MECHANIKA BUDOWLI – Bryja

8. Metody wyznaczania reakcji w belkach wieloprzęsłowych przegubowych:

Geometrycznie niezmienny układ utworzony z szeregu jednoprzęsłowych belek prostych, połączonych ze sobą przegubami, nazywa się belką ciągłą przegubową lub belką gerberowską. Zazwyczaj przyjmuje się, że na belkę działa wyłącznie obciążenie pionowe. Belki tego typu pozwalają na uzyskanie dużych rozpiętości przęseł i są stosowane między innymi w konstrukcjach mostowych. Belek ciągłych przegubowych nie można rozwiązać w standardowy sposób, gdyż na płaszczyźnie do dyspozycji są jedynie trzy niezależne równania równowagi. Brakujące równania można jednak otrzymać, zapisując warunki zerowania się momentów zginających w przegubach – tzw. warunki konstrukcyjne. Jeżeli zatem belka ciągła przegubowa zawiera tyle przegubów, ile jest nadliczbowych składowych reakcji, to taka belka jest statycznie wyznaczalna. Przeguby muszą być jednak wprowadzone w taki sposób, aby zapewniona była geometryczna niezmienność układu.

Schemat pracy układu można uzyskać, dzieląc myślowo belkę w przegubach. Wtedy każdy wyodrębniony element oblicza się jako belkę prostą (swobodnie podpartą lub wspornikową).

W schemacie pracy wyróżnia się belki proste statycznie wyznaczalne, zwane elementami podstawowymi, oraz belki zawieszone, niemające odpowiedniej liczby własnych podpór. Obliczenia zaczyna się od ostatnich, a wyznaczonymi dla nich reakcjami obciąża się elementy podstawowe.

9. Pojęcie linii wpływowej, metody wyznaczania linii wpływowych, obwiednia sił przekrojowych:

Podstawowym narzędziem analizy statycznego działania obciążeń zmiennych są linie wpływu, które można zdefiniować następująco:

Linie wpływu są to funkcje lub wykresy obrazujące zależność między poszukiwaną wielkością statyczną (np. reakcją, siłą wewnętrzną lub ugięciem układu) a położeniem jednostkowej siły skupionej P=1

Sposób wyznaczania linii wpływu:

W układach statycznie wyznaczalnych – linia wpływu jest zawsze funkcją liniową

Wyznaczenie linii wpływu polega na określeniu wartości poszukiwanej wielkości statycznej w zależności od położenia siły jednostkowej w punkcie charakterystycznym (np. nad podporą) w

W układach statycznie nie wyznaczalnych – linia wpływu jest funkcją nie liniową

Wyznaczenie linii wpływu polega na z czytaniu wartości poszukiwanej wielkości statycznej w danym punkcie i narysowanie wykresu od przemieszczającej się siły jednostkowej.

Projektowanie pewnych typów konstrukcji specjalnych (np. suwnic lub mostów) wymaga znajomości ekstremalnych wartości sił wewnętrznych w każdym punkcie układu. Największe lub najmniejsze momenty zginające lub siły poprzeczne określa się na podstawie obwiedni sił wewnętrznych, która definiujemy następująco:

Obwiednia dowolnej wielkości statycznej (np. momentu zginającego) dla danego obciążenia zmiennego jest funkcją (wykresem) obrazującą zależność między minimalnymi i maksymalnymi wartościami tej wielkości z położeniem przekroju.

10. Obliczanie przemieszczeń spowodowanych obciążeniami mechanicznymi w płaskich ustrojach prętowych, wzór Maxwella-Mohra.

Odkształcalny układ prętowy może ulec deformacji na skutek działania takich czynników, jak: obciążenia czynne, zmiany temperatury, przemieszczenia podpór i błędy montażowe. Deformację określają przemieszczenia i kąty obrotu poszczególnych punktów konstrukcji, a także zmiany kątów między prętami połączonymi przegubami.

Na skutek działania obciążenia belka ugnie się, a w jej przekrojach powstaną siły wewnętrzne M, N i V. Aby wyznaczyć przemieszczenie δi dowolnego punktu i belki, jako obciążenie wirtualne należy przyjąć jednostkową siłę , zaczepioną w punkcie i, o kierunku poszukiwanego przemieszczenia δi. Zgodnie z przyjętą konwencją siły wewnętrzne od obciążenia wirtualnego oznacza się , i . Równanie pracy wirtualnej będzie miało postać:

Można więc stwierdzić, ze odpowiednie przyjęcie obciążenia wirtualnego prowadzi bezpośrednio do wzoru pozwalającego na obliczenie szukanego przemieszczenia.

Z kolei do wyznaczenia kąta obrotu punktu A rozpatrywanej belki swobodnie podpartej, jako obciążenie wirtualne należy przyjąć jednostkowy moment skupiony , zaczepiony w punkcie A. Szukany kąt oblicza się bezpośrednio z następującego równania pracy wirtualnej.

