213
Zadania
Zad. 8-4. W indukcyjności L lub pojemności C wywołany jest przepływ prądu o znanym przebiegu
w przedziale czasu t e" 0. Oblicz wartości skuteczne prądu i napięcia danego dwójnika.
a)
i
A
i
1
u
L
t
0 1 2 3 4 ms
L = 10 mH, i (0) = 0
-1
- przebieg prÄ…du w postaci wzoru liczbowego
t 0 d" t d" 1
Å„Å‚
ôÅ‚
i(t) = (t - 2) 1 d" t d" 3 , [t] = 1 ms, [i] = 1 A .
òÅ‚-
ôÅ‚t - 4 3 d" t d" 4
ół
RozwiÄ…zanie:
- wartość skuteczna prądu (obliczona dla ź okresu, uwzględniwszy symetrię wykresu)
1
1
2
I = dt = Å"13 E" 0,577 A ;
+"t
3
0
di
- przebieg napięcia wg zależności u = L , w postaci wzoru liczbowego
dt
10 0 d" t d" 1
Å„Å‚
ôÅ‚
u(t) =
òÅ‚-10 1 d" t d" 3 , [t] = 1 ms, [u] = 1 V ;
ôÅ‚ 10 3 d" t d" 4
ół
- przebieg napięcia w postaci wykresu i wartość skuteczna napięcia
u
V
10
t
U = 10 V .
0 1 2 3 4 ms
-10
b)
i
i
mA
1 0 d" t d" 1
Å„Å‚
1 ôÅ‚
i(t) =
òÅ‚-1 1 d" t d" 3 ,
u t
ôÅ‚ 1 3 d" t d" 4
C
ół
0 1 2 3 4 ms
[t] = 1 ms, [i] = 1 mA .
-1
C = 10 µF , u (0) = 0
214
Elektrotechnika podstawowa
RozwiÄ…zanie:
- wartość skuteczna prądu I = 1 mA ;
t
1
- przebieg napięcia wg zależności u(t) = u(t0 ) +
+"i(t) dt , w postaci wzoru liczbowego
C
t0
0,1Å" t 0 d" t d" 1
Å„Å‚
ôÅ‚
u(t) =
òÅ‚ 0,1Å"[1- (t -1)] 1 d" t d" 3 , [t] = 1 ms, [u] = 1 V ;
ôÅ‚ 0,1Å"[-1+ (t - 3)] 3 d" t d" 4
ół
- przebieg napięcia w postaci wykresu i wartość skuteczna napięcia
u
V
0,1
1
1
U = 0,12 2dt = 0,1 Å"13 E" 0,0577 V =
t
+"t
3
0
0 1 2 3 4 ms
= 57,7 mV .
-0,1
i
c)
i
mA
1 1 0 d" t d" 2
Å„Å‚
i(t) =
òÅ‚-1 2 d" t d" 4 ,
u
C t
ół
0 1 2 3 4 ms
[t] = 1 ms, [i] = 1 mA .
-1
C = 10 µF , u (0) = 0
RozwiÄ…zanie:
- wartość skuteczna prądu I = 1 mA ;
t
1
- przebieg napięcia wg zależności u(t) = u(t0 ) +
+"i(t) dt , w postaci wzoru liczbowego
C
t0
0,1Å" t 0 d" t d" 2
Å„Å‚
u(t) =
òÅ‚ 0,1Å"[2 - (t - 2)] 2 d" t d" 4 , [t] = 1 ms, [u] = 1 V ;
ół
- przebieg napięcia w postaci wykresu i wartość skuteczna napięcia
u
V
2
1 1
0,2
U = Å" 0,12 2dt = 0,1 Å" 23 E" 0,115 V ,
+"t
2 6
0
0,1
inaczej (za pomocą składowych: stałej i zmiennej) 
1
t
1
U = 0,12 + 0,12 2dt = 0,1 1+ Å"13 E" 0,115 V.
+"t
0 1 2 3 4 ms
3
0
Uwaga. Dwa ostatnie przykłady ilustrują wpływ początkowej chwili zadania prądu na wystąpienie
składowej stałej napięcia i na jego wartość skuteczną. Obliczanie wartości skutecznej przebiegu
można uprościć wyznaczając wartość średnią oraz wartość skuteczną składowej zmiennej.
