Akademia Techniczno Humanistyczna
w Bielsku - Białej
Wydział Nauk o Materiałach i Środowisku
Kierunek: Budownictwo

Ćwiczenie nr 65

„Wyznaczanie pojemności kondesatorów

metodą drgań relaksacyjnych.”

Robert Sikorski

Gr. III

Budownictwo A.T.H

Sem.II niestacjonarne

I. CZĘŚĆ TEORETYCZNA

Drgania relaksacyjne są to drgania samowzbudne, nieharmoniczne, zachodzące w układach

nieliniowych, w których istotną rolę odgrywają siły dysypacyjne (tarcie w układzie mech., opór
czynny w układzie elektr.). Charakteryzują się powolnym wzrostem energii układu zasilanego z
zewn. źródła energii i gwałtownym jej spadkiem, np. wskutek dużego wzrostu oporów ruchu. Do
wytwarzania drgań relaksacyjnych wykorzystuje się procesy ładowania i rozładowywania konden-
satora przez opornik.
Obwód służący do wytwarzania drgań relaksacyjnych zawiera element który samoczynnie regulu-
je czas ładowania i rozładowania. Elementem tym jest lampa elektroniczna wypełniona gazem,
najczęściej neonem, zwana neonówką lub stabiliwoltem. W obwodzie znajduje się również zasi-
lacz prądu stałego (300V/30mA), kondensator dekadowy (R = 0



10 M



), dwa kondensatory o

nieznanej pojemności C

1

,C

2

. Schemat połączeń tych elementów przedstawiony jest na rysunku

poniżej.

Kondensator

Kondensatorem nazywamy układ dwóch okładek metalowych dowolnego kształtu rozdzie-

lonych dielektrykiem. W stanie naładowania na każdej z okładek znajduje się ładunek elektryczny
Q o przeciwnym znaku, a między okładkami panuje różnica potencjałów (napięcie) U. Pojemno-
ścią kondensatora nazywamy stosunek ładunku do napięcia:

U

Q

C



(1)

Pojemność kondensatora zależy od jego geometrii, tzn. od kształtu, rozmiarów i wzajemnej odle-
głości okładek, a także od rodzaju dielektryka znajdującego się między nimi.
Ładowanie kondensatora odbywa się przez dołączenie źródła o stałej SEM do obwodu zawierają-
cego szeregowo połączone opór R i pojemność C rozładowanie - przez odłączenie źródła od ob-
wodu. W dowolnym momencie procesu ładowania na okładkach znajduje się ładunek q, a w ob-
wodzie płynie prąd i. Zgodnie z II prawem Kirchhoffa spadki potencjału na kondensatorze i na
oporniku są kompensowane przez SEM źródła

C

q

iR

ε





(2)

Po zróżniczkowaniu tego równania i uwzględnieniu związku i = dq/dt otrzymamy

0

i

RC

1

dt

di





(3)

Rozwiązując powyższe równanie otrzymujemy:

RC

t

RC

t

0

e

R

ε

e

i

i













(4)

gdzie i

0

jest stałą całkowania określoną przez warunki początkowe. W początkowej chwili łado-

wania (t = 0) napięcie na kondensatorze jest równe zero i z równania 1 wynika, że prąd wynosi
wtedy i

0

=



/R.

Napięcie na kondensatorze w dowolnej chwili wynosi U

c

=



– Ri i zmienia się w czasie według

równania:



















RC

t

C

e

1

ε

U

(5)

Po dostatecznie długim czasie kondensator zostaje naładowany całkowicie. Matematycznie
stwierdzamy, że dla t



, U

c



. Kondensator uważamy za naładowany po czasie t = RC.

