Matematyka, GiK PW

Semestr letni 2011/12

9. Szeregi

1. Zbadać zbieżność szeregów i znaleźć ich sumę:

(a)

P

∞
n=1

3

n

+4

n

5

n

,

(b)

P

∞
n=1

e

−nα

,

α ∈ R,

(c)

P

∞
n=1

1

n(n+3)

,

(d)

P

∞
n=1

n−1

n!

.

2. Zbadać zbieżność szeregu:

(a)

P

∞
n=1

π

3

− arcsin

n

2

+n+3

2n

2

+5

,

(b)

P

∞
n=1

(

√

n + 1 −

√

n),

(c)

P

∞
n=1

n

q

5

n

,

(d)

P

∞
n=1

2n−3
2n+7

n

3

,

(e)

P

∞
n=1

1

n

n

√

n

,

(f)

P

∞
n=1

(

n

√

n − 1)

n

,

(g)

P

∞
n=1

2

n

n!

n

n

,

(h)

P

∞
n=1

n(2+(−1)

n

)

n

4

n

,

(i)

P

∞
n=1

2

n

sin

π

3

n

,

(j)

P

∞
n=1

1

3

√

n

tg

π

4n

,

(k)

P

∞
n=1

3

√

n

1+

√

n

tg

1

√

n

,

(l)

P

∞
n=1

1

√

n

arctg

1

n

(wsk. x ≤ tg x ≤ 2x ∀x ∈ (0, 1)),

(m)

P

∞
n=1

1

n

α

(

√

n + 1 −

√

n − 1),

α ∈ R,

(n)

P

∞
n=1

ln n

4

√

n

5

,

(o)

P

∞
n=1

(−1)

n

sin

4

√

n

3

+4n

,

(p)

P

∞
n=1

1+n

2

1+n

3

2p

,

p > 0,

(q)

P

∞
n=2

(−1)

n

n−ln n

,

(r)

P

∞
n=1

(2n)!

n!(n+1)!

,

(s)

P

∞
n=1

n tg

π

2

n+1

,

Matematyka, GiK PW

Semestr letni 2011/12

(t)

P

∞
n=1

(

n+1

n

)

n2

3

n

.

3. Udowodnić, że jeżeli

P

∞
n=1

a

n

jest zbieżny, a

n

≥ 0, to

P

∞
n=1

a

2
n

też jest

zbieżny.

4. Udowodnić, że jeżeli

P

∞
n=1

a

n

jest zbieżny bezwzględnie, to

P

∞
n=1

n+3
n+2

a

n

jest zbieżny.

5. Zbadać zbieżność bezwzględną i warunkową szeregów:

(a)

P

∞
n=1

(−1)

n(n+1)

2

n

100

2

n

,

(b)

P

∞
n=1

cos nπ
1+

√

n

,

(c)

P

∞
n=2

(−1)

n ln n

n

.