Pytania na topologiÄ™ algebraicznÄ… - seminarium
1 Topologiczne układy dynamiczne
1. Wskaż zdanie/zdania prawdziwe. (Mateusz Borsuk, Arkadiusz Gałecki)
A. Punkt stacjonarny jest punktem okresowym.
B. Zbiór graniczny punktu okresowego jest jego całą trajektorią.
C. Każdy zbiór graniczny jest niezmienniczy.
D. Zbiór graniczny jest zbiorem spójnym.
2. Które zdanie/zdania są prawdziwe?
A. Każdy punkt wyjścia jest punktem silnego wyjścia.
B. Każdy punkt silnego wyjścia jest punktem wyjścia.
C. Punkt wyjścia zawsze istnieje.
D. Istnieje punkt, który jest punktem silnego wyjścia, ale nie jest punktem wyjścia
3. Niech (X, Ą) będzie topologicznym układem dynamicznym. Zbiór jego punktów stacjonar-
nych jest: (Paula Warsińska)
A. zwarty
B. domknięty
C. niezmienniczy
D. niepusty
4. Zbiór M jest asymptotycznie stabilny, jeśli jest:
A. zwarty
B. niepusty
C. stabilny
D. atraktorem
5. Zbiorem minimalnym nazywamy zbiór: (Marta Reda)
A. domknięty
B. niepusty
C. pusty
D. niezmienniczy (który nie zawiera różnego od siebie podzbioru o tych własnościach)
6. Niech (X, Ą) bedzie topologicznym układem dynamicznym. Zatem:
A. Zbiór ograniczony zawiera wraz z jakimś punktem także całą jego trajektorię.
B. Zbiór M jest asymptotycznie stabilny, jeśli jest stabilny.
C. Zbiór stabilny jest dodatnio niezmienniczy.
D. Zbiorem granicznym punktu okresowego jest jego trajektoria, ale w przypadku punktu
stacjonarnego ta własność nie zachodzi.
1
2 Od węzłów do warkoczy: pierwszy krok - węzły, słupy, ułamki
1. Które zdanie jest fałszywe? (Michał Kowalewski)
A. Supeł wymierny powstaje z supłów elementarnych [-1] i [1].
B. Ułamki łańcuchowe są zdefiniowane dla supłów z dwoma mostami.
C. Każdy zorientowany węzeł można przedstawić w postaci domkniętego warkocza.
D. Splot Hopfa składa się z 3 okręgów.
2. Warkocz domknięty musi spełniać następujące warunki:
A. musi to być obiekt homeomorficzny do okręgu, zanurzony w R3
B. nie może mieć wolnych końców
C. na górze muszą występować generatory
D. musi być zorientowany
3. Co to jest węzeł? (Daria Karnicka, Monika Murglin)
A. okrÄ…g
B. szczególny przypadek splotu
C. krzywa zamknięta zanurzona w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej (równoważnie
sferze trójwymiarowej S3)
D. odcinek (bez połączonych końców)
4. Co to jest splot?
A. fragment węzła, który powstaje z wycięcia z węzła kawałka o czterech końcach
B. suma skończonej, niepustej rodziny parami rozłącznych węzłów
C. jest to szczególny przypadek węzła
D. są to węzły, których nie jesteśmy w stanie przedstawić w postaci skończonej, zamkniętej
łamanej łańcucha
5. Ile jest typów ruchów Reidemeistera? (Natalia Oliasz)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. Wskaż stwierdzenia prawdziwe.
A. Okrąg jest węzłem.
B. Węzły mają luz
ne końce.
C. Węzeł to krzywa zwykła zamknięta włożona w R3
D. SÄ… tylko dwa ruchy Reidemeistera.
2
3 Teoria Morse a wedÅ‚ug Möbiusa
1. Möbius twierdziÅ‚, że: (Magdalena Szweda, Joanna Strzelewska)
A. Każda forma podstawowa klasy n jest w elementarnym powinowactwie z powierzchnią
płaską ograniczoną przez n - 1 krzywych.
