Modele odpowiedzi do przyk"adowego arkusza egzaminacyjnego
Matematyka
Poziom rozszerzony
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
zadania punktów
1. Zapisanie nierównoĘci w postaci: x - 2 G5 - 3 x - 2 .1
3 1
Rozwiązanie nierównoĘci w zbiorze liczb rzeczywistych: x ! ,3 1
c4 4m.
Zapisanie wszystkich liczb ca"kowitych spe"niających podaną nierównoĘ�: 1
x ! #1,2,3-.
2
2. Zapisanie wielomianu w postaci W _xi= a_x + 1i_x - 3i .1
Wykorzystanie informacji W _0i= 9 do podania wartoĘci wspó"czynnika d 1
i obliczenia wartoĘci wspó"czynnika a: d = 9, a = 1.
2
Przekszta"cenie wielomianu W _xi=_x + 1i_x - 3i do postaci umoŻliwiającej 1
odczytanie wartoĘci pozosta"ych wspó"czynników i zapisanie: b =- 5, c = 3.
3. Narysowanie wykresu funkcji w zbiorze liczb rzeczywistych: 3
(po 1 pkt
za
Y
narysowanie
wykresu
w kaŻdym
z przedzia-
f
"ów)
1
0 1 X
Zapisanie rozwiązania nierównoĘci f _xi H 2: x ! #1-, 4, +3i.1
Narysowanie wykresu funkcji g: np. przesuni�cie wykresu funkcji o 2 jednostki 2
w prawo y = f _x - 2ii przekszta"cenie otrzymanego wykresu w symetrii (po 1 pkt
za kaŻde
wzgl�dem osi OX g_xi=- f _x - 2i.
przekszta"-
cenie)
www. operon. pl
1
Matematyka. Poziom rozszerzony
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
zadania punktów
4. Przedstawienie liczb m i n w postaci np. m = 7k + r, n = 7l + r, 1
gdzie k, l, r ! N i r < 7.
Wyznaczenie m2 - n2= 7 (7k2 - 7l2 + 2kr - 2lr).1
Stwierdzenie, Że iloczyn liczb ca"kowitych, w którym jednym z czynników jest 1
liczbą 7 jest podzielny przez 7.
5. Zapisanie za"oŻeł
: tgx!0 i sin x!0 lub cos x!0 i sin x!0.1
sina
Zastosowanie wzoru tga= i przekszta"cenie równania do postaci: 1
cosa
2 cos x - 2cos x sin x = 1 - sin x.
Przekszta"cenie równania do postaci iloczynowej: _2cos x - 1i_1 - sin xi= 0.1
r
Rozwiązanie równania sin x = 1 dla x !_0,2ri, x = i zapisanie, Że to 1
2
rozwiązanie nie spe"nia za"oŻeł
.
1
Rozwiązanie równania cos x = dla x ! _0,2rii zapisanie rozwiązania 1
2
1 1 - sin x r 5r
równania - cos x = : x = lub x = .
tgx
2 sin x 33
6. Wyznaczenie róŻnicy ciągu (a ): r = 2.1
n
Wyznaczenie pierwszego wyrazu ciągu (a ): a1=- 11.1
n
Wyznaczenie jedenastego wyrazu ciągu (a ): a11= 9, a20= 27.1
n
Zapisanie za pomocą równania warunku, Że ciąg a8, a11, a20 jest ciągiem 1
_i
2
geometrycznym i podanie wniosku: np. a11= a8$a20, ciąg a8, a11, a20 jest
_i
geometryczny.
Podanie wzoru na wyraz ogólny ciągu (a ): a = 2n - 13.1
n n
Zapisanie wzoru na sum� cz�Ęciową: S = n2 - 12n.1
n
Wyznaczenie wartoĘci n, dla której S osiąga wartoĘ� najmniejszą: n = 6.1
n
1
7. Zapisanie logarytmów o podstawach 8 i za pomocą logarytmu o podstawie 2: 1
4
1 1
2
3 2
2log 3 - log2 27 - log2 9.
Zastosowanie w"asnoĘci logarytmów do zapisania wyraŻenia w postaci: 2- log2 3. 1
1
1
2
4
Obliczenie wartoĘci wyraŻenia 2log 3 - log8 27 + log 9: .1
3
1
1
2
4
Zapisanie wniosku: 2log 3 - log8 27 + log 9= > 0, 33.1
3
n
8. Zapisanie mocy zbioru wszystkich zdarzeł
elementarnych X: X =e H 5 . 1
2o, n
www. operon. pl
2
Matematyka. Poziom rozszerzony
Numer Liczba
Modelowe etapy rozwiązywania zadania
zadania punktów
Zapisanie mocy zbioru zdarzeł
elementarnych sprzyjających zdarzeniu A: 1
5
A = e
2o.
Zapisanie równania wynikającego z treĘci zadania: 1
5
e
2o 2
=
21.
n
e
2o
Przekszta"cenie równania do postaci równania kwadratowego, np.: 1
n2 - n - 210 = 0.
Rozwiązanie równania kwadratowego z uwzgl�dnieniem za"oŻenia: n = 15. 1
1 1
9. Wyznaczenie równania prostej AC: y = x -
2 2.1
Wyznaczenie wspó"rz�dnych punktu S, b�dącego Ęrodkiem odcinka AC: 1
S =_1,0i.
Wyznaczenie równania prostej BD: y =- 2x + 2.1
Zapisanie zaleŻnoĘci pozwalającej wyznaczy� wspó"rz�dne pozosta"ych 1
22
wierzcho"ków rombu: np. _x + 3i +_-2x + 4i = 5.
Zapisanie wspó"rz�dnych wierzcho"ków B i D: B =_2, -2ii D =_0, 2i.1
10. Wyznaczenie wysokoĘci h trapezu: h = 6.1
Obliczenie d"ugoĘci ramion c i d trapezu: c = 4 3, d = 12.1
Wykorzystanie warunku opisywalnoĘci czworokąta na okr�gu do obliczenia 1
sumy d"ugoĘci podstaw a i b trapezu: a + b = 4 3 + 12.
Obliczenie pola trapezu: P = 12 3 + 3 .1
` j
11. Wykonanie rysunku pomocniczego i zaznaczenie na nim przekroju p"aszczyzną 1
równoleg"ą do p"aszczyzny podstawy.
Obliczenie promienia przekroju stoŻka p"aszczyzną równoleg"ą do p"aszczyzny 1
podstawy: r = 3.
Obliczenie wysokoĘci stoŻka, którego przekrój osiowy jest trójkątem 1
równobocznym o boku d"ugoĘci 6: h = 3 3.
Obliczenie obj�toĘci stoŻka, którego przekrój osiowy jest trójkątem 1
równobocznym o boku d"ugoĘci 6: V = 9r 3.
Zapisanie, Że obj�toĘ� stoŻka jest nie mniejsza od obj�toĘci stoŻka, którego 1
przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku d"ugoĘci 6, czyli jest
wi�ksza od 48, bo 48 < 9r 3.
www. operon. pl
3