MRS


Modelowanie rozkładu ciśnienia w hydrodynamicznym
łożysku poprzecznym
Opracował: mgr inż. Piotr Grądkowski
http://home.agh.edu.pl/~gradkow
gradkow@agh.edu.pl
1. Wstęp
W ramach zajęć z Podstaw Konstrukcji Maszyn, studenci wykonywali projekt
hydrodynamicznego łożyska ślizgowego. Obliczenia projektowe prowadzone były w oparciu
o [1]. Norma ta przedstawia iteracyjną procedurę obliczeniową z wykorzystaniem szeregu
wykresów zależnych od liczby Sommerfelda:
h n
(1)
S =
2
pśr y
gdzie:
h - lepkość dynamiczna smaru [Pa s]
n - prędkość obrotowa wału [obr / s]
pśr - średnie naciski w łożysku [MPa]
y - luz względny między czopem a panewką:
C c D - d
(2)
y = = =
D R D
gdzie:
C - bezwzględny luz między czopem a panewką (Rys. 1)
c - luz promieniowy
D - średnica panewki
R - promień panewki
Wykresy (lub tabelaryczne dane), wykorzystywane przy obliczeniach wg [1] pochodzą
z rozwiązania modelu łożyska ślizgowego wg hydrodynamicznej teorii smarowania.
Podstawową sprawą przy rozwiązywaniu takiego modelu jest ustalenie geometrii
szczeliny smarnej. Rys. 1. przedstawia podstawowe zależności geometryczne w poprzecznym
łożysku ślizgowym.
Aby zrozumieć znaczenie poszczególnych wielkości opisujących geometrię łożyska,
studenci mogą obserwować rysunki na str. 2 w dokumencie MathCAD (rysunki oznaczone
jako Rys. 1, Rys. 2 i Rys. 3 we wspomnianym dokumencie), modyfikując poszczególne
wielkości. Na Rys. 2, Rys. 3 i Rys. 4 przedstawiono geometrię szczeliny smarnej dla
parametrów:
b =180
D = 65 mm
d = 54,9 mm
e = 0, 46
a = -27
Przyjęcie tak znacznej różnicy średnicy czopa i panwi ułatwia czytanie rysunków.
Rys. 1 Podstawowe zależności geometryczne w poprzecznym łożysku ślizgowym:
D  średnica panewki; d  średnica czopa; C  luz całkowity; e  ekscentryczność
bezwzględna; ą  kąt najmniejszej grubości filmu olejowego; h0  najmniejsza
grubość filmu olejowego
Przekroj poprzeczny lozyska
90
120 60
30
150 20 30
10
180 0 0
210 330
240 300
270
Rys. 2 Szkic panewki współpracującej z czopem dla określonych parametrów
geometrycznych szczeliny smarnej b =180 - kąt opasania łożyska
90
120 60
0.8
0.6
150 30
0.4
h f
( )
0.2
b
2c
180 0 0
1
210 330
240 300
270
f
b
Grubosc szczeliny smarnej
Rys. 3 Zależność grubości szczeliny smarnej od współrzędnej kątowej dla określonych
C D - d
parametrów (wykres biegunowy); c = = - luz promieniowy
2 2
f
b
Grubosc szczeliny smarnej
1
6
0.5 4
2
0 0
- 185 - 90 5
gr wzgledna
gr bezwzgledna
Rys. 4 Zależność grubości szczeliny smarnej od współrzędnej kątowej dla określonych
parametrów
2. Matematyczny opis rozkładu ciśnienia w filmie
olejowym
Ponieważ w porównaniu z wymiarami łożyska, grubość filmu olejowego jest bardzo mała,
przy modelowaniu rozkładu ciśnienia można  rozwinąć powierzchnię panewki (Rys. 5).
Stąd, wygodny przy opisie rozkładu ciśnienia będzie układ współrzędnych przedstawionych
na Rys. 6.
Norma [1] przyjmuje następujące założenia:
Lepkość oleju w całej szczelinie smarnej jest stała
Współpracujące powierzchnie są nieodkształcalne
Oś czopa jest równoległa do osi panwi
h / c
h [mm]
Rys. 5  Rozwinięcie panewki łożyska poprzecznego do postaci prostokątnej
powierzchni.
Rys. 6 Układ współrzędnych przyjęty na rozwiniętej panewce łożyska dla b = 180.
Wzdłuż osi y mierzona jest grubość szczeliny smarnej
Przy tych założeniach, oraz szeregu innych [2], rozkład ciśnienia p(x, z) w filmie
olejowym łożyska poprzecznego opisany jest równaniem Reynoldsa [3]:
ś śp ś śp śh
ćh ćh
3 3
(3)
+ = 6 Uh

