Matematyka w Fizyce, zadania, zestaw 5.
1. Zastosować w kolejnych zadaniach wzór Taylora do przedstawienia funkcji f(x) w postaci
rozwinięcia na szereg potęgowy w otoczeniu punktu x = a :
$$f\left( x \right) = f\left( a \right) + \frac{f^{'}\left( a \right)}{1!}\left( x - a \right) + \frac{f^{''}\left( a \right)}{2!}\left( x - a \right)^{2} + \ldots + \frac{f^{\left( n - 1 \right)}\left( a \right)}{\left( n - 1 \right)!}\left( x - a \right)^{n - 1} + \frac{f^{n}\left( a \right)}{n!}\left( x - a \right)^{n}$$
przyjmując x = 0 (rozwinięcie na szereg Maclaurina).
2. f(x) = ex
3. f(x) = sinx
4. f(x) = cosx
5. f(x) = (1 + x)s
6. $f\left( x \right) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}}$ , określić dla jakich wartości x szereg jest zbieżny.
7. $f\left( x \right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ , określić promień zbieżności.
8. Obliczyć $\sin\frac{1}{5}$ z dokładnością do 0.0001.
9. Korzystając z rozwinięcia funkcji f(x) = (1 + x)s obliczyć wartość $\sqrt[3]{30}$ z dokładnością do 0.001.
10. Pokazać, że jeśli an ≤ A < an + 1, gdzie n jest liczbą naturalną, wartość przybliżoną $\sqrt[n]{A}$ można
obliczyć ze wzoru
$$\sqrt[n]{A} \approx a + \frac{x}{n}\frac{1}{a^{n - 1}}$$
gdzie x = A − an .
11. Korzystając ze wzoru z zadania 10. obliczyć $\sqrt[5]{245}$.
12. Obliczyć całkę $\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{\sqrt{2x - 3}}$ poprzez zamianę zmiennych: $\sqrt{2x - 3} = t$.
13. Obliczyć całkę $\int_{}^{}\frac{\text{lnx}}{x}\text{dx}$ przez podstawienie: lnx = t.
14. Obliczyć całkę ∫sinxcosxdx na dwa sposoby: przez podstawienie oraz korzystając z
$\sin{x\cos{x = \frac{1}{2}}}\sin{2x}$ .
15. Obliczyć przez części całkę ∫exsinx dx .
16. Obliczyć przez części całkę ∫lnx dx .
17. Obliczyć stosując kolejno całkowanie przez części i przez podstawienie całkę ∫arctg x dx .
18. Obliczyć całkę $\int_{}^{}\frac{\text{dx}}{e^{x} + e^{- x}}$ .