Gdy okładki naładowanego kondensatora połączymy bezpośrednio opornikiem R, wówczas przez
opornik popłynie prąd w kierunku przeciwnym niż przy ładowaniu. W tej sytuacji II prawo Kir-
chhoffa przyjmuje postać:

0

C

q

Ri





(6)

Uwzględniając znowu, że i = dq/dt, otrzymujemy równanie różniczkowe

0

C

q

dt

dq

R





(7)

Którego rozwiązaniem tego równania jest funkcja:

RC

t

0

e

q

q







(8)

gdzie q

0

jest początkowym ładunkiem na kondensatorze – jest to ładunek kondensatora naładowa-

nego – q

0

= C



. Natężenie prądu podczas rozładowywania znajdujemy różniczkując równanie 8:

RC

t

e

R

ε

i









(9)

Dzieląc równanie 7 przez C znajdujemy napięcie na kondensatorze w dowolnej chwili procesu
rozładowywania:

RC

t

C

e

ε

U







(10)

W równaniach opisujących ładowanie i rozładowanie kondensatora występuje wielkość RC posia-
dająca wymiar czasu. Wielkość ta nazywa się stałą czasową obwodu i określa prędkość zarówno
ładowania, jak i rozładowania kondensatora.

Zastosowanie kondensatorów:

Kondensator może być stosowany jako kondensator sprzęgający, blokujący napięcie stałe i

przepuszcza dalej napięcie zmienne. Jako kondensator blokujący, zwierający napięcie zmienne,
które występuje razem z napięciem stałym. W filtrach i obwodach rezonansowych, gdzie najczę-
ściej wspólnie z elementem indukcyjnym lub rezystorem, stanowi obwód rezonansowy lub obwód
filtra np. w oscylatorze albo filtrze separującym głośnika.
Znajduje zastosowanie w obwodach czasowych, gdzie wykorzystuje się ładowanie i rozładowy-
wanie kondensatora do określenia czasu. Przykładem tego jest multiwibrator astabilny.
Jako elementu odkłócającego, używa się kondensatora, który może pochłonąć krótkie impulsy,
napięcia tak np. jak w obwodzie RC przyłączonym do cewki przekaźnika. Używa się również
kondensatorów np. typu X lub Y w celu tłumienia zakłóceń o wysokich częstotliwościach.

Łączenie kondensatorów

W wyniku łączenia kondensatorów o pojemności
C

1

i C

2

(jak na rysunku) otrzymujemy układ kon-

densatorów o pojemności zastępczej

C

. Dla kon-

densatorów połączonych

szeregowo pojemność

zastępczą obliczamy ze wzoru:

2

1

z

C

1

C

1

C

1





(11)

Rys.1

Przy połączeniu szeregowym kondensatorów odwrotność pojemności zastępczej jest równa sumie
odwrotności pojemności poszczególnych kondensatorów.

Dla kondensatorów połączonych równolegle
(Rys.2) otrzymujemy:

C

z

= C

1

+ C

2

(12)

Pojemność zastępcza układu równoległego
kondensatorów jest równa sumie pojemności
poszczególnych kondensatorów.

Rys.2

Energia pola elektrycznego kondensatora

Gdy ładujemy kondensator powoli, napięcie wzrasta stopniowo, proporcjonalnie do ładun-

ku. Jeżeli napięcie ma w danej chwili wartość u i chcemy doprowadzić małą porcje ładunku dQ, to
potrzebna do tego energia dW = udQ jest tym większa im większa jest wartość napięcia. Całkowi-

ta energia zużyta na naładowanie kondensatora wyraża sie wzorem:

QU

2

1

W



(13) albo przy

Q = CU:

2

CU

2

1

W



(14) Energia ta zostaje zmagazynowana w polu elektrycznym kondensato-

ra. Faktycznie jest to wiec energia pola elektrycznego miedzy okładzinami kondensatora.

