ARKUSZ I I  MODELE ODPOWI EDZI %
Zakres rozszerzony
Arkusz II
Modele odpowiedzi i schemat punktowania
12.
Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
punktów
RozwaŻenie przypadku m = 0: dla m = 0 dane równanie ma rozwiązanie. 1
Obliczenie wyróŻnika danego równania w przypadku, gdy m!0, i zapisanie nierównoĘci 1
wynikajÄ…cej z warunku, Å»e równanie to ma nie mieç rozwiÄ…zaÅ‚
: 5m2 - 18m + 9 < 0 (I).
3
Rozwiązanie nierównoĘci (I): m ! ; 3 .1
b5 l
13.
Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
punktów
P^A+Bh
Zastosowanie definicji prawdopodobieł
stwa warunkowego: P A B = .1
^ h
P^Bh
Zapisanie implikacji: A+B 1 A & P^A+Bh G P^Ah.1
Zastosowanie w"asnoĘci prawdopodobieł
stwa zdarzeł
przeciwnych: P^Ah= 1 - P^A'h. 1
1 - P^A'h
Wykazanie, Że P A B G .1
^ h
P^Bh
14.
Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
punktów
Zapisanie, Że -1 G sin t G 1. 1
ZauwaŻenie i zapisanie, Że -1; 1 1 b-r;r
2 2l.1
ZauwaŻenie i zapisanie, Że funkcja cosinus w przedziale 1
b-r;r
2 2lprzyjmuje wartoĘci
dodatnie.
www. operon. pl
 % MATEMATYKA  ZAKRES ROZSZERZONY
15.
Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
punktów
Zapisanie, Że pierwszy wyraz ciągu a jest mniejszy od 1.1
^ h
n
Zapisanie za"oŻenia indukcyjnego: dla pewnego, ustalonego k ! N/k H 1, akG 1.1
2
1 3
Wyznaczenie wyrazu ak + 1: ak + 1= ak +
4 4.1
Wykazanie, Że z warunku akG 1 & ak + 1G 1.1
Powo"anie si´ na zasad´ indukcji matematycznej i odpowiedÄ™. 1
16.
Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
punktów
Wyznaczenie h  d"ugoĘci wysokoĘci walca, w zaleŻnoĘci od r  d"ugoĘci promienia 1
250
podstawy tego walca: h = i zapisanie pola powierzchni ca"kowitej walca jako funkcji
r2
500r
d"ugoĘci promienia podstawy: P^rh= 2rr2 + , r ! R+.
r
500r
Obliczenie pochodnej funkcji P: P'^rh= 4rr - .1
r2
Obliczenie miejsc zerowych pochodnej P': r = 5.1
Wykazanie, Że dla r = 5 cm pole powierzchni walca jest najmniejsze. 1
17.
Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
punktów
Naszkicowanie rysunku funkcji f1^xh= 2x.1
Naszkicowanie rysunku funkcji f .1
x + 1 1
Przekszta"cenie wyraŻenia do postaci 1 +
x x.1
1
Naszkicowanie wykresu funkcji g1^xh= 1 +
x.1
Naszkicowanie rysunku funkcji g.1
OkreĘlenie liczby rozwiązał
równania f^xh= g^xh: to równanie ma dwa rozwiązania. 1
www. operon. pl
ARKUSZ I I  MODELE ODPOWI EDZI %
18.
Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
punktów
OkreĘlenie dziedziny danej nierównoĘci: n ! N/n H 3.1
1
Przekszta"cenie danej nierównoĘci do postaci: n^n - 1h^n - 2h G n (I). 1
6
Rozwiązanie nierównoĘci (I): n !^-3; -1 , 0; 4 .1
Uwzgl´dnienie dziedziny nierównoĘci i podanie odpowiedzi: n = 4.1
19.
Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
punktów
Wyznaczenie a1  pierwszego wyrazu i ilorazu q ciągu geometrycznego a , którego 1
^ h
n
suma jest lewą stroną nierównoĘci: a1= q = 2- x.
Wyznaczenie tych wartoĘci x, dla których istnieje skoł
czona suma ciÄ…gu a : x > 0.1
^ h
n
1
Wyznaczenie sumy ciÄ…gu a : S = .1
^ h
n
2x - 1
Zamiana u"amka okresowego 0,9^9hna zwyk"y: 0,9^9h= 1.1
1
Przekszta"cenie danego równania do postaci = 2x - 1 (I). 1
2x - 1
Rozwiązanie równania (I): 0 < x < 1.2
20.
Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
punktów
Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub przyj´cie dok"adnie opisanych oznaczeÅ‚
, 1
np. a, a + r, a + 2r  d"ugoĘci boków trójkÄ…ta, r  d"ugoĘç promienia wpisanego
w trójkÄ…t, R  d"ugoĘç promienia opisanego na trójkÄ…cie.
Zapisanie równania wynikającego z twierdzenia cosinusów dla trójkąta opisanego 1
2 2
w zadaniu: ^a + 2rh = a2 +^a + rh - 2a^a + rhcos 120c(I).
Przekszta"cenie równania (I) do postaci 3r2 - 2a2 + ar = 0 (II). 1
Zapisanie równania wynikającego z warunku, Że obwód trójkąta opisanego w zadaniu 1
jest równy 30: a + r = 10 (III).
(II)
Rozwiązanie uk"adu równał
: a = 6, r = 4.2
'
(III)
www. operon. pl
²%
²%
 % MATEMATYKA  ZAKRES ROZSZERZONY
14 3
Obliczenie R  d"ugoĘci promienia opisanego na trójkącie: R = .1
3
Obliczenie r  d"ugoĘci promienia wpisanego w trójkąt: r = 3.1
Obliczenie stosunku d"ugoĘci promienia okr´gu opisanego na danym trójkÄ…cie 1
14
do d"ugoĘci promienia okr´gu wpisanego w ten trójkÄ…t: .
3
21.
Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
punktów
Analiza zadania i przyj´cie oznaczeÅ‚
, np. B  zdarzenie polegajÄ…ce na wylosowaniu 1
za pierwszym razem kuli bia"ej, C  zdarzenie polegajÄ…ce na wylosowaniu za pierwszym
razem kuli czarnej, A | B  zdarzenie polegające na wylosowaniu za drugim razem dwóch
kul bia"ych, jeÅ»eli za pierwszym razem wylosowano kul´ bia"Ä…, A | C  zdarzenie
polegające na wylosowaniu za drugim razem dwóch kul bia"ych, jeŻeli za pierwszym
razem wylosowano kul´ czarnÄ….
2 3
Obliczenie prawdopodobieł
stw zdarzeł
B i C: P^Bh=
5, P^Ch= 5.1
2
Obliczenie prawdopodobieł
stwa zdarzenia A | B: P^A | Bh=
15.1
1
Obliczenie prawdopodobieł
stwa zdarzenia A | C: P A | C =
^ h
6.1
Obliczenie prawdopodobieł
stwa zdarzenia A, Że obie wylosowane za drugim razem 1
23
kule sÄ… bia"e: P^Ah=
150.
www. operon. pl
²%
²%