209
Zadania
8. PARAMETRY OKRESOWYCH PRZEBIEGÓW PR
DU I NAPI
CIA
Zad. 8-1. Dane sÄ… wykresy funkcji okresowych, przedstawiajÄ…cych przebiegi czasowe prÄ…du lub
napięcia. Oblicz wartości średnie, wartości skuteczne i wartości wyprostowane oraz wartości
współczynników szczytu i kształtu tych przebiegów.
a)
RozwiÄ…zanie:
i
A
1
i(x) = 8x dla 0 < x < ; i = 2 A ;
2
max
4
1
1 1
i(t) =
x = t / T
+"i(x) dx = 1Å" - 2 Å" = -0,5A ;
2 2
0
0 1/4 1/2 1
1 1/ 4
1 8
2
I = dx = 2 82 x2dx + 22 Å" = E" 1,633 A ;
-2
+"i +"
2 3
0 0
1
i
1 1 I 4
max
I = i dx = 1Å" + 2 Å" = 1,5 A ; ksz.i = = 1,5 E" 1,225 ; kk.i = = E" 1,089 .
+"
2 2 I
I 3 1,5
0
b)
i
A
Odpowiedz
:
4
14
i(t) = I = 1,5 A ; I = E" 2,160 A ;
3
2
ksz.i E" 1,85 ; kk.i E" 1,44 .
x = t / T
0 1/4 1/2 1
c)
u
V
Odpowiedz
:
200
u(t) = 50V ; U E" 158,1V ; U = 150V ;
x = t / T
ksz.u E" 1,265 ; kk.u E" 1,054 .
0
1
1/2
-100
d)
RozwiÄ…zanie:
u
Ä„
V
1 100
u(t) = U =
100 +"100 sin x dx = E" 31,8 V ;
100Å"sin x
2Ä„ Ä„
0
Ä„
1 1 Ä„
2
x =É t
U = x Å"
+"100 Å"sin2 dx = 100 Å" = 50 V ;
2Ä„ 2Ä„ 2
0
0 Ä„ 2Ä„
Ä„
ksz.u = 2 ; kk.u = E" 1,571.
2
210
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 8-2. Dane sÄ… wykresy funkcji okresowych przemiennych, przedstawiajÄ…cych przebiegi czaso-
we prądu lub napięcia. Oblicz wartości skuteczne i wartości wyprostowane oraz wartości współ-
czynników szczytu i kształtu tych przebiegów.
a)
i
A RozwiÄ…zanie:
0,5-xm
0
x
x
(1) 0 < x < xm : i(x) = ;
1
xm
x'
x = t / T
(2) xm < x < 0,5 : 0 < x'< 0,5 - xm , i(x') = ;
0 1 0,5 - xm
xm 0,5
I = 0,5A ; i = 1A ;
-1 max
0,5-xm
îÅ‚xm 1 Å‚Å‚
1 1
I = 2 Å" x2dx + (x')2 dx' = E" 0,577 A ;
ïÅ‚ śł
+" +"
2
3
xm (0,5 - xm )2
ïÅ‚ śł
0 0
ðÅ‚ ûÅ‚
2
ksz.i = 3 E" 1,732 ; kk.i = E" 1,155.
3
Uwaga. Jak widać, parametr xm " [0, 0,5] nie ma wpływu na wartości I , I oraz ksz.i i kk.i .
b)
i
A
RozwiÄ…zanie:
1
1
i(x) = 3x dla 0 < x < ;
3
x = t / T
1/ 3
1 5
0 1
1/3 2/3
I = 2 32 x2dx +12 Å" = E" 0,745 A ;
+"
3 3
0
-1
1 2 1 2
I = Å" +1Å" = = 0,667 A ;
2 3 3 3
3 5
ksz.i = E" 1,342 ; kk.i = E" 1,118 .
2
5
c)
u
V
Odpowiedz
:
200
U E" 122,5 V ; U = 100 V ;
x = t / T
ksz.u E" 1,633 ; kk.u E" 1,225.
0
1
1/4 1/2
-100
Zad. 8-3. Dane sÄ… wykresy funkcji okresowych antysymetrycznych (przemiennych symetrycz-
nych), przedstawiających przebiegi czasowe prądu lub napięcia. Oblicz wartości skuteczne i war-
tości średnie półokresowe (identyczne z wyprostowanymi) oraz wartości współczynników szczy-
tu i kształtu tych przebiegów.
211
Zadania
a)
i
A
RozwiÄ…zanie:
1
1
i(x) = 4x dla 0 < x < ;
4
1/ 4
x = t / T
1
2
0 I = 4 x2dx = E" 0,577 A ;
+"4
1/4 1/2 1
3
0
2
Iśr = 0,5 A ; ksz.i = 3 E" 1,732 ; kk.i = E" 1,155.
