Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol

TOPOLOGIA I

wykłady i zadania

WST

,

EP.

Materiał w skrypcie odpowiada programowi zaj

,

eć z Topologii I w trzecim se-

mestrze studiów na Wydziale MIM Uniwersytetu Warszawskiego i jest oparty na
naszych doświadczeniach z wykładów i ćwiczeń do tego przedmiotu.

Program dopuszcza duż

,

a różnorodność w rozłożeniu akcentów na poszcze-

gólne tematy i przedstawiony materiał jest wynikiem wypośrodkowania naszych
pogl

,

adów na te kwestie, pocz

,

atkowo dość rozbieżnych. Mamy nadziej

,

e, że to wy-

ważenie różnych punktów widzenia przyniesie pożytek użytkownikom skryptu.

W cz

,

eści dotycz

,

acej homotopii umieściliśmy konstrukcj

,

e grupy podstawowej.

Jeśli w semestrze jest pełnych 30 godzin wykładów i ćwiczeń, czas pozwala na
wystarczaj

,

aco dobre omówienie tej tematyki. W przeciwnym razie, jak wynika z

naszych doświadczeń, można j

,

a jedynie zarysować na wykładzie, nie wł

,

aczaj

,

ac

do ćwiczeń.

W zagadnieniach dotycz

,

acych iloczynów kartezjańskich, oddzieliliśmy iloczyny

skończone od przeliczalnych. Te ostatnie umieszczone s

,

a w cz

,

eściach opatrzonych

gwiazdk

,

a i sugerowalibyśmy, aby koncentrować si

,

e na omówieniu iloczynów skoń-

czonych.

W Uzupełnieniach, oprócz kilku wyjaśnień i przykładów, które chcieliśmy wy-

dzielić z głównego tekstu, doł

,

aczyliśmy pewne ważne tematy spoza programu, w

tym dowody twierdzeń Brouwera i Tichonowa. S

,

adzimy, że należy ułatwić stu-

dentom II roku Wydziału MIM, którzy zainteresowaliby si

,

e tymi zagadnieniami,

możliwie proste zapoznanie si

,

e z nimi.

Istotn

,

a cz

,

eści

,

a skryptu s

,

a zadania. Staraliśmy si

,

e dobrać je tak, aby (z ewentu-

aln

,

a wskazówk

,

a) nie były zbyt złożone. Znaczn

,

a ich cz

,

eść należy jednak traktować

jako materiał uzupełniaj

,

acy. Nasz

,

a ocen

,

e tego, co daje si

,

e dokładnie omówić na

ćwiczeniach, sygnalizujemy opatruj

,

ac pewne z tych zadań symbolem ♠. Z tych

zadań układaliśmy, prowadz

,

ac ćwiczenia, zestawy dla studentów i dawaliśmy po-

dobne zadania na kolokwiach i egzaminach.

Istnieje obszerna literatura w j

,

ezyku polskim, dotycz

,

aca różnych aspektów pro-

blematyki, w któr

,

a wprowadza kurs Topologii I (niektóre z tych pozycji wymie-

niamy poniżej). Nasz skrypt, pisany z myśl

,

a o zaj

,

eciach kursowych, nie zast

,

api

oczywiście kontaktu z żadn

,

a z tych znakomitych ksi

,

ażek.

WYBRANE POZYCJE Z LITERATURY W J

,

EZYKU POLSKIM.

R.Engelking, K.Sieklucki, Wst

,

ep do topologii, Warszawa 1986.

K.J¨

anich, Topologia, Warszawa 1991.

C.Kosniowski, Wprowadzenie do topologii algebraicznej, Poznań 1999.

K.Kuratowski, Wst

,

ep do teorii mnogości i topologii, Warszawa 2004.

J.Mioduszewski, Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych, Ka-

towice 1994.

1

1. Przestrzenie metryczne i przestrzenie topologiczne

1.1. Metryki i topologia przestrzeni metrycznej.

Metryka pozwala mierzyć odległość mi

,

edzy punktami przestrzeni. Interesować

nas b

,

ed

,

a jednak nie same metryki, a wyznaczone przez nie rodziny zbiorów otwar-

tych - topologie.

Definicja 1.1.1. Metryk

,

a na zbiorze X nazywa si

,

e funkcj

,

e d : X × X → R

spełniaj

,

ac

,

a nast

,

epuj

,

ace warunki:

(1) d(x, x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y,
(2) d(x, y) = d(y, x), dla x, y ∈ X,
(3) d(x, y) ¬ d(x, z) + d(z, y), dla x, y, z ∈ X.

Par

,

e (X, d) nazywamy przestrzeni

,

a metryczn

,

a.

Z własności (3), nazywanej nierówności

,

a trójk

,

ata, warunku symetrii (2), oraz

(1) wynika, że dla x, y ∈ X, 0 = d(x, x) ¬ 2d(x, y), a wi

,

ec metryka przyjmuje

tylko wartości nieujemne.

Elementy przestrzeni metrycznej (X, d) nazywać b

,

edziemy punktami, a liczb

,

e

d(x, y) odległości

,

a mi

,

edzy punktami x, y ∈ X.

Przykład 1.1.2. Wprowadzimy przestrzenie euklidesowe (R

n

, d

e

). Punktami R

n

s

,

a ci

,

agi n-elementowe liczb rzeczywistych, a odległość miedzy a = (a

1

, . . . , a

n

),

b = (b

1

, . . . , b

n

) ∈ R

n

jest określona formuł

,

a

(4) d

e

(a, b) =

q

P

n
i=1

(a

i

− b

i

)

2

.

Sprawdzimy, że d

e

jest metryk

,

a. Uzasadnienia wymaga jedynie nierówność

trójk

,

ata (3). Pokażemy najpierw, że dla 0 = (0, . . . , 0),

(5) d

e

(a, b) ¬ d

e

(a, 0) + d

e

(0, b).

Po podniesieniu do kwadratu obu stron, (5) przekształca si

,

e w nierówność

Cauchy’ego

(6)

P

n
i=1

|a

i

b

i

| ¬

q

P

n
i=1

a

2

i

q

P

n
i=1

b

2

i

.

Przypomnijmy uzasadnienie (6): przyjmuj

,

ac A =

q

P

n
i=1

a

2

i

, B =

q

P

n
i=1

b

2

i

, s

i

=

|a

i

|

A

, t

i

=

|b

i

|

B

, mamy

P

n
i=1

s

2
i

= 1 =

P

n
i=1

t

2
i

, a ponieważ 2s

i

t

i

¬ s

2
i

+ t

2
i

, po

zsumowaniu tych nierówności stronami dostaniemy (6).

Aby przejść od (5) do ogólnej sytuacji, zauważmy, że metryka euklidesowa jest

niezmiennicza ze wzgl

,

edu na przesuni

,

ecia, a wi

,

ec dla dowolnych a, b, c ∈ R

n

mamy

d

e

(a, b) = d

e

(a − c, b − c) ¬ d

e

(a − c, 0) + d

e

(0, b − c) = d

e

(a, c) + d

e

(c, b).

Kul

,

a w przestrzeni metrycznej (X, d) o środku w punkcie a ∈ X i promieniu

r > 0 nazywamy zbiór

B(a, r) = {x ∈ X : d(a, x) < r}.

Definicja 1.1.3. W przestrzeni metrycznej (X, d), zbiór U ⊂ X jest otwarty, jeśli
dla każdego x ∈ U istnieje r > 0 takie, że B(x, r) ⊂ U . Rodzin

,

e T (d) wszystkich

zbiorów otwartych w (X, d) nazywamy topologi

,

a tej przestrzeni metrycznej albo

topologi

,

a generowan

,

a przez metryk

,

e d.

2

Uwaga 1.1.4. (A) W przestrzeni metrycznej (X, d), jeśli b ∈ B(a, r), to zgod-
nie z nierówności

,

a trójk

,

ata, dla s = r − d(a, b), mamy B(b, s) ⊂ B(a, r). W

szczególności, kule B(a, r) s

,

a otwarte w przestrzeni (X, d).

(B) Dopełnienie X \ F zbioru skończonego F w przestrzeni metrycznej (X, d)

jest otwarte. Istotnie, jeśli x ∈ X \ F i r = min{d(x, y) : y ∈ F }, to B(x, r) ⊂
X \ F .

Własności topologii przestrzeni metrycznej, które wyróżnimy w nast

,

epuj

,

acym

twierdzeniu, posłuż

,

a nam w dalszej cz

,

eści do określenia ogólnych przestrzeni to-

pologicznych.

Twierdzenie 1.1.5. Topologia T (d) przestrzeni metrycznej (X, d) ma nast

,

epuj

,

a-

ce własności:

(i) ∅, X ∈ T (d),
(ii) przeci

,

ecie skończenie wielu elementów T (d) jest elementem T (d),

(iii) suma dowolnie wielu elementów T (d) jest elementem T (d).

Dowód. Ponieważ x 6∈ ∅ dla każdego x ∈ X, warunek określaj

,

acy zbiory otwarte

w (X, d) jest spełniony dla ∅. Jest też jasne, że X ∈ T (d).

Sprawdzimy (ii). Niech U

1

, U

2

∈ T (d). Dla dowolnego x ∈ U

1

∩ U

2

istniej

,

a

r

i

> 0 takie, że B(x, r

i

) ⊂ U

i

, a wi

,

ec B(x, r) ⊂ U

1

∩ U

2

, dla r = min(r

1

, r

2

).

Zatem U

1

∩ U

2

∈ T (d), a st

,

ad (ii) wynika przez indukcj

,

e.

Niech V =

S

U b

,

edzie sum

,

a rodziny U ⊂ T (d). Jeśli x ∈ V , to x ∈ U dla

pewnego U ∈ U , a wi

,

ec istnieje r > 0 takie, że B(x, r) ⊂ U ⊂ V . Zatem

V ∈ T (d), co dowodzi (iii).

Przykład 1.1.6. (A) Metryki na tym samym zbiorze, o różnych własnościach
geometrycznych, mog

,

a generować t

,

e sam

,

a topologi

,

e. Dla ilustracji, rozpatrzmy

w R

n

metryki

d

s

(a, b) =

n

X

i=1

|a

i

− b

i

|,

d

m

(a, b) = max

i

|a

i

− b

i

|,

gdzie a = (a

1

, . . . , a

n

), b = (b

1

, . . . , b

n

). Kule w przestrzeniach metrycznych

(R

n

, d

e

), (R

n

, d

s

), oraz (R

n

, d

m

) maj

,

a różny kształt, ale metryki d

e

, d

s

i d

m

gene-

ruj

,

a t

,

e sam

,

a topologi

,

e, T (d

e

) = T (d

s

) = T (d

m

).

Wynika to z prostych nierówności d

e

¬

√

nd

m

, d

m

¬ d

s

, oraz nierówności

d

s

¬

√

nd

e

, która jest konsekwencj

,

a nierówności Cauchy’ego (6) w 1.1.2.

(B) Niech (X, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a metryczn

,

a i δ > 0. Wówczas funkcja

d

δ

(x, y) = min{d(x, y), δ} jest metryk

,

a w X, generuj

,

ac

,

a t

,

e sam

,

a topologi

,

e, co

metryka d. Wynika to st

,

ad, że w obu przestrzeniach metrycznych (X, d) i (X, d

δ

)

kule o promieniach < δ s

,

a identyczne.

Przykład 1.1.7. (A) Funkcja d : R × R → R określona formułami d(x, y) =
|x| + |y|, dla x 6= y, oraz d(x, x) = 0, jest metryk

,

a. Metryka d generuje w R

topologi

,

e T (d) różn

,

a od topologii euklidesowej, tzn. generowanej przez metryk

,

e

d

e

(x, y) = |x − y|. W przestrzeni (R, d) kula o środku w punkcie x 6= 0 i promieniu

r = |x| składa si

,

e jedynie z punktu x, a zatem {x} jest zbiorem otwartym w tej

przestrzeni. Ponieważ kula w (R, d) o środku w zerze i promieniu r jest przedzia-
łem (−r, r), wynika st

,

ad, że T (d) składa si

,

e ze wszystkich podzbiorów R \ {0},

oraz wszystkich zbiorów zawieraj

,

acych pewien przedział (−r, r).

3

(B) Niech R

∞

b

,

edzie zbiorem ci

,

agów liczb rzeczywistych (x

1

, x

2

, . . .) o prawie

wszystkich (tzn. wszystkich, poza skończenie wieloma) współrz

,

ednych równych

zeru. B

,

edziemy identyfikować R

n

ze zbiorem punktów (x

1

, . . . , x

n

, 0, 0, . . .) w R

∞

.

Metryki d

e

i d

s

w R

∞

określamy formułami

d

e

(a, b) =

v
u
u
t

∞

X

i=1

(a

i

− b

i

)

2

,

d

s

(a, b) =

∞

X

i=1

|a

i

− b

i

|,

gdzie a = (a

1

, a

2

, . . .), b = (b

1

, b

2

, . . .) (na R

n

⊂ R

∞

metryki d

e

i d

s

pokrywaj

,

a si

,

e

z metrykami wprowadzonymi w 1.1.2 i 1.1.6 (A)). Pokażemy, że d

e

i d

s

generuj

,

a

różne topologie w R

∞

. Istotnie, niech 0 = (0, 0, . . .) i niech B

s

(0, 1/2) b

,

edzie kul

,

a

w (R

∞

, d

s

) o środku w 0 i promieniu 1/2. Sprawdzimy, że B

s

(0, 1/2) 6∈ T (d

e

).

Załóżmy przeciwnie i niech B

e

(0, r) ⊂ B

s

(0, 1/2), gdzie B

e

(0, r) jest kul

,

a w

(R

∞

, d

e

) o środku w 0 i promieniu r > 0. Ustalmy n takie, że (

1

√

2

)

n

< r i niech

a = (

1

2

n

+1

,

1

2

n

+2

, . . . ,

1

2

n

+2

n

, 0, 0, . . .). Wówczas d

e

(a, 0) ¬

q

2

n

· (

1

2

n

)

2

¬ (

1

√

2

)

n

< r,

sk

,

ad a ∈ B

e

(0, r), ale d

s

(a, 0) ­ 2

n

·

1

2·2

n

=

1
2

, czyli a 6∈ B

s

(0, 1/2), a wi

,

ec

doszliśmy do sprzeczności.

Zakończymy t

,

e cz

,

eść uwag

,

a dotycz

,

ac

,

a topologii podprzestrzeni przestrzeni me-

trycznych.

Uwaga 1.1.8. Niech (X, d

X

) b

,

edzie przestrzeni

,

a metryczn

,

a i niech Y ⊂ X.

Wówczas obci

,

ecie d

Y

= d

X

| Y × Y metryki d

X

do Y jest metryk

,

a, generuj

,

ac

,

a

w Y topologi

,

e T (d

Y

), której elementy s

,

a śladami zbiorów otwartych w (X, d

X

)

na Y , tzn. T (d

Y

) = {U ∩ Y : U ∈ T (d

X

)}. Aby si

,

e o tym upewnić, wystarczy

zauważyć, że dla y ∈ Y kula w przestrzeni (Y, d

Y

) o środku w y i promieniu r

jest przeci

,

eciem z Y kuli w (X, d

X

) o środku w y i promieniu r.

Przykład 1.1.9. Niech Y = {0} ∪ {

1

n

: n = 1, 2, . . .} i niech d

Y

b

,

edzie obci

,

eciem

do Y metryki euklidesowej w R. Topologia T (d

Y

) składa si

,

e ze wszystkich pod-

zbiorów Y , które albo nie zawieraj

,

a zera, albo ich dopełnienie do Y jest skończone.

Zauważmy, że obci

,

ecie do Y metryki z Przykładu 1.1.7 (A) generuje t

,

e sam

,

a

topologi

,

e.

1.2. Przestrzenie topologiczne.

Własności wyróżnione w Twierdzeniu 1.1.5 przyjmiemy za określenie topologii

w przestrzeniach bez metryki.

Definicja 1.2.1. Rodzina T podzbiorów zbioru X jest topologi

,

a w X, jeśli

(i) ∅, X ∈ T ,
(ii) przeci

,

ecie skończenie wielu elementów T jest elementem T ,

(iii) suma dowolnie wielu elementów T jest elementem T .
Par

,

e (X, T ) nazywamy przestrzeni

,

a topologiczn

,

a, elementy zbioru X punktami

tej przestrzeni, a elementy rodziny T zbiorami otwartymi w (X, T ).

Jeśli dla przestrzeni topologicznej (X, T ) można określić metryk

,

e d na X, dla

której T = T (d), mówimy, że przestrzeń (X, T ) jest metryzowalna. Istnieje wiele
ważnych przestrzeni topologicznych, które nie s

,

a metryzowalne. Jedn

,

a z nich

wskażemy w nast

,

epuj

,

acym przykładzie (zob. także Uzupełnienie 7.3.2).

4

Przykład 1.2.2. Niech (R

∞

, d

e

) b

,

edzie przestrzeni

,

a opisan

,

a w Przykładzie 1.1.7

(B). Przestrzeń R

∞

jest sum

,

a podprzestrzeni R ⊂ R

2

⊂ . . . ⊂ R

n

⊂ . . . i niech

T

n

b

,

edzie topologi

,

a w (R

n

, d

e

) (tym samym symbolem oznaczamy tu metryk

,

e na

R

∞

i jej obci

,

ecie do R

n

). Niech

T

∞

= {U ⊂ R

∞

: U ∩ R

n

∈ T

n

, dla n = 1, 2, . . .}.

Rodzina T

∞

jest topologi

,

a w R

∞

. Pokażemy, że przestrzeń (R

∞

, T

∞

) nie jest

metryzowalna. Załóżmy przeciwnie, że T

∞

= T (d) dla pewnej metryki d na

R

∞

i niech B(0,

1

n

) b

,

edzie kul

,

a w (R

∞

, d) o środku w punkcie 0 = (0, 0, . . .)

i promieniu

1

n

. Zgodnie z określeniem T

∞

, B(0,

1

n

) ∩ R

n

jest zbiorem otwar-

tym w przestrzeni euklidesowej (R

n

, d

e

) zawieraj

,

acym zero, można wi

,

ec wybrać

p

n

= (0, 0, . . . , 0, r

n

, 0, . . .) ∈ B(0,

1

n

), gdzie r

n

6= 0 jest n-t

,

a współrz

,

edn

,

a p

n

.

Zbiór A = {p

1

, p

2

, . . .} ma skończone przeci

,

ecie z każd

,

a przestrzeni

,

a R

n

, zatem

R

n

\ A ∈ T

n

, dla n = 1, 2, . . . (zob. 1.1.4 (B)), a wi

,

ec R

∞

\ A ∈ T

∞

. Z drugiej

strony, 0 ∈ R

∞

\ A, ale każda kula w (R

∞

, d) o środku w zerze zawiera pewn

,

a

kul

,

e B(0,

1

n

), a wi

,

ec przecina A. Mamy zatem R

∞

\ A ∈ T

∞

\ T (d), sprzecznie z

założeniem.

Przykład 1.2.3. Niech X b

,

edzie ustalonym zbiorem. Wśród wszystkich topolo-

gii, jakie można określić na zbiorze X, dwie skrajne to antydyskretna T

a

= {∅, X},

oraz dyskretna T

d

, złożona ze wszystkich podzbiorów zbioru X. Jeśli X zawiera

co najmniej dwa punkty, to przestrzeń (X, T

a

) nie jest metryzowalna, bo wów-

czas, dla dowolnego x ∈ X, X \ {x} 6∈ T

a

, zob. Uwaga 1.1.4 (B). Topologia T

d

jest

generowana przez metryk

,

e dyskretn

,

a w X, w której odległość mi

,

edzy różnymi

punktami jest zawsze równa 1.

Zarówno przy wprowadzaniu topologii, jak i opisywaniu jej własności, uży-

teczne s

,

a rodziny zbiorów wyróżnione w nast

,

epuj

,

acym twierdzeniu.

Twierdzenie 1.2.4. Niech B b

,

edzie rodzin

,

a podzbiorów zbioru X spełniaj

,

ac

,

a

warunki

(i)

S

B = X,

(ii) dla dowolnych B

1

, B

2

∈ B i x ∈ B

1

∩ B

2

istnieje B ∈ B takie, że x ∈ B ⊂

B

1

∩ B

2

.

Wówczas rodzina T zbiorów U ⊂ X takich, że jeśli x ∈ U , to x ∈ B ⊂ U dla
pewnego B ∈ B, jest topologi

,

a w X.

Dowód. Warunki (i) oraz (iii) w Definicji 1.2.1 s

,

a spełnione w sposób widoczny,

a warunek (ii) wynika z własności (ii) rodziny B.

Definicja 1.2.5. B

,

edziemy mówić, że rodzina B spełniaj

,

aca warunki (i), (ii)

Twierdzenia 1.2.4 jest baz

,

a topologii T opisanej w tym twierdzeniu, lub też, że

jest baz

,

a generuj

,

ac

,

a topologi

,

e T .

Przykład 1.2.6. Niech (X, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a metryczn

,

a i niech A ⊂ X

b

,

edzie zbiorem takim, że każda kula w (X, d) zawiera element A. Wówczas ro-

dzina B = {B(a,

1

n

) : a ∈ A, n = 1, 2, . . .} jest baz

,

a generuj

,

ac

,

a topologi

,

e T (d)

przestrzeni (X, d).

5

Przykład 1.2.7. Niech (X, <) b

,

edzie zbiorem zawieraj

,

acym co najmniej dwa

elementy, z wyróżnionym porz

,

adkiem liniowym. Rodzina przedziałów {y : y < x},

{y : x < y}, oraz {z : x < z < y} jest baz

,

a pewnej topologii w X. Topologi

,

e

generowan

,

a przez t

,

e baz

,

e b

,

edziemy oznaczać symbolem T (<).

Jeśli < jest zwykłym porz

,

adkiem na prostej rzeczywistej R, to T (<) jest to-

pologi

,

a euklidesow

,

a.

Niech < b

,

edzie porz

,

adkiem leksykograficznym w kwadracie I

2

= [0, 1] × [0, 1],

tzn. (x

1

, y

1

) < (x

2

, y

2

) jeśli x

1

< x

2

, lub też x

1

= x

2

i y

1

< y

2

. Przestrzeń

topologiczn

,

a (I

2

, T (<)) nazywa si

,

e kwadratem leksykograficznym. Kwadrat lek-

sykograficzny nie jest przestrzeni

,

a metryzowaln

,

a (zob. Uzupełnienie 7.2 (A)).

Podzbiór przestrzeni topologicznej (X, T ) można rozpatrywać w naturalny spo-

sób jako przestrzeń topologiczn

,

a, bo dla Y ⊂ X, rodzina {U ∩ Y : U ∈ T } śladów

na Y zbiorów otwartych w X jest topologi

,

a w Y , zob. 1.2.1. Przyj

,

eta przez nas

poniżej definicja podprzestrzeni jest zgodna z tym, co opisaliśmy w Uwadze 1.1.8
dla przestrzeni metrycznych.

Definicja 1.2.8. Niech (X, T

X

) b

,

edzie przestrzeni

,

a topologiczn

,

a i niech Y ⊂

X. Przestrzeń topologiczn

,

a (Y, T

Y

), gdzie T

Y

= {U ∩ Y : U ∈ T

X

}, nazywamy

podprzestrzeni

,

a przestrzeni (X, T

X

), a T

Y

- topologi

,

a indukowan

,

a w Y .

Przykład 1.2.9. Niech (I

2

, T (<)) b

,

edzie kwadratem leksykograficznym i niech

S = (0, 1] × {0}. Topologia indukowana T (<)

S

na S jest generowana przez baz

,

e

złożon

,

a ze zbiorów (a, b] × {0}, gdzie 0 < a < b ¬ 1.

Zbiór liczb rzeczywistych R z topologi

,

a generowan

,

a przez baz

,

e złożon

,

a z od-

cinków (a, b] nazywa si

,

e strzałk

,

a. Podprzestrzeń (0, 1] strzałki można wi

,

ec utoż-

samiać z podprzestrzeni

,

a (0, 1] × {0} kwadratu leksykograficznego. Strzałka nie

jest metryzowalna, zob. Uzupełnienie 7.2 (A).

W przestrzeni metrycznej (X, d), dla każdej pary punktów x

1

, x

2

∈ X ist-

niej

,

a rozł

,

aczne zbiory otwarte U

1

, U

2

takie, że x

i

∈ U

i

- wystarczy przyj

,

ać U

i

=

B(x

i

, r/2), gdzie r = d(x

1

, x

2

).

Definicja 1.2.10. Przestrzeń topologiczn

,

a (X, T ) nazywamy przestrzeni

,

a Haus-

dorffa, jeśli dla każdej pary punktów x

1

, x

2

∈ X istniej

,

a U

i

∈ T takie, że x

i

∈ U

i

,

oraz U

1

∩ U

2

= ∅.

Przestrzenie niemetryzowalne opisane w przykładach 1.2.2 i 1.2.9 s

,

a przestrze-

niami Hausdorffa.

Przykład 1.2.11. Niech X b

,

edzie zbiorem nieskończonym. Topologia T = {U ⊂

X : U = ∅, lub X \ U jest zbiorem skończonym} nazywa si

,

e topologi

,

a Zariskiego

w X. W przestrzeni (X, T ) każde dwa niepuste zbiory otwarte maj

,

a niepuste

przeci

,

ecie, w szczególności - przestrzeń (X, T ) nie jest Hausdorffa.

Definicja 1.2.12. Otoczeniem punktu a w przestrzeni topologicznej (X, T ) na-
zywamy zbiór V taki, że dla pewnego U ∈ T , a ∈ U ⊂ V .

6

W przestrzeni metrycznej (X, d) otoczeniami punktu a s

,

a zbiory zawieraj

,

ace

pewn

,

a kul

,

e o środku w a.

Definicja 1.2.13. Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a topologiczn

,

a i A ⊂ X. Do-

mkni

,

ecie A zbioru A jest zbiorem punktów x ∈ X takich, że każde otoczenie x

przecina A.

W przestrzeniach metrycznych, cz

,

esto jest wygodnie opisywać domkni

,

ecie zbio-

ru przy użyciu ci

,

agów zbieżnych.

Definicja 1.2.14. W przestrzeni metrycznej (X, d), ci

,

ag punktów (x

n

)

∞
n=1

jest

zbieżny do punktu x

0

, x

n

→ x

0

, jeśli d(x

n

, x

0

) → 0.

Twierdzenie 1.2.15. W przestrzeni metrycznej (X, d), warunek x

0

∈ A jest

równoważny temu, że istnieje ci

,

ag punktów x

n

∈ A taki, że x

n

→ x

0

.

Dowód. Niech x

0

∈ A. Kula B(x

0

,

1

n

) jest otoczeniem x

0

, istnieje wi

,

ec x

n

∈

B(x

0

,

1

n

) ∩ A. Ponieważ d(x

0

, x

n

) <

1

n

, x

n

→ x

0

.

Na odwrót, załóżmy, że x

n

→ x

0

dla pewnego ci

,

agu x

n

∈ A. Niech V b

,

edzie

otoczeniem x

0

i niech B(x

0

, r) ⊂ V . Wówczas, jeśli d(x

0

, x

n

) < r, to x

n

∈ V . Tak

wi

,

ec każde otoczenie punktu x

0

przecina A.

Definicja 1.2.16. Zbiór A w przestrzeni topologicznej (X, T ) jest domkni

,

ety,

jeśli

A = A.

Twierdzenie 1.2.17. Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a topologiczn

,

a. Wówczas

(i) (A) = A,
(ii) zbiór A ⊂ X jest domkni

,

ety wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie jest

otwarte,

(iii)

A =

T

{F : F jest zbiorem domkni

,

etym w X zawieraj

,

acym A}.

Dowód. (i) Inkluzja ⊃ wynika st

,

ad, że zbiór jest zawsze zawarty w swoim do-

mkni

,

eciu. Aby uzasadnić przeciwn

,

a inkluzj

,

e, ustalmy x

0

∈ (A). Niech V b

,

edzie

otoczeniem x

0

i niech dla U ∈ T , x

0

∈ U ⊂ V . Ponieważ U jest otoczeniem x

0

,

istnieje y ∈ U ∩ A, a ponieważ U jest otoczeniem y, U ∩ A 6= ∅. Tak wi

,

ec, dowolne

otoczenie x

0

przecina A, czyli x

0

∈ A.

(ii) Jeśli X \ A jest zbiorem otwartym, X \ A jest otoczeniem każdego punktu

x 6∈ A, rozł

,

acznym z A, sk

,

ad A = A. Jeśli A = A i x 6∈ A, można wybrać otoczenie

punktu x rozł

,

aczne z A, a wi

,

ec istnieje U

x

∈ T takie, że x ∈ U

x

⊂ X \ A. Zatem

X \ A =

S

{U

x

: x ∈ X \ A} jest zbiorem otwartym.

(iii) Jeśli F jest zbiorem domkni

,

etym zawieraj

,

acym A, to A ⊂ F = F , co dowo-

dzi inkluzji ⊂. Ponieważ, zgodnie z (i), A jest zbiorem domkni

,

etym zawieraj

,

acym

A, mamy też inkluzj

,

e przeciwn

,

a.

7

Uwaga 1.2.18. (A) Z definicji topologii, oraz własności (ii) w Twierdzeniu 1.2.17
wynika natychmiast, że skończone sumy i dowolne przeci

,

ecia zbiorów domkni

,

etych

w przestrzeni topologicznej s

,

a zbiorami domkni

,

etymi. Zmieniaj

,

ac punkt widzenia,

zauważmy, że jeśli w zbiorze X wyróżniona jest rodzina zbiorów F zawieraj

,

aca

∅, X i zamkni

,

eta ze wzgl

,

edu na operacje skończonych sum i dowolnych przeci

,

eć,

to T = {X \ F : F ∈ F } jest topologi

,

a w X i F jest rodzin

,

a zbiorów domkni

,

etych

w przestrzeni topologicznej (X, T ).

(B) Zauważmy, że jeśli Y ⊂ X i (Y, T

Y

) jest podprzestrzeni

,

a przestrzeni topo-

logicznej (X, T

X

), to zbiór A ⊂ Y jest domkni

,

ety w (Y, T

Y

) wtedy i tylko wtedy,

gdy A = Y ∩ B dla pewnego zbioru B domkni

,

etego w (X, T

X

).

Wynika to natychmiast z 1.2.17 (ii) i 1.2.8.
W szczególności, jeśli Y jest zbiorem domkni

,

etym w (X, T

X

), to każdy zbiór

domkni

,

ety w (Y, T

Y

) jest też domkni

,

ety w przestrzeni X.

Definicja 1.2.19. Wn

,

etrzem IntA zbioru A w przestrzeni topologicznej (X, T )

nazywamy zbiór punktów, których pewne otoczenia są zawarte w A.

Uwaga 1.2.20. Z definicji otoczeń 1.2.12 wynika, że wn

,

etrze IntA jest sum

,

a zbio-

rów otwartych zawartych w A, jest wi

,

ec najwi

,

ekszym, w sensie inkluzji, otwartym

podzbiorem zbioru A. Łatwo też sprawdzić, że IntA = X \ (X \ A).

1.3. Ci

,

agłość przekształceń.

Klasyczna (ε − δ)-definicja ci

,

agłości funkcji f : R → R przenosi si

,

e na przy-

padek przekształceń f : X → Y mi

,

edzy przestrzeniami metrycznymi (X, d

X

) i

(Y, d

Y

) w nast

,

epuj

,

acy sposób:

(1) ∀

a∈X

∀

ε>0

∃

δ>0

d

X

(a, x) < δ =⇒ d

Y

(f (a), f (x)) < ε.

Implikacj

,

e w formule (1) można zapisać w postaci f (B

X

(a, δ)) ⊂ B

Y

(f (a), ε)

lub też B

X

(a, δ) ⊂ f

−1

(B

Y

(f (a), ε)), gdzie B

X

(a, δ), B

Y

(f (a), ε) s

,

a kulami w

(X, d

X

) i (Y, d

Y

), odpowiednio. Zast

,

epuj

,

ac kule otoczeniami, można rozszerzyć

poj

,

ecie ci

,

agłości na przekształcenia mi

,

edzy dowolnymi przestrzeniami topologicz-

nymi.

Przyjmiemy jednak jako definicj

,

e ci

,

agłości przekształceń inny równoważny wa-

runek (zob. Twierdzenie 1.3.2), maj

,

acy prostsze sformułowanie.

Definicja 1.3.1. Przekształcenie f : X → Y przestrzeni topologicznej (X, T

X

) w

(Y, T

Y

) jest ci

,

agłe, jeśli dla każdego U ∈ T

Y

, f

−1

(U ) ∈ T

X

.

Twierdzenie 1.3.2. Dla przekształcenia f : X → Y przestrzeni topologicznej
(X, T

X

) w (Y, T

Y

) nast

,

epuj

,

ace warunki s

,

a równoważne:

(i) f jest przekształceniem ci

,

agłym,

(ii) jeśli zbiór F jest domkni

,

ety w (Y, T

Y

), to f

−1

(F ) jest zbiorem domkni

,

etym

w (X, T

X

),

(iii) f (

A) ⊂ f (A), dla każdego A ⊂ X,

(iv) dla każdego a ∈ X i otoczenia U punktu f (a) w (Y, T

Y

) istnieje otoczenie

V punktu a w (X, T

X

) takie, że f (V ) ⊂ U .

8

Dowód. (i) =⇒ (iv) Niech a ∈ X i niech U b

,

edzie otoczeniem f (a) w (Y, T

Y

).

Wybierzmy W ∈ T

Y

takie, że f (a) ∈ W ⊂ U . Wówczas V = f

−1

(W ) ∈ T

X

jest

otoczeniem punktu a i f (V ) ⊂ U .

(iv) =⇒ (iii) Niech a ∈

A. Mamy sprawdzić, że f (a) ∈ f (A). Wybierzmy

dowolne otoczenie U punktu f (a) w (Y, T

Y

). Na mocy (iv) istnieje otoczenie V

punktu a w (X, T

X

) takie, że f (V ) ⊂ U . Ponieważ a ∈ A, V ∩ A 6= ∅, sk

,

ad

U ∩ f (A) ⊃ f (V ∩ A) 6= ∅.

(iii) =⇒ (ii) Niech F b

,

edzie zbiorem domkni

,

etym w (Y, T

Y

) i A = f

−1

(F ). Z

(iii), f (A) ⊂ f (A) = F = F , sk

,

ad A ⊂ f

−1

(F ) = A. Tak wi

,

ec A = A, czyli zbiór

A jest domkni

,

ety.

(ii) =⇒ (i) Wynika to natychmiast z faktu, że zbiory domkni

,

ete s

,

a dopełnie-

niami zbiorów otwartych, zob. 1.2.17, (ii).

Uwaga 1.3.3. Jeśli w przestrzeni (Y, T

Y

) jest wyróżniona baza B generuj

,

aca

topologi

,

e T

Y

, to dla dowodu ci

,

agłości przekształcenia f : X → Y , gdzie (X, T

X

)

jest przestrzeni

,

a topologiczn

,

a, wystarczy sprawdzić, że f

−1

(U ) ∈ T

X

dla każdego

U ∈ B. Wynika to natychmiast z Definicji 1.3.1 i faktu, że każdy zbiór otwarty
jest sum

,

a pewnej podrodziny rodziny B.

Uwaga 1.3.4. Ci

,

agłość przekształcenia f : X → Y przestrzeni metrycznej

(X, d

X

) w przestrzeń metryczn

,

a (Y, d

Y

) jest równoważna warunkowi, że jeśli

x

n

→ x

0

, to f (x

n

) → f (x

0

), zob.1.2.14.

Istotnie, zgodnie z Twierdzeniem 1.2.15, ten warunek zapewnia własność (iii)

w Twierdzeniu 1.3.2. Na odwrót, jeśli f jest przekształceniem ci

,

agłym, x

n

→ x

0

i ε > 0, to zgodnie z 1.3.2 (iv), dla pewnego otoczenia V punktu x

0

, obraz

f (V ) jest zawarty w kuli o środku w f (x

0

) i promieniu ε, a ponieważ prawie

wszystkie wyrazy x

n

leż

,

a w V , d

Y

(f (x

0

), f (x

n

)) < ε, dla prawie wszystkich n.

Zatem f (x

n

) → f (x

0

).

Uwaga 1.3.5. (A) Dla ustalonego a ∈ X, własność (iv) w 1.3.2 definiuje ci

,

agłość

przekształcenia f w punkcie a. Dla przekształcenia mi

,

edzy przestrzeniami me-

trycznymi, ci

,

agłość w punkcie a jest wi

,

ec opisana formuł

,

a (1), z pomini

,

eciem

kwantyfikatora ∀

a∈X

.

(B) Niech f

n

, f : X → Y b

,

ed

,

a przekształceniami przestrzeni topologicznej

(X, T ) w przestrzeń metryczn

,

a (Y, d) takimi, że σ

n

= sup{d(f

n

(x), f (x)) : x ∈

X} → 0. Wówczas, jeśli wszystkie przekształcenia f

n

s

,

a ci

,

agłe w punkcie a ∈ X

(ze wzgl

,

edu na topologi

,

e T (d) w Y ), to także f jest ci

,

agłe w tym punkcie.

Istotnie, niech U b

,

edzie otoczeniem punktu f (a) w przestrzeni (Y, T (d)) i niech

B(f (a), r) ⊂ U . Ustalmy n takie, że σ

n

< r/3 i korzystaj

,

ac z ci

,

agłości f

n

w a

wybierzmy otoczenie V punktu a w (X, T ) takie, że f

n

(V ) ⊂ B(f

n

(a), r/3). Wów-

czas, dla x ∈ V , d(f (x), f (a)) ¬ d(f (x), f

n

(x))+d(f

n

(x), f

n

(a))+d(f

n

(a), f (a)) <

3 ·

r
3

= r, a zatem f (V ) ⊂ U .