215
Zadania
d)
i i
mA
10 t 0 d" t d" 1
Å„Å‚
10
ôÅ‚-10 (t - 2) 1 d" t d" 3 ,
i(t) =
òÅ‚
u
C
ôÅ‚ 10 (t - 4) 3 d" t d" 4
t
ół
0 1 2 3 4 ms
[t] = 1 ms, [i] = 1 mA .
C = 1 µF , u (0) = 0
-10
RozwiÄ…zanie:
1
1
2 2
- wartość skuteczna prÄ…du I = t dt = 10 Å"13 E" 5,77 mA ;
+"10
3
0
t
1
- przebieg napięcia wg zależności u(t) = u(t0 ) +
+"i(t) dt , w postaci wzoru liczbowego
C
t0
t
1
( - tx )dt = Å"[(t - tx )2 - (t0 - tx )2], stÄ…d u(t) = u(t0 ) Ä… 5 Å"[(t - tx )2 - (t0 - tx )2 ] ,
+"(t
2
t0
gdzie tx  punkt zerowy aktualnego fragmentu przebiegu prÄ…dowego )
Å„Å‚ 5 Å" t 2
0 d" t d" 1
ôÅ‚
ôÅ‚ 10
u(t) = - 5 Å" (t - 2)2 1 d" t d" 3 , [t] = 1 ms, [u] = 1 V ,
òÅ‚
ôÅ‚ 5 Å" (t - 4)2
3 d" t d" 4
ôÅ‚
ół
- przebieg napięcia w postaci wykresu i wartość skuteczna napięcia
4
u
1
2
V
U = Å" dt =
+"u
4
0
10
1 3 4
5
4
= dt + - (t - 2)2 ]2 dt + - 4)2 dt E" 6,19 V,
5
+"t +"[2 +"(t
2
0 1 3
t
inaczej (za pomocą składowych: stałej i zmiennej) 
0 1 2 3 4 ms
1 1
2 2 4
U = 52 + - 5 t )2 dt = 5 1+ 2t + t )dt E" 6,19 V.
+"(5 +"(1-
0 0
e)
i i
mA
10
Odpowiedz
:
u
C
t
I E" 5,77 mA ,
0 1 2 3 4 ms
U E" 3,65 V .
C = 1 µF , u (0) = 0
-10
216
Elektrotechnika podstawowa
Zad. 8-5. Na indukcyjność L lub pojemność C podane jest napięcie o znanym przebiegu w prze-
dziale czasu t e" 0. Oblicz wartości skuteczne napięcia i prądu danego dwójnika.
a)
i u
V
20
20 t 0 d" t d" 1
Å„Å‚
ôÅ‚-
u(t) = 20 (t - 2) 1 d" t d" 3 ,
u òÅ‚
C
t
ôÅ‚ 20 (t - 4) 3 d" t d" 4
ół
0 1 2 3 4 ms
[t] = 1 ms, [u] = 1 V .
C = 100 µF, u (0) = 0
-20
RozwiÄ…zanie:
1
1
2 2
- wartość skuteczna napiÄ™cia U = t dt = 20 Å"13 E" 11,5 V ;
+"20
3
0
du
- przebieg prądu wg zależności i = C , w postaci wzoru liczbowego oraz wykresu
dt
i
A
2 0 d" t d" 1
Å„Å‚
ôÅ‚- 2
i(t) = 2 1 d" t d" 3 ,
òÅ‚
t
ôÅ‚ 2 3 d" t d" 4
ół
0 1 2 3 4 ms
[t] = 1 ms, [i] = 1 A ;
-2
- wartość skuteczna prądu I = 2 A .
b)
i u
V
Odpowiedz
:
10
U = 10 V ,
t
u
L
0 1 2 3 4 ms
I E" 0,115 A .
-10
t
1
L = 100 mH , i (0) = 0
Uwaga: i(t) = i(t0 ) +
+"u(t) dt .
L
t0
c)
i u
V
Odpowiedz
:
10
t
U = 10 V ,
u
L
0 1 2 3 4 ms
I E" 0,577 A
-10
(uwaga - jw.).
L = 10 mH , i (0) = 0
d)
u
i
V
Odpowiedz
:
10
t U E" 5,77 V ,
u
L
0 1 2 3 4 ms
I E" 6,19 mA
-10
(uwaga - jw.).
L = 1 mH , i (0) = 0