-1
3
b)
i
A
Odpowiedz
:
1
I E" 0,577 A ; Iśr = 0,5 A ;
x = t / T
0
1/2 1 ksz.i E" 1,732 ; kk.i E" 1,155 .
-1
c)
i
A
Odpowiedz
:
1
I E" 0,745 A ; Iśr = 0,667 A ;
x = t / T
ksz.i E" 1,342 ; kk.i E" 1,118 .
0
1/6 1/3 1/2 1
-1
i
d)
u
V
Odpowiedz
:
100
x = t / T U = 100 V ; U = 100 V ;
śr
1
0 1/2
ksz.u = 1 ; kk.u = 1.
-100
e)
u
V
Odpowiedz
:
100
U E" 70,7 V ; U E" 66,7 V ;
50
śr
x = t / T
0
ksz.u = 1,414 ; kk.u = 1,061.
1/6 1/3 1/2 1
-50
-100
212
Elektrotechnika podstawowa
f)
RozwiÄ…zanie:
u
V
Ä… < Ä„ / 2
100
100Å"sin x îÅ‚Ä…
2 Ä„
ëÅ‚ öÅ‚Å‚Å‚
U = ïÅ‚ 2 sin2 x Å" dx +1002 sin2 Ä… Å" -Ä… ÷Å‚
=
ìÅ‚ śł
+"100
Ä„ 2
íÅ‚ łłśł
ïÅ‚0
ðÅ‚ ûÅ‚
x =É t
îÅ‚Ä…
2 1- cos 2x Ä„
ëÅ‚ öÅ‚Å‚Å‚
Ä… Ä„ / 2 Ä„ Ä„ +Ä… 2Ä„ = 100 dx + sin2 Ä… Å" -Ä… ÷Å‚
0 ïÅ‚ ìÅ‚ śł =
+"
Ä„ 2 2
íÅ‚ łłśł
ïÅ‚0
ðÅ‚ ûÅ‚
1 sin 2Ä…
îÅ‚Ä…
= 100 - + (Ä„ - 2Ä…)Å" sin2 Ä…Å‚Å‚ ;
ïÅ‚ śł
Ä„ 2
ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚Ä…
2 Ä„ 2 îÅ‚ Ä„ Å‚Å‚
öÅ‚Å‚Å‚ ëÅ‚ öÅ‚
U = ïÅ‚ ;
ìÅ‚ -Ä…
śr
+"100 sin x Å" dx +100 sinÄ… Å"ëÅ‚ ÷łśł = 100 Å" cosÄ… + ìÅ‚ 2 -Ä… ÷Å‚ Å"sinÄ… śł
Ä„ 2
íÅ‚ łłśł Ä„ ïÅ‚1- íÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚0 ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
100 sinÄ… U
ksz.u = ; kk.u = .
U U
śr
Wyniki dla Ä… = 60° = Ä„ /3 : U E" 66,7 V ; U E" 60,7 V ; ksz.u = 1,30 ; kk.u = 1,10 .
śr
g)
RozwiÄ…zanie:
u Ä… < Ä„
V
Ä„ Ä„
1 1 1- cos 2x
100 2
100Å"sin x
U = x Å" dx =
+"100 sin2 dx = 100 Ä„ +"
Ä„ 2
Ä… Ä…
1 Ä… sin 2Ä…
x =É t
= 100 - + ;
2 2Ä„ 4Ä„
0 Ä… Ä„ / 2 Ä„ Ä„ +Ä… 2Ä„
Ä„
1 1
U =
śr
+"100 sin x Å" dx = 100 Å" (1+ cosÄ…) ;
Ä„ Ä„
Ä…
100 U
ksz.u = ; kk.u = .
U U
śr
Wyniki dla Ä… = 60° = Ä„ /3 : U E" 63,4 V ; U E" 47,7 V ; ksz.u = 1,58 ; kk.u = 1,33 .
śr
h) Odpowiedz
.
u
Ä… < Ä„ / 2
V
Wzory ogólne:
100
100Å"sin x
1 Ä… sin 2Ä… 200
U = 100 - + ; U = cosÄ… ;
śr
2 Ä„ 2Ä„ Ä„
x =É t
100 U
0 Ä… Ä„ / 2 Ä„ Ä„ +Ä… 2Ä„ ksz.u = ; kk.u = .
U U
śr
Wyniki dla Ä… = 60° = Ä„ /3 : U E" 55,2 V ;
U E" 31,8 V ; ksz.u = 1,81 ; kk.u = 1,73 .
śr