śx śx śz śz śx
Ł ł Ł ł
gdzie:
h - grubość szczeliny smarnej w danym punkcie panewki
d
U = w - prędkość obwodowa czopa względem panewki
2
h - lepkość dynamiczna oleju w danym punkcie panewki. W przyjętym w [1]
modelu, lepkość jest stała i ma tą samą wartość w każdym punkcie panewki.
W zależności od warunków, oraz rodzaju łożyska, równanie Reynoldsa może przyjąć
również szereg innych postaci.
Równanie Reynoldsa jest równaniem różniczkowym cząstkowym II rzędu,
niejednorodnym, liniowym. Analityczne wyznaczenie rozwiązania tego równania jest
niemożliwe. Istnieje natomiast szereg metod numerycznych, które umożliwiają znalezienie
przybliżonego rozwiązania równania (3). Jedną z nich jest metoda różnic skończonych
3. Postać bezwymiarowa równania Reynoldsa
W pierwszym kroku równanie (3) należy sprowadzić do postaci bezwymiarowej. Pozwala
to na uniknięcie ewentualnych problemów podczas dalszego modelowania, związanych
z występowaniem jednostek: błędów konwersji jednostek, oraz problemów przy operacjach
matematycznych niedozwolonych dla wielkości mianowanych.
2
x z h
p c
ć
(4)
x = z = h =
p =

D L 2c
hw R
Ł ł
Warto zwrócić uwagę na podobieństwo definicji bezwymiarowego ciśnienia do liczby
Sommerfelda (1).
Po przekształceniu wyrażeń (4), można otrzymać równania wyrażające wielkości
występujące w (3):
2
R
ć
(5)
x = x D h = h 2c p = p hw
z = z L
c
Ł ł
które następnie można wstawić do (3):
2 2
ć ć
R R
ć ć

ś p hw ś p hw

3 3
ś c ś c
Ł ł Ł ł
+ =

ś(x D)h 8 c3 ś(x D) ś(z L)h 8 c3 ś(z L)

(6)

Ł ł Ł ł
śh 2c
= 6 Uh
ś(x D)
2
R
ć
Pamiętając, że D, c, h, w, , L = const :

c
Ł ł
2
R
hwć

3
ć
(2c) c ś ś p
Ł ł
h3
str. lewa = +

D D
śx śx
Ł ł
(7)
2
R
hwć

3
ć
3
(2c) c ś ś p
Ł ł

+
h
L L
śz śz
Ł ł
2
L L
ć ć
Natomiast podstawiając L = D; L2 = D2 :

D D
Ł ł Ł ł
2
R
3
(2c) hwć

ć
c ś ś p
Ł ł
h3
str. lewa = +

D2
śx śx
Ł ł
(8)
2
R
3
(2c) hwć

2
ć
3
c D ś ś p
ć
Ł ł

+

h
D2 L
Ł ł śz śz
Ł ł
Zaś strona prawa równania:
D 2c śh
ć
(9)
str. prawa = 6h w

2 D
Ł ł śx
2
2
(2c) R
ć
2c , w oraz h z obydwu stron równania skracają się. Również = 1.

D2 c
Ł ł
Równanie sprowadzone zatem jest do postaci:
2
ć ć
3 3
ś ś p D ś ś p śh
1
(10)

+ ć = 3

h h
L
śx śx Ł ł śz śz śx
Ł ł Ł ł
Po rozwiązaniu równania (10), tj. po określeniu zależności bezwymiarowego rozkładu
ciśnienia od bezwymiarowych współrzędnych (p(x, z)), otrzymane wielkości należy
2
R
z powrotem pomnożyć przez hw ć , w celu otrzymania mianowanych wartości ciśnienia.

