Uniwersytet
Grupa Nr ćwicz.
Zielonogórski
Ocena
WEiT 201TDZ/1 4
Podstawy i algorytmy przetwarzania sygnałów
Temat ćwiczenia: Ilustracja twierdzenia o próbkowaniu Data wyk. Data odd. Podpis
20.11.2007 4.12.2007
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia było poznanie specyfiki próbkowania sygnałów okresowych.
2. Przebieg ćwiczenia
2.1. Generowanie sygnału k = 1; 6; 14 okresów sygnału sinusoidalnego o podanych
parametrach
f = 100 [Hz]
s1
A = 1 [V]
1
M = 32
f Å"M
100Å"32
s
f = = = 533 [ Hz] ;dla k=6
p
k 6
f = 3200 [Hz] dla k = 1
p
f = 533 [Hz] dla k = 6
p
f = 228 [Hz] dla k = 14
p
k - liczba generowanych okresów
zachowany warunek próbkowania f e" 2*f
p s1
Rys. 1. Przbieg sygnału i widma amplitudowe dla k = 1
Rys. 2. Przbieg sygnału i widma amplitudowe dla k = 6
Rys. 3. Przbieg sygnału i widma amplitudowe dla k = 14
Podać zależność wiążącą częstotliwość f (m) harmonicznej o indeksie m z indeksem tej
s
harmonicznej, liczbą próbek M i częstotliwością próbkowania f .
p
f Å"m
p
f =
s
M
Przykładowe obliczenia dla m=14=k
f Å"m
228Å"14
p
f = = á100 [ Hz ]
s
M 32
2.2. Generowanie sygnału k = 17; 20; 30; 31; 33; 35 okresów sygnału sinusoidalnego
o podanych parametrach
f = 100 [Hz]
s1
A = 1 [V]
1
M = 32
f Å"M
100Å"32
s
f = = = 188.23 [Hz ] ;dla k=17
p
k 17
f = 188.23 [Hz] dla k = 17
p
f = 160 [Hz] dla k = 20
p
f = 106.6 [Hz] dla k = 30
p
f = 103.22 [Hz] dla k = 31
p
f = 96.96 [Hz] dla k = 33
p
f = 91.42 [Hz] dla k = 35
p
k - liczba generowanych okresów
spełniony warunek f < 2*f
p s1
Rys. 4. Przbieg sygnału i widma amplitudowe dla k = 17
Rys. 5. Przbieg sygnału i widma amplitudowe dla k = 20
Rys. 6. Przbieg sygnału i widma amplitudowe dla k = 30
Rys. 7. Przbieg sygnału i widma amplitudowe dla k = 31
Rys. 8. Przbieg sygnału i widma amplitudowe dla k = 33
Rys. 9. Przbieg sygnału i widma amplitudowe dla k = 35
Obliczenia:
dla m=17=k
f Å"m
188.23Å"17
p
f = = = 99.99 [ Hz]
s
M 32
dla m=20=k
f Å"m
160Å"20
p
f = = = 100 [Hz ]
s
M 32
dla m=30=k
f Å"m
106.6Å"30
p
f = = = 99.94 [ Hz ]
s
M 32
dla m=31=k
f Å"m
103.22Å"31
p
f = = = 99.99 [ Hz]
s
M 32
dla m=33=k
f Å"m
96.96Å"33
p
f = = = 99.99 [ Hz ]
s
M 32
dla m=35=k
f Å"m
91.42Å"35
p
f = = = 99.99 [ Hz ]
s
M 32
Różnica występująca między częstotliwością f a wyliczonymi częstotliwościami jest spowodowana
s
przez to, że nie był spełniony warunek niezbedny aby było możliwe rzeczywiste odtworzenie
sygnału próbkowanego f e" 2*f .