Wprowadzimy teraz przekształcenia pozwalaj

,

ace na utożsamianie przestrzeni

ze wzgl

,

edu na własności, które można opisać w terminach topologii tych prze-

strzeni.

9

Definicja 1.3.6. Przekształcenie f : X → Y przestrzeni topologicznej (X, T

X

) w

(Y, T

Y

) jest homeomorfizmem, jeśli f jest różnowartościowe, f (X) = Y oraz oba

przekształcenia f i f

−1

: Y → X s

,

a ci

,

agłe. Jeśli f jest homeomorfizmem prze-

strzeni (X, T

X

) na podprzestrzeń (f (X), (T

Y

)

f (X)

) przestrzeni (Y, T

Y

), mówimy,

że f jest zanurzeniem homeomorficznym.

Uwaga 1.3.7. Z Definicji 1.3.1 wynika natychmiast, że złożenie przekształceń
ci

,

agłych jest ci

,

agłe. W szczególności, złożenie homeomorfizmów jest homeomor-

fizmem.

Przykład 1.3.8. (A) Każde dwa otwarte zbiory wypukłe w przestrzeni eukli-
desowej (R

n

, d

e

) (rozpatrywane jako podprzestrzenie) s

,

a homeomorficzne, zob.

Uzupełnienie 7.1.

Jednakże, każde ci

,

agłe przekształcenie f : R

2

→ R płaszczyzny w prost

,

a ma

nieprzeliczaln

,

a warstw

,

e. Aby to sprawdzić, rozpatrzmy funkcje f

x

(y) = f (x, y),

dla x ∈ R. Funkcja f

x

: R → R jest ci

,

agła, wi

,

ec f

x

(R) jest przedziałem. Jeśli jeden

z tych przedziałów redukuje si

,

e do punktu, f

x

(R) = {r}, mamy f

−1

(r) = {x}×R.

W przeciwnym razie, zawsze istnieje liczba wymierna q

x

∈ f

x

(R). Dla pewnej

liczby wymiernej q zbiór {x : q

x

= q} jest nieprzeliczalny, a wi

,

ec warstwa f

−1

(q)

jest nieprzeliczalna.

(B) Przekształcenie f (t) = (cos t, sin t) odcinka [0, 2π) na prostej euklidesowej

na okr

,

ag S

1

= {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

= 1} (z topologi

,

a podprzestrzeni płaszczy-

zny euklidesowej) jest ci

,

agł

,

a bijekcj

,

a, ale nie jest homeomorfizmem. Istotnie, dla

a

n

= (cos(2π−

1

n

), sin(2π−

1

n

)), a

n

→ f (0), ale f

−1

(a

n

) 6→ 0. Zauważmy też, że nie

istnieje ci

,

agłe i różnowartościowe przekształcenie g : S

1

→ R. Załóżmy przeciwnie

i rozpatrzmy złożenie g ◦ f : [0, 2π) → R. Przekształcenie g ◦ f jest ci

,

agłe i róż-

nowartościowe, a wi

,

ec jest albo rosn

,

ace, albo malej

,

ace. W pierwszym przypadku

g ◦ f (0) < g(a

1

) < g(a

2

) < . . ., bo g(a

n

) = g ◦ f (2π −

1

n

), oraz g(a

n

) → g ◦ f (0),

co jest niemożliwe. Podobnie do sprzeczności dochodzi si

,

e, jeśli g ◦ f maleje.

Zakończymy t

,

e cz

,

eść obserwacj

,

a dotycz

,

ac

,

a dwóch typowych operacji: obci

,

ecia

i kombinacji przekształceń.

Uwaga 1.3.9. (A) Niech f : X → Y b

,

edzie przekształceniem ci

,

agłym przestrzeni

(X, T

X

) w przestrzeń (Y, T

Y

) i niech Z ⊂ X. Wówczas obci

,

ecie f | Z : Z → Y

jest przekształceniem ci

,

agłym, gdzie w Z rozpatruje si

,

e topologi

,

e podprzestrzeni

przestrzeni X. Ponadto f | Z jest ci

,

agłe jako przekształcenie z Z na podprzestrzeń

f (Z) przestrzeni Y .

Istotnie, zbiory otwarte w f (Z) s

,

a postaci W = U ∩ f (Z), gdzie U ∈ T

Y

, a

(f | Z)

−1

(W ) = f

−1

(U ) ∩ Z jest zbiorem otwartym w Z, bo f

−1

(U ) ∈ T

X

.

(B) Niech f : X → Y b

,

edzie przekształceniem przestrzeni (X, T

X

) w (Y, T

Y

).

Jeśli X = F

1

∪ . . . ∪ F

m

, gdzie każdy ze zbiorów F

i

jest domkni

,

ety i każde obci

,

ecie

f | F

i

: F

i

→ Y jest ci

,

agłe, to przekształcenie f jest ci

,

agłe.

Istotnie, dla dowolnego zbioru domkni

,

etego F w Y , zbiór A

i

= f

−1

(F ) ∩ F

i

jest domkni

,

ety w przestrzeni (F

i

, T

F

i

), a ponieważ F

i

jest zbiorem domkni

,

etym

w (X, T

X

), zbiór A

i

jest też domkni

,

ety w X, zob. 1.2.18 (B). Zatem f

−1

(F ) =

A

1

∪ . . . ∪ A

m

jest zbiorem domkni

,

etym w X.

Podobnie sprawdza si

,

e, że jeśli X =

S

s∈S

U

s

, U

s

∈ T

X

i obci

,

ecia f | U

s

: U

s

→ Y

s

,

a ci

,

agłe, to f jest przekształceniem ci

,

agłym.

10

1.4. Iloczyny skończone przestrzeni topologicznych.

Definicja 1.4.1. Niech (X

i

, T

i

), i = 1, 2, . . . , n, b

,

ed

,

a przestrzeniami topologicz-

nymi. Rodzina B iloczynów kartezjańskich V

1

× . . . × V

n

zbiorów otwartych V

i

∈ T

i

spełnia warunki (i), (ii) w 1.2.4, a wi

,

ec jest baz

,

a pewnej topologii w iloczynie

kartezjańskim X

1

× . . . × X

n

. Przestrzeń (X

1

× . . . × X

n

, T ) z topologi

,

a T genero-

wan

,

a przez baz

,

e B nazywamy iloczynem kartezjańskim przestrzeni topologicznych

(X

i

, T

i

).

Twierdzenie 1.4.2. Niech T

i

, dla i = 1, 2, . . . , n, b

,

edzie topologi

,

a w X

i

genero-

wan

,

a przez metryk

,

e d

i

. Wówczas topologia w iloczynie kartezjańskim (X

1

× . . . ×

X

n

, T ) przestrzeni (X

i

, T

i

) jest generowana przez metryk

,

e d(a, b) = max

i

d

i

(a

i

, b

i

),

gdzie a = (a

1

, . . . , a

n

), b = (b

1

, . . . , b

n

) ∈ X

1

× . . . × X

n

.

Dowód. Kule w przestrzeni metrycznej (X

1

× . . . X

n

, d) maj

,

a postać

(1) B(a, r) = B

1

(a

1

, r) × . . . × B

n

(a

n

, r),

gdzie a = (a

1

, . . . , a

n

) i B

i

(a

i

, r) jest kul

,

a w przestrzeni (X

i

, d

i

) o środku w a

i

i

promieniu r. Wynika st

,

ad, że T (d) ⊂ T . Niech teraz U ∈ T i a = (a

1

, . . . , a

n

) ∈

U . Istniej

,

a V

i

∈ T

i

takie, że a ∈ V

1

× . . . × V

n

⊂ U i niech B

i

(a

i

, r

i

) ⊂ V

i

.

Przyjmuj

,

ac r = min{r

i

: i = 1, . . . , n} mamy wówczas, zgodnie z (1), B(a, r) ⊂ U .

To dowodzi, że T ⊂ T (d).

Uwaga 1.4.3. Z 1.1.6 (A) i 1.4.2 wynika w szczególności, że topologia eukli-
desowa w (R

n

, d

e

) jest identyczna z topologi

,

a iloczynu kartezjańskiego prostych

euklidesowych.

Uwaga 1.4.4. Metryka d : X × X → R jest funkcj

,

a ci

,

agł

,

a na kwadracie kar-

tezjańskim przestrzeni topologicznej (X, T (d)). Z nierówności trójk

,

ata można

bowiem wyprowadzić, że |d(x, y) − d(x

0

, y

0

)| ¬ d(x, x

0

) + d(y, y

0

).

Uwaga 1.4.5. Niech (X

1

× . . . × X

n

, T ) b

,

edzie iloczynem kartezjańskim prze-

strzeni topologicznych (X

i

, T

i

), i = 1, . . . , n, i niech p

i

: X

1

× . . . × X

n

→ X

i

b

,

ed

,

a

rzutowaniami, p

i

(x

1

, . . . , x

n

) = x

i

.

(A) Rzutowania p

i

s

,

a ci

,

agłe. Istotnie, jeśli U ∈ T

i

, to p

−1
i

(U ) = X

1

× . . . ×

X

i−1

× U × X

i+1

× . . . × X

n

∈ T .

(B) Niech f : Z → X

1

× . . . × X

n

b

,

edzie przekształceniem określonym na prze-

strzeni topologicznej (Z, T

Z

). Przekształcenie f jest ci

,

agłe wtedy i tylko wtedy,

gdy wszystkie złożenia p

i

◦ f : Z → X

i

s

,

a ci

,

agłe.

Z (A) dostajemy natychmiast, że z ci

,

agłości f wynika ci

,

agłość każdego złożenia

p

i

◦ f . Dla wykazania przeciwnej implikacji, zgodnie z 1.3.3 i 1.4.1 wystarczy

sprawdzić, że ci

,

agłość złożeń p

i

◦ f zapewnia otwartość przeciwobrazów f

−1

(V

1

×

. . . × V

n

), dla dowolnych V

i

∈ T

i

, co wynika z formuły f

−1

(V

1

× . . . × V

n

) =

(p

1

◦ f )

−1

(V

1

) ∩ . . . ∩ (p

n

◦ f )

−1

(V

n

).

1.5

?

. Iloczyny przeliczalne przestrzeni topologicznych.

Definicja 1.5.1. Niech (X

i

, T

i

), i = 1, 2, . . ., b

,

edzie ci

,

agiem przestrzeni topolo-

gicznych. Rodzina B iloczynów kartezjańskich V

1

× . . . × V

n

× X

n+1

× X

n+2

× . . .,

gdzie V

i

∈ T

i

, jest baz

,

a pewnej topologii w iloczynie kartezjańskim X

1

× X

2

× . . .

Przestrzeń (X

1

× X

2

× . . . , T ) z topologi

,

a T generowan

,

a przez baz

,

e B nazywamy

iloczynem kartezjańskim ci

,

agu przestrzeni (X

i

, T

i

).

11

Przypomnijmy, zob. Przykład 1.1.6 (B), że jeśli (X, d) jest przestrzeni

,

a me-

tryczn

,

a, to metryka min(d, 1) generuje w X t

,

e sam

,

a topologi

,

e, co metryka d.

Twierdzenie 1.5.2. Jeśli topologia T

i

w przestrzeni X

i

jest generowana przez

metryk

,

e d

i

, i = 1, 2, . . ., to topologia w iloczynie kartezjańskim (X

1

× X

2

× . . . , T )

tego ci

,

agu przestrzeni jest generowana przez metryk

,

e d =

P

∞
i=1

2

−i

min(d

i

, 1).

Dowód. Pokażemy najpierw, że T (d) ⊂ T . Wystarczy sprawdzić, że dla dowolnej
kuli B(a, r), a = (a

1

, a

2

, . . .), istnieje element B bazy B opisanej w 1.5.1, taki, że

a ∈ B ⊂ B(a, r). Niech B

i

(a

i

, s) oznacza kul

,

e w (X

i

, d

i

) o środku w a

i

i promieniu

s. Wybierzmy n takie, że 2

−n

<

r
2

. Wówczas, dla B = B

1

(a

1

,

r
2

) × . . . × B

n

(a

n

,

r
2

) ×

X

n+1

× . . ., B ⊂ B(a, r).

Ustalmy teraz U ∈ T i a = (a

1

, a

2

, . . .) ∈ U . Istniej

,

a V

i

∈ T

i

, i = 1, . . . , n, takie,

że a ∈ V

1

× . . . × V

n

× X

n+1

× . . . ⊂ U i niech B

i

(a

i

, r

i

) ⊂ V

i

, r

i

< 1. Wówczas, dla

r = min{2

−i

r

i

: i = 1, . . . , n}, B(a, r) ⊂ B

1

(a

1

, r

1

)×. . .×B

n

(a

n

, r

n

)×X

n+1

×. . . ⊂

U . To pokazuje, że T ⊂ T (d).

Uwaga 1.5.3. Topologia w iloczynie kartezjańskim rozpatrywanym w 1.5.2 jest
też generowana przez metryk

,

e max{min(d

i

, 2

−i

) : i = 1, 2, . . .}, zob. 1.1.6 (B),

nieco bliższ

,

a metryce określonej w 1.4.2.

1.6. Twierdzenie Tietzego o przedłużaniu przekształceń.

Mówi

,

ac o ci

,

agłości przekształcenia f : X → R przestrzeni topologicznej (X, T )

w prost

,

a rzeczywist

,

a bez dodatkowych wyjaśnień, b

,

edziemy mieli na myśli ci

,

agłość

ze wzgl

,

edu na topologi

,

e euklidesow

,

a w R.

W przestrzeni metrycznej (X, d), z każdym niepustym zbiorem A ⊂ X można

zwi

,

azać funkcj

,

e

(1)

d

A

(x) = inf{d(x, z) : z ∈ A},

mierz

,

ac

,

a odległość punktów od tego zbioru. Sprawdzimy, że

(2)

|d

A

(x) − d

A

(y)| ¬ d(x, y).

Dla dowolnego z ∈ A, d

A

(y) ¬ d(y, z) ¬ d(y, x) + d(x, z). St

,

ad, z (1), d

A

(y) ¬

d(y, x) + d

A

(x), czyli d

A

(y) − d

A

(x) ¬ d(y, x). Wobec symetrii założeń, także

d

A

(x) − d

A

(y) ¬ d(x, y), otrzymujemy wi

,

ec (2).

Własność (2) zapewnia ci

,

agłość funkcji d

A

, zob. warunek (1) w 1.3.

Uwaga 1.6.1. Niech W b

,

edzie zbiorem otwartym w przestrzeni metryzowalnej

(X, T ). Istnieje wówczas funkcja ci

,

agła ϕ : X → [0, +∞) taka, że W = {x ∈ X :

ϕ(x) > 0}. Istotnie, dla W 6= ∅ przyjmijmy ϕ = d

X\W

, gdzie metryka d generuje

topologi

,

e T .

Twierdzenie 1.6.2 (o rozkładach jedynki). Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a

metryzowaln

,

a i niech X = W

1

∪ . . . ∪ W

m

, gdzie W

i

s

,

a zbiorami otwartymi.

Istniej

,

a wówczas funkcje ci

,

agłe λ

i

: X → [0, 1] takie, że {x : λ

i

(x) > 0} ⊂ W

i

,

i = 1, . . . , m, oraz

P

m
i=1

λ

i

(x) = 1, dla x ∈ X.

12

Dowód. Niech ϕ

i

b

,

edzie funkcj

,

a opisan

,

a w Uwadze 1.6.1 dla W = W

i

, σ =

P

m
i=1

ϕ

i

. Zauważmy, że jeśli x ∈ W

i

, to ϕ

i

(x) > 0, a wi

,

ec σ > 0. Przyjmuj

,

ac

λ

i

=

ϕ

i

σ

otrzymujemy funkcje z ż

,

adanymi własnościami.

Twierdzenie Tietzego o przedłużaniu (Wniosek 1.6.5) wyprowadzimy z twier-

dzenia Hahna o wpisywaniu funkcji ci

,

agłej mi

,

edzy par

,

e funkcji półci

,

agłych.

Funkcja f : X → R na przestrzeni topologicznej (X, T ) jest półci

,

agła z góry

(z dołu), jeśli zbiory {x : f (x) < r} ({x : f (x) > r}) s

,

a otwarte.

Przykład 1.6.3. Niech f : A → [a, b] b

,

edzie funkcj

,

a ci

,

agł

,

a na podprzestrzeni

(A, T

A

) przestrzeni topologicznej (X, T ), A = A i niech

u(x) =

(

f (x), jeśli x ∈ A,
a,

jeśli x 6∈ A,

w(x) =

(

f (x), jeśli x ∈ A,
b,

jeśli x 6∈ A.

Wówczas funkcja u jest półci

,

agła z góry, a funkcja w jest półci

,

agła z dołu.

Twierdzenie 1.6.4 (Hahn). Niech u, w : X → [a, b] b

,

ed

,

a funkcjami na prze-

strzeni metryzowalnej (X, T ) takimi, że

(i)

u ¬ w,

(ii)

u jest półci

,

agła z góry, w jest półci

,

agła z dołu.

Istnieje wówczas funkcja ci

,

agła f : X → [a, b] taka, że u ¬ f ¬ w.

Dowód. (A) Wykażemy najpierw słabsz

,

a tez

,

e, że jeśli u, w spełniaj

,

a warunki

(i) i (ii), to dla dowolnego ε > 0 istnieje funkcja ci

,

agła g : X → [a, b] taka, że

u − ε ¬ g ¬ w + ε.

W tym celu, dla ustalonego ε > 0, pokryjmy [a, b] przedziałami (a

i

, b

i

) o dłu-

gościach < ε, i = 1, . . . , m. Z (ii), zbiory

(3)

W

i

= {x : u(x) < b

i

} ∩ {x : w(x) > a

i

}

s

,

a otwarte. Jeśli [u(x), w(x)] ∩ (a

i

, b

i

) 6= ∅, to x ∈ W

i

, a wi

,

ec X = W

1

∪ . . . ∪ W

m

.

Niech λ

1

, . . . λ

m

b

,

edzie rozkładem jedynki opisanym w 1.6.2. Funkcj

,

e ci

,

agł

,

a g

określamy formuł

,

a

(4)

g(x) =

P

m
i=1

c

i

λ

i

(x), gdzie c

i

=

a

i

+b

i

2

.

Jeśli x ∈ W

i

, to z (3), u(x) − ε ¬ c

i

¬ w(x) + ε, a ponieważ z (4), g(x) jest

kombinacj

,

a wypukł

,

a punktów c

i

, którym odpowiadaj

,

a zbiory W

i

zawieraj

,

ace x,

także u(x) − ε ¬ g(x) ¬ w(x) + ε.

(B) Niech u, w spełniaj

,

a założenia twierdzenia. Korzystaj

,

ac z (A) określimy

indukcyjnie funkcje półci

,

agłe z góry u

i

: X → [a, b], funkcje półci

,

agłe z dołu

w

i

: X → [a, b], oraz funkcje ci

,

agłe g

i

: X → [a, b] takie, że

(5)

u = u

0

¬ u

1

¬ . . . ¬ u

i

¬ . . . ¬ w

i

¬ w

1

¬ w

0

= w,

(6)

g

i

− 1/i ¬ u

i

¬ w

i

¬ g

i

+ 1/i, i = 1, 2, . . .

Jeśli u

i−1

, w

i−1

s

,

a już określone, (A) zapewnia istnienie funkcji ci

,

agłej g

i

: X →

[a, b] takiej, że u

i−1

− 1/i ¬ g

i

¬ w

i−1

+ 1/i. Przyjmijmy u

i

= max{g

i

− 1/i, u

i−1

},

w

i

= min{g

i

+ 1/i, w

i−1

} i zauważmy, że u

i

¬ w

i

, bo g

i

− 1/i ¬ w

i−1

oraz

g

i

+ 1/i ­ u

i−1

.

Z (5) i (6) wynika, że ci

,

agi funkcji u

i

, w

i

zbiegaj

,

a punktowo do wspólnej granicy

f : X → [a, b], przy czym, z (6), |f (x) − g

i

(x)| ¬ 1/i, dla x ∈ X, i = 1, 2, . . . Z

(5), u ¬ f ¬ w, a ci

,

agłość funkcji f wynika z Uwagi 1.3.5.

13

Wniosek 1.6.5 (Twierdzenie Tietzego). Niech f : A → [a, b] b

,

edzie funkcj

,

a

ci

,

agł

,

a określon

,

a na podprzestrzeni domkni

,

etej przestrzeni metryzowalnej (X, T ).

Istnieje wówczas funkcja ci

,

agła f : X → [a, b] taka, że f (x) = f (x) dla x ∈ A.

Dowód. Przedłużenie f do funkcji ci

,

agłej na X otrzymujemy natychmiast z

twierdzenia 1.6.4, wpisuj

,

ac funkcj

,

e ci

,

agła mi

,

edzy funkcje półci

,

agłe opisane w

Przykładzie 1.6.3.

Uwaga 1.6.6. Każd

,

a funkcj

,

e ci

,

agł

,

a f : A → R

n

określon

,

a na podprzestrzeni

domkni

,

etej przestrzeni metryzowalnej (X, T ) można przedłużyć do funkcji ci

,

agłej

f : X → R

n

.

Istotnie, z Uwagi 1.4.5 (B) wynika, że wystarczy sprawdzić, że każd

,

a funkcj

,

e

ci

,

agł

,

a f : A → R można przedłużyć do funkcji ci

,

agłej f : X → R. Składaj

,

ac

f z homeomorfizmem arc tg : R → (−π/2, π/2), możemy rozpatrywać funkcj

,

e

przyjmuj

,

ac

,

a wartości w przedziale (−π/2, π/2). Wniosek 1.6.5 zapewnia istnienie

funkcji ci

,

agłych g : X → [−π/2, π/2], oraz h : X → [0, 1] takich, że g(x) = f (x),

dla x ∈ A, oraz h przyjmuje wartość 1 na A i 0 na g

−1

({−π/2, π/2}). Wówczas

iloczyn f = g·h jest ci

,

agłym przedłużeniem f przyjmuj

,

acym wartości w przedziale

(−π/2, π/2).

W Zadaniu 1.41 podajemy formuł

,

e opisuj

,

ac

,

a operacj

,

e przedłużania funkcji

pochodz

,

ac

,

a z ksi

,

ażki J. Dieudonn´

e, Foundations of Modern Analysis, Twierdzenie

4.5.1. Formuła odwołuje si

,

e do metryki w przestrzeni X, podczas gdy podany

przez nas dowód przenosi si

,

e na ogólniejsze klasy przestrzeni, w których spełniona

jest teza Twierdzenia 1.6.2.

1.7. Ośrodkowość.

Przestrzenie metryzowalne, których topologia ma przeliczaln

,

a baz

,

e, stanowi

,

a

niezwykle ważn

,

a klas

,

e przestrzeni. Dla przestrzeni metryzowalnych, istnienie bazy

przeliczalnej jest równoważne własności, któr

,

a opiszemy poniżej.

Definicja 1.7.1. (A) Zbiór A w przestrzeni topologicznej (X, T ) jest g

,

esty, jeśli

A = X.

(B) Przestrzeń topologiczna (X, T ) jest ośrodkowa, jeśli zawiera przeliczalny

podzbiór g

,

esty.

Przestrzenie euklidesowe s

,

a ośrodkowe, bo zbiór punktów w R

n

o wszystkich

współrz

,

ednych wymiernych jest przeliczalny i g

,

esty w (R

n

, d

e

). Podobnie uzasad-

nia si

,

e ośrodkowość przestrzeni opisanych w 1.1.7 (B). Przestrzeń określona w

1.1.7 (A) nie jest ośrodkowa: dla każdego A ⊂ R w tej przestrzeni metrycznej,
A ⊂ A ∪ {0}.

Twierdzenie 1.7.2. Topologia metryzowalnej przestrzeni ośrodkowej ma przeli-
czaln

,

a baz

,

e.

Dowód. Niech (X, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a metryczn

,

a i niech A b

,

edzie przeliczal-

nym zbiorem g

,

estym w (X, T (d)). Wówczas baza topologii T (d) opisana w Przy-

kładzie 1.2.6 jest przeliczalna.

14

Przestrzeń opisana w Przykładzie 1.2.2 jest ośrodkowa, ale, jak wynika z rozu-

mowania podanego w 1.2.2, topologia tej przestrzeni nie ma bazy przeliczalnej.

Przykład 1.7.3. Niech (C

b

(X), d

sup

) b

,

edzie przestrzeni

,

a ograniczonych funkcji

ci

,

agłych f : X → R na przestrzeni topologicznej (X, T ) z metryk

,

a

d

sup

(f, g) = sup{|f (x) − g(x)| : x ∈ X}.

(A) Przestrzeń (C

b

([0, 1]), d

sup

) jest ośrodkowa, bo zgodnie z twierdzeniem We-

ierstrassa o aproksymacji, zbiór wielomianów o współczynnikach wymiernych
(rozpatrywanych jako funkcje na [0, 1]) jest g

,

esty w tej przestrzeni.

(B) Przestrzeń (C

b

(R), d

sup

) nie jest ośrodkowa. Dla uzasadnienia, rozpatrzmy

rodzin

,

e S wszystkich niepustych podzbiorów liczb naturalnych N i z każdym

S ∈ S zwi

,

ażmy funkcj

,

e f

S

∈ C

b

(R) określon

,

a formuł

,

a f

S

(x) = min{d

S

(x), 1},

gdzie d

S

(x) = inf{|x − z| : z ∈ S}, zob. (1) w 1.6. Jeśli n ∈ S \ T , S, T ∈ S, to

f

S

(n) = 0, f

T

(n) = 1, a wi

,

ec d

sup

(f

S

, f

T

) = 1.

Niech A ⊂ C

b

(R) b

,

edzie zbiorem g

,

estym. Dla każdego S ∈ S istnieje g

S

∈ A

takie, że d

sup

(f

S

, g

S

) < 1/2. Wówczas, dla S 6= T , S, T ∈ S, g

S

6= g

T

, a wi

,

ec zbiór

A jest nieprzeliczalny, bo S jest zbiorem nieprzeliczalnym.

2. ZWARTOŚĆ.

2.1. Przestrzenie zwarte.

Wprowadzaj

,

ac poj

,

ecie zwartości, wskażemy najpierw w Twierdzeniu 2.1.3 trzy

własności, które s

,

a równoważne w klasie przestrzeni metryzowalnych, a nast

,

epnie

pierwsz

,

a z nich przyjmiemy jako definicj

,

e zwartości w klasie przestrzeni Haus-

dorffa, zob. 1.2.10. Dwie pozostałe własności opisane w tym twierdzeniu s

,

a bardzo

użyteczne dla przestrzeni metryzowalnych, ale poza t

,

a klas

,

a przestrzeni okazuj

,

a

si

,

e istotnie słabsze i mniej przydatne niż wyróżniona przez nas własność pokry-

ciowa.

Definicja 2.1.1. Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a topologiczn

,

a.

(A) Rodzina zbiorów U jest otwartym pokryciem zbioru A ⊂ X, jeśli U ⊂ T i

A ⊂

S

U .

(B) Punkt a ∈ X jest punktem skupienia ci

,

agu (a

n

)

∞
n=1

w X, jeśli każde oto-

czenie a zawiera wyrazy a

n

dla nieskończenie wielu indeksów n.

Uwaga 2.1.2. W przestrzeni metryzowalnej (X, T ), punkt a jest punktem sku-
pienia ci

,

agu (a

n

)

∞
n=1

wtedy i tylko wtedy, gdy pewien podci

,

ag tego ci

,

agu jest

zbieżny do a, tzn. istnieje ściśle rosn

,

aca funkcja ϕ : N → N taka, że a

ϕ(n)

→ a.

Istotnie, jeśli a jest punktem skupienia ci

,

agu (a

n

)

∞
n=1

i metryka d generuje

topologi

,

e T , możemy wybrać indeksy ϕ(1) < ϕ(2) < . . . takie, że d(a, a

ϕ(n)

) <

1

n

.

Wówczas a

ϕ(n)

→ a.

Twierdzenie 2.1.3. Dla przestrzeni metryzowalnej (X, T ) nast

,

epuj

,

ace warunki

s

,

a równoważne:

(i) z każdego otwartego pokrycia przestrzeni X można wybrać pokrycie skoń-

czone,

15

(ii) z każdego ci

,

agu punktów w X można wybrać podci

,

ag zbieżny w tej prze-

strzeni,

(iii) każdy zst

,

epuj

,

acy ci

,

ag niepustych zbiorów domkni

,

etych w X ma niepuste

przeci

,

ecie.

Dowód. (i) =⇒ (iii) Niech F

1

⊃ F

2

⊃ . . . b

,

ed

,

a domkni

,

etymi, niepustymi zbio-

rami w przestrzeni (X, T ). Załóżmy przeciwnie, że

T

i

F

i

= ∅. Wówczas rodzina

zbiorów otwartych U = {X \ F

i

: i = 1, 2, . . .} pokrywa X, bo

S

U = X \

T

i

F

i

.

Z (i), dla pewnego n mamy X = (X \ F

1

) ∪ . . . ∪ (X \ F

n

) = X \ F

n

, a wi

,

ec

otrzymujemy sprzeczność.

(iii) =⇒ (ii) Niech (a

n

)

∞
n=1

b

,

edzie ci

,

agiem punktów w przestrzeni X i niech

F

i

=

{a

n

: n ­ i}. Ponieważ F

1

⊃ F

2

⊃ . . ., warunek (iii) zapewnia istnienie

a ∈

T

∞
i=1

F

i

. Każde otoczenie punktu a przecina każdy zbiór {a

n

: n ­ i}, co

oznacza, że a jest punktem skupienia ci

,

agu (a

n

)

∞
n=1

, a wi

,

ec, zgodnie z 2.1.2, pewien

podci

,

ag tego ci

,

agu zbiega do a.

(ii) =⇒ (i) Niech U b

,

edzie otwartym pokryciem przestrzeni X. D

,

aż

,

ac do

sprzeczności z (ii), załóżmy, że przestrzeni X nie można pokryć skończenie wie-
loma elementami U . Ustalmy w X metryk

,

e d ograniczon

,

a przez 1, generuj

,

ac

,

a

topologi

,

e w X, zob. 1.1.6 (B), i przyjmijmy dla x ∈ X,

(1)

r(x) = sup{r : B(x, r) leży w pewnym elemencie U },

gdzie B(x, r) jest kul

,

a w przestrzeni metrycznej (X, d).

Ponieważ B(x, 2r(x)/3) leży w pewnym elemencie U , zgodnie z założeniem

X nie można pokryć skończenie wieloma takimi kulami. Możemy wi

,

ec wybrać

kolejno punkty a

n+1

6∈

S

n
i=1

B(a

i

, 2r(a

i

)/3), i = 1, 2, . . . Niech a ∈ X b

,

edzie

dowolnym punktem, wybierzmy U ∈ U takie, że a ∈ U i niech B(a, r) ⊂ U ,
dla pewnego r > 0. Kula B(a, r/5) może zawierać co najwyżej jeden element
a

n

. W przeciwnym razie, dla pewnych n < m mielibyśmy a

n

, a

m

∈ B(a, r/5).

Ponieważ B(a

n

, 4r/5) ⊂ B(a, r) ⊂ U , z (1) mamy r(a

n

) ­ 4r/5, a ponieważ

d(a

n

, a

m

) < 2r/5, dostajemy a

m

∈ B(a

n

, 2r(a

n

)/3), wbrew wyborowi a

m

. Tak

wi

,

ec żaden punkt nie jest granic

,

a podci

,

agu ci

,

agu (a

n

)

∞
n=1

, sprzecznie z własności

,

a

(ii).

Definicja 2.1.4. Przestrzeń metryzowalna jest zwarta, jeśli spełnia którykolwiek
z równoważnych warunków w Twierdzeniu 2.1.3.

Przykład 2.1.5. Domkni

,

ety odcinek [a, b] na prostej euklidesowej jest zwarty.

Istotnie, jeśli (a

n

)

∞
n=1

jest ci

,

agiem punktów z [a, b], to c = sup{r ∈ [a, b] : [r, b]

zawiera nieskończenie wiele wyrazów a

n

} jest punktem skupienia tego ci

,

agu, a

wi

,

ec jest granic

,

a pewnego podci

,

agu tego ci

,

agu, zob. 2.1.2.

Uwaga 2.1.6. Iloczyn kartezjański skończenie wielu zwartych przestrzeni metry-
zowalnych (X

i

, T (d

i

)), i = 1, . . . , m, jest przestrzeni

,

a zwart

,

a.

Jest to szczególny przypadek twierdzenia, które udowodnimy w 2.2, warto

jednak podać także jego bezpośrednie uzasadnienie. Odwołuj

,

ac si

,

e do indukcji,

można ograniczyć si

,

e do iloczynu kartezjańskiego dwóch przestrzeni X

1

× X

2

.

Niech a

n

= (x

n

, y

n

) ∈ X

1

× X

2

, n = 1, 2, . . .. Korzystaj

,

ac z własności (ii) w

Twierdzeniu 2.1.3, można określić funkcj

,

e rosn

,

ac

,

a ϕ : N → N tak

,

a, że x

ϕ(n)

→ x

0

,

16

a nast

,

epnie, dla podci

,

agu (y

ϕ(n)

)

∞
n=1

, funkcj

,

e rosn

,

ac

,

a ψ : N → ϕ(N) tak

,

a, że

y

ψ(n)

→ y

0

. Wówczas a

ψ(n)

→ (x

0

, y

0

).

Definicja 2.1.7. Przestrzeń topologiczna (X, T ) jest zwarta, jeśli jest przestrzeni

,

a

Hausdorffa i z każdego otwartego pokrycia tej przestrzeni można wybrać pokrycie
skończone.

Przykład 2.1.8. Kwadrat leksykograficzny określony w 1.2.7 jest przestrzeni

,

a

zwart

,

a, zob. Uzupełnienia 7.2 (B) (przypomnijmy, że kwadrat leksykograficzny

nie jest metryzowalny, zob 1.2.9 i 7.2.(A)).

Przestrzeń z Przykładu 1.2.11 ma wprawdzie własność pokryciow

,

a wymagan

,

a

w 2.1.7, nie jest jednak Hausdorffa, a wi

,

ec nie jest zwarta.

Na zakończenie tej cz

,

eści, rozpatrzymy zwartość podprzestrzeni przestrzeni

Hausdorffa. Zauważmy, że każda podprzestrzeń przestrzeni Hausdorffa jest prze-
strzeni

,

a Hausdorffa - wynika to natychmiast z określenia topologii podprzestrzeni

1.2.8.

Definicja 2.1.9. Zbiór K w przestrzeni Hausdorffa (X, T ) jest zwarty, jeśli pod-
przestrzeń (K, T

K

) jest zwarta.

Z definicji topologii indukowanej na podzbiorze wynika, że zwartość podprze-

strzeni (K, T

K

) przestrzeni Hausdorffa (X, T ) oznacza, że jeśli U jest otwartym

pokryciem zbioru K, to dla pewnej rodziny skończonej W ⊂ U , K ⊂

S

W.

Uwaga 2.1.10. Zauważmy też, że jeśli (X, T ) jest przestrzeni

,

a zwart

,

a i K jest

zbiorem domkni

,

etym w tej przestrzeni, to K jest zbiorem zwartym.

Istotnie, jeśli K ⊂

S

U i U ⊂ T , to U ∪ {X \ K} jest otwartym pokryciem

przestrzeni X, istnieje wi

,

ec rodzina skończona V ⊂ U ∪ {X \ K} pokrywaj

,

aca X

i W = V ∩ U jest skończonym pokryciem zbioru K.

Twierdzenie 2.1.11. Zbiór zwarty w przestrzeni Hausdorffa jest domkni

,

ety.

Dowód. Niech K b

,

edzie zbiorem zwartym w przestrzeni Hausdorffa (X, T ) i

niech a 6∈ K. Dla każdego x ∈ K wybierzmy par

,

e rozł

,

acznych zbiorów otwartych

V (x), W (x) ∈ T takich, że a ∈ V (x) i x ∈ W (x). Ze zwartości K, można wybrać
x

1

, . . . , x

n

∈ K tak, aby K ⊂ W (x

1

) ∪ . . . ∪ W (x

n

) = W . Wówczas V = V (x

1

) ∩

. . . ∩ V (x

n

) jest otoczeniem a rozł

,

acznym z W , a wi

,

ec i z K. Zatem a 6∈ K, co

pokazuje, że K = K.

Dla przestrzeni metryzowalnej (X, T (d)), można to twierdzenie uzasadnić nieco

prościej, odwołuj

,

ac si

,

e do warunku (iii) w 2.1.3: jeśli K jest zwarty i a ∈ K, to

dla ci

,

agu F

n

= B(a, 1/n) ∩ K niepustych zbiorów domkni

,

etych w przestrzeni

(K, T (d)

K

) mamy

T

∞
n=1

F

n

6= ∅ i

T

∞
n=1

F

n

⊂ {a}, zatem a ∈ K.

B

,

edziemy mówić, że zbiór w przestrzeni metrycznej jest ograniczony, jeśli leży

w pewnej kuli w tej przestrzeni.

17

Wniosek 2.1.12. Podzbiór przestrzeni euklidesowej (R

n

, d

e

) jest zwarty wtedy i

tylko wtedy, gdy jest domkni

,

ety i ograniczony.

Dowód. Niech A b

,

edzie zbiorem zwartym w (R

n

, d

e

). Domkni

,

etość A wynika z

2.1.11. Dla dowodu ograniczoności zauważmy, że rodzina kul B(0, 1), B(0, 2), . . .
pokrywa A i wybieraj

,

ac z tego pokrycia pokrycie skończone, mamy A ⊂ B(0, n)

dla pewnego n.