c
Ł ł
4. Wprowadzenie do metody różnic skończonych
Numeryczna metoda różnic skończonych pozwala na przybliżone rozwiązanie równań
różniczkowych cząstkowych takich, jak równanie Reynoldsa. Jeśli z rozwiniętej powierzchni
panwi wydzielone zostanie m n punktów węzłowych (Rys. 7), w punkcie o indeksach i, j ,
poszczególne człony równania Reynoldsa można przybliżyć, zastępując pochodne ilorazami
różnicowymi:
pi, j+1 - pi, j pi, j - pi, j-1
3 3
h - h
1 1
(11)
i, j+ i, j-
ć
3
ś ś p Dx Dx
2 2

=
h
śx śx Dx
Ł ł
1
W [3] zamiast  3 po prawej stronie równania jest  6Ą . Zatem 2Ą razy więcej. Być może jest to wynik
opisu prędkości obrotowej w obrotach na sekundę, gdzie U = 2p n D
2
pi+1, j - pi, j pi, j - pi-1, j
3 3
h - h
1 1
i+ , j i- , j
ć
3
ś ś p Dz Dz
2 2

=
h
śz śz Dz
Ł ł
1 1
h - h
i, j+ i, j-
śh
2 2
=
śx Dx
a) b)
Rys. 7 Wydzielenie z powierzchni panewki zbioru punktów węzłowych dla metody
różnic skończonych; a) siatka punktów. Czarne punkty  znana wartość funkcji
(warunki brzegowe); białe  nieznana wartość funkcji; b) widok pojedynczego
zestawu pięciu sąsiadujących punktów
Po podstawieniu do (10) ilorazów różnicowych (11), otrzymamy:
3 3 3 3
h h h h
1 1 1 1
i, j+ i, j+ i, j- i, j-
2 2 2 2
pi, j+1 - pi, j - pi, j + pi, j-1 +
2 2 2 2
Dx Dx Dx Dx
3 3 3 3
h h h h
2 1 2 1 2 1 2 1 (12)
i+ , j i+ , j i- , j i- , j
D D D D
ć ć ć ć
2 2 2 2
+ pi+1, j - pi, j - pi, j + pi-1, j =

2 2 2 2
L L L L
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
Dz Dz Dz Dz
1 1
h - h
i, j+ i, j-
2 2
= 3
Dx
Po zebraniu członów równania i uporządkowaniu według pk :
3 3 3 3
ł
h h h h
1 1 2 1 2 1
ę i, j+ i, j- i+ , j i- , j ś
D D
ć ć
2 2 2 2
- - - - pi, j +
ę ś
2 2 2 2
L L
Ł ł Ł ł
ę Dx Dx Dz Dz ś
ę ś

3 3
ł ł
h h
1 1
ęć D 2 i- , j ś ęć D 2 i+ , j ś
2 2
(13)
+ pi-1, j + pi+1, j +
ę ś ę ś
2 2
ęŁ L ł Dz ś ęŁ L ł Dz ś
ę ś ę ś

h3 ł h3 ł
1 1 1 1
h - h
ę i, j- ś ę i, j+ ś i, j+ i, j-
2 2 2 2
+ pi, j-1 + pi, j+1 = 3
ę ś ę ś
2 2
Dx
ę Dx ś ę Dx ś
ę ś ę ś

otrzymamy wyrażenie na pi, j :
3 3 3 3
h pi-1, + h pi+1, h pi, + h pi,
1 1 2 1 j 1 j 1 j-1 1 j+1
h - h
i, j- i, j+ i- , j i+ , j i, j- i, j+
D
ć
2 2 2 2 2 2
3 + +

2 2
L
Dx Ł ł
Dz Dx
pi, j =
3 3 (14)
h3 3 ł
+ h h + h
1 1 2 1 1
ę i, j+ i, j- i+ , j i- , j ś
D
ć
2 2 2 2
+
ę ś
2 2
L
Ł ł
ę Dx Dz ś
ę ś

