3.9 f (x) = log (x2 − 1)
4
√
3.10 f (x) = 2+ln x
3.11 f (x) = x
4x − x2
3.12 f (x) = xx
x
√
1
3.13 f (x) = 2 + 3 ln
x
3.14 f (x) = (x − 2) e x−2
3.15 f (x) = 3 2x2 − x3
x
x+2
Zad.4 Zbadaj, czy funkcja f (x) = sin 2x + 4 sin x + 2x ma ekstremum w punkcie x = π ?
Zad.5 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji na zadanym przedziale:
√
5.1 f (x) = x3 − 3x + 3
x ∈ −3, 3
5.2 f (x) = x − 2 x
x ∈ [0, 4]
2
5.3 f (x) = x + 1
x ∈ 1 , 2
5.4 f (x) = 3|x| − x2
x ∈ [−2, 2]
x
2
Zad.6 Wyznacz przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji: 1
6.1 f (x) = x2+2
6.2 f (x) = x e x
6.3 f (x) = ln(1 + x2)
x
√
6.4 f (x) = x arctg x
6.5 f (x) = 3 x5
6.6 f (x) = earctg x
6.7 f (x) = ln2 x + 2 ln x
6.8 f (x) = x2 e−x
6.9 f (x) = ln (x2 − 1)
6.10 f (x) = 2+ln x
6.11 f (x) = ln2 x + x
6.12 f (x) = x2 e−x
x
√
1
6.13 f (x) = 4p(x − 1)5 + 20p(x − 1)3
6.14 f (x) = (x − 2) e x−2
6.15 f (x) = (x + 2) 3 x − 1
Zad.7 Dla jakich wartości a i b punkt A(1, 3) jest punktem przegięcia krzywej y = ax3 + bx2 ?
√
Zad.8 Narysuj wykres funkcji y =
x ln x w otoczeniu o promieniu 1 punktu przegięcia.
2