B. Każda forma podstawowa klasy n jest w elementarnym powinowactwie z powierzchnią
płaską ograniczoną przez n krzywych.
C. Dwie formy różnych klas nie są homeomorficzne.
D. Dwie formy różnych klas są homeomorficzne.
2. Które zdanie jest prawdziwe?
A. Sfera jest klasy 1.
B. Sfera jest klasy 2.
C. Torus jest klasy 3.
D. Torus jest klasy 2.
3. Które z podanych obiektów należą do klasy 1 wedÅ‚ug Möbiusa? (PaweÅ‚ Kleinschmidt)
A. torus
B. sfera
C. półsfera
D. butelka Kleina
4. Czy powierzchnia Ś1 = (a) + (ab) + . . . i sfera są ze sobą elementarnie powinowate, jeśli
(a) + (ab) + (c) + (bcd) + (d)? (Marta Kowalewska, Jędrzej Kowalewski)
A. Tak, ponieważ obie powierzchnie można rozłożyć na równą ilość form podstawowych.
B. Tak, ponieważ obie powierzchnie można rozłożyc na dwie formy podstawowe klasy 1.
C. Nie, ponieważ powierzchni Ś1 nie można rozłożyć na dwie formy podstawowe klasy n.
D. Nie, ponieważ nie istnieją powierzchnie elementarnie powinowate ze sferą.
5. Dwie formy podstawowe różnych klas są ze sobą w elementarnym powinowactwie.
A. Prawda w przypadku gdy można je rozłożyć na inne formy tych samych klas.
B. Prawda w przypadku gdy przynajmniej jedna z form jest klasy mniejszej niż 3.
C. Zawsze prawda.
D. Zawsze fałsz.
3
4 Niezwykłe konsekwencje twierdzenia Bolzano
1. Które z funkcji w podanych przedziałach spełniają założenia twierdzenia Bolzano?
(Joanna Śliwińska, Agnieszka Volkmann)
Ä„
A. f(x) = cos x - x w przedziale [-Ä„ ; ]
2 2
B. f(x) = ex - x3 w przedziale [-1; 1]
C. f(x) = cos x - x2 w przedziale [-Ä„ , 0]
2
D. f(x) = ex - 2x5 w przedziale [0, 1]
2. Które z poniższych zdań są prawdziwe?
A. Kanapkę zawierającą cztery dowolne składniki zawsze można podzielić jednym cięciem
na dwie równe części.
B. Aby dwa naleśniki przekroić jednym cięciem noża na dwa równe kawałki, naleśniki
muszą być rozłączne (nie mogą się nakładać).
C. Cięciwa łącząca dwa punkty antypodyczne jest średnicą.
D. Dwa punkty nazywamy antypodycznymi jeśli łączy je dowolna cięciwa.
3. Do czego przydatne jest twierdzenie Bolzano? (Monika Orlikowska)
A. Do niczego.
B. Do metody bisekcji - szukania miejsc zerowych funkcji.
C. Do dowodu twierdzeń  o naleśnikach i  o kanapce .
D. Do pokazania, że ciąg ograniczony zawiera podciąg zbieżny.
4. Co nie jest prawdą dla dowolnej funkcji ciągłej?
A. Spełnia warunek Lipschitza.
B. Ma własność Darboux.
C. Można narysować jej wykres bez odrywania ołówka od kartki.
D. Przeciwobraz zbioru otwartego jest otwarty.
5. Które z następujących twierdzeń jest prawdziwe? (Joanna Zarach)
A. W każdej chwili na dowolnym kole kuli ziemskiej istnieje para punktów antypodycznych,
w których powietrze ma taką samą temperaturę.
B. Każdą kanapkę z masłem i szynką można jednym cięciem płaskiego noża przekroić tak,
aby przepołowić chleb, masło i szynkę.