Równanie różnicowe można przedstawić w ogólnej postaci:
(15)
pi, j = a0 + a pi, j+1 + aS pi, j-1 + aW pi-1, j + aE pi+1, j
N
gdzie a0,N ,S ,E,W - stałe dane dla każdego punktu siatki (Rys. 7b).
Równanie (15) zapisać można dla każdego punktu w siatce. W ten sposób otrzymamy
układ m n równań liniowych  dla punktów leżących na skraju obszaru panewki (czarne na
Rys. 7a) nie ma potrzeby zapisywania równania, gdyż wartość ciśnienia w tych punktach jest
znana (wynosi 0). Najłatwiej zapisać je w postaci macierzowej, dogodnej dla wielu środowisk
programowania, a następnie rozwiązać je:
-1
(16)
p = [A] B
gdzie:
p - macierz niewiadomych. Jednokolumnowa, zwana też wektorem niewiadomych
A - macierz współczynników równania
B - macierz wyrazów wolnych
W każdym z równań wystąpi najwyżej 5 niewiadomych: pi, j , pi-1, j , pi+1, j , pi, j-1 , pi, j+1 .
Zatem w każdym wierszy macierzy współczynników A, najwyżej 5 elementów będzie miało
niezerową wartość. Zawsze będzie to element leżący na przekątnej macierzy (i = j),
ponieważ w każdym równaniu występuje wartość pi, j . Pozostałe wartości również wystąpią,
o ile dany punkt na siatce nie sąsiaduje z punktem o znanej wartości ciśnienia (czarny na Rys.
7a). W takim przypadku, odpowiedni człon równania (15), który go opisuje, przejdzie do
macierzy wyrazów wolnych. Innymi słowy, w punktach tych mamy opisane warunki
brzegowe.
W ten sposób skonstruowana macierz, której większość elementów ma wartość zero,
nazywana jest macierzą rzadką (Rys. 8)
Rys. 8 Wizualizacja macierzy rzadkiej dla układu 20 równań liniowych. Całkowita liczba
elementów niezerowych w tej macierzy wynosi 82.
Stałe a0,N ,S ,E,W można wyznaczyć z równania (14):
1 1
h - h
i, j- i, j+
2 2
3
Dx
a0 =
3 3 3 3
h + h h + h
1 1 2 1 1
i, j+ i, j- i+ , j i- , j
D
ć
2 2 2 2
+

2 2
L
Ł ł
Dx Dz
3
h
1
i, j+
2
2
Dx
a =
N
3 3 3 3
h + h h + h
1 1 2 1 1
i, j+ i, j- i+ , j i- , j
D
ć
2 2 2 2
+

2 2
L
Ł ł
Dx Dz
3
h
1
i, j-
2
2
Dx
aS =
3 3
h3 3 ł
+ h h + h
1 1 2 1 1
ę i, j+ i, j- i+ , j i- , j ś
D
ć
(17)
2 2 2 2
+
ę ś
2 2
L
Ł ł
ę Dx Dz ś
ę ś

