Wydział WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.3

dr Jolanta Dymkowska

Szereg Taylora

Zad.1 Rozwiń funkcje w szereg potęgowy w otoczeniu punktu x

0

:

1.1 f (x) = x

3

e

−x

, x

0

= 0

1.2 f (x) = e

3x

, x

0

= 1

1.3 f (x) = x sin

x

2

, x

0

= 0

1.4 f (x) = sin 2x, x

0

=

π

2

1.5 f (x) = x

3

cos 3x

3

, x

0

= 0

1.6 f (x) = ch x, x

0

= 0

1.7 f (x) = cos

2

x, x

0

= 0

1.8 f (x) =

3

√

1 + x, x

0

= 0

1.9 f (x) =

4

√

1 − x

4

, x

0

= 0

1.10 f (x) =

x

4+x

, x

0

= 0

1.11 f (x) =

1

x

, x

0

= −1

1.12 f (x) =

1

x

2

+5x+6

, x

0

= 2

1.13 f (x) =

3x−1

x

2

−2x−3

, x

0

= −3

1.14 f (x) =

1

x

2

+4x+8

, x

0

= −2

1.15 f (x) = ln(1 + x

2

), x

0

= 0

1.16 f (x) = ln(x

2

− 3x + 2), x

0

= 0

1.17 f (x) = ln x, x

0

= 1

1.18 f (x) = x arctg x, x

0

= 0

1.19 f (x) = arcsin x, x

0

= 0

Zad.2 Oblicz wskazane pochodne funkcji f :

2.1 f

(41)

(0), f

(42)

(0), f (x) = x e

x

4

2.2 f

(63)

(0), f

(64)

(0), f (x) = sin x

3

2.3 f

(37)

(0), f (x) =

x

x−4

2.4 f

(42)

(1), f (x) =

2

1+x

2.5 f

(50)

(0), f (x) = ln(1 + x

2

)

2.1 f

(46)

(0), f (x) = arctg x

2

Zad.3 Oblicz w przybliżeniu całkę, sumując pierwsze trzy wyrazy odpowiedniego szeregu:

3.1

0,5

R

0

arctg x

3

dx

3.2

1

R

0,1

e

x

x

dx

Zad.4 Oblicz z dokladnością do 0,001 całki:

4.1

1

R

0

e

−x

2

dx

4.2

π

3

R

π

6

cos x

x

dx

4.3

1

R

0,5

arctg x

x

dx

4.4

0,3

R

0,1

ln(1+x)

x

dx

4.5

0,5

R

0

1

√

1+x

3

dx

4.6

1

R

0

sin x

2

x

dx

Zad.5 Oblicz długość łuku krzywej y =

2
7

x

3

√

x dla x ∈ [0 ; 0, 5] z dokładnością do 0,0001.