C. Dwa naleśniki można jednym cięciem podzielić na równe części.
D. Żadne z powyższych twierdzeń nie jest prawdziwe.
6. Które z równań mają w podanych przedziałach co najmniej jedno rozwiązanie?
A. ex - x3 = 0 w przedziale [-1, 1]
B. ex + x3 = 0 w przedziale [-1, 1]
C. cos x - x2 = 0 w przedziale [-Ä„ , 0]
2
D. ex - x4 = 0 w przedziale [-1, 1]
4
5 Problemy 3-rozmaitości
1. Który z podanych zestawów przedstawia tylko rozmaitości trójwymiarowe? (Paulina Piech)
A. S2 × S1, S3
B. S3 × S3, L(2, 4)
C. S1 × S1, {7}
D. S3, L(3, 4)
2. Wskaż 3-rozmaitości, z których składa się suma spójna zadana wzorem:
M = L(3, 4)#(S2 × S1)
A. z soczewki
B. z 3-rozmaitości o grupie podstawowej izomorficznej z Z
C. ze zwykłego torusa
D. z 3-rozmaitości o nieskończonej i cyklicznej grupie podstawowej
3. Sfera i torus sÄ…: (Wioleta Kowalewska )
A. zwarte
B. bez brzegu
C. jednospójne
D. rozmaitościami dwuwymiarowymi
4. Przykładami rozmaitości dwuwymiarowych są: (Natalia Michcińsa, Marta Rosińska)
A. butelka Kleina
B. przestrzenie soczewkowe L(p, q), gdzie p, q są względnie pierwsze
C. wstęga Mobiusa
D. torus genus 3
5. Wskaż zdania prawdziwe:
A. Na torusie wszystkie pętle są homotopijne.
B. Przez rozmaitość zamkniętą rozumiemy rozmaitość spójną, zwartą i bez brzegu.
C. Wszystkie zamknięte rozmaitości dwuwymiarowe można budować z  cegiełek jakimi
sÄ…: dysk B2, sfera i torus.
D. Hipoteza Geometryzacyjna Thurstona dotyczy rozmaitości trójwymiarowych.
5
6 Topologiczne problemy demokracji
1. Jaki jest związek między przestrzeniami homeomorficznymi, a przestrzeniami homotopij-
nymi? (Anna Włódarczak)
A. homotopijne Ò! homeomorficzne
B. homeomorficzne Ò! homotopijne
C. homeomorficzne Ô! homotopijne
D. brak zwiÄ…zku
2. Które stwierdzenia są prawdziwe?
A. Jednym z postulatów, o którym mówi twierdzenie Arrowa, jest postulat Pareto.
B. Każdy dyktator jest manipulatorem.
C. Twierdzenie Arrowa zakłada, że zbiór opcji musi mieć co najmniej 2 elementy.
D. System głosowania F musi być funkcją ciągłą.
3. Spełnienie których postulatów jednocześnie (zgodnie z twierdzeniem Arrowa o niemożli-
wości) wskazuje na pojawienie się dyktatury? (Monika Radtke, Agata Rychlewicz)
A. Przechodniość i zupełność, jednomyślność, niezależność
B. Niejednomyślność, Niezależność, Optymalność
C. Optymalność, jednomyślność, zależność od istotnych alternatyw
D. Zupełność, zależność od nieistotnych alternatyw, jednomyślność
4. Paradoks Condorceta mówi o tym, że relacja preferencji nie musi być przechodnia, jeśli:
A. Nie jest brana pod uwagę kolejność głosowań w grupie
B. Grupa wybiera spośród co najmniej trzech opcji
C.Nie występuje postulat niezależności
D. Jeśli preferencja jest jednomyślna
5. Które stwierdzenia dotyczące dyktatury są prawdziwe? (Krzysztof Glapiak)
A. W danej grupie jeżeli istnieje dyktator to jest on jedyny.
B. Postulaty: Nieograniczoność dziedziny, Niezależność od alternatyw nieistotnych oraz
postulat Pareto sÄ… sprzeczne z dyktaturÄ….