Ładowanie kondensatora w układzie RC:

Najprostszy układ ładowania kondensatora:

W tym układzie po zamknięciu wyłącznika w w chwili t=0, rozpocznie
się ładowanie kondensatora C poprzez rezystor R. Kondensator C bę-
dzie ładowany prądem I ze źródła o napięciu U

we

. Można to zapisać w

postaci równań:

dt

dU

C

I



,

R

U

U

I

We





,

dt

dU

C

R

U

U

We





to

RC

U

U

dt

dU

We





Ostatnie równanie jest równaniem różniczkowym, którego rozwiązaniem jest:

RC

t

We

Ae

U

U







Jak widać ze wzoru kondensator C zostanie naładowany do wartości U

we

dla t znacznie

większego od RC, co jest uwidocznione w postaci krzywej ładowania kondensatora.
Wartość stałej A wylicza się uwzględniając warunki początkowe, czyli w chwili t=0. Wówczas
U=0, a więc A=-U

we

. Ostatecznie otrzymuje się wzór na ładowanie kondensatora w układzie RC:

)

1

(

RC

t

We

e

U

U







Charakterystyki ładowania kondensatora:

a) zależność napięcia pomiędzy okładzi-

nami kondensatora w funkcji czasu -
U(t) przedstawia poniższa charaktery-
styka:

b) zależność prądu ładowania kondensatora i ła-
dunku zgromadzonego na okładzinach kondensa-
tora – I(t) i Q(t) w funkcji czasu przedstawia po-
niższa charakterystyka:

Rozładowywanie kondensatora w układzie RC:

Kondensator C (jak na rysunku) został naładowany
do napięcia U

0

. Jeżeli do tak naładowanego konden-

satora zostanie w chwili t=0 dołączony rezystor R (po
zamknięciu wyłącznika W), to:

dt

dU

C

I



oraz

R

U

I





, to

RC

U

dt

dU





, stąd

otrzymujemy

dt

dU

C

R

U





Z powyższego wzoru widać, że naładowany konden-
sator, obciążony rezystorem zostanie rozładowany,
a krzywa rozładowania obwodu RC będzie wyglądała
jak na rysunku obok:

Rozwiązaniem tego równania jest:

RC

t

Ae

U





Pozostałe charakterystyki rozładowania kondensatora
stanowi zależność natężenia prądu i ładunku w funk-
cji czasu podczas rozładowywania kondensatora.

Rys. Kondensator

Rys. Krzywa rozładowania

Rys. Zależność natężenia od czasu

Iloczyn RC jest nazywany stałą czasową. Jeżeli R będzie podawane w omach, a C w faradach to
jednostką stałej czasowej będzie sekunda. Stałą A można wyliczyć z warunków początkowych,
czyli dla t=0 to U=U

0

, z czego wynika, że A=U

0

.

Wzór na rozładowanie kondensatora można więc zapisać następująco:

RC

t

0

e

U

U





Cechy pola elektrycznego naładowanych kondensatorów.

Między naelektryzowanymi okładzinami kondensatora występuje pole elektryczne.

Cechy tego pola, czyli kierunek, zwrot i wartość zależą od kształtu geometrycznego okładzin
kondensatora, ilości zgromadzonego na nich ładunku elektrycznego i sposobu jego zmiany w cza-
sie. Pola elektryczne wytworzone w kondensatorze można podzielić na:



jednorodne,



niejednorodne,



stałe w czasie (elektrostatyczne)



zmienne w czasie,



przemienne (zmieniające w czasie swój kierunek zwrot i wartość).

Na uwagę, ze względu na prostotę opisu zasługuje jednorodne i stałe w czasie pole elektryczne,
określone warunkiem:

const

E



,

gdzie const należy rozumieć, jako wektor stały co do kierun-

ku, wartości i zwrotu. Źródłem tego pola jest kondensator płaski, na którego okładzinach zgroma-
dzony jest niezmieniający się w czasie ładunek elektryczny. Okładziny kondensatora płaskiego
stanowią dwie metaliczne, nie stykające się ze sobą równoległe płaszczyzny.