Na odwrót, każdy zbiór ograniczony A w (R

n

, d

e

) leży w pewnej kostce [a

1

, b

1

]×

. . . × [a

n

, b

n

], która jest zwarta, na mocy Uwagi 2.1.6. Jeśli

A = A, wynika st

,

ad

zwartość A, zob. Uwaga 2.1.10.

2.2. Przekształcenia ci

,

agłe przestrzeni zwartych.

Twierdzenie 2.2.1. Przekształcenie ci

,

agłe f : X → Y przestrzeni Hausdorffa

(X, T

X

) w przestrzeń Hausdorffa (Y, T

Y

) przeprowadza zbiory zwarte w X na

zbiory zwarte w Y .

Dowód. Niech K b

,

edzie zbiorem zwartym w przestrzeni (X, T

X

) i niech U ⊂ T

Y

b

,

edzie otwartym pokryciem jego obrazu f (K). Rodzina {f

−1

(U ) : U ∈ U } ⊂ T

X

pokrywa K, a wi

,

ec ze zwartości, K ⊂ f

−1

(U

1

) ∪ . . . ∪ f

−1

(U

m

), dla pewnych

U

i

∈ U . Wówczas f (K) ⊂ U

1

∪ . . . ∪ U

m

.

Wniosek 2.2.2 (Twierdzenie Weierstrassa). Niech f : X → R b

,

edzie funkcj

,

a

ci

,

agł

,

a na przestrzeni Hausdorffa (X, T ). Dla każdego zbioru zwartego K ⊂ X

istniej

,

a punkty a, b ∈ K takie, że f (a) = sup f (K), f (b) = inf f (K).

Dowód. Zgodnie z 2.2.1, zbiór f (K) jest zwarty, a wi

,

ec jest domkni

,

ety i ograni-

czony na prostej euklidesowej, zob. 2.1.12. Zatem sup f (K) i inf f (K) s

,

a elemen-

tami f (K), co oznacza istnienie punktów a i b opisanych we Wniosku.

Jak zauważyliśmy w 1.3.8 (B), ci

,

agła bijekcja nie musi być homeomorfizmem.

Dodatkowe założenie zwartości zmienia jednak sytuacj

,

e.

Wniosek 2.2.3. Ci

,

agłe i różnowartościowe przekształcenie przestrzeni zwartej

na przestrzeń Hausdorffa jest homeomorfizmem.

Dowód. Niech f : X → Y b

,

edzie ci

,

agł

,

a bijekcj

,

a, gdzie (X, T

X

) jest przestrzeni

,

a

zwart

,

a, a (Y, T

Y

) jest przestrzeni

,

a Hausdorffa. Mamy wykazać, że przekształce-

nie odwrotne f

−1

: Y → X jest ci

,

agłe, to znaczy, jeśli F ⊂ X jest zbiorem do-

mkni

,

etym, to (f

−1

)

−1

(F ) = f (F ) jest zbiorem domkni

,

etym w Y . Z domkni

,

etości

F w przestrzeni zwartej X wynika zwartość F , zatem f (F ) jest zbiorem zwartym
w przestrzeni Hausdorffa Y , a wi

,

ec domkni

,

etym w Y , zob. 2.1.11.

Zakończymy t

,

e cz

,

eść dwoma twierdzeniami dotycz

,

acymi przestrzeni metrycz-

nych. Do tego kr

,

egu zagadnień wrócimy jeszcze w cz

,

eści 3.4.

Jeśli (X, d) jest przestrzeni

,

a metryczn

,

a, mówi

,

ac o zwartości w tej przestrzeni

b

,

edziemy mieli na myśli topologi

,

e T (d) generowan

,

a przez metryk

,

e d.

Liczb

,

e δ > 0 opisan

,

a w nast

,

epnym twierdzeniu nazywa si

,

e liczb

,

a Lebesgue’a

otwartego pokrycia zbioru zwartego w przestrzeni metrycznej.

18

Twierdzenie 2.2.4. Niech U b

,

edzie pokryciem zbioru zwartego K w przestrzeni

metrycznej (X, d) zbiorami otwartymi. Istnieje wówczas liczba δ > 0 taka, że dla
każdego a ∈ K, kula B(a, δ) leży w pewnym elemencie pokrycia U .

Dowód. Korzystaj

,

ac ze zwartości K, możemy wybrać U

1

, . . . , U

m

∈ U takie, że

(1)

K ⊂ U

1

∪ . . . ∪ U

m

i niech

(2)

f (x) = max

i¬m

d

X\U

i

(x),

gdzie funkcje d

A

zostały określone w 1.6 (1). Ponieważ dla x ∈ U

i

, d

X\U

i

(x) > 0,

z (1) wynika, że f przyjmuje na K wartości dodatnie, sk

,

ad z Wniosku 2.2.2,

δ = inf{f (x) : x ∈ K} > 0.

Dla a ∈ K, wybierzmy i takie, że f (a) = d

X\U

i

(a) ­ δ, zob. (2). Wówczas

B(a, δ) ⊂ U

i

.

Twierdzenie 2.2.5. Każde przekształcenie ci

,

agłe f : X → Y zwartej przestrzeni

metrycznej (X, d

X

) w przestrzeń metryczn

,

a (Y, d

Y

) jest jednostajnie ci

,

agłe, tzn.

∀

ε>0

∃

δ>0

∀

a,b∈X

d

X

(a, b) < δ =⇒ d

Y

(f (a), f (b)) < ε.

Dowód. Kule w przestrzeniach (X, d

X

) i (Y, d

Y

) oznaczać b

,

edziemy odpowiednio

symbolami B

X

(x, r) i B

Y

(y, r).

Ustalmy ε > 0 i niech δ > 0 b

,

edzie liczb

,

a Lebesgue’a dla pokrycia

U = {f

−1

(B

Y

(y, ε/2)) : y ∈ Y } ⊂ T (d

X

)

przestrzeni zwartej X, zob. 2.2.4. Każda kula B

X

(a, δ) jest zawarta w pewnym

elemencie U , a wi

,

ec jej obraz leży w pewnej kuli B

Y

(y, ε/2). Wynika st

,

ad, że jeśli

d

X

(a, b) < δ, to d

Y

(f (a), f (b)) < 2 · ε/2 = ε.

2.3. Zbiór Cantora.

Rodzina D =

S

∞
n=1

D

n

przedziałów domkni

,

etych na prostej euklidesowej R jest

systemem diadycznym, jeśli:

(3) D

n

składa si

,

e z 2

n

parami rozł

,

acznych przedziałów domkni

,

etych,

(4) każdy przedział z D

n

zawiera dokładnie dwa przedziały z D

n+1

,

(5) maksimum długości przedziałów z D

n

d

,

aży do zera.

Zbiorem Cantora wyznaczonym przez system diadyczny D nazywamy zbiór

(6)

C =

T

n

C

n

, gdzie C

n

=

S

D

n

.

Ponieważ C

n

jest sum

,

a skończenie wielu przedziałów domkni

,

etych, C jest zbiorem

domkni

,

etym i ograniczonym, a wi

,

ec zbiór Cantora jest zwarty. Zauważmy, że

(7)

IntC = ∅,

bo dla dowolnego nietrywialnego przedziału otwartego (a, b), na mocy (5) można
wskazać n takie, że przedziały z D

n

maj

,

a długość < b − a i wówczas (a, b) \ C ⊃

(a, b) \ C

n

6= ∅.

Pokażemy, że

(8) zbiór Cantora jest homeomorficzny z {0, 1}

N

,

gdzie {0, 1}

N

jest przestrzeni

,

a ci

,

agów zero - jedynkowych z metryk

,

a określon

,

a

formuł

,

a

(9)

d(s, t) =

P

∞
i=1

2

−i

|t

i

− s

i

|, t = (t

1

, t

2

, . . .), s = (s

1

, s

2

, . . .) ∈ {0, 1}

N

.

19

W tym celu ustalmy, indukcyjnie ze wzgl

,

edu na długość ci

,

agów, wzajemnie

jednoznaczn

,

a odpowiedniość (t

1

, . . . , t

n

) → C(t

1

, . . . , t

n

) mi

,

edzy skończonymi

ci

,

agami zero - jedynkowymi i przedziałami z systemu diadycznego D tak, że

C(t

1

, . . . , t

n

) ∈ D

n

i C(t

1

, . . . , t

n

, 0), C(t

1

, . . . , t

n

, 1) s

,

a rozł

,

acznymi przedziałami

z D

n+1

zawartymi w C(t

1

, . . . , t

n

), zob. (4).

Z (3), (4) i (6) wynika, że z każdym punktem x ∈ C można zwi

,

azać jedno-

znacznie ci

,

ag (t

1

, t

2

, . . .) ∈ {0, 1}

N

taki, że

(10)

x ∈ C(t

1

) ∩ C(t

1

, t

2

) ∩ C(t

1

, t

2

, t

3

) ∩ . . .

i niech

(11)

f (x) = t, gdzie t = (t

1

, t

2

, . . .) spełnia (10).

Funkcja f : C → {0, 1}

N

jest różnowartościowa, bo jeśli x, y ∈ C s

,

a różne, to

zgodnie z (5), dla dostatecznie dużego n, należ

,

a do różnych przedziałów z D

n

, a

wi

,

ec ci

,

agi f (x) i f (y) różni

,

a si

,

e na pierwszych n miejscach.

Ponieważ dla dowolnego ci

,

agu (t

1

, t

2

, . . .) ∈ {0, 1}

N

, C(t

1

) ⊃ C(t

1

, t

2

) ⊃ . . .,

istnieje punkt x ∈ C spełniaj

,

acy (10), a wi

,

ec f (C) = {0, 1}

N

.

Zgodnie z 2.2.3, dla uzasadnienia (8) wystarczy sprawdzić ci

,

agłość f .

Ustalmy dowolne a ∈ C, ε > 0, niech 2

−n

< ε i niech V b

,

edzie dopełnieniem

sumy przedziałów z D

n

, nie zawieraj

,

acych a. Wówczas, dla odcinka C(t

1

, . . . , t

n

) z

D

n

zawieraj

,

acego a, mamy V ∩C = C(t

1

, . . . , t

n

)∩C, zob. (6). Jeśli wi

,

ec x ∈ V ∩C,

to z (10) i (11) wynika, że ci

,

agi f (a) i f (x) maj

,

a na pierwszych n miejscach

współrz

,

edne t

1

, . . . , t

n

, a zatem z (9), d(f (a), f (x)) ¬

P

∞
i=n+1

2

−i

¬ 2

−n

< ε. To

pokazuje ci

,

agłość przekształcenia f i kończy uzasadnienie (8).

Z (8) wynika, że każde dwa zbiory Cantora wyznaczone przez systemy dia-

dyczne s

,

a homeomorficzne. Zauważmy także, że jeśli zbiór Cantora jest wy-

znaczony przez system diadyczny D =

S

∞
n=1

D

n

, oraz J ∈ D

n

, to J ∩ C jest

zbiorem Cantora wyznaczonym przez system diadyczny E =

S

∞
m=1

E

m

, gdzie

E

m

= {J ∩ K : K ∈ D

n+m

}, a wi

,

ec zbiór J ∩ C jest homeomorficzny z C.

Klasycznym przykładem zbioru Cantora jest zbiór liczb z odcinka [0, 1], które

w rozwini

,

eciu trójkowym nie maj

,

a współczynnika 1,

(12)

C = {

P

∞
i=1

t

i

3

i

: t

i

∈ {0, 2} dla i = 1, 2, . . .}.

Zbiór C jest wyznaczony przez system diadyczny D =

S

∞
n=1

D

n

, gdzie D

0

=

{[0, 1]}, a przedziały z D

n+1

otrzymuje si

,

e dziel

,

ac każdy przedział z D

n

na trzy

równe cz

,

eści i pomijaj

,

ac środkowy przedział z tego podziału.

2.4. Iloczyn skończony przestrzeni zwartych.

Ważn

,

a rol

,

e w matematyce odgrywa twierdzenie, że iloczyn przestrzeni zwartych

jest zwarty. W tej cz

,

eści podamy dowód tego faktu dla iloczynów skończonych.

Nieco bardziej złożone rozumowanie dotycz

,

ace iloczynów przeliczalnych zamiesz-

czamy w 2.5, a w pełnej ogólności, twierdzenie o iloczynach przestrzeni zwartych
omówione jest w Uzupełnieniach 7.3.4.

Uwaga 2.4.1. Iloczyn kartezjański (X × Y, T ) przestrzeni Hausdorffa (X, T

X

)

i (Y, T

Y

) jest przestrzeni

,

a Hausdorffa. Istotnie, niech a = (a

1

, a

2

), b = (b

1

, b

2

) ∈

X × Y b

,

ed

,

a różnymi punktami. Jeśli a

1

6= b

1

, wybierzmy zbiory rozł

,

aczne U, W ∈

T

X

takie, że a

1

∈ U , b

1

∈ W . Wówczas U × Y , W × Y s

,

a rozł

,

acznymi zbiorami

otwartymi w iloczynie kartezjańskim, a ∈ U ×Y , b ∈ W ×Y . Podobnie wybieramy
rozł

,

aczne zbiory otwarte zawieraj

,

ace a i b, jeśli b

1

6= b

2

.

20

Twierdzenie 2.4.2. Iloczyn kartezjański skończenie wielu przestrzeni zwartych
jest przestrzeni

,

a zwart

,

a.

Dowód. Powołuj

,

ac si

,

e na indukcj

,

e, wystarczy wykazać to twierdzenie dla ilo-

czynu dwóch przestrzeni. Niech (X × Y, T ) b

,

edzie iloczynem kartezjańskim prze-

strzeni zwartych (X, T

X

) i (Y, T

Y

). Zgodnie z 2.4.1, iloczyn (X × Y, T ) jest prze-

strzeni

,

a Hausdorffa.

Niech U ⊂ T b

,

edzie otwartym pokryciem iloczynu X × Y i niech

(13) V = {V ∈ T

X

: V × Y można pokryć skończenie wieloma elementami U }.

Pokażemy, że

(14) X =

S

V.

Ustalmy x ∈ X. Dla każdego y ∈ Y wybierzmy U (y) ∈ U takie, że (x, y) ∈ U (y),
a nast

,

epnie V (y) ∈ T

X

i W (y) ∈ T

Y

, dla których (x, y) ∈ V (y) × W (y) ⊂ U (y).

Ze zwartości Y , Y ⊂ W (y

1

) ∪ . . . ∪ W (y

m

), dla pewnych y

i

∈ Y . Dla V =

V (y

1

) ∩ . . . ∩ V (y

m

) mamy V × Y ⊂ U (y

1

) ∪ . . . ∪ U (y

m

), a zatem V ∈ V, zob.

(13). Tak wi

,

ec x ∈ V ⊂

S

V, sk

,

ad wobec dowolności x wynika (14).

Ponieważ V jest otwartym pokryciem przestrzeni zwartej X, przestrzeń X

można pokryć skończenie wieloma elementami z V, a zatem zgodnie z (13), X ×Y
można pokryć skończenie wieloma elementami z U .

2.5

?

. Iloczyn przeliczalny przestrzeni zwartych.

Twierdzenie 2.5.1. Iloczyn kartezjański (X

1

×X

2

×. . . , T ) przestrzeni zwartych

(X

i

, T

i

), i = 1, 2, . . ., jest przestrzeni

,

a zwart

,

a.

Dowód. Podobnie, jak w Uwadze 2.4.1, łatwo sprawdza si

,

e, że iloczyn przeliczal-

nie wielu przestrzeni Hausdorffa jest przestrzeni

,

a Hausdorffa.

Zbiory postaci W = V

1

× . . . × V

n

, gdzie V

i

∈ T

i

, nazywać b

,

edziemy otwartymi

n-kostkami.

D

,

aż

,

ac do sprzeczności załóżmy, że istnieje otwarte pokrycie U iloczynu X

1

×

X

2

× . . ., z którego nie można wybrać pokrycia skończonego i wybierzmy induk-

cyjnie punkty a

n

∈ X

n

, n = 1, 2, . . . takie, że

(?)

n

dla każdej otwartej n-kostki W zawieraj

,

acej (a

1

, . . . , a

n

), zbiór

W × X

n+1

× X

n+2

× . . . nie jest pokryty skończenie wieloma

elementami z U .

Gdyby dla pewnego n ­ 0 nie można było wybrać kolejnego punktu a

n+1

, ozna-

czałoby to, że dla każdego x ∈ X

n+1

istnieje otwarta n-kostka W

x

zawieraj

,

aca

(a

1

, . . . , a

n

), oraz zbiór V

x

∈ T

n+1

zawieraj

,

acy x takie, że iloczyn W

x

×V

x

×X

n+2

×

. . . można pokryć skończenie wieloma elementami z U . Ponieważ przestrzeń X

n+1

jest zwarta, X

n+1

= V

x

1

∪ . . . ∪ V

x

m

, dla pewnych x

i

∈ X

n+1

, otrzymalibyśmy

wi

,

ec otwart

,

a n-kostk

,

e W = W

x

1

∩ . . . ∩ W

x

m

zawieraj

,

ac

,

a (a

1

, . . . , a

n

), dla której

warunek (?)

n

jest naruszony.

Rozpatrzmy teraz punkt a = (a

1

, a

2

, . . .) i niech U ∈ U zawiera a. Istnieje

wówczas otwarta n-kostka W taka, że a ∈ W × X

n+1

× . . . ⊂ U . W szczególności

(a

1

, . . . , a

n

) ∈ W , co przeczy warunkowi (?)

n

.

21

3. ZUPEŁNOŚĆ.

Poj

,

ecie zupełności odgrywa podstawow

,

a rol

,

e w analizie matematycznej. Jest

to, w odróżnieniu od wi

,

ekszości omawianych przez nas poj

,

eć, własność metryki,

a nie topologii przez ni

,

a generowanej.

Dwie bardzo ważne dla zastosowań konsekwencje zupełności to twierdzenie Ba-

nacha o punkcie stałym, wyrażone w terminach metryki, oraz twierdzenie Baire’a,
dotycz

,

ace topologii generowanych przez metryki zupełne.

Każda metryka generuj

,

aca topologi

,

e przestrzeni zwartej jest zupełna. Z kolei

zupełna i całkowicie ograniczona przestrzeń jest zwarta. Ważnym wnioskiem z
tego ostatniego faktu jest twierdzenie Ascoliego - Arzeli, opisuj

,

ace zbiory zwarte

w przestrzeniach funkcji ci

,

agłych.

3.1. Przestrzenie metryczne zupełne.

Definicja 3.1.1. Ci

,

ag punktów (x

n

)

∞
n=1

w przestrzeni metrycznej (X, d) nazy-

wamy ci

,

agiem Cauchy’ego, jeśli

(1) ∀

ε>0

∃

n

0

∀

n,m­n

0

d(x

n

, x

m

) < ε.

Uwaga 3.1.2. Niech (X, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a metryczn

,

a.

(A) Każdy ci

,

ag zbieżny w (X, d) jest ci

,

agiem Cauchy’ego.

(B) Jeśli ci

,

ag Cauchy’ego (x

n

)

∞
n=1

ma punkt skupienia x

0

, to x

n

→ x

0

.

Istotnie, rozpatrzmy dowoln

,

a kul

,

e B(x

0

, r). Z warunku (1), istnieje n

0

takie,

że d(x

n

, x

m

) <

r
2

, dla n, m ­ n

0

, a ponieważ x

0

jest punktem skupienia ci

,

agu

(x

n

)

∞
n=1

, można wybrać indeks m ­ n

0

, dla którego d(x

0

, x

m

) <

r
2

. Zatem, dla

n ­ n

0

, x

n

∈ B(x

0

, r).

Definicja 3.1.3. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zupełna, jeśli każdy ci

,

ag Cau-

chy’ego w tej przestrzeni jest zbieżny.

Twierdzenie 3.1.4. Przestrzenie euklidesowe (R

n

, d

e

) s

,

a zupełne.

Dowód. Ci

,

ag Cauchy’ego w (R

n

, d

e

) jest ograniczony, a ponieważ w przestrze-

niach euklidesowych domkni

,

ecia zbiorów ograniczonych s

,

a zwarte, zob. Wniosek

2.1.12, ci

,

ag ten ma punkt skupienia, a wi

,

ec jest zbieżny na mocy 3.1.2 (B).

Nast

,

epuj

,

aca obserwacja dotyczy podprzestrzeni przestrzeni zupełnych.

Twierdzenie 3.1.5. Niech (X, d

X

) b

,

edzie przestrzeni

,

a metryczn

,

a, Y ⊂ X i niech

d

Y

b

,

edzie obci

,

eciem metryki d

X

do Y . Wówczas:

(i) jeśli przestrzeń (Y, d

Y

) jest zupełna, to zbiór Y jest domkni

,

ety w (X, d

X

),

(ii) jeśli przestrzeń (X, d

X

) jest zupełna i zbiór Y jest domkni

,

ety w (X, d

X

), to

przestrzeń (Y, d

Y

) jest zupełna.

Dowód. (i) Niech y

0

∈ Y i niech y

n

→ y

0

dla pewnego ci

,

agu punktów y

n

∈ Y ,

zob. 1.2.15. Ci

,

ag (y

n

)

∞
n=1

jest ci

,

agiem Cauchy’ego w (X, d

X

), a wi

,

ec i w (Y, d

Y

),

zatem z zupełności (Y, d

Y

) istnieje punkt y ∈ Y taki, że d

Y

(y

n

, y) → 0. Wówczas

y = y

0

, a wi

,

ec y

0

∈ Y .

(ii) Niech (y

n

)

∞
n=1

b

,

edzie ci

,

agiem Cauchy’ego w (Y, d

Y

). Metryka d

X

pokrywa

si

,

e z d

Y

na Y , wi

,

ec jest to też ci

,

ag Cauchy’ego w (X, d

X

) i z zupełności, y

n

→ y

dla pewnego y ∈ X. Ponieważ y ∈ Y = Y , ci

,

ag (y

n

)

∞
n=1

jest zbieżny w przestrzeni

(Y, d

Y

).

22

Przykład 3.1.6. Wprowadźmy przestrzeń Hilberta (l

2

, d

h

), odgrywaj

,

ac

,

a ważn

,

a

rol

,

e w matematyce. Punktami l

2

s

,

a ci

,

agi a = (a

1

, a

2

, . . .) sumowalne z kwadratem,

P

∞
i=1

a

2
i

< +∞. Odległość mi

,

edzy punktami a = (a

1

, a

2

, . . .), b = (b

1

, b

2

, . . .) ∈ l

2

określa si

,

e formuł

,

a

(2) d

h

(a, b) =

q

P

∞
i=1

(a

n

− b

n

)

2

,

przy czym własność (a

1

− b

1

, a

2

− b

2

, . . .) ∈ l

2

, zapewniaj

,

aca określoność formuły

(2), wynika z nierówności trójk

,

ata dla metryk euklidesowych:

P

n
i=1

(a

n

− b

n

)

2

¬

P

n
i=1

a

2
i

+

P

n
i=1

b

2
i

, dla n = 1, 2, . . ., zob. 1.1.2 (5).

Przestrzeń euklidesow

,

a (R

n

, d

e

) b

,

edziemy utożsamiać z domkni

,

et

,

a podprze-

strzeni

,

a przestrzeni Hilberta (l

2

, d

h

), złożon

,

a z ci

,

agów (a

1

, . . . , a

n

, 0, 0, . . .). Niech

(3) P

n

: l

2

→ R

n

, P

n

(a

1

, a

2

, . . .) = (a

1

, . . . , a

n

, 0, 0, . . .)

b

,

edzie rzutem. Zauważmy, że dla a, b ∈ l

2

,

(4) d

h

(a, P

n

(a)) → 0,

(5) d

h

(P

n

(a), P

n

(b)) ¬ d

h

(a, b).

Z (4) wynika, że zbiór R

∞

=

S

∞
n=1

R

n

jest g

,

esty w przestrzeni Hilberta. Przeli-

czalny zbiór Q

∞

złożony z punktów w R

∞

o wszystkich współrz

,

ednych wymier-

nych też jest g

,

esty w l

2

, bo R

∞

⊂ Q

∞

. W szczególności, przestrzeń (l

2

, d

h

) jest

ośrodkowa.

Twierdzenie 3.1.7. Przestrzeń Hilberta (l

2

, d

h

) jest zupełna.

Dowód. Niech (x

i

)

∞
i=1

b

,

edzie ci

,

agiem Cauchy’ego w (l

2

, d

h

). Ponieważ ci

,

ag Cau-

chy’ego jest ograniczony, istnieje r > 0 takie, że

(6) d

h

(x

i

, 0) ¬ r, i = 1, 2, . . .,

gdzie 0 = (0, 0, . . .). Dla ustalonego n, z (5) wynika, że ci

,

ag rzutów P

n

(x

i

)

∞
i=1

jest

ci

,

agiem Cauchy’ego w przestrzeni euklidesowej R

n

, a zatem z 3.1.4,

(7) P

n

(x

i

) → y

n

dla pewnego y

n

∈ R

n

, n = 1, 2, . . .

Ponieważ d

h

(y

n

, 0) ¬ d

h

(y

n

, P

n

(x

i

)) + d

h

(P

n

(x

i

), 0), z (5) i (6), oraz (7) wynika,

że

(8) d

h

(y

n

, 0) ¬ r, n = 1, 2, . . .

Dla n > m, pierwsze m współrz

,

ednych punktów y

n

i y

m

pokrywa si

,

e, bo zgodnie z

(7), P

m

(P

n

(x

i

)) → P

m

(y

n

), oraz P

m

(P

n

(x

i

)) = P

m

(x

i

) → y

m

, a wi

,

ec y

m

= P

m

(y

n

).

Ponieważ, z (8), suma kwadratów współrz

,

ednych y

n

jest ograniczona przez r

2

,

wynika st

,

ad, że ci

,

ag y

1

, y

2

, . . . wyznacza punkt y ∈ l

2

taki, że

(9) P

n

(y) = y

n

, n = 1, 2, . . .

Pokażemy, że

(10) x

i

→ y.

Ustalmy ε > 0 i wybierzmy n

0

takie, że

(11) d

h

(x

i

, x

j

) < ε, dla i, j ­ n

0

.

Ustalmy i ­ n

0

. Dla dowolnego n, oraz j ­ n

0

, mamy wówczas z (5), (9) i (11),

d

h

(P

n

(x

i

), P

n

(y)) ¬ d

h

(P

n

(x

i

), P

n

(x

j

)) + d

h

(P

n

(x

j

), P

n

(y)) ¬ ε + d

h

(P

n

(x

j

), y

n

).

Ustalaj

,

ac n i przechodz

,

ac z j do nieskończoności, dostajemy z warunku (7),

d

h

(P

n

(x

i

), P

n

(y)) ¬ ε, a nast

,

epnie przechodz

,

ac do nieskończoności z n, wno-

simy z (4), że d

h

(x

i

, y) ¬ ε, dla i ­ n

0

, zob. 1.4.4. To dowodzi (10) i kończy

uzasadnienie twierdzenia.

23

Przykład 3.1.8. Dla przestrzeni topologicznej (X, T ) i przestrzeni metrycznej
(Y, d), symbolem C

b

(X, Y ) oznaczać b

,

edziemy zbiór funkcji ci

,

agłych f : X →

Y ograniczonych, tzn. takich, że f (X) leży w pewnej kuli w (Y, d). Metryk

,

e

supremum w C

b

(X, Y ) określa si

,

e formuł

,

a, zob. 1.7.3,

(12) d

sup

(f, g) = sup{d(f (x), g(x)) : x ∈ X}.

Twierdzenie 3.1.9. Jeśli przestrzeń metryczna (Y, d) jest zupełna, to dla do-
wolnej przestrzeni topologicznej (X, T ), przestrzeń funkcyjna (C

b

(X, Y ), d

sup

) jest

zupełna.

Dowód. Niech (f

n

)

∞
n=1

b

,

edzie ci

,

agiem Cauchy’ego w przestrzeni (C

b

(X, Y ), d

sup

).

Zgodnie z (12), dla ustalonego x ∈ X, ci

,

ag (f

n

(x))

∞
n=1

jest zbieżny w przestrzeni

zupełnej (Y, d) do pewnego punktu f (x),

(13) f

n

(x) → f (x), x ∈ X.

Pokażemy, że

(14) f ∈ C

b

(X, Y ), oraz d

sup

(f

n

, f ) → 0.

Ustalmy ε > 0. Ponieważ (f

n

)

∞
n=1

jest ci

,

agiem Cauchy’ego, z (12) wynika ist-

nienie n

0

takiego, że

(15) d(f

n

(x), f

m

(x)) < ε, dla n, m ­ n

0

, x ∈ X.

Przy ustalonym n, przechodz

,

ac z m do nieskończoności, dostajemy z (15) i (13)

(zob. także 1.4.4)

(16) d(f

n

(x), f (x)) ¬ ε, dla n ­ n

0

, x ∈ X.

Funkcja f

n

0

jest ograniczona, z (16) wynika wi

,

ec ograniczoność f , a ponadto (16),

wobec dowolności ε, zapewnia, że σ

n

= sup{d(f

n

(x), f (x)) : x ∈ X} → 0. Zgodnie

z Uwag

,

a 1.3.5, f jest przekształceniem ci

,

agłym, a ponieważ σ

n

= d

sup

(f

n

, f ),

uzasadniliśmy (14), kończ

,

ac dowód twierdzenia.

Uwaga 3.1.10. Jeśli przestrzenie metryczne (X

i

, d

i

), i = 1, 2, . . . , n, s

,

a zupełne,

to ich iloczyn kartezjański (X

1

× . . . × X

n

, d) z metryk

,

a określon

,

a w 1.4.2 też jest

przestrzeni

,

a zupełn

,

a. Dla X

i

= Y , i = 1, 2, . . . , n, jest to szczególny przypadek

twierdzenia 3.1.9, gdzie X = {1, 2, . . . , n}.

3.2. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym.

Przekształcenie T : X → X przestrzeni metrycznej (X, d) w siebie jest zw

,

eżaj

,

ace,

jeśli dla pewnej stałej c ∈ [0, 1),

(1) d(T (x), T (y)) ¬ cd(x, y), x, y ∈ X.

Mówimy, że x jest punktem stałym przekształcenia T , jeśli T (x) = x.

Twierdzenie 3.2.1. Niech T : X → X b

,

edzie przekształceniem zw

,

eżaj

,

acym

zupełnej przestrzeni metrycznej (X, d) w siebie. Przekształcenie T ma dokładnie
jeden punkt stały. Ponadto, dla dowolnego a ∈ X ci

,

ag iteracji T (a), T (T (a)), . . .

zbiega do punktu stałego przekształcenia T .

24

Dowód. Niech T spełnia warunek (1) ze stał

,

a c ∈ [0, 1) i wybierzmy a ∈ X.

Niech

(2) a

0

= a, a

n

= T (a

n−1

), dla n ­ 1.

Sprawdzimy, że dla n < m,

(3) d(a

n

, a

m

) ¬

P

m−1
i=n

d(a

i

, a

i+1

) ¬

1

1−c

d(a

n

, a

n+1

).

Pierwsza nierówność w (3) jest konsekwencj

,

a nierówności trójk

,

ata. Aby uzasadnić

drug

,

a, zauważmy, że z (1) i (2), d(a

i+1

, a

i+2

) = d(T (a

i

), T (a

i+1

)) ¬ cd(a

i

, a

i+1

),

sk

,

ad

(4) d(a

i

, a

i+1

) ¬

1

1−c

(d(a

i

, a

i+1

) − d(a

i+1

, a

i+2

)).

Po zsumowaniu stronami nierówności (4) dla i = n, . . . , m − 1, dostajemy (3).

Druga nierówność w (3) pokazuje, że szereg

P

∞
i=1

d(a

i

, a

i+1

) jest zbieżny. Dla

zadanego ε > 0, istnieje wi

,

ec n

0

takie, że

P

∞
i=n

0

d(a

i

, a

i+1

) < ε, a zatem z pierwszej

nierówności w (3), d(a

n

, a

m

) < ε dla n, m ­ n

0

. Ci

,

ag (a

n

)

∞
n=1

jest wi

,

ec ci

,

agiem

Cauchy’ego i z zupełności (X, d), a

n

→ p, dla pewnego p ∈ X. Ponieważ warunek

(1) zapewnia ci

,

agłość przekształcenia, T (a

n

) → T (p). Zgodnie z (2), mamy też

a

n

= T (a

n−1

) → T (p), sk

,

ad p = T (p) jest punktem stałym.

Jest to jedyny punkt stały, bo jeśli T (q) = q, to z (1), d(p, q) = d(T (p), T (q)) ¬

cd(p, q), a wi

,

ec d(p, q) = 0, bo c < 1.

3.3. Twierdzenie Baire’a.

Definicja 3.3.1. Zbiór A w przestrzeni topologicznej (X, T ) jest brzegowy, jeśli
ma puste wn

,

etrze.

Brzegowość zbioru A w przestrzeni (X, T ) jest równoważna warunkowi, że jego

dopełnienie X \ A jest g

,

este w X, zob. Definicja 1.7.1. Zauważmy też, że g

,

estość

zbioru B w (X, T ) jest równoważna warunkowi, że B przecina każdy niepusty
zbiór otwarty w X.

Twierdzenie 3.3.2. W przestrzeni metrycznej zupełnej (X, d), przeliczalna suma
domkni

,

etych zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym.

Dowód. Niech F

1

, F

2

, . . . b

,

ed

,

a domkni

,

etymi zbiorami brzegowymi i niech U

b

,

edzie niepustym zbiorem otwartym w przestrzeni (X, d). Mamy pokazać, że

(1) U \

S

i

F

i

6= ∅.

Wybierzmy dowolny punkt a

0

∈ U i r

0

> 0 takie, że

(2)

B(a

0

, r

0

) ⊂ U .

Indukcyjnie określimy kule B(a

i

, r

i

), i = 1, 2, . . . tak, że dla i = 1, 2, . . .,

(3) B(a

i

, r

i

) ⊂ B(a

i−1

, r

i−1

), B(a

i

, r

i

) ∩ F

i

= ∅, r

i

¬

1

i

.

Załóżmy, że kula B(a

i−1

, r

i−1

) jest określona. Ponieważ F

i

ma puste wn

,

etrze,

istnieje a

i

∈ B(a

i−1

, r

i−1

) \ F

i

, a ponieważ F

i

jest zbiorem domkni

,

etym, dla pew-

nego s > 0, B(a

i

, s) ⊂ B(a

i−1

, r

i−1

) \ F

i

. Domkni

,

ecie kuli B(a

i

,

s
2

) leży w B(a

i

, s),

a wi

,

ec przyjmuj

,

ac za r

i

mniejsz

,

a z liczb

s
2

,

1

i

, zapewniamy (3). Z (3) wynika, że

dla i < j, d(a

i

, a

j

) < r

i

<

1

i

, a zatem (a

i

)

∞
i=1

jest ci

,

agiem Cauchy’ego. Zupełność

(X, d) zapewnia, że a

i

→ a, dla pewnego a ∈ X. Dla każdego i, prawie wszystkie

wyrazy tego ci

,

agu leż

,

a w B(a

i

, r

i

), zatem a ∈ B(a

i

, r

i

). Z (2) i (3) otrzymujemy

a ∈ U \

S

i

F

i

, co dowodzi (1).

25

Uwaga 3.3.3. (A) Samo założenie, że zbiory w Twierdzeniu 3.3.2 s

,

a brzegowe

nie wystarczy: prosta euklidesowa jest sum

,

a dwóch zbiorów brzegowych - zbioru

liczb wymiernych i zbioru liczb niewymiernych.

(B) Nie można też pomin

,

ać założenia zupełności w Twierdzeniu 3.3.2. Roz-

patrzmy przestrzeń liczb wymiernych (Q, d

e

) z metryk

,

a euklidesow

,

a d

e

(x, y) =

|x − y| i ustawmy liczby wymierne w ci

,

ag q

1

, q

2

, . . . Zbiory A

i

= {q

i

} s

,

a domkni

,

ete

i brzegowe w (Q, d

e

), ale ich suma

S

∞
i=1

A

i

= Q nie jest brzegowa w przestrzeni

Q.

3.4. Zupełność + całkowita ograniczoność = zwartość.

W tej cz

,

eści wyjaśnimy zwi

,

azki mi

,

edzy metrycznym poj

,

eciem zupełności i to-

pologicznym poj

,

eciem zwartości. Użyteczne b

,

edzie przy tym określenie średnicy

zbioru A w przestrzeni metrycznej (X, d),

(1) diamA = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.

Ci

,

agłość metryki, zob. 1.4.4, zapewnia, że domykaj

,

ac zbiór nie powi

,

ekszamy jego

średnicy.

Twierdzenie 3.4.1 (Warunek Cantora). Przestrzeń (X, d) jest zupełna wtedy i
tylko wtedy, gdy spełnia nast

,

epuj

,

acy warunek Cantora: każdy zst

,

epuj

,

acy ci

,

ag nie-

pustych zbiorów domkni

,

etych o średnicach d

,

aż

,

acych do zera ma niepuste przeci

,

ecie.

Dowód. Jeśli F

1

⊃ F

2

⊃ . . . s

,

a zbiorami domkni

,

etymi w (X, d), diamF

n

→ 0,

oraz a

n

∈ F

n

, to (a

n

)

∞
n=1

jest ci

,

agiem Cauchy’ego. Zupełność (X, d) zapewnia,

że a

n

→ a, dla pewnego a ∈ X. Ponieważ a ∈ F

n

= F

n

, n = 1, 2, . . ., mamy

T

∞
n=1

F

n

6= ∅.

