Modele odpowiedzi
Matematyka
Poziom rozszerzony
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
1. Obliczenie pierwszego wyrazu i róŻnicy ciągu arytmetycznego: a1= 3, r = 2.1
Obliczenie sumy n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: Sn = n2 + 2n. 1
Obliczenie sumy 10 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego: S10 = 3069. 1
+
U"oŻenie nierównoĘci: n2 + 2n > 3069, n ! N .1
Rozwiązanie nierównoĘci: n ! "55, 56, 57,... ,, czyli suma co najmniej 55 wyrazów. 1
2. Wykonanie rysunku lub wprowadzenie dok"adnych oznaczeł
, np.: 1
AB = 21, BC = 4, AC = x, EBCA = c = 120c.
Wykorzystanie twierdzenia cosinusów do zapisania równania: 1
2
21 = x2 + 42 - 2 $ 4 $ x cos 120c.
_ i
Rozwiązanie równania i obliczenie obwodu trójkąta: x = 1, Ob = 5 + 21.1
3. Zapisanie wzoru funkcji dla m =-4: f (x) = x2 + 3x - 4 i naszkicowanie paraboli 1
b´dÄ…cej jej wykresem.
25,
Podanie zbioru wartoĘci funkcji f (x) = x2 + 3x - 4: D- 1= - +3h.1
4
Wyznaczenie m, dla których istnieje wartoĘç najwi´ksza: m ! ^-3, 3h.2
(1 pkt za
u"oŻenie
nierównoĘci
i 1 pkt za
rozwiÄ…zanie)
Zapisanie uk"adu warunków, aby wykresem funkcji by"a linia prosta przecinająca 1
oĘ OY poniŻej punktu O = ^0, 0h: m - 3 = 0 / m < 0 i rozwiązanie tego uk"adu:
m =- 3.
4. Wprowadzenie oznaczeł
kolejnych kątów czworokąta, np. a, aq, aq2, aq3, q > 0. 1
Wykorzystanie twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg do zapisania równania: 1
a + aq2 = aq + aq3.
RozwiÄ…zanie równania i zapisanie wniosku: q = 1, wi´c wszystkie kÄ…ty czworokÄ…ta 1
są równe (mają po 90c), zatem czworokąt jest prostokątem.
www. operon. pl
1
Matematyka. Poziom rozszerzony
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
5. U"oŻenie nierównoĘci: x3 G 13x - 12.1
Uporządkowanie nierównoĘci i przedstawienie lewej strony w postaci iloczynowej:
^x - 1h x2 + x - 12 G 0.2
` j
(w tym 1 pkt
za zapisanie
pierwiastka
i 1 pkt za
podzielenie
wielomianu
przez
odpowiedni
dwumian)
Rozwiązanie nierównoĘci: x ! ^-3, -4 , 1, 3 .1
10m.1
6. Obliczenie liczebnoĘci zbioru zdarzeł
elementarnych: X = c
3
6 4 6m.1
Obliczenie liczebnoĘci zdarzenia A: A = +
c
2mc1m c3
4m 6m.1
Obliczenie liczebnoĘci zdarzenia B: B = +
c c
3 3
6
Obliczenie liczebnoĘci zdarzenia A + B: A +B = c
3m.1
Obliczenie prawdopodobieł
stw zajĘcia zdarzeł
A, B, A + B: 1
80 24 20
P (A) = P (B) = P (A + B) =
120, 120, 120.
7
Obliczenie prawdopodobieł
stwa sumy zdarzeł
: P (A , B) =
10.1
7. Analiza zadania, wprowadzenie oznaczeł
: AD = x, AB = 2x, AE = h.1
Obliczenie d"ugoĘci przekątnej prostokąta: AC = x 5.1
2 5
Obliczenie d"ugoĘci odcinka DE: h = x.2
5
(1 pkt za
metod´
i 1 pkt za
obliczenia)
x 5
Obliczenie d"ugoĘci odcinka AE: AE = .1
5
x2
Obliczenie pola prostokąta ABCD i trójkąta AED: PABCD = 2x2, PAED = oraz 1
5
PADE 1
obliczenie szukanego stosunku: =
PABCD 10.
8. Wyznaczenie dziedziny równania: D = ^0, 2rh "r,.1
Przekszta"cenie równania i rozwiązanie równania cos x = 1: x = 2kr / k ! C.1
WyciÄ…gni´cie wniosku: Å»adna z liczb x = 2kr / k ! C nie naleÅ»y do dziedziny 1
równania, wi´c nie ma ono rozwiÄ…zania.
www. operon. pl
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiÄ…zywania zadania
zadania punktów
3
9. Obliczenie wspó"czynnika kierunkowego funkcji: a =- . 1
3
Obliczenie wspó"czynnika przesuni´cia i zapisanie wzoru funkcji: 1
3
f (x) =- x - 2 3 - 2.
3
Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji: x =- 6 - 2 3.1
10. Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok"adnych oznaczeł
,
np.: ABC  podstawa ostros"upa, S  wierzcho"ek ostros"upa, SS'  wysokoĘç
ostros"upa, AD  wysokoĘç podstawy, trójkÄ…t BCE  otrzymany przekrój,
EADE = b, EAD = a, AB = BC = AC = a.1
a 3
Zapisanie wysokoĘci podstawy: AD = .1
2
Wykorzystanie twierdzenia sinusów w trójkącie ADE do obliczenia wysokoĘci 2
a 3 sin a
przekroju: ED = .
2 sin a + b
^ h
a2 3 sin a
Obliczenie pola przekroju: PADE = .1
4 sin a + b
^ h
11. Wyznaczenie Ęrodka i promienia okr´gu: S = ^3, - 1h, r = 5.1
Wyznaczenie równania prostej SP: y =-7x + 20.1
1
Wyznaczenie równania prostej AB: y = x - 5.1
7
x2 + y2 - 6x + 2y = 15
U"oŻenie uk"adu równał
: .1
*y = x - 5
1
7
RozwiÄ…zanie uk"adu i podanie wspó"rz´dnych punktów A, B: 2
A = ^0, -5h, B = ^7, -4h.
Wyznaczenie d"ugoĘci boku kwadratu: a = 50 1
i obliczenie jego pola: P = 50.
www. operon. pl
3