SYSTEMY
SYSTEMY
ROZMYTE
ROZMYTE
1
ZBIORY ROZMYTE
ZBIORY ROZMYTE
I
I
WNIOSKOWANIE
WNIOSKOWANIE
PRZYBLIŻONE
PRZYBLIŻONE
2
1965  Lotfi A. Zadeh:  Fuzzy sets
Metoda reprezentacji wiedzy
wyrażonej w języku naturalnym:
"  Temperatura wynosi 29oC  informacja liczbowa -
naturalna dla systemów komputerowych.
"  Jest dość ciepło  informacja opisowa - naturalna dla
człowieka.
Klasyczna teoria zbiorów: dowolny element należy
lub nie należy do danego zbioru.
Teoria zbiorów rozmytych: element może częściowo
należeć do pewnego zbioru.
3
Zamiast dwóch wartości logicznych (prawda i fałsz)
nieskończenie wiele wartości [0,1].
Np.:  młody człowiek :
�
A= młody A= młody
1 1
0.8
0
30 30
x [lata] x [lata]
0
klasycznie sposób rozmyty
Umożliwiają formalne określenie pojęć nieprecyzyjnych
i wieloznacznych:
-  wysoki hałas ,
-  małe zarobki ,
-  niskie zużycie paliwa .
4
Obszar rozważań X (the universe of discourse) - zbiór
nierozmyty (np. płaca w Niemczech i w Polsce).
Zbiór rozmyty w pewnej przestrzeni (niepustej) X -
zbiór par :
A = (x,�A(x)); x " X '"
{ }
x
�A(x)  funkcja przynależności zbioru rozmytego A.
Funkcja przynależności  przypisuje każdemu ele-
mentowi x"X stopień jego przynależności do zbioru
rozmytego A
5
" �A(x) = 1  pełna przynależność elementu x do zbioru
rozmytego A;
" �A(x) = 0  brak przynależności x do zbioru rozmy-
tego A;
" 0 d" �A(x) d" 1  częściowa przynależność x do zbioru
rozmytego A.
Symboliczny zapis zbioru rozmytego o skończonej liczbie
elementów:
n
�A(x1) �A(x2) �A(xn) �A(xi )
A =++ ... +=
"
x1 x2 xn xi
i=1
suma mnogościowa przyporządkowanie
6
Np.  Ciepła woda na basenie :
" Obszar rozważań: X = [20, 21, ..., 29]
" Zbiór rozmyty A (subiektywnie!):
0.1 0.3 0.4 0.6 0.8 1 0.9 0.8 0.75 0.7
A =+++++ +++ +
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
Jeśli X - przestrzeń o nieskończonej liczbie elementów,
to zapis symboliczny:
�A(x)
A =
+"
x
x
7
Np.  Zbiór liczb bliskich liczbie 7 :
-1
1 Ą# ń#
Ł#1+ (x - 7)2Ś#
�A(x) =
A =
a) �!