Oba wzory umożliwiają wyznaczenie dokładnych wartości przemieszczeń. Jednak w najczęściej spotykanych układach prętowych, czyli belkach i ramach, wpływ sił podłużnych i poprzecznych na przemieszczenia jest znikomy (mniej niż 2%) zatem wzory opisujące uogólnione przemieszczenia dowolnego punktu belki lub ramy można uprościć do postaci, w której występują jedynie równania momentów zginających

Metoda przemieszczeń wirtualnych pozwala również na wyznaczenie przemieszczeń układów kratowych. W kratownicach nie występują momenty i siły poprzeczne, zatem wzór przyjmuje postać:

Wszystkie składniki we wzorze są stałe dla pojedynczego pręta. Oznaczając przez Nk siłę od danego obciążenia czynnego w k-tym pręcie długości lk, module Younga Ek i polu przekroju Ak, a przez siłę od obciążenia wirtualnego można zapisać całkę dla pojedynczego k-tego pręta.

11. Metody rozwiązywania statycznie niewyznaczalnych układów prętowych. Metoda sił. Metoda przemieszczeń.

Metoda sił jest sposobem rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych, czyli układów o

nadliczbowych więzach (zewnętrznych i wewnętrznych). Sprowadza się ona do rozwiązania układu statycznie wyznaczalnego (układ podstawowy w metodzie sił), który powstaje z niewyznaczalnego układu rzeczywistego przez wprowadzenie w miejsce odrzuconych więzów niewiadomych sił. Jest to prosty sposób na rozwiązanie układów ramowych, kratowych czy łukowych.

Istota metody opiera się na pozbawieniu rozpatrywanego, obciążonego układu nadliczbowych więzów, dbając jednak przy tym o to, aby pozostał on geometrycznie niezmienny. W miejsce myślowo usuniętych więzów wstawiamy niewiadome siły. Następnie, aby zachować kinematyczną identyczność układu rzeczywistego z nowym, nazywanym dalej układem podstawowym w metodzie sił, określamy sumaryczne przemieszczenia po kierunkach działania tych sił. Ponieważ w rzeczywistości w tych miejscach istniały więzy, przemieszczenia te są równe zero. Układając te warunki w równania otrzymujemy wyznaczalny układ, a zatem możemy obliczyć wartości nadliczbowych niewiadomych .

Układ podstawowy, który na ogół jest układem statycznie wyznaczalnym, musi spełniać również trzy

warunki odpowiedniości:

– identyczność geometryczna (zgodność wymiarów),

– identyczność kinematyczna (zgodność przemieszczeń – równania kanoniczne),

– identyczność statyczna (zgodność obciążeń).

Metoda Przemieszczeń:

Metoda przemieszczeń jest drugą (obok metody sił) najczęściej stosowaną metodą rozwiązywania statycznie niewyznaczalnych układów prętowych. Niewiadomymi w tej metodzie są przemieszczenia. W klasycznej wersji metody zazwyczaj pomija się odkształcanie podłużne prętów. Stosuje się ją do rozwiązania układów prętowych o niewielkiej liczbie niewiadomych.

W metodzie przemieszczeń każdy układ prętowy rozpatruje się jako zbiór prętów i węzłów. Ogólnie węzły są zdefiniowane jako miejsca połączenia poszczególnych elementów prętowych oraz jako węzły podporowe. Węzły, które mogą ulec przesunięciu lub obrotowi, nazywa się swobodnymi. Jeżeli zarówno przesunięcie, jak i obrót są niemożliwe, to węzły takie nazywa się nieruchomymi. W grupie węzłów swobodnych wyróżnia się węzły wewnętrzne. Statyczna i kinematyczna analiza węzłów wewnętrznych stanowi podstawę sformułowania algorytmu metody przemieszczeń. Znajomość kątów obrotów i przemieszczeń węzłów wewnętrznych umożliwia wyznaczenie sił wewnętrznych konstrukcji. Wynika to z faktu, że deformację prętów pod wpływem obciążenia można określić, znając przemieszczenia o kąty obrotu ich końców. Obroty i przemieszczenia węzłów podporowych układu (podpora przegubowo-przesuwna i nieprzesuwna oraz utwierdzenie) nie są konieczne do uzyskania rozwiązania.

Algorytm obliczeń, Interpretacja fizyczna rozwiązania:

Reasumując można stwierdzić, że w celu rozwiązania geometrycznej niewyznaczalnych układów prętowych metodą przemieszczeń należy:

1. Określić stopień geometrycznej niewyznaczalności

2. Przyjąć standardowy układ podstawowy i określić niewiadome geometryczne φ i ∆

3. Dla każdego pojedynczego pręta obliczyć momenty wyjściowe i

4. Obliczyć momenty i ze wzorów transformacyjnych

5. Zapisać i rozwiązać układ równań równowagi

6. Dla poszczególnych prętów obliczyć wartości przywęzłowych momentów

7. Z warunków równowagi obliczyć wartości sił poprzecznych, podłużnych oraz reakcji podporowych

8. Sporządzić wykresy sił wewnętrznych

9. Skontrolować prawidłowość wyników obliczeń.