C. Każda funkcja społecznego dobrobytu jest dyktatorska.
D. Dyktator jest zbiorem rozstrzygajÄ…cym.
6. Paradoks Condorceta:
A. Zaprzecza postulatowi Pareto.
B. Opisuje zjawisko zwrotności w grupie.
C. Porusza temat przechodniości relacji w grupach.
D. W rozważaniu paradoksu istotna jest ilość opcji wybieranych przez grupę.
6
7 O chirurgach konkretnie i abstrakcyjnie
1. Które z poniższych powierzchni są nieorientowalne? (Piotr Surażyński)
A. Wstęga Mobiusa
B. Torus
C. Butelka Kleina
D. Sfera
2. Jak brzmiał problem Hilberta rozwiązany przez Maxa Wilhelma Dehna?
A.  Każda trójwymiarowa zwarta i jednospójna rozmaitość topologiczna bez brzegu jest
homeomorficzna ze sferą trójwymiarową.
B.  Czy mając dane dwa wielościany o równej objętości, można zawsze rozłożyć jeden z
nich na skończoną liczbę wielościennych części, a następnie złożyć je w drugi?
C.  Czy rozwiązania lagranżjanów są zawsze analityczne?
D.  Czy wszystkie zadania rachunku wariacyjnego z określonymi warunkami brzegowymi
majÄ… rozwiÄ…zania?
3. Dokoncz zdanie. 3-rozmaitość . . . (Marta Harat, Paulina Kruger)
A. można otrzymać przez sklejenie wzdłuż brzegu dwóch kul z uszami
B. jest to spójna przestrzeń topologiczną, którą oznaczamy M, lokalnie
homeomorficzna z przestrzenią trójwymiarową R3
C. Nie istnieje
D. Jest szczególnym przypadkiem rozmaitości dwuwymiarowej
7
8 Hipoteza czterech barw
1. Który z poniższych grafów jest grafem planarnym? (Mariola Baranik)
Odpowiedz
: A, C, D
2. Która z odpowiedzi jest poprawna dla grafu o v wierzchołkach, m krawędziach i f ścianach
przedstawionego na rysunku: (Mariola Baranik)
A. spełniona jest równość v - m + f = 2
B. spełniona jest nierówność m 3v - 6
C. jest grafem nieplanarnym
D. spełniona jest nierówność 3f 2m
3. Chcąc pokolorować dowolną mapę na torusie wystarczy użyć minimalnie:
(Monika Kropidłowska)
A. 4 kolorów
B. 5 kolorów
C. 6 kolorów
D. 7 kolorów
4. Definicja grafu planarnego mówi, że jest to:
A. graf, który odznacza się tym, że da się w nim skonstruować cykl Eulera, czyli cykl,
który przechodzi przez każdą jego krawędz
dokładnie raz i wraca do punktu wyjściowego.
B. graf, który da się narysować na płaszczyz
nie tak, że żadne jego dwie krawędzie nie będą
się przecinały.
C. graf, którego zbiór wierzchołków można podzielić na dwa rozłączne zbiory tak, że kra-
wędzie nie łączą wierzchołków tego samego zbioru.
D. graf prosty, w którym dla każdej pary węzłów istnieje krawędz
, która je łączy.
8
9 Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym i jego zastosowania
1. Które stwierdzenia są równoważne? (Weronika Kropow)
A. Każde odwzorowanie ciągłe f : Bn Bn posiada punkt stały.
B. Dowolna kontrakcja przestrzeni metrycznej zupełnej w siebie ma dokładnie jeden punkt
stały.