+"
1+ (x - 7)2
x
x
� ( )
x
1
0
-1 7 15
x
8
Np.  Zbiór liczb bliskich liczbie 7 :
ż#
|x-7|
1- jeżeli 4 d" x d" 10
�#
�A(x)=
3
�#
�# 0
w przeciwnym razie
�#
� ( )
x
1
0
x
07 14
9
STANDARDOWE
STANDARDOWE
FUNKCJE
FUNKCJE
PRZYNALEŻNOŚCI
PRZYNALEŻNOŚCI
10
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY s
0 dla x d" a
ż#
�#
2
�#2�# x - a ś# dla b d" x d" a
ś#ź#
�#
c - a
�# �# #
s(x;a,b,c) =
�#
2
ś#
�#1- 2�# x - c dla b d" x d" c
ś#ź#
�#
c - a
�# #
�#
dla x e" c
�#
�#1
x
� ( )
1
0.5
0
ac
b
010
x
11
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY Ą
(zdef. poprzez klasę s)
s(x;c - b,c - b / 2,c) dla x d" a
ż#
Ą (x;b,c) =
�#1- s(x;c,c + b / 2,c + b) dla x e" c
�#
x
� ( )
1
0.5
0
016
x
c-b c-b/2 c c+b/2 c+b
12
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY ł
(alternatywa dla s)
0 dla x d" a
ż#
� (x )
1 �#
x - a
�#
ł (x;a,b) = dla a d" x d" b
0.5
�#
�#b - a
0
ac
b
010
x
dla x e" b
�#
�#1
x
� ( )
1
0
ab
010
x
13
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY t
0 dla x d" a
ż#
(alternatywa dla Ą)
�#
x - a
� (x )
�#
dla a d" x d" b
1
�#
b - a
t(x;a,b,c) =
�#c - x
0.5
�#
dla b d" x d" c
0
016
x
c-b c-b/2 c c+b/2 c+b �#
c - b
�# 1
dla x e" c
�#
x
� ( )
1
0
a b c
x10
0
14
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY L
1 dla x d" a
ż#
�#b - x
�#
L(x;a,b)=
�#b - a dla a d" x d" b
�#
dla x e" b
�#
�#0
� (x )
1
0
a b
x
010
15
F. PRZYNALEŻNOŚCI KLASY singleton
1 jeżeli x = x
ż#
�A(x) = � (x - x)=
�#0 jeżeli x `" x
�#
x
� ( )
1
0.5
0
x '
x
010
Singleton charakteryzuje jednoelementowy zbiór rozmyty.
Singleton charakteryzuje jednoelementowy zbiór rozmyty.
Funkcja ta jest wykorzystywana głównie do operacji
Funkcja ta jest wykorzystywana głównie do operacji
rozmywania w systemach wnioskujących. 16
rozmywania w systemach wnioskujących.
Np.: prędkość samochodu:
X: [0, xmax]
" Mała prędkość samochodu (A)  typ L
" Średnia prędkość samochodu (B)  typ t
" Duża prędkość samochodu (C)  typ ł
�A(x) �B(x) �C(x)
1
0.5
x
xmax
40 60 80
x=50 �! �A(x) = �B(x)=0.5, �C(x)=0
17
�(x)
1
0
x
Baza
Nośnik (baza) zbioru rozmytego A:
zbiór elementów ZR, dla których � (x) >0
supp A = x " X;�A(x) > 0
{ }
18
�(x)
1
0
x
Jądro
Baza
Jądro zbioru rozmytego A:
zbiór elementów ZR, dla których � (x) = 1
core(A) = { x " X : �A(x) = 1 }
19
�(x)
1
ą
0
x
Jądro
ą - przekrój
Baza
ą -przekrój zbioru rozmytego A:
zbiór nierozmyty taki, że:
Aą = x " X : �A(x) e" ą "(ą "[0,1]
{ }
20
Np.:
0.1 0.3 0.7 0.6 0.3
A =++++
245810
X={1, ..., 10}
A0 = X = {1, ..., 10},
A0.1 = {2, 4, 5, 8, 10},
A0.3 = {4, 5, 8, 10},
A0.6 = {5, 8},
A0.7 = {5}.
21
Wysokość zbioru rozmytego A:
h(A) = sup �A(x)
x"A
Zbiór normalny:
h(A) = 1
�A(x)
�A (x) = '"
Normalizacja zbioru:
N
x"X
h( A)
Np.:
0.2 0.5 0.4
A =++
- przed normalizacją:
357
0.4 1.0 0.8
AN =++
- po normalizacji:
357
22
Inkluzja (zawieranie sie ZR A w ZR B):
� (x)
B
� (x)
� (x)
A
x
ZR wypukły: ZR wklęsły:
� (x) � (x)
x
x
23
OPERACJE NA ZBIORACH ROZMYTYCH
Suma �A("B(x)=min{1, �A(x)+�B(x)} :
� (x)
� (x)
A � (x)
1
B
� (x) (" � (x)
A B
x
0
lub �A("B(x)=max{�A(x),�B(x)} :
� (x)
� (x)
A � (x)
1
B
� (x) (" � (x)
A B
x
0
24
Iloczyn �A'"B(x)=min{�A(x),�B(x)} :
� (x)
� (x)
A � (x)
1
B
� (x) '" � (x)
A B
x
0
lub �A'"B(x)=�A(x)" �B(x) :
� (x)
� (x)
A � (x)
1
B
� (x) '" � (x)
A B
x
0
25
Dopełnienie zbioru rozmytego:
� (x)
� (x)
�
1
� (x)
A
x
0
Równość dwu ZR A i B:
�A(x) = �B(x) "x " X
26
LICZBY ROZMYTE:
Zbiory rozmyte, zdefiniowane na osi liczb rzeczywistych.