p s1
2.3. Generowanie sygnału poliharmonicznego o podanych parametrach
A = 1 [V]
1
A = 3 [V]
2
M = 32
f = 100 [Hz]
s1
f = 700 [Hz]
s2
NWD(100, 700) = 100
f = 100 [Hz]
s
f = f * M = 100 * 32 = 3200 [Hz]
p s
Rys. 10. Przbieg sygnału poliharmonicznego
f
p
Rys. 11. Przbieg sygnału przy f = = 1600 [ Hz ]
p2
2
f e" 2*f warunek dotyczący próbkowania jest spełniony
p2 s2
f
p
Rys. 12. Przbieg sygnału przy f = = 1066 [ Hz ]
p3
3
f e" 2*f warunek dotyczący próbkowania nie jest spełniony
p3 s2
f
p
Rys. 13. Przbieg sygnału przy f = = 800 [ Hz]
p4
4
f e" 2*f warunek dotyczący próbkowania nie jest spełniony
p4 s2
2.4. Generowanie sygnału poliharmonicznego o podanych parametrach
A = 1 [V]
1
A = 3 [V]
2
M = 32
f = 3200 [Hz]
p
dla j = 1 dla j = 2 dla j = 3
f = 3300 [Hz] f = 6500 [Hz] f = 9700 [Hz]
s1 s1 s1
f = 3900 [Hz] f = 7100 [Hz] f = 10300 [Hz]
s2 s2 s2
Rys. 14. Przbieg sygnału dla j = 1
Rys. 15. Przbieg sygnału dla j = 2
Rys. 16. Przbieg sygnału dla j = 3
Na podstawie wygenerowanych przebiegów sygnałów można wywnioskować iż wraz ze wzrostem j
a co za tym idzie ze wzrostem częstotliwości składowych, wzrasta częstotliwość sygnału
próbkowanego, nie jest również spełniony warunek dotyczący próbkowania sygnałów f e" 2*f
p4 s2
więc rzeczywisty sygnał spróbkowany nie będzie mógł być odtworzony.
2.5. Generowanie sygnału poliharmonicznego o podanych parametrach
A = 1 [V] f = 1 [Hz]
1 s1
A = 3 [V] f = 7 [Hz]
2 s2
A = 2 [V] f = 17 [Hz]
3 s3
M = 64 ; M > 2 * f max
s
NWD(1, 7, 17) = 1
f = 1 * 64 = 64 [Hz]
p
Rys. 17. Przbieg sygnału(spełnione twierdzenie o próbkowaniu)
Rys. 18. Przbieg sygnału(nie spełnione twierdzenie o próbkowaniu)
NWD śą f źąÅ"M
1Å"64
s
f = = = 0.984615 [ Hz]
p
k 65
k  miejsce odbitego prążka
2.6. Generowanie sygnału sinusoidalnego k=1.1; 1.2; 1.5 o podanych parametrach
A = 1 [V]
1
A = 3 [V]
2
f = 100 [Hz]
s1
M = 32
MÅ"f
32Å"100
s
f = = = 2909.09 [ Hz ] dla k = 1.1
p
k 1.1
MÅ"f
32Å"100
s
f = = = 2666.66 [ Hz ] dla k = 1.2
p
k 1.2
MÅ"f
32Å"100
s
f = = = 2133.33 [ Hz ] dla k = 1.5
p
k 1.5
Rys. 19. Przbieg sygnału dla k = 1.1
Rys. 19. Przbieg sygnału dla k = 1.2
Rys. 19. Przbieg sygnału dla k = 1.5
 Przciek widma jest zjawiskiem niekorzystnym ponieważ fałszuje rzeczywiste widmo sygnału
wejściowego, jego powstawanie może być spowodowane wtedy, gdy w sygnale poddanym
próbkowaniu nie jest zawarta całkowita liczba okresów składowych częstotliwości.
Schemat blokowy działania algorytmu z zastosowaniem DFT, do wyznaczania amplitudy
hamonicznej podstawowej sygnału.
3. Wnioski
Z przeprowadzonego ćwiczenia możemy wywnioskować, iż podczas próbkowania sygnału
bardzo ważne jest prawidłowe ustalenie zasad próbkowania, mianowicie częstotliwość probkowania
oraz ilość próbek, jest to ważne, w przeciwnym wypadku nie będzie możliwe odzyskanie
rzeczywistego sygnału spróbkowanego lub będzie on niejednoznaczny(zjawisko aliasingu). Istnieje
jednak sposób dzięki któremu możemy spróbkowac sygnał nie spełniając warunku twierdzenia
Kotielnikowa-Shannona, jednak odnosi się to tylko do sygnałów których widmo jest skupione
wokół pewnej częstotliwości środkowej f i zajmuje pasmo znacznie mniejsze od f .
c c
Należy przy tym również zwracać uwagę aby nie doszło do  przecieku widma , co również
niekorzystnie wpływa na wynik pomiaru.