Na odwrót, załóżmy, że w przestrzeni (X, d) spełniony jest warunek Cantora i

niech (a

n

)

∞
n=1

b

,

edzie ci

,

agiem Cauchy’ego. Zbiory domkni

,

ete F

n

= {a

m

: m ­ n}

tworz

,

a ci

,

ag zst

,

epuj

,

acy, diamF

n

→ 0, a zatem istnieje a ∈

T

n

F

n

. Punkt a jest

punktem skupienia ci

,

agu Cauchy’ego (a

n

)

∞
n=1

, a wi

,

ec a

n

→ a, zob. 3.1.2 (B).

Uwaga 3.4.2. Ponieważ warunek Cantora jest słabszy niż równoważny zwar-
tości warunek (iii) w Twierdzeniu 2.1.3, z 3.4.1 wynika, że dla każdej metryki
d generuj

,

acej topologi

,

e przestrzeni zwartej (X, T ), przestrzeń metryczna (X, d)

jest zupełna. Innym uzasadnieniem tego faktu jest odwołanie si

,

e do warunku (ii)

w 2.1.3, oraz do 3.1.2 (B).

Przykład 3.4.3. Charakteryzacja zwartości zbiorów w przestrzeniach euklide-
sowych podana w 2.1.12 nie przenosi si

,

e na dowolne przestrzenie metryczne. Dla

ilustracji, rozpatrzmy w przestrzeni Hilberta (l

2

, d

h

) zbiór A = {a

n

: n = 1, 2, . . .},

gdzie ci

,

ag a

n

= (0, . . . , 0,

1

√

2

, 0, . . .) ma na n-tym miejscu współrz

,

edn

,

a

1

√

2

, a

poza tym zera. Zbiór A leży w kuli o środku w zerze i promieniu 1. Ponieważ
d

h

(a

n

, a

m

) = 1, dla n 6= m, zbiór A jest domkni

,

ety, ale nie jest zwarty, bo z ci

,

agu

(a

n

)

∞
n=1

nie można wybrać podci

,

agu zbieżnego, zob. 2.1.3 (ii).

Definicja 3.4.4. Zbiór w przestrzeni metrycznej (X, d) jest całkowicie ograni-
czony, jeśli dla każdego ε > 0 można go pokryć skończenie wieloma zbiorami o
średnicach ¬ ε.

26

W przestrzeni euklidesowej (R

n

, d

e

) zbiory ograniczone s

,

a całkowicie ograni-

czone (jednakże, jak wskazuje Przykład 3.4.3, nie jest tak dla przestrzeni Hil-
berta). Domkni

,

ete i ograniczone podprzestrzenie przestrzeni euklidesowych s

,

a

wi

,

ec zupełne i całkowicie ograniczone. Podan

,

a przez nas w 2.1.12 charaktery-

zacj

,

e zbiorów zwartych w R

n

można zatem wyprowadzić z opisanej w tytule tej

cz

,

eści ogólnej własności, któr

,

a udowodnimy poniżej.

Twierdzenie 3.4.5. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta wtedy i tylko wtedy,
gdy jest zupełna i całkowicie ograniczona.

Dowód. (A) Załóżmy, że (X, d) jest przestrzeni

,

a zwart

,

a. W 3.4.2 zauważyliśmy,

że zwartość poci

,

aga zupełność przestrzeni (X, d). Ponadto, z pokrycia otwartego

X kulami B(x,

ε
2

) można wybrać pokrycie skończone, a ponieważ diamB(x,

ε
2

) ¬

ε, mamy też całkowit

,

a ograniczoność (X, d).

(B) Na odwrót, niech przestrzeń metryczna (X, d) b

,

edzie zupełna i całkowi-

cie ograniczona. D

,

aż

,

ac do sprzeczności, załóżmy, że istnieje rodzina otwarta U w

przestrzeni (X, d) pokrywaj

,

aca X, z której nie można wybrać pokrycia skończo-

nego.

Indukcyjnie określimy zbiory A

0

⊃ A

1

⊃ . . . w X takie, że diamA

n

¬

1

n

dla

n = 1, 2, . . ., oraz zbioru A

n

nie można pokryć skończenie wieloma elementami z

U .

Przyjmijmy A

0

= X i załóżmy, że zbiór A

n−1

jest już określony. Korzystaj

,

ac z

całkowitej ograniczoności, przedstawmy A

n−1

w postaci skończonej sumy zbiorów

o średnicach ¬

1

n

. Z założenia indukcyjnego wynika, że jednego z tych zbiorów

nie można pokryć skończenie wieloma elementami z U i przyjmijmy za A

n

taki

właśnie zbiór.

Warunek Cantora, zob. Twierdzenie 3.4.1, zapewnia istnienie a ∈

T

∞
n=1

A

n

.

Wybierzmy U ∈ U takie, że a ∈ U , a nast

,

epnie r > 0, dla którego B(a, r) ⊂ U .

Jeśli

1

n

< r, to A

n

⊂ B(a, r), bo zbiór A

n

o średnicy ¬

1

n

zawiera środek kuli

B(a, r). Tak wi

,

ec pokryliśmy A

n

jednym elementem U ∈ U , co jest sprzeczne z

wyborem A

n

.

Uwaga 3.4.6. Jeśli (X, d) jest zupełn

,

a przestrzeni

,

a metryczn

,

a, to domkni

,

ecie A

zbioru całkowicie ograniczonego A w przestrzeni (X, d) jest zwarte.

Istotnie, A jest zbiorem całkowicie ograniczonym, bo jeśli A = C

1

∪ . . . ∪ C

m

i

diamC

i

¬ ε, to A = C

1

∪ . . . ∪ C

m

i diamC

i

¬ ε. Zatem podprzestrzeń metryczna

(A, d

A

) przestrzeni (X, d) jest zupełna (zob. 3.1.5) i całkowicie ograniczona, a

wi

,

ec zwarta.

3.5. Twierdzenie Ascoliego - Arzeli.

Jeśli (X, T ) jest przestrzeni

,

a zwart

,

a, to zgodnie z Twierdzeniem 2.2.1, każde

przekształcenie ci

,

agłe f : X → R

n

w przestrzeń euklidesow

,

a jest ograniczone.

Tak wi

,

ec, dla przestrzeni zwartych X, przestrzeń C

b

(X, R

n

) określona w 3.1.8

pokrywa si

,

e z przestrzeni

,

a C(X, R

n

) wszystkich przekształceń ci

,

agłych z X w R

n

.

Definicja 3.5.1. Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a topologiczn

,

a .

(A) Rodzina przekształceń ci

,

agłych F ⊂ C(X, R

n

) z przestrzeni topologicznej

(X, T ) w przestrzeń euklidesow

,

a (R

n

, d

e

) jest jednakowo ci

,

agła, jeśli dla każdego

27

x ∈ X i ε > 0 istnieje otoczenie U punktu x takie, że dla wszystkich f ∈ F ,
diamf (U ) ¬ ε.

(B) Rodzina F ⊂ C(X, R

n

) jest ograniczona, jeśli dla pewnego r > 0, obrazy

f (X) wszystkich przekształceń f ∈ F leż

,

a w kuli B(0, r).

Twierdzenie 3.5.2. Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a zwart

,

a i niech rodzina

F ⊂ C(X, R

n

) b

,

edzie jednakowo ci

,

agła i ograniczona. Wówczas domkni

,

ecie F

w przestrzeni metrycznej (C(X, R

n

), d

sup

) jest zwarte.

Dowód. Zgodnie z Uwag

,

a 3.4.6, wystarczy sprawdzić, że rodzina przekształceń F

jest całkowicie ograniczona w metryce supremum d

sup

. Ustalmy ε > 0. Jednakowa

ci

,

agłość rodziny F zapewnia, że

(1) U = {U ∈ T : ∀

f ∈F

diam f (U ) ¬

ε
3

}

jest pokryciem X. Ze zwartości X,

(2) X = U

1

∪ . . . ∪ U

k

, gdzie U

i

∈ U .

Rodzina F jest ograniczona, dla pewnego r > 0 mamy wi

,

ec

(3)

S

{f (X) : f ∈ F } ⊂ B(0, r).

Ponieważ kule w przestrzeni euklidesowej (R

n

, d

e

) s

,

a całkowicie ograniczone,

(4) B(0, r) = B

1

∪ . . . ∪ B

m

, diamB

j

¬

ε
3

, j = 1, . . . , m.

Dla każdej funkcji s : {1, . . . , k} → {1, . . . , m} określmy zbiór

(5) A

s

= {f ∈ F : f (U

i

) ∩ B

s(i)

6= ∅, i = 1, . . . , k}.

Jeśli f ∈ F , to z (4) wynika, że dla każdego i ∈ {1, . . . , k} można wskazać

s(i) ∈ {1, . . . , m} takie, że f (U

i

) ∩ B

s(i)

6= ∅, a wi

,

ec

(6) F =

S

{A

s

: s : {1, . . . , k} → {1, . . . , m}}.

Pozostaje pokazać, że ze wzgl

,

edu na metryk

,

e supremum,

(7) diamA

s

¬ ε.

Ustalmy s : {1, . . . , k} → {1, . . . , m}. Niech f, g ∈ A

s

i x ∈ X. Wybierzmy

i ∈ {1, . . . , k} takie, że x ∈ U

i

, zob. (2). Z (5), f (U

i

) oraz g(U

i

) przecinaj

,

a ten

sam zbiór B

s(i)

i ponieważ wszystkie trzy zbiory maj

,

a średnice ¬

ε
3

, zob. (1), (2),

(4), d

e

(f (x), g(x)) ¬ ε. Zatem d

sup

(f, g) ¬ ε, co uzasadnia (7) i kończy dowód

twierdzenia.

Zakończymy t

,

e cz

,

eść obserwacj

,

a, która jest użyteczna w zastosowaniach twier-

dzenia Ascoliego - Arzeli.

Uwaga 3.5.3. Niech F spełnia założenia Twierdzenia 3.5.2 i niech (f

n

)

∞
n=1

b

,

edzie

ci

,

agiem funkcji z F . Ponieważ domkni

,

ecie

F jest zwarte, z ci

,

agu (f

n

)

∞
n=1

można

wybrać podci

,

ag zbieżny do funkcji f ∈ C(X, R

n

), zob. 2.1.3 (ii).

4. Spójność.

4.1. Przestrzenie spójne.

Definicja 4.1.1. Przestrzeń topologiczna (X, T ) jest spójna, jeśli zbioru X nie
można rozłożyć na sum

,

e dwóch rozł

,

acznych, niepustych zbiorów domkni

,

etych (rów-

noważnie - otwartych). Zbiór S ⊂ X jest spójny, jeśli podprzestrzeń (S, T

S

) prze-

strzeni (X, T ) jest spójna.

28

Cz

,

esto wygodnie jest opisywać spójność zbiorów bez odwoływania si

,

e do topo-

logii podprzestrzeni, jak w Twierdzeniu 4.1.3.

Uwaga 4.1.2. Niech (Y, T

Y

) b

,

edzie podprzestrzeni

,

a przestrzeni (X, T

X

). Przy-

pomnijmy, że otoczenia punktu y ∈ Y w przestrzeni (Y, T

Y

) s

,

a śladami na Y

otoczeń punktu y w przestrzeni (X, T

X

), zob. 1.2.8, 1.2.12. Wynika st

,

ad, że dla

A ⊂ Y , domkni

,

ecie A w przestrzeni (Y, T

Y

) jest zbiorem A ∩ Y , gdzie A jest

domkni

,

eciem A w przestrzeni (X, T

X

).

Twierdzenie 4.1.3. Zbiór S w przestrzeni (X, T ) jest spójny wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdych niepustych zbiorów A, B takich, że S = A ∪ B, mamy A ∩ B 6= ∅
lub A ∩ B 6= ∅.

Dowód. Zgodnie z Uwag

,

a 4.1.2, jeśli S = A ∪ B, to warunek A ∩ B = ∅ =

A ∩ B jest równoważny temu, że A i B s

,

a rozł

,

acznymi zbiorami domkni

,

etymi

w podprzestrzeni (S, T

S

). Tak wi

,

ec warunek sformułowany w twierdzeniu jest

równoważny spójności przestrzeni (S, T

S

).

Twierdzenie 4.1.4. Podzbiór S prostej euklidesowej R jest spójny wtedy i tylko
wtedy, gdy jest przedziałem, tzn. jeśli a < c < b i a, b ∈ S, to c ∈ S.

Dowód. (A) Niech S ⊂ R b

,

edzie przedziałem, S = A ∪ B, a ∈ A, b ∈ B.

Przyjmijmy, że a < b i rozpatrzmy c = sup(A ∩ [a, b]). Wówczas c ∈ S. Pokażemy,
że c ∈ A ∩ B. W tym celu rozpatrzmy dowolny przedział J = (c − ε, c + ε).
Ponieważ c jest kresem górnym zbioru A ∩ [a, b], zbiór ten przecina (c − ε, c], ale
jest rozł

,

aczny z (c, c + ε). W szczególności, albo c = b, albo też (c, c + ε) ∩ B 6= ∅,

co pokazuje, że J przecina oba zbiory A i B.

Ponieważ c ∈ A ∪ B, mamy zatem c ∈ (

A ∩ B) ∪ (A ∩ B).

(B) Niech teraz S ⊂ R b

,

edzie zbiorem spójnym, a < c < b i a, b ∈ S. Dla A =

{s ∈ S : s ¬ c}, B = {s ∈ S : c ¬ s}, mamy S = A ∪ B i (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ⊂ {c},
a wi

,

ec ze spójności S, otrzymujemy c ∈ S.

Twierdzenie 4.1.5. Przekształcenia ci

,

agłe przeprowadzaj

,

a zbiory spójne na zbio-

ry spójne.

Dowód. Zgodnie z Uwag

,

a 1.3.9 (A), wystarczy sprawdzić, że jeśli f : X → Y jest

ci

,

agłym przekształceniem przestrzeni spójnej (X, T

X

) na (Y, T

Y

), to przestrzeń Y

też jest spójna.

Niech Y = U

0

∪ U

1

, U

0

∩ U

1

= ∅, U

i

∈ T

Y

, i = 0, 1. Wówczas, dla W

i

= f

−1

(U

i

)

mamy X = W

0

∪ W

1

, W

0

∩ W

1

= ∅, W

i

∈ T

X

. Ze spójności X, jeden ze zbiorów

U

i

jest pusty, co dowodzi spójności Y .

Twierdzenie 4.1.6. Niech S b

,

edzie rodzin

,

a zbiorów spójnych w przestrzeni to-

pologicznej (X, T ). Jeśli przeci

,

ecie

T

S jest niepuste, to suma

S

S jest spójna.

Dowód. Niech a ∈

T

S. Rozpatrzmy dowolny rozkład sumy

S

S = A ∪ B, gdzie

A ∩ B = ∅ = A ∩ B, a ∈ A. Mamy pokazać, że B = ∅. Dla każdego S ∈ S,
A ∩ S ∩ (B ∩ S) = ∅ = (A ∩ S) ∩ (B ∩ S) i a ∈ A ∩ S, a wi

,

ec ze spójności S,

B ∩ S = ∅. Zatem

S

S ⊂ A, sk

,

ad B = ∅.

Twierdzenie 4.1.7. Iloczyn kartezjański skończenie wielu przestrzeni spójnych
jest spójny.

29

Dowód. Odwołuj

,

ac si

,

e do indukcji, wystarczy sprawdzić, że iloczyn kartezjański

(X × Y, T ) dwóch przestrzeni spójnych (X, T

X

) i (Y, T

Y

) jest spójny. Ustalmy

(a, b) ∈ X × Y i niech dla każdego y ∈ Y ,

S

y

= (X × {y}) ∪ ({a} × Y ).

Zbiory X × {y} i {a} × Y , homeomorficzne odpowiednio z X i Y , s

,

a spójne i

zawieraj

,

a punkt (a, y), zatem ich suma S

y

jest spójna, zgodnie z 4.1.6. Ponieważ

(a, b) ∈

T

{S

y

: y ∈ Y }, 4.1.6 zapewnia też spójność sumy

S

{S

y

: y ∈ Y } = X ×Y .

Twierdzenie 4.1.8. Jeśli w przestrzeni topologicznej (X, T ), S ⊂ T ⊂ S i
zbiór S jest spójny, to zbiór T też jest spójny. W szczególności, domkni

,

ecie zbioru

spójnego jest spójne.

Dowód. Rozpatrzmy dowolny rozkład T = A ∪ B, gdzie (A ∩ B) = ∅ = (A ∩ B),
A ∩ S 6= ∅. Mamy pokazać, że B = ∅.

Ponieważ A ∩ S ∩ (B ∩ S) = ∅ = (A ∩ S) ∩ B ∩ S, oraz A ∩ S 6= ∅, ze spójności

S wnosimy, że B ∩ S = ∅. To oznacza, że S ⊂ A, sk

,

ad T ⊂ S ⊂ A, a wi

,

ec

B = T ∩ B = ∅.

Przykład 4.1.9. Sprawdzimy, że zbiór T = {(t, sin(

1

t

)) : t ∈ (0, 1]}∪{0}×[−1, 1]

na płaszczyźnie euklidesowej jest spójny.

Istotnie, S = {(t, sin(

1

t

)) : t ∈ (0, 1]} jest obrazem przedziału (0, 1] przy prze-

kształceniu ci

,

agłym t → (t, sin(

1

t

)), jest wi

,

ec zbiorem spójnym, oraz T = S.

4.2. Przestrzenie łukowo spójne.

Drog

,

a w przestrzeni topologicznej (X, T ) ł

,

acz

,

ac

,

a punkty a, b ∈ X nazywamy

przekształcenie ci

,

agłe f : [0, 1] → X takie, że f (0) = a, f (1) = b.

Zauważmy, że jeśli drogi f : [0, 1] → X, g : [0, 1] → X ł

,

acz

,

a odpowiednio

punkty a i b, oraz b i c, to droga h : [0, 1] → X określona formułami h(t) = f (2t),
dla t ∈ [0,

1
2

], oraz h(t) = g(2t − 1), dla t ∈ [

1
2

, 1], ł

,

aczy punkty a i c, przy czym

jej obraz jest sum

,

a obrazów dróg f i g.

Definicja 4.2.1. Przestrzeń topologiczna (X, T ) jest łukowo spójna, jeśli każd

,

a

par

,

e punktów z X można poł

,

aczyć drog

,

a w X.

Uwaga 4.2.2. Przestrzeń łukowo spójna (X, T ) jest spójna. Aby to sprawdzić,
ustalmy a ∈ X i dla każdego x ∈ X wybierzmy drog

,

e f

x

: [0, 1] → X ł

,

acz

,

ac

,

a a

i x. Zbiór S

x

= f

x

([0, 1]) jest spójny, a wi

,

ec zgodnie z 4.1.6,

S

x∈X

S

x

= X jest

zbiorem spójnym.

Przykład 4.2.3. Pokażemy, że spójna podprzestrzeń T płaszczyzny euklidesowej
opisana w Przykładzie 4.1.9 nie jest łukowo spójna.

Przyjmijmy oznaczenie L = {0} × [−1, 1]. D

,

aż

,

ac do sprzeczności, załóżmy,

że istnieje droga f : [0, 1] → T ł

,

acz

,

aca a = (0, 1) z b = (1, sin 1). Ponieważ

przekształcenie f jest jednostajnie ci

,

agłe, zob. 2.2.5, dla dostatecznie drobnego

podziału 0 = t

0

< t

1

< . . . < t

n

= 1 przedziału [0, 1], każdy zbiór f ([t

i−1

, t

i

]) ma

średnic

,

e ¬ 1. Ponieważ f (t

0

) ∈ L, f (t

n

) 6∈ L, istnieje i takie, że f (t

i−1

) ∈ L, ale

f (t

i

) 6∈ L i przyjmijmy C = f ([t

i−1

, t

i

]). Rzut J zbioru C na pierwsz

,

a współrz

,

edn

,

a

jest spójnym podzbiorem R, a wi

,

ec przedziałem. Jest to przedział niezdegenero-

wany, zawieraj

,

acy 0, zatem (0, δ) ⊂ J dla pewnego δ > 0. Dla t ∈ (0, δ), (t, sin(

1

t

))

30

jest jedynym punktem z T , który rzutuje si

,

e na t, a wi

,

ec (t, sin(

1

t

)) ∈ C. Za-

tem zbiór C zawiera pewne punkty postaci (r, 1) i (s, −1), co przeczy temu, że
diamC ¬ 1.

Twierdzenie 4.2.4. Spójny, otwarty zbiór w przestrzeni euklidesowej (R

n

, d

e

)

jest łukowo spójny.

Dowód. Zauważmy, że w przestrzeni euklidesowej (R

n

, d

e

) każdy punkt b ∈

B(a, r) można poł

,

aczyć z a drog

,

a f (t) = (1 − t)a + tb, t ∈ [0, 1], której obraz leży

w kuli B(a, r).

Niech U ⊂ R

n

b

,

edzie spójnym zbiorem otwartym w (R

n

, d

e

), ustalmy p ∈ U i

niech W b

,

edzie zbiorem punktów q ∈ U , które można poł

,

aczyć z p drog

,

a w U .

Mamy pokazać, że W = U .

Jeśli q ∈ W , B(q, r) ⊂ U i x ∈ B(q, r), to ponieważ istniej

,

a drogi w U ł

,

acz

,

ace

p z q, oraz q z x, istnieje też droga w U ł

,

acz

,

aca p z x. Zatem B(q, r) ⊂ W , sk

,

ad

wynika otwartość zbioru W .

Podobnie, jeśli q ∈ U \ W i B(q, r) ⊂ U , żadnego punktu x ∈ B(q, r) nie można

poł

,

aczyć z p drog

,

a w U , bo wówczas drog

,

a w U można byłoby poł

,

aczyć p i q,

wbrew wyborowi q. Zatem B(q, r) ⊂ U \ W , co pokazuje, że także zbiór U \ W
jest otwarty.

Ze spójności U wynika, że oba zbiory W i U \ W nie mog

,

a być niepuste i

ponieważ p ∈ W , mamy U \ W = ∅, czyli U = W .

4.3. Składowe.

Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną. Dla ustalonego a ∈ X, zgod-

nie z 4.1.6, suma wszystkich spójnych podzbiorów przestrzeni X, zawierających
a, jest zbiorem spójnym. Jest to maksymalny, ze względu na inkluzję, zbiór spójny
w X zawierający punkt a.

Definicja 4.3.1. Składową przestrzeni topologicznej (X, T ) nazywamy zbiór spój-
ny S w X taki, że żaden zbiór w X, zawierający w istotny sposób S, nie jest
spójny.

Tak więc, każdy punkt przestrzeni topologicznej należy do pewnej składowej,

przy czym różne składowe przestrzeni są zbiorami rozłącznymi. Ponieważ do-
mknięcie zbioru spójnego jest spójne, zob. 4.1.8, składowe są zbiorami domknię-
tymi.

Definicja 4.3.2. Składową łukowej spójności przestrzeni topologicznej (X, T ) na-
zywamy maksymalny, w sensie inkluzji, łukowo spójny podzbiór X.

Składowe łukowej spójności są parami rozłączne i pokrywają całą przestrzeń.

Składowe łukowej spójności nie muszą być domknięte. Ilustruje to przestrzeń T
opisana w 4.1.9, gdzie składową łukowej spójności zawierającą punkt (1, sin 1)
jest zbiór S, który nie jest domknięty w T .

5. Przestrzenie ilorazowe.

5.1. Topologia ilorazowa.

Niech ∼ b

,

edzie relacj

,

a równoważności w zbiorze X. Symbolem X/ ∼ oznaczamy

zbiór klas abstrakcji [x] = {y ∈ X : y ∼ x} elementów X ze wzgl

,

edu na relacj

,

e

∼ i niech π : X → X/ ∼ b

,

edzie przekształceniem ilorazowym π(x) = [x].

31

Jeśli relacja równoważności ∼ jest określona w zbiorze punktów przestrzeni

topologicznej (X, T ), w zbiorze X/ ∼ określamy topologi

,

e ilorazow

,

a

T / ∼ = {U ⊂ X/ ∼ : π

−1

(U ) ∈ T }.

Jest to najsilniejsza (tzn. zawieraj

,

aca najwi

,

ecej podzbiorów zbioru X/ ∼) topo-

logia w X/ ∼, dla której przekształcenie ilorazowe π jest ci

,

agłe.

Uwaga 5.1.1. Niech π : X → X/ ∼ b

,

edzie przekształceniem ilorazowym prze-

strzeni (X, T ) na przestrzeń ilorazow

,

a (X/ ∼, T / ∼).

(A) Dla każdego przekształcenia f : X/ ∼ → Y w przestrzeń topologiczn

,

a

(Y, T

Y

), ci

,

agłość f jest równoważna ci

,

agłości złożenia f ◦ π : X → Y .

Ponieważ złożenie przekształceń ci

,

agłych jest ci

,

agłe, wystarczy sprawdzić, że

z ci

,

agłości f ◦ π wynika ci

,

agłość f . Niech U ∈ T

Y

. Wówczas π

−1

(f

−1

(U )) =

(f ◦ π)

−1

(U ) ∈ T , a wi

,

ec f

−1

(U ) ∈ T / ∼.

(B) Niech u : X → Y b

,

edzie ci

,

agłym przekształceniem na przestrzeń Haus-

dorffa (Y, T

Y

) takim, że u(x) = u(y) wtedy i tylko wtedy, gdy x ∼ y (tzn. war-

stwy u pokrywaj

,

a si

,

e z klasami abstrakcji w relacji ∼). Wówczas, jeśli (X, T ) jest

przestrzeni

,

a Hausdorffa i dla pewnego zbioru zwartego K ⊂ X, π(K) = X/ ∼, to

naturalna bijekcja f : X/ ∼ → Y , f (π(x)) = u(x), jest homeomorfizmem.

Istotnie, f ◦ π = u jest przekształceniem ci

,

agłym, a wi

,

ec z (A) dostajemy

ci

,

agłość bijekcji f . Ponieważ (Y, T

Y

) jest Hausdorffa, ci

,

agłość bijekcji f zapewnia,

że także (X/ ∼, T / ∼) jest przestrzeni

,

a Hausdorffa, a ponieważ π(K) = X/ ∼,

przestrzeń ilorazowa jest zwarta, zob. 2.2.1. Z wniosku 2.2.3 wynika, że f jest
homeomorfizmem.

Przykład 5.1.2. Niech ∼ b

,

edzie relacj

,

a równoważności na prostej euklidesowej

(R, d

e

) określon

,

a formuł

,

a x ∼ y wtedy i tylko wtedy, gdy x − y jest liczb

,

a całko-

wit

,

a. Sprawdzimy, że przestrzeń ilorazowa (R/ ∼, T (d

e

)/ ∼) jest homeomorficzna

z okr

,

egiem S

1

= {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

= 1} na płaszczyźnie euklidesowej.

Istotnie, funkcja u : R → S

1

określona formuł

,

a u(t) = (cos(2πt), sin(2πt))

przyjmuje te same wartości w s i t wtedy i tylko wtedy, gdy s ∼ t, oraz π([0, 1]) =

R/ ∼, a wi

,

ec wystarczy odwołać si

,

e do 5.1.1 (B).

Przykład 5.1.3. Płaszczyzna rzutowa P

2

jest przestrzeni

,

a (S

2

/ ∼ , T (d

e

)/ ∼)

otrzyman

,

a ze sfery euklidesowej S

2

= {a ∈ R

3

: d

e

(a, 0) = 1} przez utożsamienie

punktów antypodycznych: a ∼ b wtedy i tylko wtedy, gdy a = b lub a = −b.

Płaszczyzn

,

e rzutow

,

a można zanurzyć w R

4

. Rozpatrzmy w tym celu funkcj

,

e u :

S

2

→ R

4

określon

,

a formuł

,

a u(a) = (x

2

− y

2

, xy, xz, yz), gdzie a = (x, y, z), x

2

+

y

2

+ z

2

= 1. Można sprawdzić, że klasy abstrakcji w relacji ∼ pokrywaj

,

a si

,

e z

warstwami u, tzn. u przyjmuje na parze różnych punktów a, b te same wartości
wtedy i tylko wtedy, gdy a = −b. Ponieważ sfera S

2

jest zwarta, z 5.1.1 (B)

wnosimy, że płaszczyzna rzutowa jest homeomorficzna z podprzestrzeni

,

a u(S

2

)

przestrzeni euklidesowej (R

4

, d

e

).

Niech A b

,

edzie zbiorem punktów w przestrzeni topologicznej (X, T ) i niech,

dla x, y ∈ X, x ∼ y, jeśli x = y lub x, y ∈ A. Przestrzeń ilorazow

,

a (X/ ∼, T / ∼)

nazywać b

,

edziemy przestrzeni

,

a otrzyman

,

a z X przez sklejenie zbioru A do punktu

i oznaczać b

,

edziemy symbolem (X/A, T /A).

Jeśli X ⊂ R

m

jest zwart

,

a podprzestrzeni

,

a, A ⊂ X jest zbiorem domkni

,

etym

i T (d

e

) jest topologi

,

a euklidesow

,

a w X, to przestrzeń (X/A, T (d

e

)/A) można

zanurzyć w R

m+1

.

Istotnie, przekształcenie u : X → R

m+1

określone formuł

,

a, zob. 1.6 (1),

32

(1) u(x) = (d

A

(x)x, d

A

(x))

jest ci

,

agłe i u ma jedyn

,

a wartw

,

e niejednopunktow

,

a u

−1

(0) = A, a wi

,

ec, zgodnie

z Uwag

,

a 5.1.1 (B), przestrzenie X/A i u(X) s

,

a homeomorficzne.

Bez założenia zwartości, sklejanie zbioru do punktu w przestrzeni metryzowal-

nej może jednak prowadzić do przestrzeni niemetryzowalnej.

Przykład 5.1.4. Niech (R/N, T (d

e

)/N) b

,

edzie przestrzeni

,

a otrzyman

,

a z prostej

euklidesowej R przez sklejenie zbioru liczb naturalnych N do punktu. Wykażemy,
że ta przestrzeń nie jest metryzowalna.

Załóżmy przeciwnie, że pewna metryka d generuje topologi

,

e T (d

e

)/N i niech

B

n

b

,

edzie kul

,

a w przestrzeni metrycznej (R/N, d) o środku w punkcie π(1) i

promieniu

1

n

, gdzie π : R → R/N jest przekształceniem ilorazowym. Zbiór otwarty

π

−1

(B

n

) zawiera N, można wi

,

ec wybrać r

n

∈ π

−1

(B

n

) ∩ (n, n +

1

n

), n ∈ N. Zbiór

W = R \ {r

n

: n ∈ N} jest otwarty w R i π

−1

(π(W )) = W , zatem π(W ) ∈

T (d

e

)/N = T (d). Z drugiej strony, π(1) ∈ π(W ), ale π(r

n

) ∈ B

n

\ π(W ), dla n ∈

N, co pokazuje, że żadna kula o środku w π(1) nie leży w π(W ) i π(W ) 6∈ T (d).
Doszliśmy wi

,

ec do sprzeczności.

Przykład 5.1.4 ilustruje też rol

,

e założenia o istnieniu zbioru zwartego K w

Uwadze 5.1.1 (B), do której odwoływaliśmy si

,

e w tej cz

,

eści kilkakrotnie. Istotnie,

niech u : R → R

2

b

,

edzie przekształceniem ci

,

agłym określonym formuł

,

a (1), gdzie

A = N. Wówczas u(s) = u(t) wtedy i tylko wtedy, gdy π(s) = π(t). Jednakże
przestrzeń u(R) nie jest homeomorficzna z R/N, bo jest przestrzeni

,

a metryzo-

waln

,

a.

5.2. Przyklejanie przestrzeni Y do przestrzeni X wzdłuż przekształce-
nia f .

Niech (X, T

X

) i (Y, T

Y

) b

,

ed

,

a przestrzeniami topologicznymi z rozł

,

acznymi zbio-

rami punktów, X ∩ Y = ∅. Sum

,

a prost

,

a tych przestrzeni nazywamy przestrzeń

(X ∪ Y, T

X⊕Y

), gdzie topologia T

X⊕Y

jest rodzin

,

a wszystkich sum U ∪ V , U ∈ T

X

,

V ∈ T

Y

. Przestrzenie (X, T

X

), (Y, T

Y

) s

,

a podprzestrzeniami ich sumy prostej,

przy czym oba zbiory X, Y s

,

a otwarte (a wi

,

ec i domkni

,

ete) w sumie prostej.

Załóżmy teraz dodatkowo, że K ⊂ X i f : K → Y jest ci

,

agłym przekształce-

niem określonym na podprzestrzeni (K, T

K

) przestrzeni (X, T

X

).

Określmy w X ∪ Y relacj

,

e równoważności ∼

f

, która utożsamia punkty należ

,

ace

do K z ich obrazami przy f , nie utożsamiaj

,

ac innych punktów. Dokładniej, klasy

abstrakcji w relacji ∼

f

s

,

a postaci f

−1

(a) ∪ {a}, dla a ∈ f (K), oraz {a}, dla

a ∈ (X \ K) ∪ (Y \ f (K)).

Przestrzeń (X ∪ Y / ∼

f

, T

X⊕Y

/ ∼

f

) b

,

edziemy oznaczali symbolem (X ∪

f

Y, T

f

)

i niech π

f

: X ∪ Y → X ∪

f

Y b

,

edzie przekształceniem ilorazowym. Mówimy, że

przestrzeń (X ∪

f

Y, T

f

) powstaje w wyniku przyklejenia Y do X wzdłuż prze-

kształcenia f .

Przykład 5.2.1. Rozpatrzmy półsfer

,

e

S

2

+

= {(s cos t, s sin t,

√

1 − s

2

) : s ∈ [0, 1], t ∈ [0, 2π]},

okr

,

ag

K = {(cos t, sin t, 0) : t ∈ [0, 2π]} ⊂ S

2

+

,

oraz przekształcenie

f : K → S

1

,

f (cos t, sin t, 0) = (cos 2t, sin 2t)

33

na okr

,

ag jednostkowy S

1

na płaszczyźnie euklidesowej. Przestrzeń S

2

+

∪

f

S

1

(gdzie

S

2

+

i S

1

rozpatruje si

,

e z topologi

,

a euklidesow

,

a) jest homeomorficzna z płaszczyzn

,

a

rzutow

,

a P

2

opisan

,

a w Przykładzie 5.1.3. Aby si

,

e o tym przekonać zauważmy, że

S

2

+

⊂ S

2

. Niech ∼ oznacza obci

,

ecie relacji równoważności na S

2

rozpatrywanej

w 5.1.3 do S

2

+

i niech u : S

2

+

→ P

2

b

,

edzie obci

,

eciem do S

2

+

przekształcenia ilora-

zowego sklejaj

,

acego punkty antypodyczne sfery. Z 5.1.1 (B) przestrzeń ilorazowa

(S

2

+

/ ∼, T (d

e

)/ ∼) jest homeomorficzna z P

2

. Z drugiej strony, ta przestrzeń jest

homeomorficzna z S

2

+

∪

f

S

1

, bo nietrywialne klasy abstrakcji relacji ∼ pokrywaj

,

a

si

,

e z warstwami f , K jest zwarty i f (K) = S

1

, wi

,

ec przekształcenie ilorazowe

π : S

2

+

→ S

2

+

/ ∼ przedłuża si

,

e do π : S

2

+

∪ S

1

→ S

2

+

/ ∼ takiego, że warstwy π

pokrywaj

,

a si

,

e z klasami abstrakcji relacji ∼

f

.

Jeśli K ⊂ X i f : K → {∗}, gdzie ∗ 6∈ X, to przestrzeń X ∪

f

{∗} można

utożsamiać z przestrzeni

,

a X/K otrzyman

,

a z X przez sklejenie K do punktu.

Nast

,

epuj

,

ace twierdzenie jest wi

,

ec uogólnieniem obserwacji z 5.1 zwi

,

azanych z

formuł

,

a (1), a Przykład 5.1.4 ilustruje rol

,

e zwartości w tym twierdzeniu.

Twierdzenie 5.2.2. Niech X ⊂ R

m

, Y ⊂ R

n

b

,

ed

,

a rozł

,

acznymi zwartymi pod-

przestrzeniami przestrzeni euklidesowych, niech K b

,

edzie domkni

,

etym podzbio-

rem X i niech f : K → Y b

,

edzie przekształceniem ci

,

agłym. Wówczas przestrzeń

(X ∪

f

Y, T

f

) zanurza si

,

e homeomorficznie w przestrzeń euklidesow

,

a R

n+m+1

.

Dowód. Na mocy twierdzenia Tietzego (zob. 1.6.6), f można przedłużyć do
przekształcenia ci

,

agłego f : X → R

n

. Przypomnijmy, że d

K

(x) = inf{d(x, z) :

z ∈ K} jest funkcj

,

a ci

,

agł

,

a, zob. 1.6 (2). Określmy przekształcenie ci

,

agłe g : X →

R

n+m+1

formuł

,

a, zob. 5.1 (1),

(1) g(x) = (f (x), d

K

(x)x, d

K

(x))

i niech

(2) Z = (Y × {0}) ∪ g(X) ⊂ R

n+m+1

.

Pokażemy, że przestrzeń (X ∪

f

Y, T

f

) jest homeomorficzna z podprzestrzeni

,

a Z

przestrzeni euklidesowej R

n+m+1

. W tym celu rozpatrzmy przekształcenie u :

X ∪ Y → Z na Z, określone formuł

,

a

u(a) =

(

g(a),

jeśli a ∈ X,

(a, 0), jeśli a ∈ Y.