Wymagania:
" zbiór normalny: h(A)=1;
" zbiór wypukły;
" funkcja przynależności przedziałami ciągła.
np.:
� (x)
11
x
0
x
27
LICZBY ROZMYTE:
" dodatnie
" ujemne;
" ani dodatnie ani ujemne
� (x)
1
x
0
x
28
Dodawanie liczb rozmytych:
�A+B(x) = max �A( y),�B(z) x = y + z
{ }
�
1
�A(y) �B(z) �A+B(x)
x
0
x
29
Mnożenie liczb rozmytych:
�A" B(x) = min �A( y),�B(z) x = y �" z
{ }
�
1
�A(y) �A" B(x)
�B(z)
x
0
x
30
PRZYBLIŻONE
PRZYBLIŻONE
WNIOSKOWANIE
WNIOSKOWANIE
31
REGUA
Y WNIOSKOWANIA W LOGICE ROZMYTEJ
Reguły, których przesłanki lub wnioski wyrażone
są w języku zbiorów rozmytych.
" Reguły pochodzące od ekspertów zwykle wyrażone
są w języku nieprecyzyjnym.
" Zbiory rozmyte pozwalają przełożyć ten język na
konkretne wartości liczbowe.
Praca systemu decyzyjnego opartego na logice rozmy-
tej zależy od definicji reguł rozmytych w bazie reguł.
32
Reguły mają postać IF...AND...THEN. np.:
IF a is A1 AND b is B1 THEN c is C1
IF a is A2 AND b is NOT B2 THEN c is C2
gdzie:
a, b, c  zmienne lingwistyczne,
A1, ..., C2  zbiory rozmyte.
Zmienne lingwistyczne:
zmienne, które przyjmują jako wartości słowa lub
zdania wypowiedziane w języku naturalnym.
(również wartości liczbowe).
33
STEROWNIKI
STEROWNIKI
ROZMYTE
ROZMYTE
34
" Nie wymagają tworzenia modelu rozważanego
procesu (co często jest trudne);
" Należy jedynie sformułować zasady postępowania
w postaci rozmytych reguł (IF..THEN).
Np.: Schemat układu klimatyzacji:
STEROWNIK
ROZMYTY
pomieszczenie
czujnik czujnik
temperatury wilgotności
KLIMATYZATOR
35
y
STEROWNIK
ROZMYTY
x1 x2
pomieszczenie
czujnik czujnik
temperatury wilgotności
KLIMATYZATOR
x1, x2
 zmierzone wartości wejściowe;
y
 sygnał sterujący (intensywność chłodzenia).
36
Zastosowania praktyczne:
" sprzęt AGD (pralki, lodówki, odkurzacze);
" kamery (autofokus);
" nadzór wentylacji w tunelach;
" sterowanie światłami na wjez
dzie na autostradę;
" klimatyzacja;
" automatyka przemysłowa;
" sterowanie robotów;
" ...
37
STEROWNIK ROZMYTY:
BAZA
REGUA

BLOK BLOK BLOK
x y
A'ą"X
B'
ROZMYWANIA WNIOSKOWANIA WYOSTRZANIA
Baza reguł (model lingwistyczny):
zbiór rozmytych reguł w postaci:
k k
R(k ) : IF (x1 is Ak AND x2 is A2 & AND xn is An )
1
kk
THEN (y1 is Bk AND y2 is B2 & AND ym is Bm)
1
38
x
1
Np. Sterowanie ogrzewaniem:
Temperatura
Cena
ogrzewania
mróz zimno chłodno
tanio
średnio
drogo
39
x
1
Np. Sterowanie ogrzewaniem:
Temperatura
Cena
ogrzewania
mróz zimno chłodno
tanio mocno mocno średnio
średnio mocno średnio słabo
drogo średnio słabo wcale
R(1) : IF (Temperatura is mróz AND Cena _ ogrz is tanio)
THEN (Grzać is mocno)
R(2) : IF (Temperatura is chłodno AND Cena _ ogrz is drogo)
THEN (Grzać is wcale)
40
ROZMYWANIE (fuzzyfikacja)
" Przejście od pomiarów (konkretna wartość ) do
x1
funkcji przynależności przez określenie stopni przyna-
leżności zmiennych lingwistycznych do każdego ze
zbiorów rozmytych.
