10. SZEREGI TAYLORA I SZEREGI LAURENTA

1. Niech f ∈ H(C), f (z) =

P

∞
n=0

c

n

z

n

dla z ∈ C.

Za l´

o˙zmy, ˙ze istniej

,

a sta le M, R > 0 i k ∈ N takie, ˙ze dla z ∈ C\D(0, R) zachodzi nier´owno´s´c:

|f (z)| ≤ M |z|

k

.

Wykaza´

c, ˙ze f jest wielomianem stopnia co najwy˙zej k.

2. Wyznaczy´

c szereg Taylora o ´srodku w punkcie z

0

= 0 dla funkcji f i poda´

c jego promie´

n

zbie˙zno´sci:

a)

f (z) = cosh z

b)

f (z) = Ln(z + 1).

3. Znale´

z´

c rozwini

,

ecie w szereg Taylora o ´srodku w punkcie z

0

= 0 ga l

,

ezi g l´

ownej funkcji

f (z) =

√

1 + z dla |z| < 1.

4. Wyznaczy´

c szereg Taylora o ´srodku w punkcie z

0

= 0 dla funkcji f (z) = sin

2

z. Czy

funkcja g(z) = sin

2

(

√

z) jest ca lkowita?

5. Ga l

,

a´

z g l´

own

,

a funkcji

f (z) = ln

1 + z

2

1 − z

2

rozwin

,

a´

c w szereg Taylora o ´srodku w punkcie z

0

= 0. Wykaza´

c, ˙ze funkcja g(z) =

1
z

Ln

1+z

2

1−z

2

jest holomorficzna w D(0, 1).

6. * Niech G b

,

edzie obszarem i niech f

k

b

,

edzie ci

,

agiem funkcji holomorficznych w G zbie˙znym

jednostajnie na G do funkcji f .
a) Korzystaj

,

ac z twierdzenia Morery wykaza´

c, ˙ze f ∈ H(G).

b) Korzystaj

,

ac ze wzor´

ow Cauchy wykaza´

c, ˙ze dla a ∈ G lim

k→∞

f

(n)

k

(a) = f

(n)

(a).

7. Czy istnieje niesta la funkcja holomorficzna na D(0, 1) taka, ˙ze dla x rzeczywistych z
przedzia lu (−1, 1)

f (x) = |x|

3

?

8. Znale´

z´

c cz

,

e´s´

c g l´

own

,

a i regularn

,

a szeregu Laurenta funkcji

f (z) =

cos z

z

4

w pier´scieniu P (0, 0, ∞) (z

0

= 0). Okre´sli´

c rodzaj osobliwo´sci funkcji w punkcie z

0

= 0.

Korzystaj

,

ac z powy˙zszych rozwini

,

e´

c obliczy´

c nast

,

epuj

,

ac

,

a ca lk

,

e

Z

{z:|z|=r}

z

−4

cos zdz,

0 < r < 1.

9. Znale´

z´

c rozwini

,

ecie w szereg Laurenta w punkcie z

0

= ∞ w pier´scieniu P (0, 1, ∞) dla

funkcji f (z) = z

4

sin(1/z). Okre´sli´

c rodzaj osobliwo´sci funkcji w punkcie z

0

= ∞. Korzy-

staj

,

ac z tego rozwini

,

ecia obliczy´

c

Z

{z:|z|=R}

z

4

sin(1/z)dz,

1 < R < ∞.

10. Znale´

z´

c rozwini

,

ecie funkcji

f (z) =

1

z(z − 1)

2

w szereg Laurenta o ´srodku w punkcie z

0

= 1 w obszarze:

a) A

1

= {z : 0 < |z − 1| < 1}

b) A

2

= {z : |z − 1| > 1}.