Na umieszczony między okładzinami naładowanego kondensatora ładunek elektryczny działa siła
określona wzorem

E

q

F



. Siła ta z uwagi na warunek

const

E



jest stałym wektorem nieza-

leżnie od odległości ładunku od okładziny dodatniej, czy też ujemnej. Pod działaniem tej siły
swobodny, spoczywający wcześniej ładunek zacznie się poruszać Ruch ładunku w polu kondensa-
tora określony przez II zasadę dynamiki Newtona jest jednostajnie przyspieszony, kierunek wy-

znaczony przez kierunek wektora

E

, a zwrot zależny od znaku ładunku. Ładunek dodatni będzie

przemieszczał się od okładziny dodatniej kondensatora do okładziny ujemnej, zwiększając war-
tość swojej prędkości. Przemieszczenie ładunku ujemnego będzie się odbywać w kierunku prze-
ciwnym. Opisany tutaj ruch ładunku odbywa się kosztem pracy wykonanej przez pole elektryczne.
Naładowany kondensator posiada zdolność do wykonania pracy, a więc ma energię. Naładowany
kondensator jest źródłem energii, zmagazynowanej w polu elektrycznym. Energia pola kondensa-
tora maleje w opisanym wyżej przykładzie, ponieważ wzrasta energia kinetyczna poruszającego
się ładunku. Aby uniemożliwić ruch przyspieszony ładunku trzeba przyłożyć do niego siłę ze-
wnętrzną

z

F

równoważącą siłę

E

q

F



. Siła zewnętrzna może wtedy wykonać pracę W, pole-

gającą na przesunięciu np.: ładunku dodatniego q z okładziny ujemnej na okładzinę dodatnią.
Wartość tej pracy określona jest wzorem:

r

z

F

W





*



gdzie wielkość r



jest wektorem przemieszczenia ładunku q z jednej okładziny na drugą.

Długość wektora przemieszczenia jest równa odległości r między okładzinami kondensatora.
Gdy kierunek przemieszczenia ładunku jest prostopadły do kierunku wektora siły zewnętrznej
praca tej siły jest równa zero. Ta sytuacja ma miejsce wtedy, gdy ładunek porusza się równolegle
do okładziny kondensatora.

Uwzględniając we wzorze

r

z

F

W





*



równa-

nie

E

q

F



oraz warunek równoważenia się

sił

F

F

z







praca siły zewnętrznej może być

opisana przy pomocy natężenia pola elektrycz-
nego. Wartość pracy opisuje wówczas wyraże-
nie:

qU

qEr

r

E

q

W













*

gdzie wielkość Er określono, jako różnicę po-
tencjałów, między punktem końcowym i począt-
kowym wektora przesunięcia i nazwano napię-
ciem elektrycznym, oznaczanym symbolem U.
Ponieważ zgodnie z opisem początek wektora
przesunięcia znajduje na okładzinie ujemnej, a
koniec na okładzinie dodatniej kondensatora
można stwierdzić, że między okładzinami panuje
napięcie

elektryczne o wartości: U=Er

gdzie: E - długość wektora natężenia pola elek-
trycznego, r - odległość między okładzinami
kondensatora (długość wektora przesunięcia).

Rys.1 Praca siły zewnętrznej w polu elektrycz-
nym kondensatora płaskiego.

Rys.2 Pole elektryczne kondensatora płaskiego.

Drgania relaksacyjne

Jeżeli w obwodzie RC dołączymy neonówkę równolegle do kondensatora, wówczas w

stąpią okresowe, niesymetryczne wzrosty i spadki napięcia na kondensatorze nazywane drganiami
relaksacyjnymi.
Jeżeli do neonówki przyłożymy niewielkie napięcie, prąd przez nią nie płynie ze względu na małe
przewodnictwo gazu. Po przekroczeniu wartości U

z

(napięcie zapłonu) następuje jonizacja lawi-

nowa gazu, widoczne jest jego świecenie i przez neonówkę płynie prąd.
Rozpoczęta jonizacja lawinowa trwa dalej również przy nieco niższych napięciach – ustaje, gdy
napięcie spada poniżej wartości U

g

(napięcie gaśnięcia).