Zauważmy, że dla a, b ∈ X ∪ Y , warunek u(a) = u(b) jest równoważny warunkowi
π

f

(a) = π

f

(b).

Ponieważ g jest przekształceniem ci

,

agłym, oraz X i Y s

,

a zbiorami domkni

,

etymi

w X ∪ Y , u też jest przekształceniem ci

,

agłym, zob. 1.3.9 (B). Ponadto, suma

prosta przestrzeni zwartych jest zwarta, a wi

,

ec z Uwagi 5.1.1 (B) wnosimy, że

przestrzenie X ∪

f

Y i Z s

,

a homeomorficzne.

6. Homotopie

Homotopia mi

,

edzy przekształceniami f i g oznacza, że g można otrzymać z f

w wyniku ci

,

agłej deformacji, zależ

,

acej od parametru t ∈ I, gdzie I = [0, 1].

Przestrzeń, dla której identyczność jest homotopijna z przekształceniem sta-

łym, nazywamy przestrzeni

,

a ści

,

agaln

,

a. Zbiory wypukłe s

,

a ści

,

agalne, ale żadna

sfera euklidesowa S

n

nie jest ści

,

agalna, zob. Wniosek 6.2.6 i Uzupełnienia 7.4.6.

Pokażemy, jak z nieści

,

agalności okr

,

egu S

1

można wyprowadzić zasadnicze twier-

dzenie algebry, zob. 6.2.7.

34

P

,

etle w przestrzeni X zaczepione w punkcie a - to drogi w X zaczynaj

,

ace si

,

e

i kończ

,

ace w a. Homotopia mi

,

edzy p

,

etlami α i β zaczepionymi w a jest ci

,

agł

,

a

deformacj

,

a od α do β, nie poruszaj

,

ac

,

a punktu zaczepienia. Poj

,

ecie to pozwala

przyporz

,

adkować przestrzeni X z wyróżnionym punktem a ważny obiekt - grup

,

e

podstawow

,

a π

1

(X, a), której elementami s

,

a klasy homotopii p

,

etli w X zaczepio-

nych w a. Jeśli przestrzeń X jest łukowo spójna, wybór punktu zaczepienia jest
nieistotny i mówimy o grupie podstawowej π

1

(X) przestrzeni. Pokażemy, że grupa

π

1

(S

1

) jest izomorficzna z Z.

Poj

,

ecie homotopii prowadzi do homotopijnej równoważności, która klasyfikuje

przestrzenie bardziej elastycznie, niż relacja homeomorfizmu, zachowuj

,

ac jednak,

w obr

,

ebie danej klasy równoważności, ważne własności topologiczne. W szczegól-

ności, łukowo spójne, homotopijnie równoważne przestrzenie maj

,

a izomorficzne

grupy podstawowe, zob. Uzupełnienia 7.5.3.

6.1. Homotopia przekształceń i p

,

etli.

Definicja 6.1.1. Przekształcenia ci

,

agłe f, g : X → Y przestrzeni (X, T

X

) w

(Y, T

Y

) s

,

a homotopijne, jeśli istnieje przekształcenie ci

,

agłe H : X × I → Y -

homotopia ł

,

acz

,

aca f z g, takie, że f (x) = H(x, 0) i g(x) = H(x, 1), dla x ∈ X.

Piszemy wówczas f ∼ g.

Homotopia H : X ×I → Y ł

,

acz

,

aca f z g określa rodzin

,

e przekształceń f

t

: X →

Y , f

t

(x) = H(x, t), zależ

,

ac

,

a w sposób ci

,

agły od punktu x i parametru t, przy

czym f

0

= f i f

1

= g. Homotopia H określa również rodzin

,

e dróg h

x

: I → Y ,

h

x

(t) = H(x, t) ł

,

acz

,

acych f (x) z g(x) dla x ∈ X.

Definicja 6.1.2. Przestrzeń topologiczna (X, T ) jest ści

,

agalna, jeśli identyczność

jest homotopijna z przekształceniem stałym ε

a

(x) = a, dla pewnego a ∈ X.

Przykład 6.1.3. Wypukła podprzestrzeń X przestrzeni euklidesowej (R

n

, d

e

)

jest ści

,

agalna. Istotnie, dla a ∈ X, H(x, t) = (1 − t)x + ta, (x, t) ∈ X × I, jest

homotopi

,

a ł

,

acz

,

ac

,

a id

X

z ε

a

.

Uwaga 6.1.4. (A) Przestrzeń ści

,

agalna jest łukowo spójna, bo jeśli homotopia

H : X × I → Y ł

,

aczy id

X

z ε

a

, to h

x

(t) = H(x, t), t ∈ I, jest drog

,

a w X od

punktu x do a, a zatem każde dwa punkty w X można poł

,

aczyć drog

,

a.

(B) W przestrzeni łukowo spójnej X, dla dowolnych a, b ∈ X, ε

a

∼ ε

b

. Aby

to sprawdzić, wystarczy wybrać drog

,

e h : I → X od a do b i określić homotopi

,

e

H : X × I → X ł

,

acz

,

ac

,

a ε

a

z ε

b

formuł

,

a H(x, t) = h(t).

Ponieważ przestrzenie ści

,

agalne s

,

a łukowo spójne, jeśli id

X

∼ ε

a

dla pewnego

a ∈ X, to id

X

∼ ε

b

dla każdego b ∈ X. Wynika to z 6.1.4 i z cz

,

eści (A) kolejnej

uwagi.

Uwaga 6.1.5. (A) Dla ustalonych przestrzeni topologicznych X, Y , relacja ho-
motopii w zbiorze C(X, Y ) przekształceń ci

,

agłych z X w Y jest relacj

,

a równo-

ważności.

Zwrotność f ∼ f jest jasna, a symetria wynika z obserwacji, że jeśli homotopia

H : X × I → Y ł

,

aczy f z g, to H(x, t) = H(x, 1 − t) jest homotopi

,

a ł

,

acz

,

ac

,

a g

35

z f . Sprawdzimy przechodniość. Niech f, g, h ∈ C(X, Y ), f ∼ g, g ∼ h i niech
homotopie H

1

, H

2

: X × I → Y ł

,

acz

,

a f z g i g z h, odpowiednio. Wówczas

H(x, t) =

(

H

1

(x, 2t),

t ∈ [0,

1
2

],

H

2

(x, 2t − 1), t ∈ [

1
2

, 1],

jest homotopi

,

a ł

,

acz

,

ac

,

a f z h, a wi

,

ec f ∼ h.

(B) Niech f, g : X → Y , u : S → X, w : Y → Z b

,

ed

,

a przekształceniami

ci

,

agłymi. Jeśli f ∼ g, to także w ◦ f ◦ u ∼ w ◦ g ◦ u.

Jeśli bowiem homotopia H : X × I → Y ł

,

aczy f z g, to homotopia G : S × I →

Z, G(s, t) = w(H(u(s), t)), ł

,

aczy w ◦ f ◦ u z w ◦ g ◦ u.

(C) Dowolne przekształcenia f, g : X → Y w przestrzeń ści

,

agaln

,

a Y s

,

a homo-

topijne. Istotnie, id

Y

∼ ε

a

, zatem z (B) i (A), f = id

Y

◦ f ∼ ε

a

◦ f = ε

a

◦ g ∼

id

Y

◦ g = g.

Definicja 6.1.6. Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a topologiczn

,

a z wyróżnionym

punktem a ∈ X.

(A) P

,

etl

,

a w X zaczepion

,

a w a nazywamy drog

,

e α : I → X tak

,

a, że α(0) = a =

α(1). Zbiór p

,

etli w X zaczepionych w a oznaczamy symbolem Ω(X, a).

(B) Homotopi

,

a mi

,

edzy p

,

etlami α, β ∈ Ω(X, a) nazywamy homotpi

,

e H : I ×I →

X ł

,

acz

,

ac

,

a α z β i spełniaj

,

ac

,

a warunek H(0, t) = a = H(1, t), dla t ∈ I.

Tak wi

,

ec, dla homotopii H : I × I → X mi

,

edzy p

,

etlami α, β ∈ Ω(X, a), każde

przekształcenie α

t

(s) = H(s, t) jest p

,

etl

,

a w X zaczepion

,

a w a . Aby nie kompliko-

wać oznaczeń, homotopijność p

,

etli α, β ∈ Ω(X, a) zapisywać b

,

edziemy używaj

,

ac

wprowadzonego wcześniej symbolu α ∼ β, pami

,

etaj

,

ac jednak, że na homotopi

,

e

mi

,

edzy p

,

etlami nakładamy dodatkowe ograniczenie - punkt zaczepienia p

,

etli nie

przemieszcza si

,

e przy homotopii.

Uwaga 6.1.7. Relacja homotopii w zbiorze Ω(X, a) jest relacj

,

a równoważności.

Dla uzasadnienia, wystarczy powtórzyć rozumowanie z 6.1.5 (A).

6.2. P

,

etle w S

1

.

W tej cz

,

eści b

,

edziemy rozpatrywali S

1

jako zbiór liczb zespolonych o module 1,

(1) S

1

= {z ∈ C : |z| = 1}, d

e

(z

1

, z

2

) = |z

1

− z

2

|.

Dla każdej drogi f : I → S

1

można określić przekształcenie ci

,

agłe ˜

f : I → R

takie, że 2π ˜

f (s) jest argumentem liczby zespolonej f (s), s ∈ I. Przy tym, dla

każdego wyboru argumentu α liczby zespolonej f (0), istnieje dokładnie jedno
takie przekształcenie ˜

f spełniaj

,

ace warunek 2π ˜

f (0) = α.

Istotnie, z jednostajnej ci

,

agłości f , istnieje liczba δ > 0 taka, że jeśli |s − t| <

δ, to |f (s) − f (t)| < 2 i niech

1

N

< δ. Wówczas ˜

f można określić kolejno na

przedziałach I

i

= [

i−1

N

,

i

N

], i = 1, . . . , N : ponieważ łuk T

i

= f (I

i

) okr

,

egu S

1

nie zawiera punktów przeciwległych, jeśli t

i−1

= ˜

f (

i−1

N

) jest już określone, dla

każdego z ∈ T

i

można wskazać jednoznacznie argument u(z) tej liczby spełniaj

,

acy

warunek |u(z) − t

i−1

| < π; funkcja u : T

i

→ R jest ci

,

agła i wystarczy przyj

,

ać

˜

f (s) =

1

2π

u(f (s)), dla s ∈ I

i

.

Liczba 2π( ˜

f (1) − ˜

f (0)) mierzy przyrost argumentu wzdłuż drogi f . Jeśli f jest

p

,

etl

,

a, f (0) = f (1), wi

,

ec liczba ˜

f (1) − ˜

f (0) jest całkowita. Pokażemy, że ta liczba

- stopień p

,

etli, nie zmienia si

,

e przy homotopii p

,

etli.

36

Wyprowadzimy to z Twierdzenia 6.2.1, które jest szczególnym przypadkiem

twierdzenia o podnoszeniu przekształceń, zob. Uzupełnienia 7.6.2. Wykażemy
przy tym istnienie przekształcenia ˜

f : I → R zwi

,

azanego z drog

,

a f w S

1

, nie-

zależnie od podanego wyżej uzasadnienia. Zacznijmy od wprowadzenia pewnych
oznaczeń.

Przekształcenie

(2) E : R → S

1

, E(s) = cos(2πs) + i sin(2πs),

nazywamy nawini

,

eciem prostej na okr

,

ag. Zauważmy, że

(3) E(s) · E(t) = E(s + t), E(−s) =

1

E(s)

,

oraz

(4) E

−1

(1) = Z,

gdzie Z jest zbiorem liczb całkowitych.

Nawini

,

ecie E przekształca przedział (−

1
2

,

1
2

) homeomorficznie na S

1

\ {−1}.

Niech L b

,

edzie homeomorfizmem odwrotnym do obci

,

ecia nawini

,

ecia E do (−

1
2

,

1
2

),

to znaczy

(5) L : S

1

\ {−1} → (−

1
2

,

1
2

), E ◦ L(z) = z.

Twierdzenie 6.2.1. Niech f : I

n

→ S

1

b

,

edzie przekształceniem ci

,

agłym i f (0) =

1. Istnieje wówczas dokładnie jedno przekształcenie ci

,

agłe ˜

f : I

n

→ R takie, że

E ◦ ˜

f = f , oraz ˜

f (0) = 0.

Dowód. Przekształcenia ci

,

agłe na I

n

s

,

a jednostajnie ci

,

agłe, zob. 2.2.5, istnieje

zatem liczba δ > 0 taka, że

(6) jeśli d

e

(x, y) < δ, to |f (x) − f (y)| < 2,

i niech liczba naturalna N spełnia warunek

(7)

1

N

<

δ

√

n

.

Określimy przekształcenia ci

,

agłe f

j

: I

n

→ S

1

formułami

(8) f

j

(x) = f ((

j

N

)x), j = 0, 1, . . . , N .

Ponieważ d

e

((

j

N

)x, (

j−1

N

)x) =

1

N

d

e

(x, 0) <

√

n

N

, z (7) i (6) mamy |f

j

(x)−f

j−1

(x)| <

2, a wi

,

ec

(9)

f

j

(x)

f

j−1

(x)

6= −1, j = 1, 2, . . . , N .

Z (5) i (9) wynika, że funkcja

(10)

˜

f = L(

f

1

f

0

) + L(

f

2

f

1

) + . . . + L(

f

N

f

N −1

)

jest dobrze określona i ci

,

agła. Z (3), (5) i (10), E ◦ ˜

f =

f

1

f

0

·

f

2

f

1

· · ·

f

N

f

N −1

=

f

N

f

0

= f ,

a ponieważ f

j

(0) = f (0) = 1 i L(1) = 0, mamy też ˜

f (0) = 0.

Pozostaje uzasadnić jednoznaczność ˜

f . Niech funkcja ci

,

agła g : I

n

→ R spełnia

warunki E ◦ g = f , g(0) = 0 i niech h = ˜

f − g. Z (3), E ◦ h =

E◦ ˜

f

E◦g

=

f
f

= 1,

zatem z (4), h(I

n

) ⊂ Z. Spójny zbiór h(I

n

) jest wi

,

ec jednopunktowy, a ponieważ

h(0) = ˜

f (0) − g(0) = 0, mamy h(x) = 0 dla x ∈ I

n

. Zatem g = ˜

f , co kończy

dowód twierdzenia.

37

Uwaga 6.2.2. Niech f : I

n

→ S

1

i ˜

f : I

n

→ R b

,

ed

,

a takie, jak w Twierdzeniu

6.2.1. Jeśli S ⊂ I

n

jest zbiorem spójnym i f (S) = {1}, to dla pewnej liczby

całkowitej d ∈ Z, ˜

f (S) = {d}.

Istotnie, E ◦ ˜

f (S) = f (S) = {1}, zatem z (4), zbiór spójny ˜

f (S) jest podzbiorem

Z, a wi

,

ec jest zbiorem jednopunktowym.

Definicja 6.2.3. Stopniem p

,

etli α ∈ Ω(S

1

, 1) nazywamy liczb

,

e całkowit

,

a degα =

˜

α(1), gdzie ˜

α : I → R jest funkcj

,

a ci

,

agł

,

a tak

,

a, że E ◦ ˜

α = α i ˜

α(0) = 0, zob.

6.2.1, 6.2.2.

Twierdzenie 6.2.4. P

,

etle α, β ∈ Ω(S

1

, 1) s

,

a homotopijne wtedy i tylko wtedy,

gdy maj

,

a równe stopnie, degα = degβ.

Dowód. Niech H : I × I → S

1

b

,

edzie homotopi

,

a mi

,

edzy p

,

etlami α, β ∈ Ω(S

1

, 1)

(przypomnijmy, że H(0, t) = 1 = H(1, t), dla t ∈ I). Z 6.2.1, istnieje przekształ-
cenie ci

,

agłe ˜

H : I × I → R takie, że E ◦ ˜

H = H i ˜

H(0, 0) = 0.

Z 6.2.2, dla S = {i} × I, i = 0, 1, ˜

H(0, t) = 0 i ˜

H(1, t) = d, dla t ∈ I i

pewnego d ∈ Z. Przyjmijmy ˜

α(s) = ˜

H(s, 0), ˜

β(s) = ˜

H(s, 1). Wówczas E ◦ ˜

α(s) =

E ◦ ˜

H(s, 0) = H(s, 0) = α(s) i podobnie, E ◦ ˜

β = β. Ponadto, ˜

α(0) = ˜

H(0, 0) =

0 = ˜

H(0, 1) = ˜

β(0). Zgodnie z 6.2.3, degα = ˜

α(1) = ˜

H(1, 0) = ˜

H(1, 1) = ˜

β(1) =

degβ.

Na odwrót, załóżmy, że p

,

etle α, β ∈ Ω(S

1

, 1) maj

,

a równe stopnie i niech ˜

α, ˜

β :

I → R b

,

ed

,

a funkcjami ci

,

agłymi takimi, że E ◦ ˜

α = α, E ◦ ˜

β = β, ˜

α(0) = 0 = ˜

β(0).

Wówczas ˜

α(1) = degα = degβ = ˜

β(1), sk

,

ad wynika, że H(s, t) = E((1 − t) ˜

α(s) +

t ˜

β(s)) jest homotopi

,

a mi

,

edzy p

,

etlami α i β.

Wniosek 6.2.5. Dla d ∈ Z p

,

etla

(11)

ω

d

(s) = cos(2πds) + i sin(2πds), s ∈ I,

ma stopień d. Jeśli α ∈ Ω(S

1

, 1) i degα = d, to α jest homotopijna z p

,

etl

,

a ω

d

.

Dowód. Dla funkcji liniowej ˜

ω

d

(s) = ds mamy E ◦ ˜

ω

d

= ω

d

i ˜

ω

d

(0) = 0, a wi

,

ec

degω

d

= ˜

ω

d

(1) = d, zob. 6.2.3. Z 6.2.4 mamy α ∼ ω

d

.

Wniosek 6.2.6. Okr

,

ag S

1

jest nieści

,

agalny. Co wi

,

ecej, jeśli n, m s

,

a liczbami

całkowitymi i przekształcenia z

n

i z

m

z S

1

w S

1

s

,

a homotopijne, to n = m.

Dowód. Niech H : S

1

×I → S

1

b

,

edzie homotopi

,

a ł

,

acz

,

ac

,

a z

n

z z

m

, tzn. H(z, 0) =

z

n

i H(z, 1) = z

m

, dla z ∈ C. Wówczas przekształcenie G : I × I → S

1

określone

formuł

,

a G(s, t) = H(E(s), t) · H(1, t)

−1

jest homotopi

,

a mi

,

edzy p

,

etlami ω

n

, ω

m

∈

Ω(S

1

, 1), zob. (2) i (11). Z 6.2.4 i 6.2.5, n = degω

n

= degω

m

= m.

Wniosek 6.2.7. (Zasadnicze twierdzenie algebry). Każdy wielomian P (z) = a

0

+

a

1

z +. . .+a

n−1

z

n−1

+z

n

o współczynnikach zespolonych ma pierwiastek zespolony.

Dowód. Załóżmy przeciwnie, że P (z) 6= 0, dla z ∈ C. Funkcja F : S

1

× I → C

zadana wzorem F (z, s) = s

n

P (

z
s

) = s

n

a

0

+ s

n−1

a

1

z + . . . + sa

n−1

z

n−1

+ z

n

jest

ci

,

agła i nie przyjmuje wartości 0.

Określmy H : S

1

× I → S

1

formułami

H(z, t) =















F (z,2t)

|F (z,2t)|

,

je´sli t ∈ [0,

1
2

],

P (2(1−t)z)

|P (2(1−t)z)|

, je´sli t ∈ [

1
2

, 1].

38

Dla t =

1
2

obie formuły daj

,

a H(z,

1
2

) =

P (z)

|P (z)|

, przekształcenie H jest wi

,

ec ci

,

agłe

na S

1

× [0, 1], zob. 1.3.9 (B). Zatem H jest homotopi

,

a ł

,

acz

,

ac

,

a przekształcenie

H(z, 0) = z

n

z przekształceniem stałym H(z, 1) =

P (0)

|P (0)|

. Z 6.1.4 (B) otrzymujemy

z

n

∼ ε

1

= z

0

, co przeczy Wnioskowi 6.2.6.

Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym orzeka, że dla kuli D

n

= {x ∈ R

n

:

d

e

(x, 0) ¬ 1}, każde przekształcenie ci

,

agłe f : D

n

→ D

n

ma punkt stały. Dla

n = 1 jest to prosta konsekwencja spójności D

1

= [−1, 1] i Twierdzenia 4.1.5.

Dla n = 2 wyprowadzimy to twierdzenie z nieści

,

agalności okr

,

egu S

1

. Dowód dla

dowolnych n podajemy w Uzupełnieniach 7.4.

Wniosek 6.2.8. Dla każdego przekształcenia ci

,

agłego f : D

2

→ D

2

istnieje

x ∈ D

2

takie, że f (x) = x.

Dowód. Załóżmy przeciwnie, że f (x) 6= x dla x ∈ D

2

i niech r(x) b

,

edzie punktem

przeci

,

ecia okr

,

egu S

1

z półprost

,

a wychodz

,

ac

,

a z f (x) w kierunku wektora

−→

f (x)x.

Przekształcenie r : D

2

→ S

1

jest ci

,

agłe i r(x) = x, dla x ∈ S

1

. Formuła H(x, t) =

r(tx) określa homotopi

,

e H : S

1

× I → S

1

ł

,

acz

,

ac

,

a przekształcenie stałe H(x, 0) =

r(0) z identyczności

,

a H(x, 1) = r(x) = x, co przeczy nieści

,

agalności S

1

, zob.

6.2.6.

6.3. Grupa podstawowa przestrzeni.

Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a topologiczn

,

a z wyróżnionym punktem a ∈ X.

W zbiorze Ω(X, a) p

,

etli w X zaczepionych w a wprowadzimy operacje mnożenia

i odwracania p

,

etli.

Definicja 6.3.1. Iloczynem p

,

etli α, β ∈ Ω(X, a) nazywamy p

,

etl

,

e

(1)

α ? β(s) =

(

α(2s),

je´sli s ∈ [0,

1
2

],

β(2s − 1), je´sli s ∈ [

1
2

, 1].

P

,

etla odwrotna do α ∈ Ω(X, a) jest określona formuł

,

a

(2)

α(s) = α(1 − s), s ∈ [0, 1].

Uwaga 6.3.2. Dla p

,

etli ω

c

, ω

d

opisanych w 6.2.5, ω

d

= ω

−d

i ω

d

? ω

c

∼ ω

d+c

.

Pierwsza równość wynika ze wzoru 6.2 (11). Dla uzasadnienia drugiej cz

,

eści

rozważmy przekształcenie ci

,

agłe u : I → R, określone formułami u(s) = 2ds, jeśli

s ∈ [0,

1
2

] i u(s) = d + 2(s −

1
2

)c, jeśli s ∈ [

1
2

, 1]. Mamy E ◦ u = ω

c

? ω

d

, u(0) = 0,

a wi

,

ec deg(ω

c

? ω

d

) = u(1) = c + d, zob. 6.2.3 i 6.2.5.

Sprawdzimy, że mnożenie i odwracanie p

,

etli jest zgodne z relacj

,

a homotopii

p

,

etli.

Lemat 6.3.3. Niech α, α

0

, β, β

0

∈ Ω(X, a). Jeśli α ∼ α

0

, β ∼ β

0

, to α ?β ∼ α

0

?β

0

,

oraz α ∼ α

0

.

Dowód. Jeśli H

0

jest homotopi

,

a mi

,

edzy α i α

0

, a H

1

jest homotopi

,

a mi

,

edzy β i

β

0

, to formuła

H(s, t) =

(

H

0

(2s, t),

je´sli s ∈ [0,

1
2

],

H

1

(2s − 1, t), je´sli s ∈ [

1
2

, 1],

39

określa homotopi

,

e mi

,

edzy α ? β i α

0

? β

0

, a H

0

(s, t) = H

0

(1 − s, t) jest homotopi

,

a

mi

,

edzy α i α

0

.

Nast

,

epny lemat ustala, że mnożenie p

,

etli jest, z dokładności

,

a do relacji homo-

topii, ł

,

aczne.

Lemat 6.3.4. Dla α, β, γ ∈ Ω(X, a), (α ? β) ? γ ∼ α ? (β ? γ).

Dowód. Dla 0 < u < w < 1 określmy p

,

etl

,

e τ

u,w

∈ Ω(X, a) formułami

τ

u,w

(s) =































α(

s

u

),

je´sli s ∈ [0, u],

β(

s−u

w−u

), je´sli s ∈ [u, w],

γ(

s−w
1−w

),

je´sli s ∈ [w, 1].

Niech K b

,

edzie odcinkiem ł

,

acz

,

acym punkty (

1
4

, 0) i (

1
2

, 1) w kwadracie I

2

, a L

odcinkiem ł

,

acz

,

acym (

1
2

, 0) z (

3
4

, 1) i niech (u(t), t) ∈ K, (w(t), t) ∈ L, dla t ∈ I.

Wówczas H(s, t) = τ

u(t),w(t)

(s) jest homotopi

,

a miedzy (α ? β) ? γ i α ? (β ? γ).

Ostatni lemat z tej serii wyjaśnia, że z dokładności

,

a do relacji homotopii,

p

,

etla stała ε

a

jest elementem neutralnym, a p

,

etla α jest odwrotności

,

a p

,

etli α,

ze wzgl

,

edu na wprowadzon

,

a operacj

,

e mnożenia.

Lemat 6.3.5. Dla każdej p

,

etli α ∈ Ω(X, a), ε

a

? α ∼ α ∼ α ? ε

a

, oraz α ? α ∼

ε

a

∼ α ? α.

Dowód. Niech K b

,

edzie odcinkiem ł

,

acz

,

acym punkty (

1
2

, 0) i (0, 1) w kwadracie

I

2

i niech (u(t), t) ∈ K , dla t ∈ I. Dla u ∈ [0,

1
2

] określmy p

,

etle τ

u

, σ

u

∈ Ω(X, a)

formułami

τ

u

(s) =

(

a,

je´sli s ∈ [0, u],

α(

s−u
1−u

), je´sli s ∈ [u, 1];

σ

u

(s) =











α(2s),

je´sli s ∈ [0, u],

α(2u),

je´sli s ∈ [u, 1 − u],

α(2s − 1), je´sli s ∈ [1 − u, 1],

(zauważmy, że α(2(1−u)−1) = α(1−2u) = α(2u)). Wówczas homotopia H(s, t) =
τ

u(t)

(s) ł

,

aczy p

,

etl

,

e ε

a

? α z α, a homotopia G(s, t) = σ

u(t)

(s) ł

,

aczy α ? α z ε

a

.

Podobnie określa si

,

e homotopie ł

,

acz

,

ace α ? ε

a

z α i

α ? α z ε

a

.

Lematy 6.3.3 – 6.3.5 pozwalaj

,

a określić struktur

,

e grupy w zbiorze Ω(X, a)/ ∼

klas abstrakcji p

,

etli zaczepionych w a, ze wzgl

,

edu na relacj

,

e homotopii mi

,

edzy

p

,

etlami.

Definicja 6.3.6. Grup

,

a podstawow

,

a π

1

(X, a) przestrzeni topologicznej (X, T )

z wyróżnionym punktem a nazywamy zbiór klas abstrakcji [α] = {α

0

: α

0

∈

Ω(X, a), α ∼ α

0

}, α ∈ Ω(X, a), z działaniem mnożenia [α][β] = [α ? β], ele-

mentem jednostkowym [ε

a

] i operacj

,

a odwracania [α]

−1

= [α].

Dokładniej, 6.3.3 zapewnia, że określenie mnożenia w π

1

(X, a) nie zależy od

wyboru reprezentantów klas abstrakcji [α] ∈ π

1

(X, a), 6.3.4 stwierdza ł

,

aczność

mnożenia, a 6.3.5 pokazuje, że [α][ε

a

] = [ε

a

] = [ε

a

][α] i [α][α] = [ε

a

] = [α][α].

Twierdzenie 6.3.7. Grupa podstawowa π

1

(S

1

, 1) jest izomorficzna z grup

,

a ad-

dytywn

,

a liczb całkowitych Z.

40

Dowód. Zgodnie z 6.2.4, p

,

etle zaczepione w 1 s

,

a homotopijne wtedy i tylko wtedy

gdy maj

,

a równe stopnie. Funkcja

φ([α]) = degα, α ∈ Ω(S

1

, 1),

jest wi

,

ec dobrze określona i różnowartościowa. Funkcja φ jest homomorfizmem,

φ([α][β]) = φ([α]) + φ([β]), dla α, β ∈ Ω(S

1

, 1),

bo z 6.2.5 i 6.3.2, dla c = degα i d = degβ, φ([α][β]) = φ([ω

c

][ω

d

]) = φ([ω

c

? ω

d

]) =

φ([ω

c+d

]) = c + d.

Z 6.2.5 wynika też, że φ jest epimorfizmem, φ jest wi

,

ec izomorfizmem.

Twierdzenie 6.3.8. Jeśli przestrzeń (X, T ) jest łukowo spójna, to dla dowolnych
punktów a, b ∈ X, grupy π

1

(X, a) i π

1

(X, b) s

,

a izomorficzne.

Dowód. Wybierzmy drog

,

e h : I → X od a do b i zwi

,

ażmy z ni

,

a przekształcenie

ϕ

h

: Ω(X, b) → Ω(X, a),

(3) ϕ

h

(α) =











h(3s),

je´sli s ∈ [0,

1
3

],

α(3s − 1),

je´sli s ∈ [

1
3

,

2
3

],

h(3(1 − s)), je´sli s ∈ [

2
3

, 1].

Jeśli H jest homotopi

,

a mi

,

edzy p

,

etlami α i β zaczepionymi w b, to homotopi

,

e

mi

,

edzy p

,

etlami ϕ

h

(α) i ϕ

h

(β) zaczepionymi w a można określić formułami

H

h

(s, t) =











h(3s),

je´sli s ∈ [0,

1
3

],

H(3s − 1, t), je´sli s ∈ [

1
3

,

2
3

],

h(3(1 − s)),

je´sli s ∈ [

2
3

, 1].

Zatem klasa [ϕ

h

(α)] nie zależy od wyboru reprezentanta klasy [α], co pozwala

zdefiniować φ

h

: π

1

(X, b) → π

1

(X, a) formuł

,

a

(4) φ

h

([α]) = [ϕ

h

(α)], dla [α] ∈ π

1

(X, b).

Argument podobny do użytego w drugiej cz

,

eści dowodu Lematu 6.3.5 pokazuje,

że dla α, β ∈ Ω(X, b), ϕ

h

(α ? β) ∼ ϕ

h

(α) ? ϕ

h

(β), a wi

,

ec φ

h

jest homomorfizmem

grup.

Niech

h(s) = h(1 − s) b

,

edzie drog

,

a od b do a, odwrotn

,

a do h. Jeśli α ∈ Ω(X, b)

i β ∈ Ω(X, a), to ϕ

h

(ϕ

h

(α)) ∼ α i ϕ

h

(ϕ

h

(β)) ∼ β, co uzasadnia si

,

e podobnie,

jak drug

,

a cz

,

eść Lematu 6.3.5. Zatem φ

h

i φ

h

s

,

a homomorfizmami wzajemnie

odwrotnymi, a wi

,

ec izomorfizmami.

Definicja 6.3.9. Dla przestrzeni łukowo spójnej (X, T ), grup

,

a podstawow

,

a π

1

(X)

nazywać b

,

edziemy grup

,

e izomorficzn

,

a z π

1

(X, a), dla dowolnego a ∈ X.

Z Twierdzenia 6.3.7 otrzymujemy natychmiast

Wniosek 6.3.10. Grupa podstawowa okr

,

egu S

1

jest izomorficzna z Z.

41

6.4. Homotopijna równoważność.

Na zakończenie tego rozdziału opiszemy ważn

,

a klasyfikacj

,

e przestrzeni topo-

logicznych, zwi

,

azan

,

a z poj

,

eciem homotopii.

Definicja 6.4.1. Przestrzenie topologiczne (X, T

X

) i (Y, T

Y

) s

,

a homotopijnie

równoważne, jeśli istniej

,

a przekształcenia ci

,

agłe f : X → Y , g : Y → X ta-

kie, że g ◦ f ∼ id

X

, oraz f ◦ g ∼ id

Y

.

Uwaga 6.4.2. Relacja homotopijnej równoważności jest relacj

,

a równoważności

w klasie przestrzeni topologicznych. Wyjaśnienia wymaga jedynie przechodniość:
jeśli X i Y , oraz Y i Z s

,

a homotopijnie równoważne, to X i Z s

,

a homotopijnie

równoważne. Niech f : X → Y , g : Y → X, oraz u : Y → Z, w : Z → Y b

,

ed

,

a

przekształceniami ci

,

agłymi spełniaj

,

acymi warunki g ◦ f ∼ id

X

, f ◦ g ∼ id

Y

, oraz

w ◦ u ∼ id

Y

, u ◦ w ∼ id

Z

. Z 6.1.5 (B), (g ◦ w) ◦ (u ◦ f ) = g ◦ (w ◦ u) ◦ f ∼ g ◦ id

Y

◦f =

g ◦ f ∼ id

X

, oraz (u ◦ f ) ◦ (g ◦ w) = u ◦ (f ◦ g) ◦ w ∼ u ◦ id

Y

◦ w = u ◦ w ∼ id

Z

.

Przykład 6.4.3. (A) Przestrzeń ści

,

agalna X jest homotopijnie równoważna z

przestrzeni

,

a jednopunktow

,

a Y = {a}, a ∈ X, bo id

Y

◦ ε

a

= ε

a

∼ id

X

, oraz

ε

a

◦ id

Y

= id

Y

.

Ponieważ każde dwie przestrzenie jednopunktowe s

,

a homeomorficzne, z 6.4.2

wynika, że każde dwie przestrzenie ści

,

agalne s

,

a homotopijnie równoważne. W

szczególności, prosta euklidesowa i płaszczyzna s

,

a homotopijnie równoważne, ale

nie s

,

a homeomorficzne, zob. 1.3.8.

(B) Okrag S

1

= {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

= 1} jest homotopijnie równoważny z

płaszczyzn

,

a bez punktu C

∗

= R

2

\ {0}. Istotnie, przekształcenie H : C

∗

× I →

S

1

określone formuł

,

a H(x, t) = (1 − t +

t

d

e

(x,0)

)x jest homotopi

,

a ł

,

acz

,

ac

,

a id

C

∗

z

przekształceniem r : C

∗

→ S

1

, r(x) =

1

d

e

(x,0)

x, nie poruszaj

,

acym punktów S

1

.

Zatem id

S

1

◦ r = r ∼ id

C

∗

, oraz r ◦ id

S

1

= id

S

1

.

Uwaga 6.4.4. Grupa podstawowa zbioru wypukłego X w przestrzeni euklide-
sowej jest trywialna: dla ustalonego a ∈ X i p

,

etli α ∈ Ω(X, a), H(s, t) =

(1 − t)a + tα(s) jest homotopi

,

a miedzy ε

a

i α, a wi

,

ec [α] = [ε

a

]. W Uzupeł-

nieniach 7.5.3 wykażemy ogólniejszy fakt, że grupy podstawowe łukowo spójnych
przestrzeni homotopijnie równoważnych s

,

a izomorficzne. W szczególności, grupa

podstawowa przestrzeni ści

,

agalnej jest trywialna.

7. Uzupełnienia

7.1. Otwarty zbiór wypukły w R

n

jest homeomorficzny z R

n

.

Niech ||x|| = d

e

(x, 0), dla x ∈ R

n

, B = {x ∈ R

n

: ||x|| < 1} i niech W

b

,

edzie zbiorem wypukłym w R

n

zawierajacym B. Dla x 6= 0, przyjmijmy

p(x) = sup{t > 0 :

tx

||x||

∈ W },

q(x) =

(

1

p(x)

jeśli p(x) 6= ∞,

0

jeśli p(x) = ∞.

Określimy f : W → R

n

i g : R

n

→ W formułami

f (x) =

(

1

1−q(x)||x||

x, jeśli x 6= 0,

0,

jeśli x = 0,

g(y) =

(

1

1+q(y)||y||

y, jeśli y 6= 0.

0,

jeśli y = 0.

42

Funkcje f i g s

,

a wzajemnie odwrotne (istotnie, dla x 6= 0, x, f (x) i g(f (x))

leż

,

a na jednej półprostej wychodz

,

acej z 0 oraz ||f (x)||

−1

= ||x||

−1

− q(x) i

||g(y)||

−1

= ||y||

−1

+ q(y)). Sprawdzimy, że obie s

,

a ci

,

agłe, a wi

,

ec zbiory W i

R

n

s

,

a homeomorficzne. Ci

,

agłość funkcji f i g w punkcie 0 jest widoczna. Dla

dowodu ci

,

agłości f i g w pozostałych punktach wystarczy sprawdzić, że q jest

funkcj

,

a ci

,

agł

,

a.

Ustalmy a 6= 0. Niech H b

,

edzie hiperpłaszczyzn

,

a przechodz

,

ac

,

a przez 0 i prosto-

padł

,

a do

−→

0a, C = H ∩ B i niech C

+

b

,

edzie cz

,

eści

,

a walca nad C leż

,

ac

,

a w półprze-

strzeni wyznaczonej przez H i punkt a. Z wypukłości W wynikaj

,

a nast

,

epuj

,

ace

dwie obserwacje: jeśli p(a) = ∞, to W zawiera C

+

, a jeśli p(a) = r 6= ∞, to

W zawiera stożek otwarty b

,

ed

,

acy sum

,

a odcinków otwartych cb ł

,

acz

,

acych punkty

c ∈ C z wierzchołkiem b = ra/||a|| i jest rozł

,

aczny ze stożkiem otwartym b

,

ed

,

acym

sum

,

a półprostych otwartych wychodz

,

acych z b w kierunku wektora

−→

cb , dla c ∈ C.

