POLE ELEKTRYCZNE I PRĄD STAŁY

Q lub q	ładunek elektryczny
k	stała (dla próżni) =
F	siła wzajemnego oddziaływania dwóch punktowych ładunków (Prawo Coulomba)
	wektor natężenia pola
E	natężenie pola elektrycznego
W	praca
	energia potencjalna ładunku
V	potencjał pola elektrycznego
ΔV	przyrost potencjału pola
ϕ	strumień jednorodnego pola elektrycznego (Prawo Gaussa)
λ	liniowa gęstość ładunku elektrycznego (dla ładunku jednorodnie rozłożonego wzdłuż linii prostej)
σ	powierzchniowa gęstość ładunku elektrycznego
μ	moment dipolowy
ρ	gęstość objętościowa ładunku
ε	Przenikalność elektryczna ośrodka
	względna przenikalność elektryczna ośrodka
C	pojemność kondensatora płaskiego
U	napięcie
P	moc
I	natężenie prądu

	gdzie n – kolejne liczby całkowite
	wektor natężenia pola
	wartość natężenia pola elektrycznego dla kulistego rozkładu ładunku, gdzie: r – odległość od środka tego rozkładu
	wartość natężenia pola elektrycznego dla ładunku jednorodnie rozłożonego wzdłuż linii prostej
	wartość natężenia pola elektrycznego dla ładunku jednorodnie rozłożonego na płaszczyźnie
	energia potencjalna ładunku q, gdzie: Q – wytwarza pole
	potencjał pola elektrycznego
	potencjał pola elektrycznego dla pojemności ładunku lub źródła pola o symetrii kulistej
	przyrost potencjału pola
	PRAWO GAUSSA – strumień jednorodnego pola elektrycznego
	gdzie: S – powierzchnia; α – kąt między a kierunkiem prostopadłym do S
	powierzchniowa gęstość ładunku, gdzie Q – ładunek, S – powierzchnia
	moment dipolowy równy iloczynowi odległości pomiędzy ładunkami i wartości jednego ładunku
	gęstość objętościowa ładunku Q, gdzie V – objętość
	względna przenikalność elektryczna ośrodka oraz przenikalność elektryczna ośrodka
	pojemność kondensatora płaskiego C, gdzie Q – ładunek, a różnica potencjałów
	napięcie U
	Moc (praca lub energia na jednostkę czasu) wydzielana w rozważanym fragmencie obwodu, na którego końcach napięcie wynosi U, a przepływający prąd ma natężenie I.
	moc prądu (pamiętając że )

1. Obliczyć natężenie pola E elektrycznego na środku jednego z boków kwadratu jeżeli w jego narożnikach umieszczono jednakowe ładunki q. Rozpatrzyć różne kombinacje znaków tych ładunków.

Co do wartości:

A – długość boku kwadratu

x – długość odcinka oraz

Zgodnie z zasadą superpozycji, aby znaleźć natężenie pola w punkcie A, należy dodać wektorowo natężenia pól w punkcie A, pochodzące od poszczególnych ładunków:

Przykładowa kombinacja znaków ładunków:

Znaki i jeśli są różne, to suma wektorów ich natężeń w punkcie A będzie podwojeniem natężenia jednego lub drugiego (obojętnie którego, bo mając takie same ładunki oraz odległość od punku A mają takie same natężenia w punkcie A).

I nterpretacja znaków i jest analogiczna.

czyli ich suma

Ze wzoru na wartość natężenia pola elektrycznego w odległości x od pojedynczego punktu

obliczamy i .

Obliczone wartości wstawiamy do wzorów na i .

Następnie otrzymane wartości sumujemy i otrzymujemy szukane .

2. Jakie jest natężenie pola elektrycznego E w odległości r od nieskończonej płaszczyzny naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową ładunku σ.

a ponieważ:

więc całka jest równa:

Zapisujemy prawo Gaussa:

z tego wyliczamy E:

a ponieważ wiemy że:

to ostateczny wzór zapisujemy:

3. Elektron znajduje się w środku sześcianu o boku a. Obliczyć strumień indukcji elektrycznej przechodzący przez każdą ze ścian oraz wszystkie ściany sześcianu.

