WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO PRZY POMOCY WAHADŁA MATEMATYCZNEGO

I Wstęp

Wahadło – ciało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nie przechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

W mechanice rozróżnia się dwa podstawowe rodzaje wahadeł:

• matematyczne (proste),

• fizyczne.

Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niemal pełna niezależność ich okresu drgań od amplitudy co jest dobrze spełnione dla małych wychyleń. Własność ta, zwana izochronizmem drgań, została odkryta około 1602 roku przez Galileusza, który używał wahadła do pomiaru czasu. Zainspirowany tą zasadą Christian Huygens zbudował w 1656 roku pierwszy zegar wahadłowy. Zegary wahadłowe były najdokładniejszymi urządzaniami do pomiaru czasu aż do skonstruowania w latach 30. XX wieku zegarów kwarcowych.

W ogólności jego okres drgań i inne parametry zależy od amplitudy. Opis matematyczny rozwiązań równania ruchu wahadła jest w ogólności dość złożony, ale założenia upraszczające przyjmowane dla małych amplitud drgań pozwalają rozwiązać równania ruchu w sposób analityczny.

Przyspieszenie ziemskie – przyspieszenie grawitacyjne ciał swobodnie spadających na Ziemię, bez oporów ruchu

Wartość przyspieszenia ziemskiego zależy od szerokości geograficznej oraz wysokości nad poziomem morza. Wraz z wysokością przyspieszenie maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości do środka Ziemi i jest wynikiem zmniejszania się siły grawitacji zgodnie z prawem powszechnego ciążenia. Zmniejszanie się przyspieszenia ziemskiego wraz ze zmniejszaniem szerokości geograficznej jest spowodowane działaniem pozornej siły odśrodkowej.

Odchylenie standardowe – klasyczna miara zmienności, obok średniej arytmetycznej najczęściej stosowane pojęcie statystyczne.

Intuicyjnie rzecz ujmując, odchylenie standardowe mówi, jak szeroko wartości jakiejś wielkości (takiej jak np. wiek, inflacja, kurs akcji itp.) są rozrzucone wokół jej średniej. Im mniejsza wartość odchylenia tym obserwacje są bardziej skupione wokół średniej.

II Przebieg Doświadczenia

Ustalaliśmy początkową długość wahadła (dla każdego kolejnego pomiaru zwiększaliśmy ją o 10cm) i dla każdej nowej długości nitki modelu wahadła matematycznego odchylaliśmy je o kąt 5 stopni. Dla każdej długości mierzyliśmy pięciokrotnie czas dziesięciu wahnięć. Wszystkie wyniki zapisywaliśmy w tabeli pomiarowej. Potem obliczyliśmy niepewności, narysowaliśmy rysunek oraz obliczyliśmy przyspieszenie ziemskie.

III Pomiary

Lp.	L [cm]	T [s]
		1	2	3	4	5
1	30	10,79	10,82	10,81	10,82	10,80
2	40	12,53	12,53	12,53	12,53	12,53
3	50	14,18	14,19	14,19	14,18	14,19
4	60	15,49	15,50	15,49	15,49	15,49
5	70	16,74	16,74	16,73	16,74	16,74

IV Opracowanie wyników

L [m]	Tśr. [s] 10 wahnięć	T^2 [s] 1 wahnięcia
0,3	10,81	1,168561
0,4	12,53	1,570009
0,5	14,186	2,01742
0,6	15,492	2,40002
0,7	16,758	2,8016044

V Niepewności pomiarowe

Niepewność L odczytaliśmy z niepewności przyrządu która wynosi 0,001 m, czyli:

L1	0,3 ± 0,001 m
L2	0,4 ± 0,001 m
L3	0,5 ± 0,001 m
L4	0,6 ± 0,001 m
L5	0,7 ± 0,001 m

Niepewność pomiaru czasu policzyliśmy z odchylenia standardowego oraz dodaliśmy do tego niepewność przyrządu, wyniki przedstawiają się następująco:

T30	10,81 ± 0,01 s
T40	12,53 ± 0,005 s
T50	14,186 ± 0,009 s
T60	15,492 ± 0,007 s
T70	16,758 ± 0,007 s

VI Obliczanie przyspieszenia ziemskiego

Narysowaliśmy rysunek:

Wyprowadziliśmy wzór:

T = 2π T² = y

T² = 4π² L = x

g = 4π²

T² = L

y = a * x

a =

Podstawiamy do wzorów:

a = = = = 4

g = = 9,869 [ ]

VII Dyskusja błędów

Obliczyliśmy, że przyspieszenie ziemskie wynosi 9,869 . Jednak nasze obliczenia są niedokładne poprzez to, że:

• nitka powinna być nierozciągliwa i nieważka,

• doświadczenie nie zostało wykonane w próżni,

• model wykorzystany do doświadczenia nie był dokładnym, odwzorowaniem wahadła matematycznego, gdyż nie było to ciało o masie punktowej,

• działka elementarna przyrządu pomiarowego nie była dokładna

• nie znana jest dokładna wartość liczby Pi,

• drgania wahadła matematycznego powinny odbywać się tylko w jednej płaszczyźnie.