1.Wprowadzenie teoretyczne

Wahadłem matematycznym nazywamy ciało o masie m skupionej w jednym punkcie, zawieszonej na nieważkiej nici o stałej długości l. W praktyce nie jest to możliwe do zrealizowania, gdyż nie istnieje nieważka, nierozciągliwa nić i nie istnieje ciało, którego masa byłaby skupiona w jednym punkcie. Dlatego też przybliżeniem do tego ideału może być metalowa kulka zawieszona na cienkiej, stosunkowo mało rozciągliwej nici.

Wahadło to wykonuje ruch drgający harmoniczny. Drgania są w poziomie. Za ruch drgający wahadła matematycznego odpowiada składowa ciężaru ciała. Okresem tego ruchu, czyli okresem wahań wahadła T , nazywamy czas potrzebny na przebycie przez wahadło drogi od punktu maksymalnego wychylenia poprzez przejście przez punkt równowagi do maksymalnego wychylenia w druga stronę i z powrotem, a wiec czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego wahnięcia.Rozkład sił w momencie gdy wahadło wyhylone jest z położenia równowagi:

F = m • g (1.1)

F₁= m • g•cosα (1.2)

F₂= m ∙g ∙ sin α (1.3)

dla małych kątów α

sinα ≈α

F₂≈ m ∙g ∙ α

F₂$\mathbf{\approx}\frac{\mathbf{m \bullet g}}{\mathbf{l}}\mathbf{\bullet}\mathbf{l \bullet \alpha}$

x = l • α _(1.4)

F₂$\mathbf{\approx}\frac{\mathbf{m \bullet g}}{\mathbf{l}}\mathbf{\bullet x}$

F₂$\mathbf{= -}\frac{\mathbf{m \bullet g}}{\mathbf{l}}\mathbf{\bullet x}$

k$\mathbf{=}\frac{\mathbf{m}\mathbf{\bullet}\mathbf{g}}{\mathbf{l}}$ (1.5)

T=$\mathbf{2}\mathbf{\pi}\sqrt{\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{k}}}$ =$\mathbf{2}\mathbf{\pi}\sqrt{\frac{\mathbf{m}}{\frac{\mathbf{m}\mathbf{\bullet}\mathbf{g}}{\mathbf{l}}}}$ =$\mathbf{2}\mathbf{\pi}\sqrt{\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{g}}}$

Dla małych kątów wychylenia okres drgań wahadła jest niezależny od masy i amplitudy drgań wahadła. Zależy on jedynie od długości wahadła i przyspieszenia ziemskiego

Ze wzoru na okres drgań wyznaczam wzór na przyspieszenie ziemskie:

$\mathbf{2\pi}\sqrt{\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{g}}}$ | ²

$T^{2} = 4\pi^{2\ }\mathbf{\bullet \ }\frac{\mathbf{l}}{\mathbf{g}}$ | •g

T² • g = 4π²  • l |÷T²

$g = \frac{4\pi^{2\ } \bullet l}{T^{2}}$ (1.6)

gdzie:

T- okres drgań

l- długość nici

g- przyspieszenie ziemskie

3.Opis ćwiczenia.

Ustawione na statywie wahadło matematyczne (rys.1), którego l wynosiło 95 cm, odchyliłam o kąt 10 ^o. Następnie zmierzyłam czas 10 wahnięć. Kolejne pomiary wykonywałam skracając dł wahadła o 5 cm.

Wyniki pomiarów przedstawiam w tabeli.

Lp.	Długość wahadła L wyrażona w cm	Czas 10 wahnięć T10	Czas jednego wahnięcia T
1.	95	19,48	1,948
2.	90	18,64	1,864
3.	85	18,40	1,840
4.	80	17,24	1,724
5.	75	17,52	1,752
6.	70	16,87	1,687
7.	65	15,80	1,580
8.	60	15,45	1,545
9.	55	14,50	1,450
10.	50	14,00	1,400
11.	45	13,35	1,335
12.	40	12,70	1,270
13.	35	11,60	1,160
14.	30	10,71	1,071
15.	25	9,54	0,954
16.	20	8,10	0,810
17.	15	7,21	0,721
18.	10	6,30	0,630