Zatem, jeśli a

n

→ a, to p(a

n

) → p(a) (także, dla p(a) = ∞), a wi

,

ec q(a

n

) → q(a).

7.2. Strzałka i kwadrat leksykograficzny.

(A) Pokażemy, że strzałka, tzn. zbiór liczb rzeczywistych R z topologi

,

a T

←

gene-

rowan

,

a przez baz

,

e złożon

,

a z przedziałów (a, b], nie jest przestrzeni

,

a metryzowaln

,

a.

Załóżmy przeciwnie, że T

←

= T (d) dla pewnej metryki d na R i niech B(a, r)

b

,

edzie kul

,

a w (R, d) o środku w a i promieniu r. Ustalmy a ∈ R. Ponieważ

(−∞, a] ∈ T

←

= T (d), istnieje n takie, że B(a,

1

n

) ⊂ (−∞, a] i z kolei, istnieje m

takie, że (a−

1

m

, a] ⊂ B(a,

1

n

). Wynika st

,

ad, że zbiory A

nm

= {a ∈ R : (a−

1

m

, a] ⊂

B(a,

1

n

) ⊂ (−∞, a]} pokrywaj

,

a R, a wi

,

ec jeden z nich jest nieprzeliczalny. Ustalmy

taki zbiór A

nm

. W jednym z przedziałów [

k

2m

,

k+1

2m

], k = 0, ∓1, ∓2, . . . leży wówczas

nieskończenie wiele elementów A

nm

, możemy wi

,

ec wybrać a, b ∈ A

nm

takie, że

a < b i b−a <

1

m

. Ponieważ a ∈ (b−

1

m

, b] ⊂ B(b,

1

n

), mamy b ∈ B(a,

1

n

) ⊂ (−∞, a],

co przeczy temu, że a < b.

To samo rozumowanie pokazuje, że przedział (0, 1] z topologi

,

a podprzestrzeni

strzałki (R, T

←

) nie jest metryzowalny, a wi

,

ec (I

2

, T (<)), kwadrat leksykogra-

ficzny opisany w przykładzie 1.2.7, nie jest metryzowalny, zob. Przykład 1.2.9.

(B) Pokażemy, że kwadrat leksykograficzny (I

2

, T (<)) jest przestrzeni

,

a zwart

,

a.

Ponieważ topologie wyznaczone przez porz

,

adki liniowe (zob. 1.2.7) s

,

a Hausdorffa,

wystarczy sprawdzić, że jeśli U jest otwartym pokryciem kwadratu leksykogra-
ficznego, to I

2

można pokryć skończenie wieloma elementami U .

Dla każdego t ∈ I wybierzmy V

t

, W

t

∈ U takie, że (t, 0) ∈ V

t

i (t, 1) ∈ W

t

.

Ustalmy 0 < t < 1. Z określenia topologii T (<), zob. 1.2.7, wynika istnienie
ε > 0 takiego, że każdy punkt z I

2

leż

,

acy mi

,

edzy (t − ε, 0) i (t, 0), ze wzgl

,

edu

na porz

,

adek leksykograficzny, należy do V

t

, a każdy punkt leż

,

acy mi

,

edzy (t, 1) i

(t + ε, 1) należy do W

t

. Dla przedziału euklidesowego J

t

= (t − ε, t + ε) ∩ I mamy

wi

,

ec (J

t

× I) \ ({t} × I) ⊂ V

t

∪ W

t

. Podobnie można dobrać przedziały J

t

dla

t = 0 i t = 1. Ze zwartości przedziału euklidesowego I, można wybrać pokrycie
skończone I = J

t

1

∪ . . . ∪ J

t

k

. Wówczas I

2

\

S

k
i=1

(V

t

i

∪ W

t

i

) ⊂

S

k
i=1

{t

i

} × I.

Na każdym zbiorze {t} × I, topologia podprzestrzeni przestrzeni (I

2

, T (<)) jest

identyczna z topologi

,

a euklidesow

,

a, zob. 1.2.7, a wi

,

ec zbiory {t} × I s

,

a zwarte

w przestrzeni (I

2

, T (<)). Wynika st

,

ad, że sum

,

e

S

k
i=1

{t

i

} × I możemy pokryć

skończenie wieloma elementami z U i w rezultacie możemy wybrać z U skończone
pokrycie I

2

.

43

7.3. Dowolne iloczyny kartezjańskie i twierdzenie Tichonowa.

Niech (X

s

, T

s

), s ∈ S, b

,

edzie rodzin

,

a przestrzeni topologicznych, indeksowan

,

a

elementami dowolnego zbioru S. Punktami iloczynu

Q

s∈S

X

s

s

,

a funkcje u : S →

S

s∈S

X

s

takie, że u(s) ∈ X

s

, dla s ∈ S.

Kostkami bazowymi w

Q

s∈S

X

s

nazywamy zbiory

(1)

Q

s∈S

V

s

, gdzie V

s

∈ T

s

i zbiór {s ∈ S : V

s

6= X

s

} jest skończony.

Rodzina B kostek bazowych (1) spełnia warunki (i), (ii) w 1.2.4, jest wi

,

ec baz

,

a

topologii w

Q

s∈S

X

s

. Przestrzeń (

Q

s∈S

X

s

, T ) z topologi

,

a generowan

,

a przez baz

,

e

B nazywamy iloczynem kartezjańskim przestrzeni (X

s

, T

s

).

Uwaga 7.3.1. Podobnie jak w 2.4.1 łatwo sprawdza si

,

e, że iloczyn kartezjański

przestrzeni Hausdorffa jest przestrzeni

,

a Hausdorffa.

Przykład 7.3.2. Dla I = [0, 1], oznaczmy symbolem (R

I

, T ) iloczyn kartezjański

(

Q

s∈I

R

s

, T ), gdzie (R

s

, T

s

) = (R, T (d

e

)) jest prost

,

a euklidesow

,

a.

Zbiór C(I) funkcji ci

,

agłych f : I → R jest podzbiorem R

I

i niech T

p

= T

C(I)

b

,

edzie topologi

,

a podprzestrzeni przestrzeni (R

I

, T ). Topologi

,

e T

p

w C(I) nazywa

si

,

e topologi

,

a zbieżności punktowej.

Przestrzeń (C(I), T

p

) jest niemetryzowalna. Załóżmy przeciwnie, że pewna me-

tryka d na C(I) generuje T

p

, niech 0 ∈ C(I) b

,

edzie funkcj

,

a zerow

,

a i niech B

n

b

,

edzie kul

,

a o środku w 0 i promieniu

1

n

w przestrzeni metrycznej (C(I), d). Po-

nieważ B

n

∈ T

p

, istniej

,

a kostki bazowe W

n

=

Q

s∈S

V

n

s

, gdzie V

n

s

s

,

a otwarte w R

i zbiory T

n

= {s ∈ I : V

n

s

6= R} s

,

a skończone, takie, że 0 ∈ W

n

∩ C(I) ⊂ B

n

.

Ustalmy t ∈ I \

S

n

T

n

i niech U =

Q

s∈S

U

s

, gdzie U

t

= (−

1
2

,

1
2

) i U

s

= R, dla s 6= t.

Ponieważ 0 ∈ U i U ∈ T

p

, istnieje n takie, że B

n

⊂ U i niech f ∈ C(I) zeruje si

,

e

na T

n

i przyjmuje wartość 1 w punkcie t. Wówczas f ∈ W

n

\ U , co przeczy temu,

że W

n

∩ C(I) ⊂ U .

Topologia T (d

sup

) generowana w C(I) przez metryk

,

e określon

,

a w 1.7.3 jest

silniejsza niż topologia zbieżności punktowej, T

p

⊂ T (d

sup

). Ponieważ przestrzeń

(C(I), T (d

sup

)) jest ośrodkowa, zob. 1.7.3 (A), wynika st

,

ad ośrodkowość prze-

strzeni (C(I), T

p

).

Każda niepusta kostka bazowa (1) w R

I

zawiera funkcj

,

e ci

,

agł

,

a z I w R, zbiór

C(I) jest wi

,

ec g

,

esty w R

I

. W szczególności, z ośrodkowości przestrzeni (C(I), T

p

)

wynika ośrodkowość iloczynu kartezjańskiego (R

I

, T ).

Udowodnimy teraz uogólnienie Twierdzenia 2.5.1 - twierdzenie Tichonowa.

Dowód b

,

edzie przebiegał podobnie, ale ponieważ dopuszczamy dowolne zbiory

wskaźników, odwołamy si

,

e do Lematu Kuratowskiego - Zorna, który orzeka, że

jeśli w niepustym zbiorze cz

,

eściowo uporz

,

adkowanym P każdy łańcuch (tzn. zbiór

złożony z elementów parami porównywalnych) jest ograniczony z góry, to w P
istnieje element maksymalny (w istocie, twierdzenie Tichonowa jest równoważne
Aksjomatowi Wyboru, równoważnemu z kolei Lematowi Kuratowskiego - Zorna).

Zacznijmy od opisu zbioru cz

,

eściowo uporz

,

adkowanego Q, który wykorzystamy

w dowodzie twiedzenia Tichonowa.

Uwaga 7.3.3. Dla iloczynu kartezjańskiego

Q

s∈S

X

s

, niech Q b

,

edzie zbiorem

złożonym z par (A, a), gdzie A ⊂ S i a ∈

Q

s∈A

X

s

. Jeśli dla (A, a), (B, b) ∈ Q,

B ⊂ A i b jest obci

,

eciem a do B, mówimy, że (A, a) przedłuża (B, b). Relacja

przedłużania jest cz

,

eściowym porz

,

adkiem w zbiorze Q, przy czym elementem

minimalnym w tym porz

,

adku jest (∅, ∅). Dla łańcucha C ⊂ Q przyjmijmy

44

(2) C =

S

{A : (A, a) ∈ C dla pewnego a ∈

Q

s∈A

X

s

}

i zauważmy, że ponieważ dla dowolnych par (A, a), (B, b) ∈ C, albo (A, a) prze-
dłuża (B, b), albo na odwrót, określona jest jednoznacznie funkcja c ∈

Q

s∈C

X

s

taka, że

(3) (C, c) przedłuża wszystkie (A, a) ∈ C.

Twierdzenie 7.3.4. Dowolny iloczyn kartezjański (

Q

s∈S

X

s

, T ) przestrzeni zwar-

tych (X

s

, T

s

) jest przestrzeni

,

a zwart

,

a.

Dowód. Przyjmijmy oznaczenia

(4) X(A) =

Q

s∈A

X

s

, W

∗

= W ×

Q

s∈S\A

X

s

, dla W ⊂ X(A) i A ⊂ S,

(5) B(A) jest rodzin

,

a kostek bazowych w X(A),

zob. (1). D

,

aż

,

ac do sprzeczności, załóżmy, że istnieje otwarte pokrycie U iloczynu

kartezjańskiego X(S), z którego nie można wybrać pokrycia skończonego. Przyj-
mijmy oznaczenia z Uwagi 7.3.3 i niech P ⊂ Q składa si

,

e z elementu minimalnego

(∅, ∅) zbioru Q oraz par (A, a) ∈ Q spełniaj

,

acych warunek

(6) jeśli W ∈ B(A) zawiera a, to zbioru W

∗

nie można

pokryć skończenie wieloma elementami U .

Zauważmy, że

(7) (S, u) 6∈ P dla każdego u ∈ X(S),

bo dla u ∈ X(S) można znaleźć U ∈ U zawieraj

,

ace u, istnieje wi

,

ec W ∈ B(S)

takie, że u ∈ W ⊂ U i zbiór W

∗

= W jest pokryty jednym elementem U .

Niech C b

,

edzie łańcuchem w P i niech (C, c) b

,

edzie par

,

a opisan

,

a w (2) i (3).

Pokażemy, że (C, c) ∈ P. Niech V =

Q

s∈C

V

s

∈ B(C) zawiera c. Ponieważ C

jest łańcuchem, z (2) wynika, że dla pewnej pary (A, a) ∈ C, A zawiera zbiór
skończony {s ∈ C : V

s

6= X

s

}. Wówczas W =

Q

s∈A

V

s

∈ B(A), a ∈ W i V

∗

= W

∗

,

zob. (4), a wi

,

ec z (6), zbioru V

∗

nie można pokryć skończenie wieloma elementami

U . Zatem (C, c) ∈ P jest ograniczeniem z góry łańcucha C, zob. (3).

Lemat Kuratowskiego - Zorna zapewnia istnienie elementu maksymalnego (C, c)

w P. Pokażemy, że

(8) C = S.

W przeciwnym razie, rozpatrzmy t ∈ S \ C i niech E = C ∪ {t}. Ustalmy x ∈ X

t

i

niech e

x

∈ X(E) pokrywa si

,

e z c na C i e

x

(t) = x. Para (E, e

x

) przedłuża (C, c),

a wi

,

ec z maksymalności (C, c) nie spełnia (6). To oznacza, że istnieje kostka W

x

∈

B(C) zawieraj

,

aca c i zbiór V

x

∈ T

t

zawieraj

,

acy x takie, że zbiór (W

x

×V

x

)

∗

można

pokryć skończenie wieloma elementami U . Ze zwartości X

t

, X

t

= V

x

1

∪ . . . ∪ V

x

m

,

dla pewnych x

i

∈ X

t

. Wówczas W = W

x

1

∩ . . . ∩ W

x

m

∈ B(C), c ∈ W i zbiór

W

∗

⊂

S

m
i=1

(W

x

i

× V

x

i

)

∗

można pokryć skończenie wieloma elementami U , co

przeczy temu, że (C, c) spełnia (6).

Z (8), c ∈ X(S) i (S, c) ∈ P, mamy wi

,

ec sprzeczność z (7), co kończy dowód

twierdzenia Tichonowa.

45

7.4. Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym.

Przyjmijmy oznaczenia: ||x − y|| = d

e

(x, y), dla x, y ∈ R

n

, D

n

= {x ∈ R

n

:

||x|| ¬ 1}, S

n−1

= {x ∈ R

n

: ||x|| = 1}.

Twierdzenie 7.4.1. Nie istnieje retrakcja kuli D

n

na sfer

,

e S

n−1

, tzn. nie istnieje

przekształcenie ci

,

agłe r : D

n

→ S

n−1

takie, że r(x) = x, dla x ∈ S

n−1

.

Udowodnimy najpierw pewn

,

a wersj

,

e tego twierdzenia dla przekształceń klasy

C

∞

, tzn. dla funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych (odwołuj

,

ac si

,

e do

materiału wchodz

,

acego w zakres pierwszego semestru Analizy II), a nast

,

epnie

pokażemy, jak wyprowadzić st

,

ad Twierdzenie 7.4.1.

Zacznijmy od pewnej tożsamości, zwi

,

azanej z różniczkowaniem wyznaczników.

Uwaga 7.4.2. Niech H : U → R

n

b

,

edzie przekształceniem klasy C

∞

na zbiorze

U otwartym w R

n+1

i niech, dla u = (u

1

, . . . , u

n+1

) ∈ U ,

(1)

J

i

(u) = det[

∂H

∂u

1

(u), . . . ,

\

∂H
∂u

i

(u), . . . ,

∂H

∂u

n+1

(u)],

gdzie daszek oznacza, że i-ta kolumna

∂H
∂u

i

(u) macierzy po prawej stronie (1)

została pomini

,

eta. Wówczas

(2)

P

n+1
i=1

(−1)

i ∂J

i

∂u

i

(u) = 0, u ∈ U,

co wynika z reguły różniczkowania wyznacznika (zob. M.Spivak, Analiza na roz-
maitościach, 2.15), oraz z równości pochodnych mieszanych

∂

2

H

∂u

i

∂u

j

=

∂

2

H

∂u

j

∂u

i

, za-

pewnionej przez założenie, że H jest klasy C

∞

(dla n = 1, formuła (2) stwierdza

równość pochodnych mieszanych).

Lemat 7.4.3. Nie istnieje przekształcenie f : G → R

n

klasy C

∞

określone na

zbiorze otwartym G w R

n

zawieraj

,

acym D

n

takie, że f (G) ⊂ S

n−1

, oraz f (x) = x,

dla x ∈ S

n−1

.

Dowód. D

,

aż

,

ac do sprzeczności, załóżmy, że f : G → R

n

jest takim przekształ-

ceniem, niech

(3) H(x, t) = (1 − t)x + tf (x), h

t

(x) = H(x, t), dla (x, t) ∈ G × R,

i niech

(4) J (x, t) = det[dh

t

(x)],

V (t) =

R

D

n

J (x, t)dx,

gdzie dh

t

jest pochodn

,

a przekształcenia h

t

: G → R

n

. Z (3), h

0

(x) = x, zatem

J (x, 0) = 1 i V (0) jest obj

,

etości

,

a kuli D

n

, zob. (4). Także z (3), h

1

(x) = f (x)

i ponieważ f (G) ⊂ S

n−1

, df (x) nie jest izomorfizmem, a wi

,

ec J (x, 1) = 0 i

V (1) = 0, zob. (4).

Aby dojść do sprzeczności, wystarczy wykazać, że funkcja V (t) jest stała, tzn.

(5) V

0

(t) = 0, dla t ∈ R.

Różniczkuj

,

ac całk

,

e z parametrem, mamy V

0

(t) =

d

dt

R

D

n

J (x, t)dx =

R

D

n

∂J

∂t

(x, t)dx.

Przyjmijmy oznaczenia z Uwagi 7.4.2, gdzie U = G × R i u = (x

1

, . . . , x

n

, t) ∈

U . Z (1), (4) i (3), J (x, t) = J

n+1

(x, t), zatem z (2), V

0

(t) jest sum

,

a całek

∓

R

D

n

∂J

i

∂x

i

(x, t)dx, i ¬ n. Ustalmy i ¬ n i niech D

n

i

b

,

edzie przekrojem D

n

hi-

perpłaszczyzn

,

a x

i

= 0, oraz dla z ∈ D

n

i

, niech z

−

, z

+

b

,

ed

,

a punktami na sferze

S

n−1

wyznaczaj

,

acymi prost

,

a prostopadł

,

a do D

n

i

, przechodz

,

ac

,

a przez z, przy czym

i-ta współrz

,

edna z

−

jest ujemna, a z

+

- dodatnia. Wówczas,

Z

D

n

∂J

i

∂x

i

(x, t)dx =

Z

D

n
i

"

Z

[z

−

,z

+

]

∂J

i

∂x

i

(x, t)dx

i

#

dz =

Z

D

n
i

[J

i

(z

+

, t) − J

i

(z

−

, t)]dz.

46

Jeśli x ∈ S

n−1

, to f (x) = x i z (3), H(x, t) = x, a wi

,

ec

∂H

∂t

(x, t) = 0. To

oznacza, że dla x ∈ S

n−1

, i ¬ n, ostatnia kolumna macierzy w (1) jest zerowa i

J

i

(x, t) = 0. W szczególności, J

i

(z

+

, t) = 0 = J

i

(z

−

, t), mamy wi

,

ec (5), co kończy

dowód lematu.

Pomostem mi

,

edzy Lematem 7.4.3 i Twierdzeniem 7.4.1 s

,

a gładkie rozkłady

jedynki, które opiszemy w nast

,

epnym lemacie, zob. 1.6.2.

Lemat 7.4.4. Niech K ⊂ R

n

b

,

edzie zbiorem zwartym i ε > 0. Istnieje wówczas

zbiór otwarty G ⊂ R

n

zawieraj

,

acy K, oraz funkcje λ

i

: G → [0, 1] klasy C

∞

takie,

że

(6)

diam(suppλ

i

) < ε,

suppλ

i

∩ K 6= ∅,

gdzie suppλ

i

= {x ∈ G : λ

i

(x) >

0}, i ¬ m,

(7)

λ

1

(x) + . . . + λ

m

(x) = 1, dla x ∈ G.

Dowód. Funkcja ϕ : R → R określona formułami

ϕ(x) =

(

exp(−

1

t

2

), t > 0,

0,

t ¬ 0,

jest klasy C

∞

. Dla kostki otwartej W = (a

1

, b

1

) × . . . × (a

n

, b

n

), funkcja

ϕ

W

(x

1

, . . . , x

n

) =

n

Y

i=1

(ϕ(x

i

− a

i

) · ϕ(b

i

− x

i

))

jest klasy C

∞

i W = {x ∈ R

n

: ϕ

W

(x) > 0}.

Ustalmy ε > 0, pokryjmy K kostkami otwartymi W

1

, . . . , W

m

o średnicach

< ε, przecinaj

,

acymi K i przyjmijmy ϕ

i

= ϕ

W

i

, σ = ϕ

1

+ . . . + ϕ

m

, oraz G =

W

1

∪ . . . ∪ W

m

= {x ∈ R

n

: σ(x) > 0}.Wówczas funkcje λ

i

=

ϕ

i

σ

, i ¬ m, maj

,

a

ż

,

adane własności.

Dowód twierdzenia 7.4.1. Załóżmy, że istnieje retrakcja r : D

n

→ S

n−1

.

Rozszerzymy r w sposób ci

,

agły na R

n

, przyjmuj

,

ac r(x) =

x

||x||

∈ S

n−1

, dla x 6∈ D

n

.

Niech δ > 0 b

,

edzie takie, że r przekształca każd

,

a kul

,

e B(x, δ) o środku w x ∈

D

n

na zbiór o średnicy <

1
2

, zob. 2.2.4. Przyjmijmy ε = min(δ,

1
2

) i niech λ

i

: G →

R b

,

ed

,

a funkcjami opisanymi w Lemacie 7.4.4 (dla K = D

n

), ponumerowanymi

tak, że przeci

,

ecie nośnika suppλ

i

= {x : λ

i

(x) > 0} ze sfer

,

a S

n−1

jest niepuste dla

i ¬ p i puste dla i = p + 1, . . . , m. Wybierzmy a

i

∈ suppλ

i

, przy czym a

i

∈ S

n−1

dla i ¬ p, i niech

(8)

g(x) =

P

p
i=1

λ

i

(x)x +

P

m
i=p+1

λ

i

(x)r(a

i

), dla x ∈ G.

Ponieważ dla i ¬ p, r(a

i

) = a

i

, z (7) i (8) mamy g(x) − r(x) =

P

p
i=1

λ

i

(x)(x −

a

i

) +

P

m
i=1

λ

i

(x)(r(a

i

) − r(x)). Jeśli λ

i

(x) > 0, to x, a

i

∈ suppλ

i

, a wi

,

ec z (6),

||x − a

i

|| <

1
2

i ||r(a

i

) − r(x)|| <

1
2

. Wynika st

,

ad, że ||g(x) − r(x)|| < 1, a zatem

g(x) 6= 0, dla x ∈ G. Możemy wi

,

ec określić funkcj

,

e f : G → R

n

klasy C

∞

formuł

,

a

(9)

f (x) =

g(x)

||g(x)||

, x ∈ G.

Zauważmy, że f (G) ⊂ S

n−1

. Jeśli x ∈ S

n−1

, to λ

i

(x) = 0 dla i ­ p + 1, zatem z

(8) i (7), g(x) = x i z (9), f (x) = x. Otrzymaliśmy sprzeczność z Lematem 7.4.3.

Wniosek 7.4.5 (Twierdzenie Brouwera). Dla każdego przekształcenia ci

,

agłego

f : D

n

→ D

n

istnieje x ∈ D

n

takie, że f (x) = x.

47

Dowód. Jeśli dla pewnego przekształcenia ci

,

agłego f : D

n

→ D

n

mielibyśmy

f (x) 6= x dla każdego x ∈ D

n

, to argument opisany w dowodzie Wniosku 6.2.8

prowadziłby do retrakcji r : D

n

→ S

n−1

, co przeczyłoby Twierdzeniu 7.4.1.

Wniosek 7.4.6. Sfera S

n

jest nieści

,

agalna.

Dowód. Załóżmy, że istnieje homotopia H : S

n

× I → S

n

ł

,

acz

,

aca id

S

n

z prze-

kształceniem stałym ε

a

. Wówczas przekształcenie ci

,

agłe r : D

n+1

→ S

n

określone

formuł

,

a r(x) = H(

x

||x||

, 1 − ||x||), dla x 6= 0, oraz r(0) = a, jest retrakcj

,

a, co

przeczy Twierdzeniu 7.4.1.

Uwaga 7.4.7. Dowód kluczowego Lematu 7.4.3 jest wzi

,

ety z ksi

,

ażki N.Dunforda

i J.T.Schwartza, Linear Operators, New York 1958. Interesuj

,

ac

,

a dyskusj

,

e tego do-

wodu można znaleźć w artykule N.V.Ivanova, A topologist’s view of the Dunford -
Schwartz proof of the Brouwer Fixed - Point Theorem, Mathematical Intelligencer
22 (3) (2000), 55 - 57. Inne dowody twierdzenia Brouwera, kombinatoryczny i ana-
lityczny, oraz liczne odsyłacze do literatury, można znaleźć w ksi

,

ażce K.Goebela,

Twierdzenia o punktach stałych, Lublin 2005.

7.5. Homotopijna niezmienniczość grupy podstawowej.

Niech f : X → Y b

,

edzie przekształceniem ci

,

agłym i a ∈ X. Jeśli α jest p

,

etl

,

a w

X zaczepion

,

a w a, to f ◦α jest p

,

etl

,

a w Y zaczepion

,

a w f (a). Ponadto, jeśli α ∼ α

0

,

to f ◦ α ∼ f ◦ α

0

, oraz f ◦ (α ? β) = (f ◦ α) ? (f ◦ β), zob. 6.3.1. Przekształcenie

f indukuje zatem homomorfizm grup podstawowych

(1) f

∗

: π

1

(X, a) → π

1

(Y, f (a)), f

∗

([α]) = [f ◦ α].

Twierdzenie 7.5.1. Jeśli przekształcenia ci

,

agłe f, g : X → Y s

,

a homotopijne i

a ∈ X, to istnieje izomorfizm φ : π

1

(Y, g(a)) → π

1

(Y, f (a)) taki, że f

∗

= φ ◦ g

∗

.

Dowód. Niech H : X × I → Y b

,

edzie homotopi

,

a ł

,

acz

,

ac

,

a f z g. Wówczas h(t) =

H(a, t) jest drog

,

a w Y od f (a) do g(a) i niech φ

h

: π

1

(Y, g(a)) → π

1

(Y, f (a))

b

,

edzie izomorfizmem zwi

,

azanym z drog

,

a h, opisanym w 6.3 (4). Sprawdzimy, że

f

∗

= φ

h

◦ g

∗

. Zgodnie z (1) i określeniem φ

h

, zob. 6.3 (3), (4), mamy pokazać, że

dla każdej p

,

etli α ∈ Ω(X, a),

(2) f ◦ α ∼ ϕ

h

(g ◦ α).

Niech H

0

: I × I → Y b

,

edzie zadane wzorem

H

0

(s, t) =











H(a, 3st),

je´sli s ∈ [0,

1
3

],

H(α(3s − 1), t), je´sli s ∈ [

1
3

,

2
3

],

H(a, 3(1 − s)t),

je´sli s ∈ [

2
3

, 1].

H

0

jest homotopi

,

a ł

,

acz

,

ac

,

a ϕ

ε

f (a)

(f ◦ α) z ϕ

h

(g ◦ α), gdzie ε

f (a)

jest p

,

etl

,

a stał

,

a

zaczepion

,

a w f (a). Ponieważ ϕ

ε

f (a)

(β) ∼ β dla β ∈ Ω(Y, f (a)), otrzymaliśmy (2).

Uwaga 7.5.2. Niech f : X → Y i g : Y → Z b

,

ed

,

a przekształceniami ci

,

agłymi,

a ∈ X, b = f (a), c = g(b). Wówczas, zob. (1), (g ◦ f )

∗

= g

∗

◦ f

∗

, gdzie f

∗

:

π

1

(X, a) → π

1

(Y, b), g

∗

: π

1

(Y, b) → π

1

(Z, c).

Wniosek 7.5.3. Niech X i Y b

,

ed

,

a łukowo spójnymi przestrzeniami homotopij-

nie równoważnymi. Wówczas grupy podstawowe π

1

(X) i π

1

(Y ) s

,

a izomorficzne.

48

Dowód. Niech f : X → Y i g : Y → X b

,

ed

,

a przekształceniami ci

,

agłymi takimi,

że g ◦ f ∼ id

X

, oraz f ◦ g ∼ id

Y

. Ustalmy a ∈ X i niech b = f (a), c = g(b).

Pokażemy, że

(3) g

∗

: π

1

(Y, b) → π

1

(X, c) jest izomorfizmem.

Ponieważ g ◦ f ∼ id

X

, z 7.5.1 dostajemy izomorfizm φ : π

1

(X, a) → π

1

(X, c) taki,

że (g ◦ f )

∗

= φ ◦ (id

X

)

∗

= φ. Z Uwagi 7.5.2 wynika, że π

1

(X, c) jest obrazem g

∗

.

Z drugiej strony, f ◦ g ∼ id

Y

i ponownie odwołuj

,

ac si

,

e do 7.5.1, mamy izo-

morfizm φ : π

1

(Y, b) → π

1

(X, f (c)) taki, że (f ◦ g)

∗

= φ ◦ (id

Y

)

∗

= φ. Z Uwagi

7.5.2 wnosimy, że g

∗

ma trywialne j

,

adro (dokładniej, korzystaj

,

ac z 7.5.2, wyróż-

niamy tym razem punkt c w X i rozpatrujemy homomorfizm f

∗

: π

1

(X, c) →

π

1

(Y, f (c))).

Ponieważ przestrzenie X i Y s

,

a łukowo spójne, π

1

(X) jest izomorficzne z

π

1

(X, c), a π

1

(Y ) jest izomorficzne z π

1

(Y, b). Z (3) otrzymujemy wi

,

ec izomor-

fizm grup π

1

(X) i π

1

(Y ).

7.6. Nakrycia i podnoszenie przekształceń ci

,

agłych.

Niech p : X → Y b

,

edzie przekształceniem ci

,

agłym przestrzeni (X, T

X

) na prze-

strzeń (Y, T

Y

). Zbiór otwarty U w Y jest trywialnie nakryty przez p, jeśli istnieje

rodzina V parami rozł

,

acznych zbiorów otwartych w X taka, że dla każdego V ∈ V

obci

,

ecie p | V : V → U jest homeomorfizmem i p

−1

(U ) =

S

V.

Przekształcenie p jest nakryciem, jeśli Y ma pokrycie zbiorami otwartymi, z

których każdy jest trywialnie nakryty przez p.

Przykład 7.6.1. (A) Nawini

,

ecie prostej na okr

,

ag, opisane w 6.2 (2), jest nakry-

ciem.

(B) Przekształcenie ilorazowe π : S

2

→ P

2

sfery na płaszczyzn

,

e rzutow

,

a, okre-

ślone w 5.1.3, jest nakryciem.

Nast

,

epuj

,

ace twierdzenie o podnoszeniu przekształceń ci

,

agłych jest uogólnie-

niem Twierdzenia 6.2.1.

Twierdzenie 7.6.2. Niech p : X → Y b

,

edzie nakryciem, niech f : I

n

→ Y b

,

edzie

przekształceniem ci

,

agłym i niech a ∈ p

−1

(f (0)). Istnieje wówczas dokładnie jedno

przekształcenie ci

,

agłe ˜

f : I

n

→ X takie, że p ◦ ˜

f = f i ˜

f (0) = a.

Dowód. Niech U b

,

edzie pokryciem przestrzeni Y zbiorami trywialnie nakrytymi

przez p i niech δ > 0 b

,

edzie liczb

,

a Lebesgue’a dla pokrycia I

n

zbiorami otwartymi

f

−1

(U ), U ∈ U , zob. 2.2.4. Podzielmy I

n

hiperpłaszczyznami prostopadłymi do

osi współrz

,

ednych na m domkni

,

etych kostek o średnicach < δ i ponumerujmy

te kostki tak, że 0 ∈ K

1

i L

i

= K

1

∪ . . . ∪ K

i

ma niepuste, spójne przeci

,

ecie

z K

i+1

, dla i < m. Pokażemy, że dla każdego i ¬ m, istnieje dokładnie jedno

przekształcenie ci

,

agłe g

i

: L

i

→ X spełniaj

,

ace warunek

(1) p ◦ g

i

= f | L

i

, g

i

(0) = a,

gdzie f | L

i

: L

i

→ X jest obci

,

eciem f do L

i

.

Przyjmijmy L

0

= {0}, g

0

(0)) = a i załóżmy, że mamy już określone przekształ-

cenie g

i

: L

i

→ X spełniaj

,

ace (1), i < m. Zbiór f (K

i+1

) leży w pewnym U ∈ U ,

trywialnie nakrytym przez p i niech p

−1

(U ) =

S

V, gdzie V jest rodzin

,

a opisan

,

a

w definicji nakrycia. Ponieważ g

i

(L

i

∩ K

i+1

) jest spójnym podzbiorem

S

V i ele-

menty V s

,

a parami rozł

,

acznymi zbiorami otwartymi, istnieje V ∈ V takie, że

49

g

i

(L

i

∩ K

i+1

) ⊂ V . Ponieważ p | V : V → U jest homeomorfizmem, określaj

,

ac

g

i+1

: L

i+1

→ X formułami g

i+1

| L

i

= g

i

, oraz g

i+1

| K

i+1

= (p | V )

−1

◦ (f | K

i+1

)

otrzymujemy przekształcenie ci

,

agłe spełniaj

,

ace (1), zob. 1.3.9 (B). Jest to jedyny

sposób przedłużenia g

i

na L

i+1

z zachowaniem (1), bo każde takie przedłużenie

przekształca K

i+1

w p

−1

(U ), a wi

,

ec ze spójności K

i+1

- w zbiór V .

W rezultacie, przyjmuj

,

ac ˜

f = g

m

: I

n

→ X otrzymujemy jedyne przekształce-

nie ci

,

agłe spełniaj

,

ace warunek p◦ ˜

f = f i przedłużaj

,

ace g

0

, tzn. przeprowadzaj

,

ace

0 w a.

Wniosek 7.6.3. Płaszczyzna rzutowa P

2

jest nieści

,

agalna.

Dowód. Zgodnie z 7.5.3, wystarczy w pewnym punkcie płaszczyzny rzutowej
zaczepić p

,

etl

,

e nie homotopijn

,

a z p

,

etl

,

a stał

,

a. Niech π : S

2

→ P

2

b

,

edzie nakry-

ciem płaszczyzny rzutowej, zob. 7.6.1 (B), niech a

i

= (0, 0, (−1)

i

), i = 0, 1, b

,

ed

,

a

biegunami północnym i południowym sfery S

2

i niech b = π(a

0

) = π(a

1

).

Zgodnie z 7.6.2, dla każdej p

,

etli α : I → P

2

zaczepionej w b istnieje dokładnie

jedno przekształcenie ci

,

agłe ˜

α : I → S

2

takie, że π ◦ ˜

α = α i ˜

α(0) = a

0

. Dla

p

,

etli stałej ε

b

, ˜

ε

b

(s) = a

0

, dla s ∈ I. Niech H : I

2

→ P

2

b

,

edzie homotopi

,

a

mi

,

edzy dowolnymi p

,

etlami α, β ∈ Ω(P

2

, b). Z 7.6.2, istnieje przekształcenie ci

,

agłe

˜

H : I

2

→ S

2

takie, że π ◦ ˜

H = H, oraz ˜

H(0) = a

0

. Ponieważ, dla i = 0, 1,

H({i}×I) = {b}, ˜

H({i}×I) ⊂ π

−1

(b) = {a

0

, a

1

} i ze spójności odcinka wynika, że

˜

H jest stałe na {i}×I. Dla ˜

α(s) = ˜

H(s, 0), ˜

β(s) = ˜

H(s, 1) mamy π◦ ˜

α = α, π◦ ˜

β =

β, ˜

α(0) = a

0

= ˜

β(0), ˜

α(1) = ˜

β(1). Wynika st

,

ad, że dla homotopijnych p

,

etli α, β ∈

Ω(P

2

, b), drogi ˜

α, ˜

β kończ

,

a si

,

e w tym samym biegunie sfery. W szczególności, dla

p

,

etli α ∈ Ω(P

2

, b) homotopijnej z p

,

etl

,

a stał

,

a ε

b

, droga ˜

α kończy si

,

e w a

0

. Pozostaje

wskazać p

,

etl

,

e α ∈ Ω(P

2

, b), dla której ˜

α kończy si

,

e w a

1

.

Przyjmijmy w(s) = (0, sin(πs), cos(πs)), s ∈ I, α = π ◦ w. Wówczas w jest

drog

,

a w S

2

od a

0

do a

1

, α jest p

,

etl

,

a w P

2

zaczepion

,

a w b i ˜

α = w, a wi

,

ec p

,

etla

α nie jest homotopijna z p

,

etl

,

a stał

,

a.

50

8. Zadania

1. Przestrzenie metryczne i przestrzenie topologiczne.

1.1. ♠ Niech d

k

: R

2

× R

2

→ R b

,

edzie określone nast

,

epuj

,

ac

,

a formuł

,

a, gdzie

0 = (0, 0), a d

e

oznacza metryk

,

e euklidesow

,

a w R

2

:

d

k

(a, b) =

(

d

e

(a, b),

jeśli a, b i 0 leż

,

a na jednej prostej,

d

e

(a, 0) + d

e

(b, 0), w przeciwnym razie.

(A) Sprawdzić, że d

k

jest metryk

,

a.

