Procesy stochastyczne
9. Proces Poissona  zadania do samodzielnego rozwiÄ…zania
Zad. 9.1 (P., Ex. 3.2 p. 33) Klienci pojawiają się w banku z częstotliwością 2 na minutę. jakie
jest prawdopodobieństwo, że w każdym z dwóch rozłącznych 2-minutowych odcinków czasu
liczba klientów jest
1. dokładnie równa 3,
2. równa 3 lub mniejsza,
3. równa 3 lub większa?
Zad. 9.2 (P., Ex. 3.3 p. 33) Przy założeniach poprzedniego zadania znajdz
:
1. średnią liczbę klientów jaka pojawi się w banku w ciągu 5 minut,
2. wariancję liczby klientów jaka pojawi się w banku w ciągu 5 minut,
3. prawdopodobieństwo, że w ciągu 5 minut w banku pojawi się co najmniej 1 klient.
Zad. 9.3 (P., Ex. 3.5 p. 33) Jakie jest prawdopodobieństwo, że partia złożona z 4 sztuk pew-
nego towaru będzie zalegać w magazynie więcej niż 1 dzień, jeśli sprzedaż tego towaru jest
opisywana przez proces Poissona
1. ze średnią 4 sztuk dziennie,
2. ze średnią dzienną sprzedażą będącą zmienną losową przyjmującą wartości 3, 4, 5
z prawdopodobieństwami odpowiednio 0, 25, 0, 5, 0, 25.
Zad. 9.4 (S., Ex. 3.9 p. 34) Rozważamy liczbę samobójstw w mieście, w którym zdarzenia takie
odnotowuje się z częstotliwością 2 na tydzień.
1. Znajdz
prawdopodobieństwo odnotowania w ciągu tygodnia co najmniej 6 samobójstw.
2. Jaka jest oczekiwana liczba tygodni w roku, w których zostanie odnotowanych co naj-
mniej 6 samobójstw?
3. Czy jest zaskakującą informacja, że w ciągu roku były co najmniej 2 tygodnie, w których
odnotowano co najmniej 6 samobójstw?
Zad. 9.5 (P. P., Zad. 2 str. 373) Proces Poissona (Nt, t 0) i zmienna losowa Y o rozkładzie
1
P (Y = 0) = P (Y = 1) = są niezależne. Zbadaj, czy proces (Nt + Y, t 0) jest
2
1. procesem o przyrostach niezależnych,
2. procesem Markowa.
Zad. 9.6 (P. P. Zad. 3 str. 373) Niech N = (Nt, t 0) będzie procesem Poissona. Zbadaj, czy
proces Y = (Nt3 + 1, t 0) jest procesem Markowa.
Zad. 9.7 (S., Ex. 17b-c p. 368 i Ex. 8.22(2)b-c p. 389) Wykaż, że jeśli N = (N(t), t 0) jest
procesem Poissona z parametrem , to
1. V (t) = (N(t) - t)2 - t,
2. W (t) = exp(-¸N(t) + t(1 - e-¸)), ¸ " R
z filtracjÄ… Ft = Ã(N(s), 0 s t) sÄ… martyngaÅ‚ami. Niech T = min{t; N(t) = a}.
Korzystając z twierdzenia Dooba, wykaż, że
a
a) V arT = ,
2
 a

b) Ee-¸T = .
+¸
Zad. 9.8 (L., Ex. 3.2 p. 69) Xt i Yt są dwoma niezależnymi procesami Poissona z parametrami
odpowiednio 1 i 2 mierzącymi liczbę klientów przybywających do dwóch sklepów.
1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że klient przybędzie do sklepu I zanim ktokolwiek po-
jawi siÄ™ w sklepie II?
2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w czasie pierwszej godziny całkowita liczba klientów
obu sklepów będzie równa 4?
3. Wiedząc, że dokładnie 4 klientów pojawiło się w obu sklepach łącznie, oblicz prawdo-
podobieństwo, że wszyscy czterej byli w sklepie I.
4. Niech T oznacza czas przybycia pierwszego klienta do sklepu II, a XT liczbę klientów,
jaka znajduje siÄ™ w tym momencie w sklepie I. Znajdz
rozkład zmiennej XT .