C. Nie istnieje retrakcja kuli Bn na sferÄ™ Sn-1.
D. Wszystkie stwierdzenia są równoważne
2. Które stwierdzenia są prawdziwe?
A. Partia gry Hex może zakończyć się remisem.
B. Można dokonać triangulacji każdego wielokąta i każdego wielościanu.
C. Za pomocą twierdzenia Brouwera można udowodnić zasadnicze twierdzenie algebry.
D. Sympleks jest zbiorem wklęsłym (w przestrzeni euklidesowej).
9
10 Topology and Intelligent Data Analysis
1. Zaznacz prawidłową liczbę Bettiego dla torusa z czterema dziurami: (Patrycja Deja)
A. b0 = 1
B. b1 = 2 · 4 = 8
C. b2 = 1
D. bk = 0 dla k > 2
2. Która liczba Bettiego wyraża liczbę składowych grafu?
A. b0
B. b1
C. b2
D. b3
3. Wskaż poprawne stwierdzenia: (Patrycja Loda, Bartosz Szymecki)
A. k-ta liczba Bettiego to rzÄ…d k-tej grupy homologii.
B. ą-kształty zostały opracowane w XIX wieku.
C. Każdy ą-kształt jest uwypukleniem zbioru.
D. Usuwanie punktów izolowanych (dla danego µ) wraz z krawÄ™dziami z nich wychodzÄ…-
cymi z minimalnego drzewa spinajÄ…cego to jedna z metod filtrowania danych.
4. Wskaż zdania fałszywe:
A. Drzewo to graf spójny zawierający jeden cykl.
B. W grafie najbliższych sąsiadów krawędz
między x i y będzie istniała tylko wtedy, gdy
x będzie najbliższym sąsiadem y oraz y będzie najbliższym sąsiadem x.
C. Aby zbadać zbiór danych za pomocą minimalnego drzewa spinającego i grafu najbliż-
szych sÄ…siadów, dla jednego danego µ trzeba wiele razy konstruować te grafy.
D. Dla każdego zbioru możemy wyznaczyć liczbÄ™ µ-skÅ‚adowych zbioru, maksymalnÄ… Å›red-
nicÄ™ µ-poÅ‚Ä…czonych skÅ‚adowych w zbiorze oraz liczÄ™ µ-izolowanych punktów zbioru.
10
11 Zobaczyć chaos: potęga intelektu
1. Które z poniższych zdań są fałszywe? (Patrycja Okroj)
n n-1
A. Przekształcenia piłokształtne i namiotowe wiąże równanie: T = T ć% P
dla dowolnego n " N.
B. Trajektorie to ciągi kolejnych obrazów danego punktu.
C. Przekształcenie namiotowe nie jest chaotyczne.
D. Przekształcenie piłokształtne jest ciągłe, a przekształcenie namiotowe nie jest ciągłe.
2. Funkcje chaotyczne według definicji Devaney a to takie, które:
A. sÄ… tranzytywne
B. mają gęsty zbiór punktów okresowych
C. są wrażliwe na zmiany warunków początkowych
D. mają własność rozprzestrzeniania
3. Które z wymienionych niżej własności należą według Devaney a do własności zjawiska
chaotycznego? (Rafał Akacki, Paweł Gotowała)
A. wrażliwość na zmianę warunków początkowych
B. wrażliwość na zmianę warunków atmosferycznych
C. tranzytywność
D. różniczkowalność
4. Liczba 0, 4 w zapisie binarnym przyjmuje postać:
A. (0, 0101)2
B. (0, 0101000101111100110000011011011 . . .)2
C. (0, 0110)2
D. (0, 101)2
5. Jakim obiektem staje się układ Lorenza dla parametru r = 99, 96? (Karolina Kornas)
A. S - sfera
B. T (3, 2) - węzeł torusowy
C. T2 - torus
D. butelka Kleina
11
12 Formuła Eulera dla grafów na płaszczyz
nie
1. Spośród podanych zdań wybierz zdania prawdziwe. (Martyna Neumann)
A. Grafy K5 i K3,3 sÄ… planarne.
B. Usunięcie wierzchołków stopnia 2 nie ma wływu na planarność grafu.
C. Twierdzenie Kuratowskiego podaje warunek konieczny i wystarczajÄ…cy na to, aby graf
był planarny.