Opisane właściwości neonówki wykorzystujemy do zrealizowania drgań relaksacyjnych. Konden-
sator C ładuje się ze źródła prądu stałego przez opornik R. Napięcie na okładkach kondensatora
rośnie wykładniczo, zgodnie z równaniem 5. Gdy napięcie osiągnie wartość U

z

, zapala się neo-

nówka. Ponieważ opór palącej się neonówki jest bardzo mały, nastąpi szybkie rozładowanie kon-
densatora do napięcia U

g

. Po zgaśnięciu neonówki rozpoczyna się kolejne ładowanie kondensatora

i jego rozładowanie. Opisane procesy powtarzają się cyklicznie.
Pojedynczy okres składa się z dwóch części: czasu narastania napięcia T określonego przez po-
jemność C i opór R oraz czasu T

1

, w którym napięcie na kondensatorze zmniejsza się, określonego

tą samą pojemnością oraz oporem neonówki. Ze względu na to, że opór neonówki jarzącej się jest
znacznie mniejszy od oporu R, czas rozładowania stanowi mały ułamek całego okresu i w więk-
szości przypadków możemy przyjąć, że okres drgań relaksacyjnych jest równy czasowi ładowania
kondensatora od napięcia gaśnięcia U

g

do napięcia zapłonu U

z

.

W pierwszym cyklu ładowania napięcie U

g

zostanie osiągnięte po czasie t

0

. Równanie 5 dla czasu

t

0

ma postać:





















RC

t

0

g

0

e

1

U

U

, U

0

jest napięciem źródła prądu.

Równanie dla czasu t

0

+ T, w którym napięcie na okładkach kondensatora wynosi U

z

:























RC

T

t

0

z

0

e

1

U

U

Obliczając z dwóch ostatnich równań t

0

i t

0

+ T, otrzymujemy:





0

g

0

0

RClnU

U

U

RCln

t







oraz





0

z

0

0

RClnU

U

U

RCln

T

t









Odejmując powyższe równania stronami, znajdujemy okres T:

g

0

z

0

U

U

U

U

RCln

T







Wyrażenie ln[(U

0

– U

z

)/(U

0

– U

g

)] jest wielkością stałą dla określonego napięcia i określonego

typu neonówki, więc powyższe równanie możemy przedstawić w postaci: T=RCK

Okres drgań relaksacyjnych jest wprost proporcjonalny do pojemności i oporu. Wzór T = RCK
umożliwia wyznaczenie pojemności, jeżeli potrafimy znaleźć okres drgań relaksacyjnych, opór
obwodu oraz stałą K. Okres mierzymy sekundomierzem, obserwując błyski neonówki. Opór wy-
znaczmy posługując się opornikami oznaczonymi. W celu wyznaczenia stałej K, zamiast konden-
satora badanego bierzemy szereg kondensatorów o znanych pojemnościach i mierzymy okresy
drgań relaksacyjnych. Po zmierzeniu okresu mamy wszystkie wartości określające stała K i obli-
czamy ją, korzystając z powyższego wzoru.

Wykres drgań relaksacyjnych

U

z

- napięcie zapłonu;

U

g

- napięcie gaśnięcia;

T

T

- czas narastania napięcia neonówki od U

g

do U

z

;

T

s

- czas opadania

II. PRZEBIEG ĆWICZENIA

1. Połączamy układ pomiarowy.
2. Ustawiliśmy opornik dekadowy na wartość R = 1M



.

3. Zmieniając wartość pojemności kondensatora dekadowego od 1



F do 10



F co 1



F mierzymy

czas t

n

dziesięciu drgań relaksacyjnych dla każdej wartości pojemności C.

4. Wykonujemy pomiar czasu t

n

dziesięciu drgań gdy kondensator dekadowy został zastąpiony

przez: kondensator C

1

; C

2

; kondensatory C

1

i C

2

połączone szeregowo oraz równolegle;

III. OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW

1. Tabela 1. Zestawienie wyników pomiarów i obliczeń

C [



F]

RC

[s]

t

10

[s]

T [s]

1

1

1

23

2,3

2

2

2

47,03

4,703

3

3

3

70,94

7,094

4

4

4

101,03

10,103

5

5

5

114,08

11,408

6

6

6

135.35

13,535

7

7

7

159.66

15,966

8

8

8

179,18

17,918

9

9

9

202

20,2

10

10

10

224

22,4

R= 1 [M



.]