" Temperatura: T =15�C
Np.:
" Cena_ogrz: p =48zł/MBTU
R(3) : IF (Temperatura is chłodno AND Cena _ ogrz is tanio)
THEN (Grzać is średnio)
�tanio(p)=0.3
�chłodno(T)=0.5
1
1
0.5
0.3
0
0
p
T
48zł/MBtu
15�C
41
�tanio(p)=0.3
�chłodno(T)=0.5
1
1
0.5
0.3
0
0
p
T
48zł/MBtu
15�C
Stopień spełnienia reguły dla wszystkich przesłanek:
�całe(x) = min{ �chłodno(T),�tanio( p)}
= min{0.5,0.3} = 03
.
 poziom zapłonu reguły
42
WNIOSKOWANIE
Obliczanie stopnia prawdziwości wniosku:
" Wnioskowanie MIN:
�wniosku = min{ �całe,�średnio}
�średnio(h)
1
�całe=0.3
�wniosku(h)
0
h
43
" Wnioskowanie " :
�wniosku = �całei�średnio
�średnio(h)
1
�całe=0.3
�wniosku(h)
0
h
44
AGREGACJA
Jeżeli więcej niż jedna reguła ma niezerowy poziom
zapłonu, wyniki (zbiory rozmyte) sumuje się.
THEN Grzać is słabo
THEN Grzać is średnio
THEN Grzać is mocno
�wniosku
1
słabo
mocno
średnio
0
h
45
WYOSTRZANIE (defuzzyfikacja)
Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa,
stosuje się jedną z metod wyostrzania:
Metoda pierwszego maksimum:
46
WYOSTRZANIE (defuzzyfikacja)
Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa,
stosuje się jedną z metod wyostrzania:
Metoda środka maksimum:
47
WYOSTRZANIE (defuzzyfikacja)
Jeżeli na wyjściu wymagana jest wartość liczbowa,
stosuje się jedną z metod wyostrzania:
Metoda środka ciężkości (COG):
48
Tu:
�wniosku
1
słabo
mocno
średnio
COG
0
h
57�
COG dla zbiorów ciągłych:
"� Aci
i i
i
h =
"� Ai
i
i
Ai  powierzchnia zbioru i
�i  stopień przynależności do zbioru i
ci  środek ciężkości zbioru i.
49
STEROWNIK ROZMYTY TAKAGI-SUGENO
" Baza reguł sterownika ma charakter rozmyty
tylko w części IF.
" W części THEN występują zależności funkcyjne.
Reguły Mamdaniego: wynikiem jest zbiór rozmyty B:
IF x1=A1 AND x2=A2 & xn=An THEN y = B
Reguły Takagi-Sugeno: wynikiem jest funkcja f (xi):
IF x1=A1 AND x2=A2 & xn=An THEN y = f (x1, x2,..xn)
Zwykle są to funkcje liniowe :
f (xi) = y = a0+a1x1+anxn
50
Np.:
R(1): IF prędkość is niska THEN hamowanie = prędkość
R(2): IF prędkość is średnia THEN hamowanie = 4�prędkość
R(3): IF prędkość is wysoka THEN hamowanie = 8�prędkość
�
niska średnia wysoka
0.8
0.3
0.1
Prędkość
2
R(1): w1 = 0.3; r1 = 2
"w �" ri = 7.12
i
Hamowanie =
R(2): w2 = 0.8; r2 = 4�2
"w
i
R(3): w3 = 0.1; r3 = 8�2
51
PROJEKTOWANIE BAZ REGUA

Informacja niezbędna do zaprojektowania sterownika:
" numeryczna (ilościowa)  z czujników pomiarowych;
" lingwistyczna (jakościowa)  od eksperta.