D. Każdy planarny graf prosty zawiera wierzchołek stopnia co najwyżej 5.
2. Przy oznaczeniach n-liczba wierzchołków, m-liczba krawędzi, f-liczba ścian, oceń, dla któ-
rych z podanych zestawów zachodzi wzór Eulera:
A. n = 6 m = 12 f = 8
B. n = 9 m = 14 f = 8
C. n = 9 m = 15 f = 8
D. n = 8 m = 14 f = 8
3. Zaznacz zdanie prawdziwe. (Paulina Jakubowska)
A. Wierzchołek stopnia zerowego nazywamy wierzchołkiem izolowanym.
B. Graf planarny to graf płaski.
C. Każdy graf ma tylko jedną spójną składową.
D. Graf eulerowski posiada cykl eulera.
4. Dla jakich grafów spełniona jest formuła Eulera?
A. Płaskich z f ścianami i k 1 składowymi spójnymi.
B. Dla grafów nieskierowanych.
C. Dla wszystkich grafów na płaszczyz
nie.
D. Planarnych z f ścianiami i k 1 składowymi spójnymi.
12
13 Hipoteza Poincare
1. Które z niżej wymienionych rozmaitości są rozmaitościami podstawowymi dwuwymiaro-
wymi? (Adrian Pomykała)
A. Sfera S2
2
B. Torus T genusu 1
C. Przestrzeń rzutowa
2
D. Torus T genusu 2
2. Hamilton zaproponował, aby deformować metrykę z prędkością równą:
A. dgij(t)/dt = -4Rij(t)
B. dgij(t)/dt = -Rij(t)
C. dgij(t)/dt = -2Rij(t)
D. dgij(t)/dt = Rij(t)
3. Które z podanych poniżej przestrzeni są ze sobą homeomorficzne? (Klaudia Kwidzińska,
Jakub Gierasimczyk)
A. Kubek i torus
B. OkrÄ…g i odcinek otwarty
C. Sfera i torus
D. Odcinek otwarty i cała prosta
4. Które zdania (bądz
zdanie) dotyczące rozmaitości jest prawdziwe?
A. Przestrzeń n-wymiarową nazywamy rozmaitością n-wymiarową wtedy i tylko wtedy
gdy jest jednospójna.
B. Otwarta n - 1 -wymiarowa podprzestrzeń n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest
rozmaitością n-wymiarową.
C. Rozmaitościami n-wymiarowymi są tylko przestrzenie bez brzegu.
D. Otoczenie każdego punktu z rozmaitości n-wymiarowej jest homeomorficzne z otwartą
n-wymiarowÄ… kulÄ….
13
14 Kilka słów o wymiarze
1. Z czego składa się siatka tesseraktu? (Konrad Zera)
A. z sześcianów
B. z kwadratów
C. z prostych
D. z kul
2. Przedziałka o najmniejszym wymiarze w kwadracie to:
A. prosta
B. punkt
C. prostokÄ…t
D. okrÄ…g
3. Jednostkowy tesserakt ma: (Anna Miazek)
A. 12 krawędzi
B. 8 ścian trójwymiarowych (sześcianów)
C. objętość równą 4
D. przekątną równą 2
4. Zaznacz zdanie/zdania prawdziwe.
A. 3-sfera jest brzegiem trójwymiarowej kuli.
B. W 4-sympleksie z każdego wierzchołka wychodzą 4 krawędzie.
C. Dla ustalonego r n-wymiarowa objętość kuli maleje do zera przy n dążącym do nie-
skończoności.
D. Czworościan Pascala to uogólnienie trójkąta Pascala, dzięki niemu możemy obliczyć
współczynniki wielomianu (x + y + z)n.
14