Metoda Różnic Skończonych (MRS)
METODY OBLICZENIOWE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Ewa Pabisek
(1)
Równania różniczkowe zwyczajne
Równanie o postaci ogólnej:
dk y(x)
F ( x, y, y , y , . . . , yn ) = 0, y(k) a" , k = 1, 1, 2, . . . , n,
d xk
w którym jako niewiadoma występuje funkcja tylko jednej zmiennej
niezależnej y(x) oraz niektóre (albo wszystkie) jej pochodne
y(k)(x), 0 < k n nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym
rzędu n.
Oprócz pojedynczych równań występują również układy takich równań:
F1( x, y, y , y , . . . , yn ) = 0,
F2( x, y, y , y , . . . , yn ) = 0,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Fn( x, y, y , y , . . . , yn ) = 0.
(2)
Metody rozwiÄ…zywania zagadnienia brzegowego
Pojedyncze równania różniczkowe (lub ich układy) opisują różne zjawiska
i procesy zachodzące w modelach fizycznych. Mimo tej różnorodności
występują tylko dwa zasadnicze rodzaje problemów:
problem poczÄ…tkowy,
problem brzegowy.
Zajmiemy siÄ™ poszukiwaniem takich funkcji y(x),
które są rozwiązaniem równania rzędu conajmniej drugiego,
funkcji określonych na przedziale (a, b)
i zdefiniowanych n warunkami, z których jedne dotyczą punktu a, a
inne  punktu b.
W celu znalezienia rozwiązania zagadnienia można zastosować:
Metodę Różnic Skończonych, nazywaną także metodą różnicową
Metodę Elementów Skończonych
(3)
Metoda Różnic Skończonych
Algorytm metody
Zastąpienie obszaru zbiorem węzłów różnicowych
zamiana postaci rozwiązania : z funkcji ciągłej na skończny zbiór
wartości funkcji w węzłach
Zastąpienie pochodnych w równaniach problemu wzorami
różnicowymi
Rozpisanie równania różnicowego dla wszystkich punktów
węzłowych, w których poszukujemy różnych od zera wartości funkcji
Przedstawienie warunków brzegowych w reprezentacji różnicowej
Zapisanie algebraicznego układu równań i jego rozwiązanie czyli
wyznaczenie węzłowych wartości funkcji pierwotnej występującej w
równaniu różniczkowym np. funkcji ugięcia
Wyznaczenie wartości funkcji wtórnych np. funkcji momentu.
(4)
Centralne wzory różnicowe
dla zagadnienia jednowymiarowego
1 2 3 4 5 6 7
i-2 i-1 i i+1 i+2
i-2 i-1 i i+1 i+2
I 1
-1 0 1
f
2h
II 1
1 -2 1
f
h2
III 1
1
-1 2 0 -2 1
f
2h3
IV 1
1 -4 6 -4 1
f
h4
(5)
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego
Tworzenie równań różnicowych na podstawie równania różniczkowego drugiego rzędu
Przykład:
Rozwiązać problem brzegowy:
y (x) = x, x " [a, b]
y(a) = 2, y (b) = 1, gdzie a = 0.0, b = 2.0;
RozwiÄ…zanie:
Przedział [0, 2] dzielimy na n = 4 części, h = 0.5.
h
a=0 b=2
x
i= 5
0 1 2 3 4
Tworzymy układ równań różnicowych dla i = 1, 2, 3, 4:
1 · yi-1 - 2 · yi + 1 · yi+1
= xi - yi-1 - 2 · yi + yi+1 = h2 xi
h2
Warunki brzegowe mają następującą postać różnicową:
-1 · y3 + 1 · y5
1 · y0 = 2, = 1 - -1 · y3 + 1 · y5 = 2h.
2h
(6)
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego
Tworzenie równań różnicowych na podstawie równania różniczkowego drugiego rzędu
Tworzymy układ równań różnicowych dla i = 1, 2, 3, 4:
yi-1 - 2 · yi + yi+1 = h2 xi
Warunki brzegowe mają następującą postać różnicową:
1 · y0 = 2, -1 · y3 + 1 · y5 = 2h.
Otrzymujemy układ równań MRS:
i = 0 1 y0 = 2
i = 1 1 · y0 - 2 · y1 + 1 · y2 = 0.125
i = 2 1 · y1 - 2 · y2 + 1 · y3 = 0.250
i = 3 1 · y2 - 2 · y3 + 1 · y4 = 0.375
i = 4 1 · y3 - 2 · y4 + 1 · y5 = 0.500
i = 4 - 1 y3 + 1 · y5 = 1
(7)
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego
Postać układu równań różnicowych
Zapis układu równań w postaci macierzowej A y = B:
x
i= 5
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 5
1 y0
2
wb. i=0
i=
1 1 -2 1 y1 0.125
2 1 -2 1 y2
0.250
=
3 1 -2
1 y3 0.375
4
1 -2 y4 0.5
1
wb. i=4 y5 1
-1
1
.
y = B
A
(8)
Przykład rozwiązania zagadnienia brzegowego
Wyniki
1
RozwiÄ…zanie analityczne: y(x) = x3 - x + 2
6
2
1.8
RozwiÄ…zanie
nr x MRS4 analityczne 1.6
0 0.0 2.0000 2.0000
1.4
1 0.5 1.5000 1.5208
Analityczne
2 1.0 1.2500 1.1667
1.2
3 1.5 1.0000 1.0625
5 2.0 1.2500 1.3333
1
MRS4
MRS8
0.8
0 0.5 1 1.5 2
(9)
Problem zginania belki
Przemieszczeniowe równanie różniczkowe czwartego rzędu
Zastosujemy MRS do rozwiązania problemu sformułowanego lokalnie
np. za pomocą przemieszczeniowego równania różniczkowego
czwartego rzędu opisującego zginanie belki prostej.
d4v(x) py (x)
= .
dx4 EJ
Poszukiwaną  pierwotną funkcją jest funkcja ugięcia belki v(x).