Tab. 1

L ,m	t ,s	T ,s	$\sqrt{\mathbf{L}}$ ,$\sqrt{\mathbf{m}}$
0,95	19,48	1,948	0,974
0,90	18,64	1,864	0,948
0,85	18,40	1,840	0,921
0,80	17,24	1,724	0,894
0,75	17,52	1,752	0,866
0,70	16,87	1,687	0,836
0,65	15,80	1,580	0,806
0,60	15,45	1,545	0,774
0,55	14,50	1,450	0,741
0,50	14,00	1,400	0,707
0,45	13,35	1,335	0,670
0,40	12,70	1,270	0,632
0,35	11,60	1,160	0,591
0,30	10,71	1,071	0,547
0,25	9,54	0,954	0,500
0,20	8,10	0,810	0,447
0,15	7,21	0,721	0,387
0,10	6,30	0,630	0,316

Tab. 2

Na podstawie danych z tabeli 1 wykreśliłam zależność okresu drgań wahadła od pierwiastka kwadratowego jego długości, następnie dla otrzymanych wyników wykonałam regresję liniową i wyznaczyłam prostą y=ax + b , która przedstawia zależność pomiędzy okresem drgań wahadła (T) i pierwiastkiem jego długości ($\sqrt{\mathbf{L}}$)

$\mathbf{T =}\mathbf{a}\sqrt{\mathbf{\text{L\ }}}\mathbf{+ b}$ (3.1)

Obliczenia wykonałam w programie „Excel”

Otrzymałam następujące wyniki:

a =2,018725 , $\frac{s}{\sqrt{m}}$

u(a) =0 0091 , $\frac{s}{\sqrt{m}}$

b= 0,0130

a= 2,018725 (91)

Zależnośc okresu drgań wahadła od pierwiastka jego długości określa prosta

$\mathbf{T =}\mathbf{a}\sqrt{\mathbf{\text{L\ }}}\mathbf{+ b}$ (3.1)

Ponieważ wyraz wolny (b) nie wpływa na kierunek tej prostej, a jedynie na jej przesunięcie względem osi odciętych, dla uproszczenia pomijam go w obliczeniach. Otrzymałam wzór:

T= $\mathbf{a}\sqrt{\mathbf{L}}$ (3.2)

Podstawiając ten wzór do równania otrzymałam

$\mathbf{a}\sqrt{\mathbf{L}}$=$\mathbf{2\pi}\sqrt{\frac{\mathbf{L}}{\mathbf{g}}}$

$\mathbf{a =}\frac{\mathbf{2\pi}}{\sqrt{\mathbf{g}}}$

$\sqrt{\mathbf{\text{g\ }}}\mathbf{\ =}\frac{\mathbf{2\pi}}{\mathbf{a}}$

$\mathbf{g =}\frac{\mathbf{4\pi}}{\mathbf{\ }\mathbf{a}^{\mathbf{2}}}$ (3.3)

Podstawiając wartości otrzymałam:

g= $\frac{4 \bullet {(3,14)}^{2}}{{2,018725}^{2}}$ =$\frac{39,4384}{4,0752}$ ≈ 9,68 , $\frac{m}{s^{2}}$

Niepewność pomiaru.

u(g) =2g $\bullet \frac{u(a)}{a}$

u(g)= 2• 9,68 $\bullet \frac{0,0091}{2,018725}$ =0,087, $\frac{m}{s^{2}}$

g=9,680(87) $\frac{m}{s^{2}}$

Wnioski:

Wartosć przyspieszenia ziemskiego w przybliżeniu wynosi 9,81 $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}$ . Obliczone przeze mnie doswiadczalnie wynosi 9,68 $\frac{\mathbf{m}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}}$ . Niedokładność ta może wyniknąć z niedokłądności pomiarów (kąta wychylenia, długości wahadła oraz faktu iż w rzeczywistosci wahadło, którym się posługiwałam nie było wahadłem matematycznym). Ponadto nić delikatnie się rozciaga a ciężarek na końcu stawia opór poruszając masy powietrza.