(B) Pokazać, że zbiór U jest otwarty w przestrzeni (R

2

, d

k

) wtedy i tylko wtedy,

gdy przeci

,

ecie U z każd

,

a prost

,

a przechodz

,

ac

,

a przez 0 jest otwarte w topologii

euklidesowej tej prostej i jeśli 0 ∈ U , to U zawiera pewn

,

a kul

,

e euklidesow

,

a o

środku w 0.

1.2. ♠ Niech dla (x, y) ∈ R

2

, p(x, y) = (x, 0) i niech d

r

: R

2

× R

2

→ R b

,

edzie

określone formuł

,

a, gdzie d

e

jest metryk

,

a euklidesow

,

a

d

r

(a, b) =

(

d

e

(a, b),

jeśli p(a) = p(b),

d

e

(a, p(a)) + d

e

(p(a), p(b)) + d

e

(p(b), b), jeśli p(a) 6= p(b).

(A) Sprawdzić, że d

r

jest metryk

,

a.

(B) Pokazać, że zbiór U jest otwarty w przestrzeni (R

2

, d

r

) wtedy i tylko wtedy,

gdy przeci

,

ecie U z każd

,

a prost

,

a p

−1

(t) jest otwarte w topologii euklidesowej tej

prostej, oraz jeśli a = (t, 0) ∈ U , to U zawiera pewn

,

a kul

,

e euklidesow

,

a o środku

w a.

1.3. Niech d : R × R → R b

,

edzie określone formuł

,

a

d(s, t) =

(

max(|s|, |t|), jeśli s 6= t ,
0,

jeśli s=t.

Pokazać, że metryka d generuje w R t

,

e sam

,

a topologi

,

e, co metryka w Przykła-

dzie 1.1.7 (A).

1.4. Pokazać, że dla każdego zbioru A ⊂ (0, +∞) można określić przestrzeń
metryczn

,

a (X, d) tak

,

a, że A = {d(x, y) : x, y ∈ X, x 6= y}.

Wskazówka. Zob. Zadanie 1.3.

1.5. (A) Niech ϕ : [0, +∞) → R b

,

edzie niemalej

,

ac

,

a funkcj

,

a wkl

,

esł

,

a (tzn. zbiór

pod wykresem jest wypukły) tak

,

a, że ϕ(0) = 0 i ϕ(u) > 0 dla u > 0. Pokazać, że

dla każdej metryki d na zbiorze X, d

ϕ

(x, y) = ϕ(d(x, y)) jest metryk

,

a na X.

Wskazówka. Sprawdzić, że ϕ(u + v) ¬ ϕ(u) + ϕ(v), dla 0 ¬ u ¬ v. W tym celu,

dla u < v, skorzystać z nierówności

ϕ(u+v)−ϕ(u)

v

¬

ϕ(v)−ϕ(u)

v−u

¬

ϕ(v)

v

, które wynikaj

,

a

z wkl

,

esłości ϕ.

(B) Pokazać, że jeśli ϕ jest ci

,

agła w zerze, to zbiory otwarte w (X, d

ϕ

) i (X, d)

s

,

a identyczne.

(C) Pokazać, że jeśli ϕ nie jest ci

,

agła w zerze, to każdy zbiór w przestrzeni

(X, d

ϕ

) jest otwarty.

1.6. ♠ Punkt a w przestrzeni topologicznej (X, T ) jest izolowany, jeśli {a} jest
zbiorem otwartym. Przestrzeń topologiczna jest dyskretna, jeśli wszystkie jej
punkty s

,

a izolowane.

Niech T

k

i T

r

b

,

ed

,

a topologiami generowanymi przez metryki d

k

i d

r

z Zadań

1.1 i 1.2.

(A) Określić zbiór nieprzeliczalny Y ⊂ R

2

taki, że podprzestrzeń (Y, (T

k

)

Y

) jest

dyskretna, ale podprzestrzeń (Y, (T

r

)

Y

) nie ma punktów izolowanych.

51

(B) Określić zbiór nieprzeliczalny Y ⊂ R

2

taki, że obie przestrzenie (Y, (T

k

)

Y

)

i (Y, (T

r

)

Y

) maj

,

a dokładnie jeden punkt nieizolowany.

1.7. ♠ Niech (C[0, 1], d

sup

) b

,

edzie przestrzeni

,

a funkcji ci

,

agłych z [0, 1] w R z

metryk

,

a supremum:

d

sup

(f, g) = sup{|f (t) − g(t)| : t ∈ [0, 1]}.

Które z nast

,

epuj

,

acych zbiorów s

,

a otwarte w tej przestrzeni:

A = {f ∈ C[0, 1] : f (t) > 0 dla t ∈ [0, 1]},
B = {f ∈ C[0, 1] : f przyjmuje wartość zero},
C = {f ∈ C[0, 1] :

R

1

0

|f (t)|dt < 1},

D = {f ∈ C[0, 1] : f jest ściśle rosn

,

aca}?

1.8. W zbiorze C[0, 1] funkcji ci

,

agłych z [0, 1] w R rozpatrzmy metryk

,

e określon

,

a

formuł

,

a

τ (f, g) =

Z

1

0

|f (t) − g(t)|dt.

Które ze zbiorów A, B, C, D z Zadania 1.7 s

,

a otwarte w przestrzeni (C[0, 1], τ )?

1.9. Niech N

N

b

,

edzie zbiorem ci

,

agów liczb naturalnych (0 6∈ N) i niech, dla

a = (n

1

, n

2

, . . .), b = (m

1

, m

2

, . . .)

d(a, b) =

(

1

min{i: n

i

6=m

i

}

, jeśli a 6= b,

0,

jeśli a = b.

(A) Wykazać, że d jest metryk

,

a w N

N

, przy czym d(a, b) ¬ max{d(a, c), d(b, c)},

dla a, b, c ∈ N

N

.

(B) Wykazać, że każde dwie kule w przestrzeni (N

N

, d) s

,

a albo rozł

,

aczne, albo

jedna zawiera si

,

e w drugiej.

(C) Które z nast

,

epuj

,

acych zbiorów s

,

a otwarte w przestrzeni (N

N

, d):

A = {(n

1

, n

2

, . . .) : n

i

= 1 dla co najmniej trzech indeksów i},

B = {(n

1

, n

2

, . . .) : n

i

= 1 dla nieskończenie wielu i}.

(D) Niech < b

,

edzie porz

,

adkiem leksykograficznym w N

N

(tzn. (n

1

, n

2

, . . .) <

(m

1

, m

2

, . . .) jeśli dla pewnego i, n

i

< m

i

oraz n

j

= m

j

dla j < i) i niech, dla

a < b, (a, b) = {x : a < x < b}. Wykazać, że przedziały (a, b) s

,

a otwarte w

przestrzeni (N

N

, d). Niech c = (2, 1, 1, . . .). Pokazać, że nie istnieje przedział (a, b)

taki, że c ∈ (a, b) ⊂ B(c,

1
2

).

1.10. Niech M b

,

edzie zbiorem niemalej

,

acych funkcji ci

,

agłych f : [0, 1] → [0, 1]

spełniaj

,

acych warunek f (0) = 0, f (1) = 1. Niech λ(f ) = inf{s : f (s) = 1},

δ(f, g) = inf{s : f (s) 6= g(s)} oraz dla f, g ∈ M ,

d(f, g) =

(

(λ(f ) − δ(f, g)) + (λ(g) − δ(f, g)), jeśli f 6= g,
0,

jeśli f = g.

(A) Sprawdzić, że d jest metryk

,

a na M .

(B) Które z nast

,

epuj

,

acych zbiorów s

,

a otwarte w przestrzeni (M, d):

A = {f ∈ M : f (

1
2

) >

1
2

}, B = {f ∈ M : f (

1
2

) <

1
2

}, C = {f ∈ M : f (

1
2

) = 1}?

1.11. Wykazać, że dla przestrzeni metrycznej (X, d) nast

,

epuj

,

ace warunki s

,

a rów-

noważne:

(i) dla każdego A ⊂ X, zbiór A lub jego dopełnienie X \ A jest zbiorem otwar-

tym,

(ii) dla co najwyżej jednego punktu x ∈ X, {x} nie jest zbiorem otwartym.

52

1.12. Niech T b

,

edzie rodzin

,

a wszystkich zbiorów U ⊂ R

2

takich, że przeci

,

ecie

U ∩ L z każd

,

a prost

,

a równoległ

,

a do osi x-ów, lub y-ów jest otwarte ze wzgl

,

edu

na metryk

,

e euklidesow

,

a w L.

(A) Sprawdzić, że T jest topologi

,

a w R

2

i przestrzeń (R

2

, T ) jest Hausdorffa.

(B) Pokazać, że jeśli C ⊂ {(x, y) ∈ R

2

: x > 0, y > 0} jest zbiorem nieskoń-

czonym, to istnieje U ∈ T takie, że 0 ∈ U i zbiór C \ U jest nieskończony.

(C) Wykazać, że topologia T jest niemetryzowalna.
Wskazówka. Założyć, że T = T (d), pokazać, że każda kula B(0,

1

n

) zawiera

punkt c

n

o obu współrz

,

ednych dodatnich, rozpatrzyć C = {c

1

, c

2

, . . .} i wyprowa-

dzić z (B) sprzeczność.

1.13. Niech F b

,

edzie skończonym podzbiorem R i niech B = {{t} : t ∈ R \ F } ∪

{(t − ε, t + ε) : t ∈ F, ε > 0}.

(A) Sprawdzić, że rodzina B jest baz

,

a generuj

,

ac

,

a pewn

,

a topologi

,

e T (zob.

1.2.5).

(B) Niech u(t) = min{|t − s| : s ∈ F }. Niech f : R → R

2

b

,

edzie określone

formuł

,

a f (s) = (s, u(s)) i d(s, t) = d

r

(f (s), f (t)), gdzie d

r

jest metryk

,

a z Zadania

1.2. Wykazać, że metryka d generuje topologi

,

e T .

1.14. Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a topologiczną i niech A będzie rodziną

skończonych sum zbiorów postaci U ∩ F , gdzie U, X \ F ∈ T . Wykazać, że A jest
algebrą, tzn. skończone sumy, przecięcia i dopełnienia zbiorów z A należą do A

1.15. ♠ Pokazać, że na prostej euklidesowej R:

(A) P = Q = R, gdzie Q oznacza liczby wymierne i P = R \ Q.
(B) Niech A = {a

1

, a

2

, . . .} ⊂ R, niech b

1

, b

2

, . . . b

,

edzie zbieżnym ci

,

agiem liczb

rzeczywistych i niech B = {a

i

+ b

i

: i = 1, 2, . . .}. Pokazać, że jeśli

A = R, to

także B = R. Czy założenie zbieżności ci

,

agu (b

i

) jest istotne?

1.16. ♠ Dla a, b ∈ R

2

, niech I(a, b) b

,

edzie odcinkiem ł

,

acz

,

acym a i b, wraz z

końcami. Niech

A =

S

{I(0, b) : b = (1, t), t ∈ {0} ∪

S

∞
n=1

(

1

2n+1

,

1

2n

)},

B =

S

{I(0, b) : b = (t, 1), t ∈ {0} ∪

S

∞
n=1

(

1

2n+1

,

1

2n

)},

C =

S

{I(0, b) : b = (1, q), q ∈ Q ∩ (0, 1)}.

Znaleźć domkni

,

ecia i wn

,

etrza zbiorów A, B, C w nast

,

epuj

,

acych przestrzeniach

topologicznych:

(a) R

2

z topologi

,

a euklidesow

,

a,

(b) R

2

z topologi

,

a generowan

,

a przez metryk

,

e d

k

z Zadania 1.1,

(c) R

2

z topologi

,

a generowan

,

a przez metryk

,

e d

r

z Zadania 1.2.

1.17. Ustawmy liczby wymierne z przedziału [0, 1] w ci

,

ag q

1

, q

2

, . . . i niech

A =

S

∞
n=1

{(q

n

, t) : 0 < t ¬ 1/n}.

Znaleźć wn

,

etrze i domkni

,

ecie zbioru A w każdej z przestrzeni topologicznych

opisanych w (a), (b), (c) w Zadaniu 1.16.

1.18. ♠ Niech (C[0, 1], d

sup

) b

,

edzie przestrzeni

,

a opisan

,

a w Zadaniu 1.7. Znaleźć

domkni

,

ecie i wn

,

etrze każdego ze zbiorów A, B, C, D opisanych w tym zadaniu,

w topologii generowanej przez metryk

,

e supremum.

1.19. ♠ Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a z Przykładu 1.2.11. Udowodnić, że

domkni

,

ecie każdego zbioru nieskończonego w X jest cał

,

a przestrzeni

,

a.

1.20. ♠ Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a topologiczn

,

a.

(A) Niech Y ⊂ X i A ⊂ Y . Wykazać, że jeśli domkni

,

ecie A w podprzestrzeni

(Y, T

Y

) jest równe Y , to domkni

,

ecia A i Y w przestrzeni (X, T ) s

,

a identyczne.

53

(B) Niech A i B b

,

ed

,

a zbiorami rozł

,

acznymi w X. Wykazać, że jeśli zbiór A

jest otwarty, to A ∩ IntB = ∅

1.21. Niech (N

N

, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a opisan

,

a w Zadaniu 1.9.

(A) Znaleźć domkni

,

ecia i wn

,

etrza zbiorów A i B opisanych w tym zadaniu.

(B) Niech F b

,

edzie zbiorem domkni

,

etym w przestrzeni N

N

. Wykazać, że istnieje

a ∈ F takie, że ze wzgl

,

edu na porz

,

adek leksykograficzny określony w Zadaniu 1.9

(D), a < u dla każdego u ∈ F \ {a}.

Wskazówka. Wybrać współrz

,

edne n

1

, n

2

, . . . punktu a indukcyjnie: n

1

jest naj-

mniejsz

,

a, spośród pierwszych współrz

,

ednych punktów u ∈ F ; jeśli n

1

, . . . , n

k

s

,

a

określone, n

k+1

jest najmniejsz

,

a, spośród (k + 1)-szych współrz

,

ednych tych punk-

tów u ∈ F , które maj

,

a n

1

, . . . , n

k

jako pierwsze k współrz

,

ednych.

1.22. ♠ Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a topologiczn

,

a. Pokazać, że dla A, B ⊂ X,

A ∪ B = A ∪ B.

1.23. Punkt a w przestrzeni topologicznej (X, T ) jest punktem skupienia zbioru
A ⊂ X, jeśli każde otoczenie a zawiera element zbioru A różny od a. Zbiór
punktów skupienia zbioru A oznaczamy symbolem A

d

i niech

A

(n)

= (. . . (A

d

)

d

. . .)

d

b

,

edzie zbiorem otrzymanym z A przez n–krotne powtórzenie operacji przejścia

do zbioru punktów skupienia.

(A) Określić dla każdej liczby naturalnej n zbiór A ⊂ [0, 1] taki, że w metryce

euklidesowej na odcinku, A

(n)

6= ∅, ale A

(n+1)

= ∅.

(B) Niech F b

,

edzie zbiorem domkni

,

etym na prostej euklidesowej R. Wykazać,

że IntF = ∅ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór A ⊂ R \ F taki, że F = A

d

.

Udowodnić analogiczny fakt dla przestrzeni euklidesowej (R

n

, d

e

).

Wskazówka. Niech F = F i IntF = ∅. Ustalmy naturalne n i z każdego prze-

działu [

m

n

,

m+1

n

] przecinaj

,

acego F , m = ±1, ±2, . . ., wybierzmy punkt spoza F .

Niech A

n

b

,

edzie zbiorem wybranych punktów i A =

S

∞
n=1

A

n

. Sprawdzić, że A

ma ż

,

adane własności.

1.24. Niech (R, T ) b

,

edzie strzałk

,

a opisan

,

a w Przykładzie 1.2.9. Pokazać, że dla

każdego nieprzeliczalnego A ⊂ R, A ∩ A

d

6= ∅.

Wskazówka. Założyć przeciwnie, że A jest sum

,

a zbiorów A

n

= {a ∈ A :

(a − 1/n, a) ∩ A = ∅}, wybrać zbiór nieprzeliczalny A

n

i rozpatrzyć a, b ∈ A, dla

których 0 < |a − b| < 1/n.

1.25. Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a topologiczn

,

a. Mówimy, że ci

,

ag punktów

(a

n

)

∞
n=1

w X jest zbieżny do a ∈ X, jeśli każde otoczenie punktu A zawiera prawie

wszystkie wyrazy a

n

. Wskazać w przestrzeni (R

2

, T ) określonej w Zadaniu 1.12,

oraz w przestrzeni (R

∞

, T

∞

) opisanej w Przykładzie 1.2.2, zbiór A i punkt a takie,

że a ∈ A, ale żaden ci

,

ag punktów (a

n

)

∞
n=1

, gdzie a

n

∈ A, nie jest zbieżny do a.

Wskazówka. Dla (R

2

, T ) skorzystać z 1.12 (B), a dla (R

∞

, T

∞

) rozpatrzyć zbiór

A =

S

∞
n=2

A

n

, gdzie A

n

= {(x

1

, x

2

, . . .) ∈ R

∞

: x

1

= 1/n, x

2

= . . . = x

n

=

0 i x

n+1

> 0}, oraz punkt a = (0, 0, . . .).

1.26. ♠ Określmy funkcje z R

2

w R

2

formułami: f

1

(x, y) = (2x, y), f

2

(x, y) =

(x + 1, y), f

3

(x, y) = (x + y, x + y). Znaleźć zbiory punktów ci

,

agłości tych funk-

cji, rozpatrywanych jako przekształcenia z przestrzeni topologicznej (R

2

, T

0

) w

(R

2

, T

00

), gdzie T

0

, T

00

jest jedn

,

a z topologii generowanych przez metryki d

k

, d

r

z

Zadań 1.1 i 1.2 (dla każdej funkcji f

i

s

,

a cztery możliwości do rozpatrzenia).

54

1.27. Ustawmy liczby wymierne Q w ci

,

ag q

1

, q

2

, . . . i określmy f : R → R formuł

,

a

f (t) =

(

1

n

, jeśli t = q

n

,

0,

jeśli t 6∈ Q.

Wykazać, że funkcja f jest ci

,

agła w punkcie t wtedy i tylko wtedy, gdy t ∈ R \ Q.

1.28. Niech C[0, 1] b

,

edzie zbiorem funkcji ci

,

agłych z [0, 1] w R i niech funkcje

F, G, H : C[0, 1] → R b

,

ed

,

a określone formułami:

F (f ) = sup{f (t) : t ∈ [0, 1]}, G(f ) =

R

1

0

f (t)dt, H(t) =

P

∞
n=1

2

−n

· f (

1

n

).

Która z tych funkcji jest ci

,

agła, jeśli topologia w C[0, 1] jest generowana przez

metryk

,

e

(A) d

sup

opisana w Zadaniu 1.7,

(B) τ opisan

,

a w Zadaniu 1.8?

1.29. Niech f, g : N

N

→ R b

,

ed

,

a opisane formułami

f (n

1

, n

2

, . . .) =

P

∞
i=1

2

−i 1

n

i

,

g(n

1

, n

2

, . . .) = sup{

n

i

1+n

i

: i = 1, 2, . . .}.

Sprawdzić, czy funkcja f lub g jest ci

,

agła, jeśli w N

N

rozpatruje si

,

e topologi

,

e

generowan

,

a przez metryk

,

e opisan

,

a w Zadaniu 1.9.

1.30. Niech (R

2

, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a opisan

,

a w Zadaniu 1.12. Pokazać, że

funkcja f : R

2

→ R jest ci

,

agła ze wzgl

,

edu na topologi

,

e T w R

2

i topologi

,

e

euklidesow

,

a w R wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a ∈ R, funkcje u

a

, w

a

:

R → R, gdzie u

a

(t) = f (a, t) i w

a

(t) = f (t, a), s

,

a ci

,

agłe na prostej euklidesowej.

1.31. Niech f : X → Y b

,

edzie funkcj

,

a ci

,

agł

,

a z przestrzeni (X, T

X

) w przestrzeń

(Y, T

Y

), maj

,

ac

,

a wszystkie warstwy f

−1

(y) skończone. Wykazać, że dla A ⊂ X,

f (A

d

) ⊂ (f (A))

d

, gdzie operacja d jest opisana w Zadaniu 1.23.

1.32. ♠ Niech Z

0

= N, Z

1

= {0} ∪ {

1

i

: 1, 2, . . .}, Z

2

= Z

1

∪ N i Z

3

= {0} ∪ {

1

i

+

1
j

:

i, j = 2, 3, . . . ,

1
j

<

1

i−1

−

1

i

}. Pokazać, że żadne dwie spośród podprzestrzeni Z

0

,

Z

1

, Z

2

, Z

3

prostej euklidesowej nie s

,

a homeomorficzne.

Wskazówka. Sprawdzić, że przy homeomorfiźmie punkty izolowane (zob. Zada-

nie 1.6) przechodz

,

a na punkty izolowane.

1.33. Niech T b

,

edzie sum

,

a trzech odcinków ł

,

acz

,

acych punkt (0, 0) z punktami

(1, 0),(−1, 0) i (0, 1) na płaszczyźnie, rozpatrywan

,

a z topologi

,

a euklidesow

,

a.

(A) Pokazać, że nie istnieje ci

,

agła i różnowartościowa funkcja f : T → [0, 1].

Wskazówka. Skorzystać z własności Darboux dla funkcji f obci

,

etej do każdego

z trzech wymienionych odcinków w T .

(B) Wskazać trzy kule otwarte w T , z których żadne dwie nie s

,

a homeomor-

ficzne.

1.34. Znaleźć zanurzenie homeomorficzne przestrzeni (R, T (d)) z Zadania 1.3 w
przestrzeń (R

2

, T (d

r

)) z Zadania 1.2.

1.35. ♠ Niech (X

1

× . . . × X

n

, T ) b

,

edzie iloczynem kartezjańskim przestrzeni

topologicznych (X

i

, T

i

) i niech p

i

: X

1

× . . . × X

n

→ X

i

b

,

edzie rzutowaniem.

(A) Wykazać, że dla każdego zbioru otwartego U w iloczynie, zbiór p

i

(U ) jest

otwarty w X

i

.

(B) Podać przykład zbioru domkni

,

etego na płaszczyźnie euklidesowej, którego

rzut na oś x-ów nie jest domkni

,

ety.

55

1.36. ♠ Niech (X × Y, T ) b

,

edzie iloczynem kartezjańskim przestrzeni topologicz-

nych (X, T

X

) i (Y, T

Y

). Niech A ⊂ X, B ⊂ Y .

(A) Wykazać, że A × B = A × B.
(B) Wykazać, że (A × B)

d

= (A

d

× B) ∪ (A × B

d

), gdzie operacja d została

określona w Zadaniu 1.23.

1.37. (A) Wykazać, że iloczyn topologiczny dwóch okr

,

egów jest homeomorficzny

z torusem, tzn. powierzchni

,

a w R

3

otrzyman

,

a przez obrót wokół osi z okr

,

egu w

płaszczyźnie xz nie przecinaj

,

acego tej osi.

(B) Pokazać, że iloczyn topologiczny okr

,

egu i prostej jest homeomorficzny z

płaszczyzn

,

a bez punktu.

1.38. ♠ Niech f : X → Y b

,

edzie przekształceniem ci

,

agłym przestrzeni topolo-

gicznej (X, T

X

) w przestrzeń (Y, T

Y

). Wykazać, że przestrzeń (X, T

X

) jest home-

omorficzna z podprzestrzeni

,

a W (f ) = {(x, f (x)) : x ∈ X} ⊂ X × Y iloczynu

kartezjańskiego przestrzeni (X, T

X

) i (Y, T

Y

).

1.39. Wykazać, że dla przestrzeni topologicznej (X, T

X

) nast

,

epuj

,

ace warunki s

,

a

równoważne:

(i) (X, T

X

) jest przestrzeni

,

a Hausdorffa,

(ii) przek

,

atna ∆ = {(x, x) : x ∈ X} ⊂ X × X jest zbiorem domkni

,

etym w

kwadracie kartezjańskim przestrzeni (X, T

X

),

(iii) dla dowolnego przekształcenia ci

,

agłego f : X

0

→ X z przestrzeni (X

0

, T

X

0

)

w (X, T

X

) wykres W (f ) = {(x, f (x)) : x ∈ X

0

} ⊂ X

0

× X jest domkni

,

etym

podzbiorem iloczynu kartezjańskiego przestrzeni (X, T

X

0

) i (X, T

X

).

1.40. Niech U b

,

edzie zbiorem otwartym w przestrzeni metryzowalnej (X, T ).

Wykazać, że zbiór U jest homeomorficzny z domkni

,

et

,

a podprzestrzeni

,

a iloczynu

kartezjańskiego przestrzeni (X, T ) i prostej euklidesowej.

Wskazówka. Rozpatrzyć wykres funkcji f (x) =

1

d

X\U

(x)

, dla x ∈ U , zob. formuł

,

e

(1) w cz

,

eści 1.6.

1.41. Niech f : A → [1, 2] b

,

edzie funkcj

,

a ci

,

agł

,

a na domkni

,

etej podprzestrzeni

przestrzeni metrycznej (X, d). Wykazać, że (zob. formuł

,

e 1.6 (1))

f (x) =

(

inf

a∈A

f (a)·d(x,a)

d

A

(x)

,

jeśli x ∈ X \ A,

f (x),

jeśli x ∈ A,

jest funkcj

,

a ci

,

agł

,

a f : X → [1, 2], przedłużaj

,

ac

,

a funkcj

,

e f .

Wskazówka. Niech h

E

(x) = inf

a∈A

(f (a)d(x, a)), E ⊂ A. Dla ustalonego p ∈ A

i ε > 0 wybrać r > 0 tak, żeby |f (a) − f (p)| ¬ ε jeśli a ∈ A ∩ B(p, r) =
C. Zauważyć, że dla x ∈ B(p, ε/4), h

A\C

(x) ­ 3r/4, oraz f (p)d(x, p) ¬ r/2,

a wi

,

ec h

A

(x) = h

C

(x). Wywnioskowac st

,

ad, że dla x ∈ B(p, ε/4) \ A, mamy

(f (p) − ε)d

A

(x) ¬ h

A

(x) = h

C

(x) ¬ (f (p) + ε)d

A

(x), a zatem, ponieważ h

A

(x) =

f (x)d

A

(x), |f (x)−f (p)| ¬ ε. Ci

,

agłość f w punktach X \A wyprowadzić z ci

,

agłości

h

A

na X \ A. Szczegółowe uzasadnienie można znaleźć w ksi

,

ażce J. Dieudonn´

e,

Foundations of Modern Analysis, dowód Twierdzenia 4.5.1.

1.42. Niech g : X → [0, 1] b

,

edzie funkcj

,

a półci

,

agł

,

a z dołu na przestrzeni me-

trycznej (X, d). Wykazać, że istniej

,

a funkcje ci

,

agłe f

1

¬ f

2

¬ . . . na X takie, że

g(x) = lim

n

f

n

(x), dla x ∈ X.

Wskazówka. Zauważyć, że jeśli c

i

jest funkcj

,

a charakterystyczn

,

a zbioru U

i

=

{x : g(x) >

i

n

}, to g −

1

n

¬

1

n

(c

1

+ . . . + c

n−1

) ¬ g i sprawdzić, że c

i

jest punktow

,

a

granic

,

a niemalej

,

acego ci

,

agu funkcji ci

,

agłych f

im

(x) = min(m · d

X\U

i

(x), 1), zob.

formuł

,

e (1) w cz

,

eści 1.6.

56

1.43. Dla funkcji ograniczonej f : X → R określonej na przestrzeni metrycznej
(X, d) przyjmijmy

ˇ

f = lim

n

sup{f (y) : y ∈ B(x,

1

n

)},

ˆ

f = lim

n

inf{f (y) : y ∈ B(x,

1

n

)}.

(A) Pokazać, że funkcja ˇ

f jest półci

,

agła z góry, a funkcja ˆ

f jest półci

,

agła z

dołu.

(B) Niech g, h : X → R b

,

ed

,

a funkcjami ograniczonymi na przestrzeni metrycz-

nej (X, d) takimi, że g ¬ h. Wykazać, że następujace warunki są równoważne:

(i) ˇ

g ¬ ˆ

h,

(ii) istnieje funkcja ci

,

agła f : X → R taka, że g ¬ f ¬ h,

(iii) dla każdej pary liczb a < b, zbiory {x : g(x) > b} i {x : h(x) < a} maja

rozłączne domknięcia.

1.44. W kwadracie leksykograficznym (I

2

, T (<)), zob. Przykład 1.2.7, znaleźć

domkni

,

ecie i wn

,

etrze każdego z nast

,

epuj

,

acych zbiorów:

A = {(x, 0) : x ∈ Q ∩ (0, 1)}, B = {(x, 1) : x ∈ Q ∩ (0, 1)},
C = {(x, y) : x ∈ Q ∩ (0, 1), y ∈ (

1
3

,

2
3

)}.

1.45. Niech f : R → R.

(A) Pokazać, że funkcja f jest ci

,

agła jako przekształcenie z R z topologi

,

a

strzałki, zob. Przykład 1.2.9, w prost

,

a euklidesow

,

a wtedy i tylko wtedy, gdy

lim

x→a

−

f (x) = f (a), dla a ∈ R.

(B) Pokazać, że istnieje funkcja g : I

2

→ R ci

,

agła w topologii kwadratu lek-

sykograficznego taka, że g(t, 0) = f (t) dla t ∈ (0, 1] wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego a ∈ (0, 1] lim

x→a

−

f (x) = f (a) i dla każdego a ∈ [0, 1) istnieje

lim

x→a

+

f (x).

1.46. Niech (X, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a metryczn

,

a ośrodkow

,

a. Pokazać, że dla

każdej rodziny U zbiorów otwartych w (X, d) istnieje rodzina przeliczalna V ⊂ U
taka, że

S

V =

S

U .

Wskazówka. Niech A = {a

1

, a

2

, . . .} b

,

edzie zbiorem g

,

estym. Dla każdej pary

liczb naturalnych (n, m) wybrać, jeśli to możliwe, zbiór U (n, m) ∈ U taki, że
B(a

n

,

1

m

) ⊂ U (n, m), w przeciwnym razie, niech U (n, m) = ∅. Przyj

,

ać V =

{U (n, m) : U (n, m) 6= ∅, n, m = 1, 2, . . .}.

1.47. Niech T (d

e

) b

,

edzie topologi

,

a prostej euklidesowej (R, d

e

) i niech T = {U \

A : U ∈ T (d

e

), A − przeliczalny }.

(A) Pokazać, że T jest topologi

,

a w R i przestrzeń (R, T ) jest Hausdorffa.

Wskazówka. Skorzystać z Zadania 1.46.
(B) Pokazać, że jedynymi ci

,

agami zbieżnymi w (R, T ) s

,

a ci

,

agi prawie stałe, ale

żaden punkt w tej przestrzeni nie jest izolowany, zob. Zadania 1.25 i 1.6.

57

2. Zwartość.

2.1. ♠ Niech I(a, b) b

,

edzie odcinkiem domkni

,

etym na płaszczyźnie ł

,

acz

,

acym

punkty a, b. Które z nast

,

epuj

,

acych zbiorów na płaszczyźnie euklidesowej (R

2

, d

e

)

s

,

a zwarte:

a) X =

S

∞
n=1

I(a

0

, a

n

) ∪

S

∞
n=1

I(b

0

, b

n

), gdzie a

0

= (0, 1), a

n

= (

1

n

, 0), b

0

=

(0, −1) i b

n

= (−

1

n

, 0),

b) Y = X ∪ ({0} × R),

c) Z = X ∪ ({0} × [−1, 1])?

2.2. ♠ Dla A ⊂ (0, +∞), niech X(A) b

,

edzie sum

,

a odcinków domkni

,

etych na

płaszczyźnie euklidesowej (R

2

, d

e

) ł

,

acz

,

acych punkt (−1, 0) z punktami (a,

1
a

),

a ∈ A. Wykazać, że domkni

,

etość zbioru X(A) na płaszczyźnie jest równoważna

zwartości zbioru A i jest równoważna zwartości zbioru X(A).

2.3. ♠ (A) Wykazać, że w przestrzeni (R

2

, d

k

) opisanej w Zadaniu 1.1, zbiór K

jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkni

,

ety i leży w sumie przeliczalnie

wielu odcinków o długościach d

,

aż

,

acych do zera, z których każdy zawiera punkt

(0, 0).

(B) Wykazać, że w przestrzeni (R

2

, d

r

) opisanej w Zadaniu 1.2, zbiór K jest

zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domkni

,

ety i leży w pewnym zbiorze [a, b] ×

{0} ∪

S

∞
n=1

{s

n

} × [−t

n

, t

n

], gdzie s

n

∈ [a, b], oraz t

n

→ 0.

2.4. Niech A ⊂ R i T ⊂ [0, 1] b

,

ed

,

a zbiorami zwartymi na prostej euklidesowej.

Pokazać, że zbiór C = {ta + (1 − t)b : a, b ∈ A, t ∈ T } jest zwarty.

2.5. ♠ Niech O(a, b) b

,

edzie okr

,

egiem na płaszczyźnie, którego średnic

,

a jest odci-

nek o końcach a, b ∈ R×{0}. Dla A ⊂ R×{0} przyjmijmy O(A) = A∪

S

{O(a, b) :

a, b ∈ A, a 6= b}. Wykazać, że O(A) jest zbiorem zwartym na płaszczyźnie eukli-
desowej wtedy i tylko wtedy, gdy A jest zwarte.

2.6. ♠ Niech S(a, t) = {x ∈ R

n

: d

e

(a, x) = t} b

,

edzie sfer

,

a w przestrzeni eukli-

desowej (R

n

, d

e

) o środku w a i promieniu t. Dla A ⊂ R

n

i r : A → (0, +∞),

przyjmijmy S(A) =

S

{S(a, r(a)) : a ∈ A}. Wykazać, że jeśli A jest zbiorem

zwartym i r jest funkcj

,

a ci

,

agł

,

a, to S(A) jest zbiorem zwartym w (R

n

, d

e

).

2.7. Wykazać, że w przestrzeni Hilberta (l

2

, d

h

), oraz w przestrzeni funkcyjnej

(C[0, 1], σ) z metryk

,

a supremum, każda kula o promieniu r zawiera zbiór nieskoń-

czony, którego każde dwa punkty s

,

a odległe o

r
2

.

(B) Wykazać, że w przestrzeniach (l

2

, d

h

) i (C[0, 1], σ) zbiory zwarte maj

,

a puste

wn

,

etrze.

2.8. Niech (X, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a metryczn

,

a zwart

,

a. Wykazać, że każde prze-

kształcenie T : X → X zachowuj

,

ace odległość mi

,

edzy punktami przeprowadza

X na siebie.

Wskazówka. Założyć, że istnieje a 6∈ T (X) i rozpatrzyć ci

,

ag a, T (a), T

2

(a), . . ..

2.9. Niech (X, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a metryczn

,

a bez punktów izolowanych. Wy-

kazać równoważność nast

,

epuj

,

acych warunków:

(i) (X, d) jest przestrzeni

,

a zwart

,

a,

(ii) dla każdego pokrycia U przestrzeni X zbiorami otwartymi w (X, d) istnieje

δ > 0 takie, że każda kula B(a, δ) leży w pewnym elemencie U ,

(iii) każda funkcja ci

,

agła f : X → R jest jednostajnie ci

,

agła na (X, d),

(iv) odległość mi

,

edzy każd

,

a par

,

a rozł

,

acznych zbiorów domkni

,

etych A, B w

(X, d) jest dodatnia, tzn. inf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B} > 0.

58

2.10. Niech H b

,

edzie rodzin

,

a niepustych zbiorów domkni

,

etych w odcinku [0, 1]

z metryk

,

a euklidesow

,

a. Odległość mi

,

edzy A, B ∈ H określamy formuł

,

a

d

H

(A, B) = max{ sup{dist(x, A) : x ∈ B}, sup{dist(x, B) : x ∈ A}}.

(A) Sprawdzić, że d

H

jest metryk

,

a na H.

(B) Pokazać, że przestrzeń (H, d

H

) jest zwarta.

Wskazówka. Niech A

j

∈ H, j = 1, 2, . . . Dla każdego j oraz n, niech F (j, n)

b

,

edzie sum

,

a przedziałów [

k

2

n

,

k+1

2

n

] przecinaj

,

acych A

j

. Wybrać indukcyjnie zbiory

F

1

⊃ F

2

⊃ . . . tak, żeby F

n

= F (j, n) dla nieskończenie wielu j i pokazać, że

T

n

F

n

jest punktem skupienia ci

,

agu (A

j

)

∞
j=1

w (H, d

H

).

2.11. ♠ Niech f, g : X → R b

,

ed

,

a przekształceniami ci

,

agłymi zwartej prze-

strzeni topologicznej (X, T ) w prost

,

a euklidesow

,

a. Wykazać, że suma odcin-

ków domkni

,

etych I

x

w przestrzeni euklidesowej (R

3

, d

e

) o końcach w punktach

(cos(f (x)), sin(f (x)), 0) i (0, 0, g(x)), x ∈ X, jest zbiorem zwartym.

2.12. Niech f : X → [0, 1] b

,

edzie funkcj

,

a określon

,

a na przestrzeni zwartej (X, T ).

Wykazać, że zbiór E(f ) = {(x, t) ∈ X × [0, 1] : f (x) ¬ t ¬ 1} jest zwarty w
iloczynie kartezjańskim (X, T ) i odcinka euklidesowego wtedy i tylko wtedy, gdy
funkcja f jest półci

,

agła z dołu.