Funkcjami  wtórnymi będą: moment zginający M(x) oraz siła
poprzeczna T (x):
d2v(x) d3v(x)
M(x) = -EJ , T (x) = -EJ .
dx2 dx3
Do równania różniczkowego należy dopisać odpowiednie warunki
brzegowe, wynikające z brzegowych więzów kinematycznych
oraz brzegowych obciążeń.
(10)
Model obliczeniowy belki
Tworzenie równań różnicowych
Jednowymiarowe zagadnienie brzegowe zginania belki
opisane równaniem różniczkowym czwartego rzędu, po zastosowaniu
centralnego ilorazu różnicowego ma postać:
d4v(x) py (x) vi-2 - 4vi-1 + 6vi - 4vi+1 + vi+2 py
i
= =Ò! =
dx4 EJ h4 EJ
py
i
vi-2 - 4vi-1 + 6vi - 4vi+1 + vi+2 = bi , bi = h4 · (1)
EJ
Daje układ równań, do którego należy dołączyć warunki brzegowe.
(11)
Warunki brzegowe w zapisie różnicowym
1) 2) 3) 4)
i i+1
i-1 i i+1 i-1 i+1 i-1 i+1 i-1 i
i
i-2 i+2 i-2 i+2
dv
1
Brzeg utwierdzony: v = 0 , = 0 ,
dx
-vi-1
+vi+1
w zapisie różnicowym: vi = 0 , = 0 .
2h
d2v
2
Brzeg przegubowo podparty: v = 0 , M = -EJ = 0 ,
dx2
vi-1-2vi +vi+1
w zapisie różnicowym: vi = 0 , -EJ = 0 .
h2
dv d3v
3
Brzeg pionowo przesuwny: = 0 , T = -EJ = 0,
dx dx3
w zapisie różnicowym:
-vi-1
+vi+1 -vi-2
+2vi-1-2vi+1+vi+2
= 0 , -EJ = 0.
2h 2h3
d2v d3v
4
Brzeg swobodny: M = -EJ = 0 , T = -EJ = 0 ,
dx2 dx3
w zapisie różnicowym:
-vi-1-2vi +vi+1 -vi-2
+2vi-1-2vi+1+vi+2
-EJ = 0, -EJ = 0.
h2 2h3
(12)
Przykład belki wspornikowej
py
x
x0 xL
L
y, v
-1 0 1 2 3 4 5 6
Równanie różnicowe musi być rozpisane dla punktów i = 1, 2, 3, 4:
1 · vi-2 - 4 · vi-1 + 6 · vi - 4 · vi+1 + 1 · vi+2 = b gdzie b = (h4py )/(EJ)
Warunki brzegowe:
dla x = 0 : v = 0 v = 0
i = 0 : 1 · v0 = 0 -1 · v-1 + 1 · v1 = 0
dla x = L : M = 0 T = 0
i = 4 : 1 · v3 - 2 · v4 + 1 · v5 = 0 -1 · v2 + 2 · v3 - 2 · v5 + 1 · v6 = 0
(13)
Przykład belki wspornikowej
Układ równań MRS
Otrzymujemy układ równań MRS:
1. 1 · v-1 - 4 · v0 + 6 · v1 - 4 · v2 + 1 · v3 = b
2. 1 · v0 - 4 · v1 + 6 · v2 - 4 · v3 + 1 · v4 = b
3. 1 · v1 - 4 · v2 + 6 · v3 - 4 · v4 + 1 · v5 = b
4. 1 · v2 - 4 · v3 + 6 · v4 - 4 · v5 + 1 · v6 = b
5. 1 · v0 = 0
6. - 1 · v-1 + 1 · v1 = 0
7. 1 · v3 - 2 · v4 + 1 · v5 = 0
8. - 1 · v2 + 2 · v3 - 2 · v5 + 1 · v6 = 0
(14)
Przykład belki wspornikowej
Postać macierzowa układu równań
A · V = B
i= -1 0 1 2 3 4 5 6
-1 0 1 2 3 4 5 6
i= 1 -4 6 -4 1 v-1
b
1
1 -4 6 -4 1 v0 b
2
3 1 -4 6 -4 1 v1 b
4 1 -4 6 -4 1 v2 b
b
=
v3 0
1
wb
i=0
-1 1 v4 0
v5 0
wb 1 -2 1
i=4
-1 2 -2 1 v6 0
A V B
(15)
Przykład belki wspornikowej
Analiza rozwiązania  funkcja ugięcia
Rozwiązanie układu  wartości funkcji ugięcia:
V = { 4.0b, 0.0b, 4.0b, 12.5b, 23.0b, 34.0b, 45.0b, 56.5b }
Zatem wartość ugięcia na końcu belki (x = L, dla i = 4) wynosi:
py L4 py L4
vanal(L) = = 0.125 · ,
8EJ EJ
4
py h4 py L
vMRS(L) =v4 = 34.0 · b = 34.0 · = 34.0 · · =
EJ EJ 4
py L4
0.1333 · = 1.064 · vanal(L).
EJ
(16)
Przykład belki wspornikowej
Analiza rozwiązania  funkcja momentów zginających
Wartość momentu zginającego dla brzegu utwierdzonego
(x = 0, dla i = 0) wynosi:
py L2
Manal(0) = - ,
2
EJ
MMRS(0) = - EJv0 = - (v-1 - 2v0 + v1) =
2
2 4
4 py L
- EJ · (4 - 0 + 4) · =
L EJ 4
py L2
- = Manal(0).
2
(17)
Dziękuję za uwagę
(18)