Temat 1
Zmiany grawitacji wywołane przez jednorodne bryły  wychylenie linii pionu
y
x z
xdxdydz
D�gx =� Gs�
Z ������ 3/ 2
(�x2 +� y2 +� z2)�
0 0 0
y
x z
ydxdydz
D�g =� Gs�
y
������ 3/ 2
(�x2 +� y2 +� z2)�
0 0 0
z
y
x z
zdxdydz
D�gz =� Gs�
������ 3/ 2
(�x2 +� y2 +� z2)�
y 0 0 0
Y
s�
x
Rozwiązanie całek:
X
�� ł�
z +� y2 +� z2 y +� y2 +� z2
ę� ś�
ę� z +� x2 +� y2 +� z2 y +� x2 +� y2 +� z2 yz ś�
D�gx =� Gs� ln +� z ln +� xarctg
ę�y ś�
y z
x2 +� y2 +� z2 ś�
ę�
ę� x2 +� y2 x2 +� y2 ś�
�� ��
�� ł�
x +� x2 +� z2 z +� x2 +� z2
ę� ś�
ę� x +� x2 +� y2 +� z2 z +� x2 +� y2 +� z2 xz ś�
D�gy =� Gs� ln +� x ln +� yarctg
ę�y ś�
z x
x2 +� y2 +� z2 ś�
ę�
ę� x2 +� y2 x2 +� y2 ś�
�� ��
�� ł�
y +� x2 +� z2 x +� x2 +� y2
ę� ś�
ę� y +� x2 +� y2 +� z2 x +� x2 +� y2 +� z2 xy ś�
Z
D�gz =� Gs� ln +� y ln +� zarctg
ę�x ś�
x y
x2 +� y2 +� z2 ś�
ę�
ę� x2 +� y2 y2 +� z2 ś�
�� ��
O y1 y2 Y
x1
x2
z1
s�
z2
Zmiana granic dla prostopadłościanu nieprzylegającego do osi układu XYZ z uwzględnieniem
dodatkowo wprowadzonych oznaczeń (r,s,F1, t,u,F2, p,q,F3):
Dla kierunku osi X:
y1 y2 y1 y2 z1 z2 z1 z2
r1 =� ; r2 =� ; r1ó� =� ; r2ó� =� s1 =� ; s2 =� ; s1ó� =� ; s2ó� =�
x2 x2 x1 x1 x2 x2 x1 x1
�� ł�
s +� r2 +� s2 r +� r2 +� s2
ę� ś�
rs
s +� r2 +� s2 +�1 r +� r2 +� s2 +�1
ś�
F1(r, s) =� Gę�r ln +� s ln +� arctg
ę� r s
r2 +� s2 +�1ś�
ę� ś�
r2 +�1 s2 +�1
�� ��
ó� ó� ó� ó� ó� ó� ó� ó�
D�gx =� s�{x2[�F1(r2, s2) +� aF1(r1, s2) +� bF1(r2, s1) +� cF1(r1, s1)]�-� x1[F1(r2, s2) +� aF1(r1, s2) +� bF1(r2, s1) +� cF1(r1, s1)
Podobnie dla kierunku osi Y:
x1 x2 x1 x2 z1 z2 z1 z2
t1 =� ; t2 =� ; t1ó� =� ; t2ó� =� u1 =� ; u2 =� ; u1ó� =� ; u2ó� =�
y2 y2 y1 y1 y2 y2 y1 y1
�� ł�
t +� t2 +� u2 u +� t2 +� u2
ę� ś�
tu
t +� t2 +� u2 +�1 u +� t2 +� u2 +�1
ś�
F2(t,u) =� Gę�u ln +� t ln +� arctg
u t
ę�
t2 +� u2 +�1ś�
ę� ś�
u2 +�1 t2 +�1
�� ��
ó� ó� ó� ó� ó� ó� ó� ó�
D�gy =� s�{y2[�F2(t2,u2) +� dF2(t1,u2) +� eF2(t2,u1) +� fF2(t1,u1)]�-� y1[F2(t2,u2) +� dF2(t1,u2) +� eF2(t2,u1) +� fF2(t1,u1)
oraz osi Z:
x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2
p1 =� ; p2 =� ; p1ó� =� ; p2ó� =� q1 =� ; q2 =� ; q1ó� =� ; q2ó� =�
z2 z2 z1 z1 z2 z2 z1 z1
�� ł�
q +� p2 +� q2 p +� p2 +� q2
ę� ś�
q +� p2 +� q2 +�1 p +� p2 +� q2 +�1 pq
ś�
F3( p,q) =� Gę� pln +� qln +� arctg
ę�
p q
p2 +� q2 +�1ś�
ę� ś�
p2 +�1 q2 +�1
ę� ś�
�� ��
ó� ó� ó� ó� ó� ó� ó� ó�
D�gz =� s�{z2[�F3( p2, q2) +� gF3( p1, q2) +� hF3( p2, q1) +� iF3( p1, q1)]�-� z1[F3( p2, q2) +� gF3( p1, q2) +� hF3( p2, q1) +� iF3( p1, q1)
gdzie: G = 6.677��10-11kg-1m3s-2
s� = gęstość [kg m-3]
a,b,c,d,e,f ,g,h,i  współczynniki (równe 1 lub -1), zależne od położenia osi względem bryły
Różne przypadki położenia osi układu XYZ względem bryły:
1)
2)
a =� -�1; b =� -�1; c =� 1 a =� 1; b =� -�1; c =� -�1
d =� -�1; e =� -�1; f =� 1 d =� -�1; e =� -�1; f =� 1
g =� -�1; h =� -�1; i =� 1 g =� -�1; h =� 1; i =� -�1
x2
x2
x1
x1
O
y1 y2
y1 y2 O
3)
a =� -�1; b =� -�1; c =� 1 a =� 1; b =� -�1; c =� -�1
d =� 1; e =� -�1; f =� -�1
4) d =� 1; e =� -�1; f =� -�1
g =� 1; h =� -�1; i =� -�1 g =� 1; h =� 1; i =� 1
x2
x2
O
y1 y2
O
y1 y2
x 1
x1
Obliczenie przyrostów składowych odchylenia linii pionu:
D�gx ó�ó�
ó�ó�
D�x� =� -� r� - dla składowej południkowej (kierunek osi X),
g�
D�gy
ó�ó� ó�ó�
D�h� =� -� r� - dla składowej poprzecznej (kierunek osi Y),
g�
Przykład: Dla bryły o gęstości s�b = 2.2 g/cm3 i rozmiarze 2km��2km��0.1km
Obliczyć wartości przyrostu odchylenia linii pionu w kierunku osi X, w zależności
od odległości od boku bryły o kształcie prostopadłościanu (z podstawą kwadratu (a)
i wysokością (h)) i o gęstości s�
(przypadek nr 2 położenia osi: przyjąć z1>0, np. z1= 0.01 m )
a
Z
D�gx ó�ó�
ó�ó�
D�x� =� -� r� (przyjąć g� = g�52 = 9.812436 m/s2)
g�
h
X
odległość od bryły
300
50 100 150 200
450 m
Y
a/2
X
odległość od bryły
a
300
50 100 150 200
450 m
a/2
Wykres wartości D�x� w zależności od odległości (d) od ściany bryły
(prostopadłościanu o rozmiarach a��a��h)
D�x� [��]
wykres wychylenia l.p. od strony północnej
dla bryły (2x2x0.1 km, s�=2.2g/cm3)
d [m]