K=2,2 ± 0.04

T

x

= 0,43 ± 0.24

t

10

[s]

T

x

[s]

11

C

1

23,12

2,312

12

C

2

105,25

10,525

13

C

s

17,07

1,707

14

C

r

124.09

12,409

1) W programie komputerowym wyznaczmy parametry prostej regresji y = ax + b

a = K = 2.2

Δa = ΔK = 0.04

b = t

0

= 0,43[s]

Δb = Δt

0

= 0,24

2) Obliczamy wartości pojemności kondensatorów C

1

i C

2

oraz C

s

i C

r

z poniższego wzoru:

KR

t

T

C

0

x

x





F]

[

2

,

1

1

2

,

2

43

,

0

312

,

2

C

1











F]

[

0

,

5

1

2

,

2

43

,

0

525

,

10

C

2











F]

[

1

1

2

,

2

43

,

0

707

,

1

C

s











F]

[

6

1

2

,

2

43

,

0

409

,

12

C

r











3) Obliczamy błędy bezwzględne dla pojemności: C1, C2, Cs i Cr korzystając ze wzoru:























R

R

K

K

T

T

t

T

C

C

0

x

0

x

x

x











oraz błędy względne wyrażone w procentach dla pojemności Cs i Cr ( ΔCs/Cs i ΔCr/Cr ), przyj-
mując: ΔT

x

= 0,2 [s] oraz ΔR/R = 0,02

02

,

0

2

,

2

04

,

0

K

K







F]

[

33

,

0

02

,

0

02

,

0

43

,

0

312

,

2

24

,

0

2

,

0

2

,

1

C

1































,

F]

[

42

,

0

02

,

0

02

,

0

43

,

0

525

,

10

24

,

0

2

,

0

5

C

2































F]

[

38

,

0

02

,

0

02

,

0

43

,

0

707

,

1

24

,

0

2

,

0

1

C

s































,

F]

[

46

,

0

02

,

0

02

,

0

43

,

0

409

,

12

24

,

0

2

,

0

6

C

r































4) Obliczamy błędy względne dla C

s ,

C

r

z poniższych wzorów:

%

38

%

100

1

38

,

0

C

C

s

s









%

7

,

7

%

100

6

46

,

0

C

C

r

r









5)

Obliczamy wartości pojemności zastępczej kondensatorów C

1

i C

2

połączonych szeregowo (C

zs

) i

połączonych równolegle (C

zr

).

]

F

[

20

,

6

C

C

C

2

1

ZR









,

]

F

[

97

,

0

C

]

F

[

03

,

1

5

1

2

,

1

1

C

1

C

1

C

1

ZS

2

1

ZS



















6) Obliczamy względne róznice

zs

zs

s

1

C

C

C







i

zr

zr

r

2

C

C

C







wyrażone w procentach po-

między wartościami C

s

i C

zs

oraz C

r

i C

zr

.

%

1

,

3

%

100

97

,

0

97

,

0

1

%

100

C

C

C

ZS

ZS

S

1

















,

%

6

%

100

20

,

6

20

,

6

83

,

5

%

100

C

C

C

ZR

ZR

R

2

















7) Wyniki obliczeń zestawiamy w poniższej tabeli.

C

1

±



C

1

[



F]

C

2

±



C

2

[



F]

C

s

±



C

s

[



F]



C

s

/ C

s

[%]

C

zs

[



F]



[%]

C

r

±



C

r

[



F]



C

r

/ C

r

[%]

C

zr

[



F]



[%]

1,2 ± 0,33

5,0 ± 0,42

1 ± 0,38

38

0,97 3,1 6,0 ± 0,46

7,7

6,20

3,1

IV WNIOSKI

Po przeprowadzeniu 10 pomiarów czasu ładowania ładowania kondensatorów za pomocą

świetlówki i stopera zauważa się że czasy te rosną liniowo. Metoda drgań relaksacyjnych jest
obarczona niewielkim błędem metody. Można ją stosować tylko, gdy założy się, iż czas ładowania
kondensatora jest dużo większy od czasu rozładowania.
Różnica pomiarów praktycznych z rozważaniami teoretycznymi wynika z niedokładności pomia-
rów oraz urządzeń.