3
h
2 1
i+ , j
D
ć
2

2
L
Ł ł
Dz
a =
E
3 3
h3 3 ł
+ h h + h
1 1 2 1 1
ę i, j+ i, j- i+ , j i- , j ś
D
ć
2 2 2 2
+
ę ś
2 2
L
Ł ł
ę Dx Dz ś
ę ś

3
h
2 1
i- , j
D
ć
2

2
L
Ł ł
Dz
aW =
3 3
h3 h3 ł
+ h + h
1 1 2 1 1
ę i, j+ i, j- i+ , j i- , j ś
D
ć
2 2 2 2
+
ę ś
2 2
L
Ł ł
ę Dx Dz ś
ę ś

5. MRS w środowisku MathCAD
Przykład modelowania rozkładu ciśnienia w hydrodynamicznym łożysku poprzecznym
został zrealizowany w środowisku MathCAD. Głównym czynnikiem decydującym o wyborze
tego oprogramowania była przejrzysta forma dokumentów tworzonych w tym programie.
Należy uruchomić plik HD_Lozysko.xmcd, a następnie wybrać  Nie po pojawieniu się
monitu o wyłączenie makr w dokumencie (Rys. 9). Dzięki temu działać będą suwaki
pozwalające ustalić wartość ekscentryczności względnej oraz kąta położenia minimalnego
przekroju szczeliny smarnej.
Rys. 9 Okno ostrzegawcze MathCada dotyczące wyłączenia makr w dokumencie
W zacienionych polach definiowane są wielkości wejściowe. Studenci w dowolny sposób
mogą modyfikować te wielkości i obserwować skutki tych działań. Poniżej znajdują się
obliczone wartości podstawowych parametrów definiujących pracę łożyska. Są one funkcjami
parametrów wejściowych.
Na następnej stronie znajduje się graficzna wizualizacja przekroju łożyska (Fig. 1), oraz
względnej grubości filmu olejowego (w układzie biegunowym  Fig. 2, oraz w kartezjańskim
 Fig. 3).
Na kolejnej stronie zdefiniowane zostały:
Liczba rzędów i kolumn w siatce punktów M i N, dla których nieznane są wartości
ciśnienia (białe punkty wg Rys. 7)
Definicje  grubości siatki Dx , oraz Dz
Definicje grubości filmu olejowego w odpowiednich punktach: powyżej, poniżej, na
lewo i prawo od badanego punktu (leżące  na północ ,  na południe ,  na zachód i
 na wschód od niego)
Definicje współczynników a0,N ,S ,E,W
Kolejna strona zawiera program tworzący macierze A i B wg równania (16), a także
wizualizację rzadkiej macierzy współczynników A . (Fig. 4) Na tej stronie zapisana jest
również instrukcja rozwiązania układu równań (16) (zaznaczona na czerwono, najbardziej
czasochłonna w całym dokumencie), oraz algorytm ponownego przypisania wartości
z wektora rozwiązań p odpowiednie miejsce na siatce punktów
Na ostatniej stronie przedstawiona jest graficzna wizualizacja wyniku obliczeń (Fig. 5)
6. Dyskusja wyników
Przedstawiona metoda różnic skończonych pozwala rozwiązywać równanie eliptyczne
typu Reynoldsa dla niemal dowolnych zadanych parametrów wejściowych. Określenie
faktycznego stanu łożyska wymaga jednak określenia parametrów, przy których wytworzony
zostanie hydrodynamiczny film olejowy zdolny w danych warunkach przenieść zadane
obciążenie. Warto zwrócić uwagę, że równanie Reynoldsa nie uwzględnia obciążenia. Na
rozkład ciśnienia w szczelinie smarnej ma wpływ wyłącznie:
Geometria szczeliny smarnej (będąca wynikiem luzu, ekscentryczności, oraz kąta
najmniejszego przekroju szczeliny)
Prędkość obrotowa czopa względem panewki
Lepkość smaru
7. Literatura
1 DIN 31652: "Hydrodynamische Radial-Gleitlager im stationren Bereich."
2 KICICSKI J.: Teoria i badania hydrodynamicznych poprzecznych łożysk
ślizgowych. Wydawnictwo PAN Wrocław, Warszawa, Kraków 1994
3 HEBDA M., WACHAL A.: Trybologia WNT Warszawa 1980


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Mrs Malory and Any Man s?ath
2 MRS
Mrs Fields Lemon Chocolate Chip Buttons
Mrs Fields Party Time Cookies
Mrs Fields Butterscotch Pecan Cookies
Mrs Fields Mocha Chunk Cookies
MRS FIELDS PECAN SUPREMES
# Projekt nr 3 TEMAT Sprawdzenie dokładności rozwiązania MRS
Beatles Mrs Robinson ( Mr bush)
Mrs Fields Marbles
Counting Crows Mrs Potters Lullaby
BatorA Lp1 MRS D
MRS FIELD S SWEETIE PIES
Mrs Fields Orange Chocolate Chunk Cookies
Mrs Fields Peanut Butter Chocolate Bars
Beautiful 1 5 Mrs Maddox
MRS FIELDS APPLESAUCE OATIES
Mrs Fields Lacy Oatmeal Cookies
Firefly [1x06] Our Mrs Reynolds

więcej podobnych podstron