Politechnika Warszawska

SzNTiS w Płocku

5. Twierdzenie o ekstremach

Funkcja f(x) jest różniczkowlna w (a,b) oraz





b

a,



f'' x0

 

0

=

dla

x0

oraz w punkcie

x0

następuje zmiana znaku pochodnej

1) Z "+" na "-" to w x

0

funkcja f(x) osiąga maksimum

2) Z "-" na "+" to w x

0

funkcja f(x) osiąga minimum

f : ( a , b )

 R

6. Twierdzenie II o ekstremach

Funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowlna w (a,b)





b

a,



f'' x0

 

0

=

dla

x0

oraz

1) f ' '(x

0

) > 0 to w x

0

funkcja f(x) osiąga minimum

2) f ' '(x

0

) < 0 to w x

0

funkcja f(x) osiąga maksimum





b

a,



7. Twierdzenie o wklęsłości i wypukłości oraz punktach przegięcia

Jeżeli dla każdego

x

1) f ' '(x) > 0, to funkcja f(x) na przedziale (a,b) jest wypukła
2) f ' '(x) < 0, to funkcja f(x) na przedziale (a,b) jest wklęsła
3) dla x

0

z przedziału (a,b) f ' ' (x

0

) = 0 i f ' ' (x) zmienia znak w punkcie x

0

to punkt (x

0

,f(x

0

))

jest punktem przegięcia wykresu funkcji f(x)

8. Wielomian Taylora i Maclaurina Dla funkcji f(x), która w punkcie x

0

ma pochodne rzędu k

f x

( )

f x0

 

f

1

( )

x0

 



1

x

x0











f

2

( )

x0

 



2

x

x0







2





....



f

k

( )

x0

 



k

x

x0







k





Rn x

( )



=

wielomian Taylora

f x

( )

f 0

( )

f

1

( )

0

( )



1

x





f

2

( )

0

( )



2

x

2





....



f

k

( )

0

( )



k

x

k





Rn x

( )



=

wielomian Maclaurina

WYKŁAD 9 - ZASTOSOWANIE POCHODNEJ FUNKCJI

1. Pochodne funkcji wyższego rzędu

Jeżeli pochodna y' = f ' (x) jest różniczkowalna dla x z przedziału (a,b) to jej pochodą nazywamy pochodą

rzędu drugiego (drugą pochodą) i zapisujemy f ' ' (x) = (f '(x))' lub

f

2

( )

x

( )

d

2

f x

( )

dx

2



gdzie

f

1

( )

x

( )

f'' x

( )

=

d f x

( )

dx



f

0

( )

x

( )

f x

( )

=

pochodna rzędu n

f

n

( )

x

( )

f

n 1



(

)

x

( )





'

=

d

n

f x

( )

dx

n

=

Wzór Leibniza

f g



(

)

n

( )

x

( )



0

n

k

n

k

















f

n k



(

)



x

( ) g

k

( )



x

( )

=

2. Reguła de L' Hospitala

a )

jeżeli

x0

x

f x

( )

g x

( )

lim



jest symbolem typu

0

0

lub





b )

istnieje granica

x0

x

f'' x

( )

g' x

( )

lim



to

x0

x

f x

( )

g x

( )

lim



x0

x

f'' x

( )

g' x

( )

lim



=

3. Twierdzenie Rolle' a i twierdzenie Lagrange' a

4. Twierdzenia o monotoniczności funkcji

Jeżeli dla każdego x z przedziału (a,b)

1) f '(x) = 0, to funkcja f(x) jest stała na przedzale (a,b)
2) f '(x) > 0, to funkcja f(x) jest rosnąca na przedzale (a,b)
3) f '(x) < 0, to funkcja f(x) jest malejąca na przedzale (a,b)

f : ( a , b )

 R

Konspekt do wykładu 9

IB + IS sem I (stacjonarne)

oprac. A. Pankowski