- przez wszystkie ściany

- przez jedną ze ścian

4. W środku sfery o promieniu r znajduje się dipol złożony z protonu i elektronu oddalonych od siebie o . Obliczyć: moment dipolowy tego układu ładunków, natężenie pola elektrycznego w odległości na osi dipola oraz strumień indukcji elektrycznej przechodzący przez powierzchnię sfery.

D ane:

Elektryczny moment dipolowy p jest to wektorowa wielkość fizyczna charakteryzująca dipol elektryczny. Elektryczny moment dipolowy p dwóch punktowych ładunków o jednakowych wartościach q i przeciwnych znakach jest równy iloczynowi odległości między nimi i wartości jednego ładunku:

Natężenie pola elektrycznego E:

Oddziaływanie krótko-zasięgowe (dipolowe) bardzo ważne w ciałach stałych i cieczach:

Oddziaływanie kulombowskie (dla porównania):

Korzystając z zasady superpozycji sumujemy natężenia pola magnetycznego pochodzące kolejno od ładunku dodatniego i ujemnego. Następnie korzystamy ze wzoru na wartość natężenia pola elektrycznego dla kulistego rozkładu ładunku i otrzymujemy:

po długich obliczeniach, których na szczęście nie musimy robić otrzymujemy wersję, że:

a ponieważ wiemy że moment dipolowy μ to:

możemy nasz piękny wzór przekształcić na:

5. Korzystając z prawa Gaussa wyprowadzić wzory na zależność natężenia pola oraz potencjału od odległości od środka jednorodnej przewodzącej (nieprzewodzącej) kuli naładowanej ładunkiem Q.

Po pierwsze: Kula przewodząca to kula np. metalowa. Kula nieprzewodząca to kula dielektryczna.

Po drugie: Zasadnicza różnica pomiędzy nimi to rozłożenie ładunku! W kuli przewodzącej cały ładunek jest zgromadzony tylko na powierzchni. W kuli nieprzewodzącej ładunek jest rozłożony równomiernie.

Pole jednorodnie naładowanej kuli przewodzącej:

R ozpatrujemy dwa przypadki:

1. Ładunek wewnątrz kuli, czyli r < R

całkujemy:

2. Ładunek na zewnątrz kuli, czyli r > R

6. Korzystając z prawa Gaussa wyprowadzić wzór na pojemności kondensatora płaskiego.

K orzystamy ze wzoru na wartość natężenia pola elektrycznego dla ładunku jednorodnie rozłożonego na płaszczyźnie:

Wzór na przyrost potencjału pola:

Podstawiamy wartość E do wzoru na przyrost potencjału pola:

Wyprowadzam wzór na pojemność kondensatora płaskiego C:

korzystam ze wzoru na gęstość powierzchniową:

=>

do wzoru na pojemność kondensatora wprowadzam obliczony przyrost potencjału pola oraz wzór powyżej:

7. Dwa ładunki +q i -3q znajdują się w odległości d. Znaleźć na prostej łączącej te ładunki punkt w którym natężenie pola elektrycznego E=0.

Jak wynika z rysunku, ładunek próbny pokazuje nam, że między ładunkami q i -3q nie może występować zerowe natężenie pola elektrycznego (E=0).

Wzór na natężenie pola elektrycznego pochodzącego od ładunku punktowego:

Aby natężenie pola w punkcie, którego szukamy było równe zero, to natężenia pola pochodzące od każdego z ładunków muszą być sobie równe:

8. Kondensator (A) o pojemności C₁ podłączony zostaje do źródła napięcia U₀. Po odłączeniu kondensator (A) został podłączony równolegle z nienaładowanym kondensatorem (B) o pojemności C₂. Jaka różnica potencjałów U ustali się w tym układzie?

Etap 1:

Kondensator A ładuje się ładunkiem q₁.