Stworzenie bazy wiedzy dla układu rozmytego 
zadanie nietrywialne...
Siatka
Indywidualne funkcje
52
Siatki:
" proste i skuteczne;
" łączenie danych numerycznych i nienumerycznych
poprzez uzupełnianie istniejącej bazy reguł o nowe
reguły (na podstawie danych uczących);
" Nk obszarów dla k wymiarów i N funkcji;
- często słaba aproksymacja.
Funkcje indywidualne:
" dokładniejsze, lepsza aproksymacja, mniej funkcji;
" trudniejsze w implementacji.
53
Zadanie:
Ustalenie reguł rozmytych tak, by sterownik generował
właściwe sygnały wyjściowe.
1. Określ. zakresu zmienności danych WE i WY [xi-, xi+]
�(x1)
�(x2)
1
1
0
0
x1
x1- x1+
x2- x2+
x2
�(y)
1
0
y
y- y+
54
2. Podział zakresów na podobszary, np.: n = 2N+1
MN, ..., M1, S, D1, ..., DN
i przyjęcie funkcji przynależności (np. trójkątnej) dla
każdego z podobszarów.
�(x1)
�(x2)
M2 M1 S D1 D2 M3 M2 M1 S D1 D2 D3
1
1
0
0
x1
x1- x1+
x2- x2+
x2
�(y)
M2 M1 S D1 D2
1
0
yd
y- y+
55
3. Określenie stopnia przynależności każdego z sygna-
łów WE i WY do każdego z podobszarów.
�(x1)
�(x2)
M2 M1 S D1 D2 M3 M2 M1 S D1 D2 D3
1
1
0
0
x1
x1- x1(2) x1(1) x1+
x2- x2(1) x2(2) x2+
x2
�(y)
M2 M1 S D1 D2
1
0
y
y(1) y(2)
y- y+
56
tu: - StPrzyn x1 do D1 = 0.8, do D2 = 0.2, do innych = 0;
- x1 ma największy StPrzyn do D1, x2 do M1
- Dla każdej pary danych uczących można napisać
jedną regułę.
�(x1)
�(x2)
M2 M1 S D1 D2 M3 M2 M1 S D1 D2 D3
1
1
0
0
x1
x1- x1(2) x1(1) x1+
x2- x2(1) x2(2) x2+
x2
�(y)
M2 M1 S D1 D2
1
0
y
y(1) y(2)
y- y+
57
4. Przyporządkowanie stopni prawdziwości (SP) do
każdej reguły.
�(x1)
�(x2)
M2 M1 S D1 D2 M3 M2 M1 S D1 D2 D3
1
1
0
0
x1
x1- x1(2) x1(1) x1+
x2- x2(1) x2(2) x2+
x2
�(y)
M2 M1 S D1 D2
1
0
y
y(1) y(2)
y- y+
58
Np. dla reguły: IF (x1 is A1 AND x2 is A2) THEN y is B
SP R(1) = �D (x1)�" �M (x2)�" �S ( y) = 0.8�"0.6�"0.9 = 0.432
( )
11
SP R(2) = �S (x1)�" �S (x2)�" �D ( y) = 0.7�"1�"0.7 = 0.49
( )
1
�(x1)
�(x2)
M2 M1 S D1 D2 M3 M2 M1 S D1 D2 D3
1
1
0
0
x1
x1- x1(2) x1(1) x1+
x2- x2(1) x2(2) x2+
x2
�(y)
M2 M1 S D1 D2
1
0
y
y(1) y(2)
y- y+
59
Jeśli pewne reguły okazują się sprzeczne  wybiera się
regułę o największym stopniu prawdziwości.
5. Utworzenie bazy reguł rozmytych
na podstawie tablicy:
D3
D3
D2
D2
D1
D1
S
S
x2 M1
M1
S
M2
M2
M3
M3
M2 M1 S D1 D2
M2 M1 S D1 D2
x1
R(1) : IF (x1 is D1 AND x2 is M1) THEN y is S
60