Etap 2:

Kondensator A zostaje podłączony z nienaładowanym kondensatorem B i w efekcie ładunek wcześniej zgromadzony na kondensatorze A zostaje rozdzielony na

dwa ładunki i :

Potencjały i po pewnym czasie się wyrównają:

Rozwiązujemy więc układ równań:

9. Napięcie między okładkami kondensatora, o pojemności C i odległości pomiędzy okładkami d, zwiększamy dwukrotnie. O ile zmieni się ładunek i natężenie pola elektrycznego E między okładkami? Obliczyć pojemności i energię pola elektrycznego E_p.

Dane:

, d

Korzystam ze wzoru na natężenie pola elektrycznego: i porównuję natężenie sprzed zmiany i po:

Porównuję pojemności kondensatora płaskiego C ze wzoru: :

Porównuję ładunki Q ze wzoru: :

	a ponieważ:

Obliczam energię na podstawie danych zapisanych na początku zadania. Ponieważ istnieje zależność między ładunkiem Q a napięciem między okładkami U (Q=CU), to energię mogę zapisać w postaci:

10. Dwie żarówki o oporach R₁ i R₂ połączono (a) równolegle (b) szeregowo. Która żarówka będzie jaśniej świeciła (obliczyć moc wydzielaną na każdej z żarówek po podłączeniu do źródła napięcia U)?

W zadaniu korzystam ze wzoru na moc P (P=UI) oraz moc prądu wydzielanego w oporniku ( ).

P ołączenie szeregowe

Natężenie I mają takie same, ale napięcie U jest różne.

- żarówka pierwsza

- żarówka druga

Ponieważ nie ma danych dotyczących oporów tych żarówek nie można obliczyć, która będzie świeciła jaśniej.

Połączenie równoległe

Natężenie I mają różne (suma ich natężeń to natężenie wyjściowe), napięcie U mają takie same.

Korzystam ze wzoru:

wyliczam natężenie I z powyższych wzorów:

Obliczam moc P:

Przypadek po podłączeniu do napięcia U:

Połączenie szeregowe

Połączenie równoległe

11. N apisać dynamiczne równanie ruchu elektronu w jednorodnym polu elektrycznym o natężeniu E. Jakim ruchem porusza się elektron?

ponieważ to:

/m

/m

Otrzymujemy:

- ruch jednostajny

- ruch jednostajnie przyspieszony

12. Cztery jednakowe oporniki o oporze 10Ω każdy, połączone szeregowo (równolegle) podłączono do źródła napięcia U=230 V. Obliczyć natężenie prądu płynącego przez każdy z oporników, ilość ciepła wydzielonego przez ten układ w czasie 1h.

Połączenie szeregowe

K ażdy:

Układ:

Ilość ciepła:

Połączenie równoległe

Każdy:

Układ:

Ilość ciepła:

13. Cztery jednakowe kondensatory o pojemności 10nF każdy, połączone szeregowo (równolegle) podłączono do źródła napięcia stałego U=100V. Obliczyć ładunek zgromadzony na każdym z kondensatorów oraz całym układzie. Obliczyć energię zgromadzoną przez każdy z kondensatorów oraz ich układ.

Połączenie szeregowe

W całym układzie:

Każdy:

Układ:

P ołączenie równoległe

W całym układzie:

Każdy:

Układ:

14. Obliczyć pojemność kondensatora płaskiego, którego okładki mają średnicę 10cm, a odległość między nimi wynosi 1mm. Jak zmieni się pojemność tego kondensatora jeżeli: odległość między okładkami zmniejszymy do 0,5mm? Jeżeli kondensator wypełnimy dielektrykiem o względnej przenikalności elektrycznej ε_r=100?

- powierzchnia

15. Obliczyć opór elektryczny przewodnika o długości l=100m, polu przekroju S=2mm², wykonanego z miedzi (opór właściwy miedzi ρ=0,0175Ωm w temperaturze 293K). Jaki będzie opór tego przewodnika w temperaturze 200⁰C (współczynnik temperaturowy oporu miedzi α=4,0^.10^-3 K^-1)?