2.13. ♠ Niech (X × Y, T ) b

,

edzie iloczynem przestrzeni zwartej (X, T

X

) i prze-

strzeni topologicznej (Y, T

Y

). Wykazać, że rzut zbioru domkni

,

etego w iloczynie

X × Y na Y jest zbiorem domkni

,

etym w (Y, T

Y

) (twierdzenie Kuratowskiego).

2.14. ♠ Niech f

1

­ f

2

­ . . . ­ 0 b

,

edzie ci

,

agiem funkcji ci

,

agłych f

i

: X →

[0, +∞) na przestrzeni zwartej (X, T ), zbieżnym punktowo do zera, f

i

(x) → 0,

dla x ∈ X. Wykazać, że dla każdego ε > 0 istnieje k takie, że f

k

(x) < ε, dla

x ∈ X (twierdzenie Diniego).

Wskazówka. Zauważyć, że zbiory f

−1

i

((−∞, ε)), i = 1, 2, . . ., pokrywaj

,

a X.

2.15. ♠ Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a Hausdorffa.

(A) Wykazać, że suma skończenie wielu zbiorów zwartych w (X, T ) jest zbiorem

zwartym.

(B) Niech K

0

, K

1

, K

2

, . . . b

,

ed

,

a zbiorami zwartymi w (X, T ) takimi, że każdy

zbiór otwarty zawieraj

,

acy K

0

zawiera prawie wszystkie zbiory K

n

. Wykazać, że

suma

S

∞
i=0

K

i

jest zbiorem zwartym.

2.16. ♠ Niech f : X → Y b

,

edzie funkcj

,

a z przestrzeni zwartej (X, T

X

) w prze-

strzeń Hausdorffa (Y, T

Y

). Wykazać, że wykres W (f ) = {(x, f (x)) : x ∈ X} jest

zbiorem zwartym w iloczynie kartezjańskim (X, T

X

) i (Y, T

Y

) wtedy i tylko wtedy,

gdy funkcja f jest ci

,

agła.

2.17. Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a Hausdorffa, a A i B jej zwartymi pod-

zbiorami rozłącznymi. Wykazać, że istnieją rozłączne zbiory V i W otwarte w X
takie, że A ⊂ V i B ⊂ W .

Wskazówka. Dla jednopunktowego zbioru B zob. dowód 2.1.11. W ogólnym

przypadku powtórzyć rozumowanie z tego dowodu zastępując punkt a zbiorem
A.

2.18. Niech (X, <) b

,

edzie przestrzeni

,

a uporz

,

adkowan

,

a i niech T (<) b

,

edzie to-

pologi

,

a wyznaczon

,

a przez porz

,

adek <, zob. Przykład 1.2.7. Wykazać, że jeśli X

ma element najmniejszy i najwi

,

ekszy, oraz każdy niepusty podzbiór X ma kres

górny ze wzgl

,

edu na <, to (X, T (<)) jest przestrzeni

,

a zwart

,

a.

Wskazówka. Niech X(a) = {x ∈ X : x ¬ a}. Dla pokrycia U ⊂ T (<) prze-

strzeni X rozpatrzyć c = sup {a ∈ X : X(a) można pokryć skończenie wieloma
elementami U }.

59

2.19. Niech X b

,

edzie dowolnym zbiorem, a ∈ X i niech T

X

b

,

edzie rodzin

,

a zbio-

rów U ⊂ X takich, że X \ U jest zbiorem skończonym, lub a 6∈ U .

(A) Wykazać, że przestrzeń (X, T

X

) jest zwarta.

(B) Wykazać, że jeśli f : X → Y jest przekształceniem ci

,

agłym przestrzeni

(X, T

X

) na przestrzeń Hausdorffa (Y, T

Y

), to istnieje ci

,

agłe przekształcenie g :

Y → X takie, że f ◦ g(y) = y dla y ∈ Y .

2.20. Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a zwart

,

a, niech U ⊂ X b

,

edzie zbiorem

otwartym i f : U → [0, 1] funkcj

,

a ci

,

agł

,

a. Pokazać, że zbiór {(x, t) : x ∈ U i t ¬

f (x)} ∪ (X \ U ) × [0, 1] jest zwarty w iloczynie kartezjańskim przestrzeni (X, T )
i odcinka euklidesowego.

2.21. (A) Niech X = [0, 1)∪{a

0

, a

1

}, gdzie a

0

6= a

1

s

,

a punktami spoza przedziału

[0, 1) ⊂ R i niech B b

,

edzie rodzin

,

a zbiorów postaci (s, t) ∩ [0, 1) lub (t, 1) ∪

{a

i

}, s < t < 1, i = 0, 1. Sprawdzić, że B jest baz

,

a generuj

,

ac

,

a pewn

,

a topologi

,

e T

w X, z każdego otwartego pokrycia przestrzeni (X, T ) można wybrać pokrycie
skończone, ale przestrzeń (X, T ) nie jest Hausdorffa.

(B) Określić topologie T

1

, T

2

w X takie, że przestrzenie (X, T

i

) s

,

a zwarte i

metryzowalne, oraz T = T

1

∩ T

2

jest topologi

,

a określon

,

a w (A).

2.22. Niech C b

,

edzie zbiorem Cantora na prostej euklidesowej R i niech F ⊂ C

b

,

edzie zbiorem domkni

,

etym, a = inf F , b = sup F .

(A) Pokazać, że istniej

,

a parami rozł

,

aczne nietrywialne przedziały [a

i

, b

i

] ⊂

(a, b) takie, że F = [a, b] \

S

i

(a

i

, b

i

).

Wskazówka. Dla x ∈ [a, b] \ F , przyj

,

ać a

x

= inf{r < x : [r, x] ∩ F = ∅},

b

x

= sup{r > x : [x, r] ∩ F = ∅} i pokazać, że przedziały [a

x

, b

x

], [a

y

, b

y

] s

,

a albo

identyczne, albo rozł

,

aczne.

(B) Pokazać, że istnieje ci

,

agłe przekształcenie r : C → F takie, że r(x) = x

dla x ∈ F .

Wskazówka. Niech [a

i

, b

i

] b

,

ed

,

a przedziałami z (A), wybrać c

i

∈ [a

i

, b

i

] \ C i dla

x ∈ [a

i

, b

i

] ∩ C przyj

,

ać r(x) = a

i

, jeśli x < c

i

, oraz r(x) = b

i

, jeśli x > c

i

.

2.23. Pokazać, że jeśli K jest zwartym podzbiorem prostej euklidesowej takim,
że dla każdego przedziału otwartego (a, b), (a, b) \ K 6= ∅ i przeci

,

ecie (a, b) ∩ K

jest albo puste, albo nieskończone, to zbiór K jest homeomorficzny ze zbiorem
Cantora.

2.24. Niech (I

N

, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a ci

,

agów liczb z przedziału [0, 1] z metryk

,

a

d(s, t) =

P

∞
i=1

2

−i

|t

i

− s

i

|, t = (t

1

, t

2

, . . .), s = (s

1

, s

2

, . . .) ∈ I

N

, zob. formuł

,

e 2.3

(9).

(A) Pokazać, że istnieje ci

,

agłe przekształcenie zbioru Cantora na I

N

.

Wskazówka. Ustalić bijekcj

,

e ϕ : N×N → N i przyj

,

ać f (s

1

, s

2

, . . .) = (u

1

, u

2

, . . .),

gdzie (s

1

, s

2

, . . .) ∈ {0, 1}

N

, u

i

=

P

∞
j=1

2

−j

s

ϕ(i,j)

.

(B) Pokazać, że dla każdego zbioru domkni

,

etego X w I

N

, istnieje ci

,

agłe prze-

kształcenie zbioru Cantora na X.

Wskazówka. Skorzystać z (A) i Zadania 2.22 (B).

2.25. Niech (X, d) b

,

edzie zwart

,

a przestrzeni

,

a metryczn

,

a.

(A) Pokazać, że przestrzeń (X, T (d)) jest ośrodkowa.
Wskazówka. Dla n = 1, 2, . . ., niech X =

S

{B(a

ni

,

1

n

) : i = 1, . . . , i

n

}. Wówczas

{a

ni

: n = 1, 2, . . . , i ¬ i

n

} jest zbiorem g

,

estym w X.

(B) Pokazać, że przestrzeń (X, T (d)) zanurza si

,

e w przestrzeń (I

N

, d) opisan

,

a

w Zadaniu 2.24.

60

Wskazówka. Niech {a

1

, a

2

, . . .} b

,

edzie zbiorem g

,

estym w X. Przyj

,

ać, że diamX

¬ 1 i sprawdzić, że f (x) = (d(x, a

1

), d(x, a

2

), . . .) jest zanurzeniem w I

N

.

(C) Pokazać, że istnieje ci

,

agłe przekształcenie zbioru Cantora na X.

Wskazówka. Skorzystać z (B) i Zadania 2.24 (B).

2.26. Niech (X, d) b

,

edzie zwartą przestrzeni

,

a metryczną. Wykazać, że rodzina

wszystkich podzbiorów X, które s

,

a jednocześnie otwarte i domknięte w X jest

przeliczalna.

Wskazówka. Skorzystać z Zadania 2.25 (A) i z Przykładu 1.2.6.

2.27. (A) Wykazać, że dla każdej zwartej przestrzeni metrycznej (X, d), prze-
strzeń funkcji ciągłych (C(X), d

sup

) zanurza się izometrycznie w przestrzeń funk-

cji ciągłych na zbiorze Cantora z metryką supremum.

Wskazówka. Skorzystać z Zadania 2.25 (C).
(B) Wykazać, że dla zwartej przestrzeni metrycznej (X, d), przestrzeń funkcji

ciągłych (C(X), d

sup

) jest ośrodkowa.

Wskazówka. Podać najpierw uzasadnienie w przypadku gdy X jest zbiorem

Cantora, a następnie skorzystać z (A).

61

3. Zupełność.

3.1. ♠ Wykazać, że przestrzenie metryczne opisane z Zadaniach 1.1 i 1.2 s

,

a

zupełne.

3.2. Pokazać, że przestrzeń metryczna opisana w Przykładzie 1.1.7 (A) jest zu-
pełna, a przestrzenie metryczne opisane w 1.1.7 (B) nie s

,

a zupełne.

3.3. Pokazać, że przestrzeń metryczna opisana w Zadaniu 1.9 jest zupełna, a
przestrzenie metryczne opisane w Zadaniach 1.8 i 1.10 nie s

,

a zupełne.

3.4. Niech (X, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a metryczn

,

a. Dla A ⊂ X, niech (A, d) b

,

edzie

przestrzeni

,

a A z metryk

,

a d obci

,

et

,

a do A. Wykazać, że jeśli Y

i

⊂ X, diamY

i

→ 0,

Y

i

∩ Y

0

6= ∅, i = 1, 2, . . ., oraz przestrzenie (Y

i

, d), i = 0, 1, 2, . . . s

,

a zupełne, to

przestrzeń (

S

∞
i=0

Y

i

, d) też jest zupełna.

3.5. ♠ Wykazać, że każda przeliczalna, zupełna przestrzeń metryczna ma punkt
izolowany (zob. Zadanie 1.6).

3.6. Wykazać, że jeśli domkni

,

ecie zbioru A w przestrzeni metrycznej zupełnej

(X, d) jest przeliczalne, to A \ A

d

6= ∅ (zob. Zadanie 1.23).

3.7. ♠ Wykazać, że zbiór liczb niewymiernych nie jest sum

,

a przeliczalnie wielu

zbiorów domkni

,

etych na prostej euklidesowej.

3.8. Niech (X, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a metryczn

,

a zupełn

,

a, f : Y → R przekształ-

ceniem ci

,

agłym określonym na podprzestrzeni Y ⊂ X i d

f

(x, y) =

d(x, y)+

|f (x) − f (y)|. Pokazać, że przestrzeń metryczna (Y, d

f

) jest zupełna wtedy i tylko

wtedy, gdy wykres f jest domkni

,

ety w iloczynie kartezjańskim X × R przestrzeni

X i prostej euklidesowej.

3.9. ♠ Mówimy, że przestrzeń topologiczna (X, T ) jest metryzowalna w sposób
zupełny, jeśli istnieje metryka d generuj

,

aca topologi

,

e T taka, że przestrzeń me-

tryczna (X, d) jest zupełna.

(A) Wykazać, że przestrzeń liczb wymiernych z topologi

,

a euklidesow

,

a nie jest

metryzowalna w sposób zupełny.

(B) Wykazać, że jeśli przestrzeń (X, T ) jest metryzowalna w sposób zupełny

i A jest zbiorem otwartym lub domkni

,

etym w (X, T ), to podprzestrzeń (A, T

A

)

przestrzeni (X, T ) jest metryzowalna w sposób zupełny.

Wskazówka. Zob. Zadanie 1.40.
(C) Które z nast

,

epuj

,

acych podprzestrzeni płaszczyzny euklidesowej s

,

a metry-

zowalne w sposób zupełny?

a) X

1

= Q × R, gdzie Q oznacza zbiór liczb wymiernych,

b) X

2

= Q × (R \ Q),

c) X

3

=

S

∞
n=1

({1/n} × [0, 1/n]),

d) X

4

= {(x

1

, x

2

) ∈ R

2

: y 6= 0},

e) X

5

= {(x

1

, x

2

) ∈ R

2

: 0 < x

2

+ y

2

< 1},

f) X

6

= {(x

1

, x

2

) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

∈ Q}.

(D) Niech U

1

⊃ U

2

⊃ . . . b

,

ed

,

a zbiorami otwartymi w przestrzeni metryzowalnej

w sposób zupełny (X, T ). Wykazać, że dla G =

T

∞
n=1

U

n

podprzestrzeń (G, T

G

)

przestrzeni (X, T ) jest metryzowalna w sposób zupełny.

Wskazówka. Dla każdego n ustalić, korzystaj

,

ac z (B), metryk

,

e zupełn

,

a d

n

na

U

n

generuj

,

ac

,

a topologi

,

e w U

n

i rozpatrzyć na G metryk

,

e

d

G

(x, y) =

P

∞
n=1

2

−n

min(1, d

n

(x, y)).

62

3.10. ♠ Niech A ⊂ R

n

b

,

edzie zbiorem przeliczalnym w przestrzeni euklideso-

wej (R

n

, d

e

) i niech F

n

⊂ R b

,

ed

,

a zbiorami domkni

,

etymi, brzegowymi na prostej

euklidesowej. Wykazać, że istnieje punkt c ∈ R

n

taki, że dla każdego a ∈ A,

d

e

(c, a) 6∈

S

∞
n=1

F

n

.

3.11. ♠ Niech F ⊂ R b

,

edzie zbiorem domkni

,

etym, brzegowym na prostej eukli-

desowej. Pokazać, że istnieje punkt (a, b) na okr

,

egu {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

= 1}

taki, że dla każdej liczby wymiernej q i c ∈ F , b 6= qa + c.

3.12. (A) Niech K b

,

edzie podzbiorem domkni

,

etym o pustym wn

,

etrzu na prostej

euklidesowej. Wykazać, że istnieje liczba t ∈ R taka, że zbiór {t + x : x ∈ K} jest
zawarty w zbiorze liczb niewymiernych.

(B) Niech {F

1

, F

2

, . . .} będą zbiorami domkniętymi o pustym wnętrzu na pro-

stej euklidesowej R i niech zbiór A ⊂ R będzie przeliczalny. Wykazać, że istnieje
liczba t ∈ R taka, że zbiór

S

i

F

i

jest rozłączny ze zbiorem {t + a : a ∈ A}

3.13. Niech F b

,

edzie zbiorem domkni

,

etym o pustym wn

,

etrzu na płaszczyźnie

euklidesowej (R

2

, d

e

). Wykazać, że istniej

,

a zbiory g

,

este A, B na prostej euklide-

sowej takie, że (A × B) ∩ F = ∅.

Wskazówka. Dla każdej pary liczb wymiernych a < b wykazać, że zbiór K(a, b)

= {x ∈ R : {x} × [a, b] ⊂ F } jest domkni

,

ety, brzegowy i wybrać przeliczalny

zbiór A g

,

esty w R, rozł

,

aczny z każdym takim zbiorem K(a, b). Nast

,

epnie wybrać

przeliczalny zbiór B g

,

esty w R, rozł

,

aczny z każdym zbiorem {y ∈ R : (a, y) ∈ F },

gdzie a ∈ A.

3.14. Niech f

n

: X → R b

,

edzie ci

,

agiem funkcji ci

,

agłych określonych na zupełnej

przestrzeni metrycznej (X, d) zbieżnym punktowo do f : X → R, tzn. f

n

(x) →

f (x) dla x ∈ X.

(A) Wykazać, że dla a < b zbiór f

−1

((a, b)) \ Intf

−1

((a, b)) jest sum

,

a przeli-

czalnie wielu domkni

,

etych zbiorów brzegowych.

Wskazówka. Sprawdzić, że f

−1

((a, b)) =

S

n,m

T

k­m

f

−1

k

([a +

1

n

, b −

1

n

]), a wi

,

ec

f

−1

((a, b))jest przeliczaln

,

a sum

,

a zbiorów domkni

,

etych.

(B) Wykazać, że zbiór punktów ci

,

agłości funkcji f jest g

,

esty w przestrzeni

(X, d) (twierdzenie Baire’a).

Wskazówka. Wyrzucić z X, dla wszystkich par liczb wymiernych a < b, zbiory

brzegowe opisane w (A).

3.15. Niech f : R

2

→ R b

,

edzie funkcj

,

a ci

,

agł

,

a ze wzgl

,

edu na każd

,

a zmienn

,

a

osobno. Wykazać, że istnieje a ∈ R takie, że dla każdego b ∈ R funkcja f jest
ci

,

agła w punkcie (a, b) ze wzgl

,

edu na obie zmienne jednocześnie (twierdzenie

Baire’a).

Wskazówka. Ustawić w ci

,

ag I

1

, I

2

, . . . przedziały otwarte w R o końcach wy-

miernych i zauważyć, że zbiory E(i, j) = {x ∈ R :

|f (x, u) − f (x, w)| ¬

1
j

, dla u, w ∈ I

i

} s

,

a domkni

,

ete, oraz

S

i

E(i, j) × I

i

= R

2

, dla j = 1, 2, . . . .

Pokazać, że każdy punkt a ∈ R

2

\

S

i,j

(E(i, j) \ IntE(i, j)) ma ż

,

adane własności.

3.16. Niech (R

2

, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a topologiczn

,

a określon

,

a w Zadaniu 1.12.

Wykazać, że domkni

,

ecie U dowolnego niepustego zbioru U ∈ T zawiera pewn

,

a

kul

,

e euklidesow

,

a.

3.17. W przestrzeni Hilberta (l

2

, d

h

), niech A

n

= {(x

1

, x

2

, . . .) : |x

k

+ x

k+1

+

. . . + x

k+l

| ¬ 1 dla k ­ n, l = 1, 2, . . . }. Pokazać, że zbiory A

n

s

,

a domkni

,

ete

i brzegowe w przestrzeni Hilberta i wykazać, że dla każdego ci

,

agu U

n

zbiorów

otwartych, g

,

estych w przestrzeni Hilberta istnieje punkt (x

1

, x

2

, . . .) ∈

T

n

U

n

taki, że szereg x

1

+ x

2

+ . . . jest rozbieżny.

63

3.18. Wykazać, że zbiór funkcji ci

,

agłych f : [0, 1] → R, które nie s

,

a monotoniczne

na żadnym nietrywialnym przedziale jest g

,

esty w przestrzeni funkcji ci

,

agłych

(C[0, 1], d

sup

).

Wskazówka. Ustawić wszystkie nietrywialne przedziały w R o końcach wymier-

nych w ci

,

ag I

1

, I

2

, . . . i wykazać, że zbiór M

n

funkcji ci

,

agłych na [0, 1], które s

,

a

albo niemalej

,

ace, albo nierosn

,

ace na I

n

, jest domkni

,

ety i ma puste wn

,

etrze w

przestrzeni (C[0, 1], d

sup

).

3.19. ♠ Wykazać, że przekształcenie T : R → R prostej euklidesowej w siebie
określone formuł

,

a T (x) = ln(1 + e

x

) spełnia warunek |T (x) − T (y)| < |x − y|, dla

x 6= y, ale nie ma punktu stałego.

3.20. Niech T : X → X będzie przekształceniem zwężającym przestrzeni me-
trycznej (X, d) i niech A

n

= {x ∈ X : d(x, T (x)) ¬ 1/n}, dla n ­ 1.

(A) Wykazać, ze zbiory A

n

są niepuste i ich średnice dążą do zera.

Wskazówka. Pokazać najpierw, że inf{d(x, T (x)) : x ∈ X} = 0.
(B) Wykazać, ze jeśli przestrzeń (X, d) jest zupełna i y

n

∈ A

n

, to ciąg (y

n

)

∞
n=1

zbiega do punktu stałego przekształcenia T .

Wskazówka. Skorzystać z (A).

3.21. ♠ Niech (X, d) b

,

edzie zupełn

,

a przestrzeni

,

a metryczn

,

a i niech T : B(x

0

, r)

→ B(x

0

, r) spełnia warunek d(T (x), T (y)) <

1
2

d(x, y), dla x, y ∈ B(x

0

, r). Poka-

zać, że jeśli d(T (x

0

), x

0

) <

r
2

, to istnieje u ∈ B(x

0

, r) takie, że T (u) = u.

Wskazówka. Wykazać, że dla s = 2d(T (x

0

), x

0

), T ( B(x

0

, s) ) ⊂ B(x

0

, s).

3.22. ♠ Niech (X, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a zupełn

,

a i niech T : X → X b

,

edzie

przekształceniem rozszerzaj

,

acym, tzn. dla pewnego e > 1, d(T (x), T (y)) ­ e ·

d(x, y). Wykazać, że jeśli T (X) = X, to T ma dokładnie jeden punkt stały.

3.23. Wykazać, że jeśli w układzie równań

x

i

=

n

X

k=1

sin(c

ik

x

k

) + b

i

,

i = 1, . . . , n

stałe c

ik

spełniaj

,

a warunek

P

i,k

c

2
ik

< 1, to układ ten ma dokładnie jedno rozwi

,

a-

zanie.

Wskazówka. Niech T : R

n

→ R

n

b

,

edzie określone formuł

,

a T (x

1

, . . . , x

n

) =

(y

1

, . . . , y

n

), y

i

=

P

n
k=1

sin(c

ik

x

k

) + b

i

. Sprawdzić, że przekształcenie T prze-

strzeni euklidesowej w siebie spełnia założenia twierdzenia Banacha o odwzo-
rowaniu zw

,

eżaj

,

acym.

3.24. Niech (C[0, 1], d

sup

) b

,

edzie przestrzeni

,

a funkcji ci

,

agłych z metryk

,

a supre-

mum, niech M = {f ∈ C[0, 1] : 0 = f (0) ¬ f (t) ¬ f (1) = 1, dla t ∈ [0, 1]}.
Pokazać, że przestrzeń (M, d

sup

), z metryk

,

a d

sup

obci

,

et

,

a do M , jest zupełna, oraz

przekształcenie T : M → M określone formuł

,

a T (f )(t) = t · f (t) spełnia warunek

d

sup

(T (f ), T (g)) < d

sup

(f, g), ale T nie ma punktów stałych.

3.25. Niech K b

,

edzie domkni

,

etym, wypukłym i ograniczonym zbiorem w prze-

strzeni (C[0, 1], d

sup

) zawieraj

,

acym funkcj

,

e tożsamościowo równ

,

a zeru. Wyka-

zać, że jeśli T : K → K spełnia warunek d

sup

(T (f ), T (g)) < d

sup

(f, g) dla

f, g ∈ C[0, 1], to inf{d

sup

(f, T (f )) : f ∈ K} = 0.

Wskazówka. Zauważyć, że dla c ∈ (0, 1) przekształcenie T

c

: K → K określone

formuł

,

a T

c

(f ) = c T (f ) jest zw

,

eżaj

,

ace i punkt stały f

c

dla T

c

spełnia warunek

d

sup

(f

c

, T (f

c

)) ¬ (1 − c)diamK.

64

3.26. Niech (H, d

H

) b

,

edzie przestrzeni

,

a niepustych domkni

,

etych podzbiorów od-

cinka [0, 1] z metryk

,

a euklidesow

,

a, określon

,

a w Zadaniu 2.10. Niech f (x) =

1
3

x,

g(x) =

1
3

x +

2
3

i niech T : H → H b

,

edzie określone formuł

,

a T (A) = f (A) ∪ g(A).

(A) Wykazać, że d

H

(T (A), T (B)) ¬

1
3

d

H

(A, B), dla A, B ∈ H.

(B) Wykazać, że punkt stały C przekształcenia T jest zbiorem Cantora złożo-

nym z liczb postaci

P

∞
n=1

u

n

3

n

, gdzie u

n

∈ {0, 2}.

3.27. Niech (X, d) b

,

edzie zupełn

,

a przestrzeni

,

a metryczn

,

a. Wykazać, że jeśli A

1

⊃

A

2

⊃ . . . s

,

a niepustymi zbiorami domkni

,

etymi i A

n

jest sum

,

a skończenie wielu

zbiorów o średnicach ¬

1

n

, to przeci

,

ecie

T

∞
n=1

A

n

jest niepuste i zwarte.

Wskazówka. Dowodz

,

ac, że

T

∞
n=1

A

n

6= ∅, określić ci

,

ag zbiorów domkni

,

etych

F

1

⊃ F

2

⊃ . . . taki, że F

n

⊂ A

n

, diamF

n

¬

1

n

i F

n

przecina każdy zbiór A

i

,

i = 1, 2, . . .

3.28. (A) Wykazać, że kostka Hilberta H = {(x

1

, x

2

, . . .) ∈ l

2

: x

j

∈ [−

1

i

,

1

i

]} jest

zbiorem zwartym w przestrzeni Hilberta (l

2

, d

h

).

(B) Wykazać, że kostka Hilberta H jest homeomorficzna z przestrzeni

,

a I

N

opisan

,

a w Zadaniu 2.24.

3.29. Niech f : A → Y b

,

edzie funkcj

,

a jednostajnie ci

,

agł

,

a, określon

,

a na podzbio-

rze A przestrzeni metrycznej (X, d

X

) i przyjmuj

,

ac

,

a wartości w zupełnej prze-

strzeni metrycznej (Y, d

Y

). Wykazać, że funkcj

,

e f można przedłużyć do funkcji

jednostajnie ci

,

agłej f : A → Y na domkni

,

ecie zbioru A.

3.30. Niech U ⊂ R b

,

edzie zbiorem otwartym i ograniczonym na prostej eu-

klidesowej. Wykazać, że zbiór F funkcji różniczkowalnych f : U → [−1, 1] ta-
kich, że |f

0

(t)| ¬ 1 dla f ∈ U , ma domkni

,

ecie zwarte w przestrzeni funkcyjnej

(C

b

(U, R), d

sup

) z metryk

,

a supremum.

Wskazówka. W przestrzeni (C(U , R), d

sup

) rozpatrzyć zbiór przedłużeń funkcji

f ∈ F na domkni

,

ecie zbioru U (zob. Zadanie 3.29).

3.31. Niech X ⊂ R

n

b

,

edzie zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej i niech

(Γ(X), d

sup

) b

,

edzie przestrzeni

,

a przekształceń T : X → X zachowuj

,

acych odle-

głość mi

,

edzy punktami, z metryk

,

a supremum. Pokazać, że przestrzeń (Γ(X), d

sup

)

jest zwarta.

3.32. (A) Pokazać, że jeśli w przestrzeni metrycznej (C

b

(X, R), d

sup

), zbiór F jest

całkowicie ograniczony, to rodzina funkcji F jest jednakowo ci

,

agła.

Wskazówka. Zauważyć, że jeśli diamf (V ) ¬ ε, to dla każdego g ∈ B(f, ε),

diamg(V ) ¬ 2ε.

(B) Pokazać, że warunek sformułowany w Twierdzeniu Ascoliego - Arzeli jest

warunkiem koniecznym do zwartości domkni

,

ecia rodziny F .

65

4. Spójność.

4.1. ♠ Niech (X, d) b

,

edzie przestrzeni

,

a metryczn

,

a i niech, dla A ⊂ X, d

A

b

,

edzie

funkcj

,

a określon

,

a formuł

,

a (1) z cz

,

eści 1.6.

(A) Wykazać, że jeśli A, B ⊂ X i A ∩ B = ∅ = A ∩ B, to zbiór otwarty

U = {x : d

A

(x) < d

B

(x)} zawiera A i

U ∩ B = ∅.

(B) Wykazać, że zbiór S ⊂ X jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego

zbioru otwartego U ⊂ X, jeśli S przecina U i X \ U , to S przecina też brzeg
bdU = U \ U zbioru U .

4.2. ♠ Niech f : R → R i g : R → R b

,

ed

,

a funkcjami prostej euklidesowej

w siebie, spełniaj

,

acymi nierówność f (x) ¬ g(x) dla wszystkich x ∈ R i niech

S = {(x, y) ∈ R

2

: f (x) ¬ y ¬ g(x)}. Wykazać, że jeśli f jest funkcj

,

a ci

,

agł

,

a, to

zbiór S jest spójny na płaszczyźnie euklidesowej.

4.3. ♠ Niech

A

n

= {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

= (

1

n

)

2

, x ¬ 0 lub y ¬ 0}∪

∪{(x, y) ∈ R

2

: x =

1

n

oraz 0 ¬ y ¬ 1}.

Wykazać, że X = A

1

∪A

2

∪. . . jest spójnym podzbiorem płaszczyzny euklidesowej.

4.4. Podać przykład domkniętego, spójnego zbioru w R

3

, który jest sumą przeli-

czalnie wielu parami rozłącznych niepustych zbiorów domkniętych (taki zbiór nie
może być jednocześnie ograniczony, zob. Zadanie 4.27).

Wskazówka. Niech f

n

: [0, 1] → R będzie funkcją określoną następująco: jeśli

x należy do [

1

m+1

,

1

m

] i m ¬ n, to f

n

(x) = n(x −

1

m+1

)(

1

m

− x), dla pozostałych

x, f

n

(x) = 0. Zdefiniować A

n

= {(x, y, 0) : x

2

+ y

2

= 1/n

2

, x ¬ 0 lub y ¬ 0} ∪

({(0, 1/n)}×R)∪({(1/n, y, f

n

(y)) : 0 ¬ y ¬ 1}) i rozpatrzyć X = ({(0, 0)}× R)∪

S

n

A

n

.

4.5. Wykazać, że w przestrzeni zwartej (X, T ), zstępujący ciąg domknietych zbio-
rów spójnych ma spójne przecięcie. Pokazać, że założenie zwartości jest istotne.

Wskazówka. Założyć, że przecięcie C ma rozkład C = A ∪ B, gdzie A, B są

domknięte, rozłączne i skorzystać z Zadania 2.17. W drugiej części rozpatrzyć
X = [0, 1] × [0, 1] \ {(1/2, 0)}.

4.6. Wykazać, że zwarta przestrzeń metryczna (X, d) jest spójna wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdej pary punktów a, b ∈ X i ε > 0 istniej

,

a punkty a

1

, . . . a

n

∈ X

takie, że a

1

= a, a

n

= b i d(a

i

, a

i+1

) < ε dla i = 1, 2, . . . n − 1.

4.7. Niech (X, T

X

) i (Y, T

Y

) b

,

ed

,

a spójnymi przestrzeniami topologicznymi, niech

A ⊂ X i niech f : X \ A → Y (funkcja f nie musi być ci

,

agła). Wykazać, że

jeśli A = X, to S = A × Y ∪ {(b, f (b)) : b ∈ (X \ A)} jest spójnym podzbiorem
iloczynu kartezjańskiego X × Y .

4.8. Niech (X, T

X

) b

,

edzie przestrzeni

,

a spójn

,

a, (Y, T

Y

) - zwart

,

a przestrzeni

,

a spójn

,

a

i f : U → Y ci

,

agłym przekształceniem określonym na otwartej podprzestrzeni

przestrzeni X. Pokazać, że S = (X \ U ) × Y ∪ {(u, f (u)) : u ∈ U } jest spój-
nym podzbiorem iloczynu kartezjańskiego X × Y . Pokazać, że zarówno założenie
zwartości Y , jak i ci

,

agłości f jest istotne.

Wskazówka. Sprawdzić, że S jest zbiorem domkni

,

etym w X × Y i dowodz

,

ac

spójności S skorzystać z Zadania 2.13.

4.9. Wykazać, że w spójnej przestrzeni metryzowalnej, maj

,

acej co najmniej dwa

punkty, każda kula jest nieprzeliczalna.

66

4.10. Niech (X × Y, T ) b

,

edzie iloczynem kartezjańskim spójnych przestrzeni me-

tryzowalnych, z których każda ma co najmniej dwa punkty. Wykazać, że dopeł-
nienie (X × Y ) \ A dowolnego zbioru przeliczalnego jest spójne.

Wskazówka. Skorzystać z Zadania 4.9.

4.11. ♠ Funkcja f : R → R ma własność Darboux, jeśli dla każdej pary punktów
s < t i liczby r leż

,

acej mi

,

edzy f (s) i f (t) istnieje u ∈ [s, t] takie, że f (u) = r.

Wykazać, że jeśli wykres {(x, f (x)) : x ∈ R} funkcji f : R → R jest spójnym
podzbiorem płaszczyzny, to f ma własność Darboux.

4.12. (A) Niech f : R → R b

,

edzie funkcj

,

a z własności

,

a Darboux (zob. Zadanie

4.11). Wykazać, że jeśli dla każdego zbioru domkni

,

etego F ⊂ R obci

,

ecie f | F :

F → R jest ci

,

agłe w pewnym punkcie, to wykres funkcji f jest spójny.

(B) Wykazać, że wykres pochodnej f

0

funkcji różniczkowalnej f : R → R jest

spójny.

Wskazówka. Skorzystać z faktu, że pochodna f

0

ma własność Darboux, f

0

(t) =

lim

n

f (t+

1

n

)−f (t)

1

n

, oraz z Zadania 3.14 (B).

4.13. Ustawić wszystkie nietrywialne przedziały otwarte o końcach wymiernych
na prostej R w ci

,

ag J

1

, J

2

, . . ., wybrać indukcyjnie zbiory Cantora C

n

⊂ J

n

\

(C

1

∪ . . . ∪ C

n−1

) i określić f : R → R tak, żeby f (t) 6= t dla każdego t ∈ R, oraz

f (C

n

) = R. Pokazać, że f ma własność Darboux, ale nie ma spójnego wykresu.

4.14. Niech a

n

= (

1

n

, 0), n = 1, 2, . . ., b

nm

= (

1

n+1

,

1

nm

), n, m = 1, 2, . . . i niech

X = [0, 1] × {0} ∪

S

{I(a

n

, b

nm

) : n, m = 1, 2, . . .},

gdzie I(a, b) jest odcinkiem o końcach a, b na płaszczyźnie.

(A) Wykazać, że jeśli U ⊂ X jest zbiorem spójnym, otwartym w podprzestrzeni

X płaszczyzny i (0, 0) ∈ U , to (1, 0) ∈ U .

(B) Wykazać, że dla każdego otoczenia V punktu (0, 0) w przestrzeni X istnieje

spójne otoczenie tego punktu w X zawarte w V .

4.15. ♠ Znaleźć maksymaln

,

a liczb

,

e parami niehomeomorficznych przestrzeni

spójnych, z których każda jest podzbiorem płaszczyzny euklidesowej, b

,

ed

,

acym

sum

,

a nie wi

,

ecej niż trzech domkni

,

etych odcinków euklidesowych.

4.16. Dla każdej liczby całkowitej j, niech S

j

b

,

edzie okr

,

egiem na płaszczyźnie o

środku w punkcie (j,

1
3

) i promieniu

1
3

, oraz I

j

= {j} × [0, 1). Niech

X = R × {0} ∪

[

j<0

S

j

∪

[

j­0

I

j

,

Y = R × {0} ∪

[

j<0

S

j

∪ I

o

∪ S

1

∪

[

j>1

I

j

,

b

,

ed

,

a podprzestrzeniami płaszczyzny euklidesowej. Wykazać, że istnieje ci

,

agłe i

róznowartościowe przekształcenie X na Y , istnieje ci

,

agłe i różnowartościowe prze-

kształcenie Y na X, ale przestrzenie X i Y nie s

,

a homeomorficzne.

4.17. ♠ Niech f, g, h : X → R b

,

ed

,

a ci

,

agłymi przekształceniami przestrzeni spój-

nej (X, T ) w prost

,

a rzeczywist

,

a i S

x

= {(s, t) ∈ R

2

: (s − f (x))

2

+ (t − g(x))

2

=

h(x)

2

}. Wykazać, że S =

S

x∈X

S

x

jest spójnym podzbiorem płaszczyzny.

4.18. ♠ Pokazać, że zbiór

X =

S

∞
n=1

({1/n} × [0, 1]) ∪

S

∞
n=1

([−1, 0] × {1/n}) ∪

S

∞
n=1

({−1/n} × [−1, 0]) ∪

S

∞
n=1

([0, 1] × {−1/n})

jest spójny, ale nie jest łukowo spójny.

67

4.19. ♠ Wykazać, że przestrzeń X = R

2

\ A powstała z usuni

,

ecia z płaszczyzny

euklidesowej zbioru przeliczalnego A jest łukowo spójna.

4.20. Niech A i B będą podzbiorami przedziału [0, 1] i niech X będzie podprze-
strzenią płaszczyzny euklidesowej otrzymaną jako suma odcinków domkniętych
łączących punkt (0, 1) z punktami zbioru A × {0}, oraz odcinków domkniętych
łączących punkt (0, −1) z punktami zbioru B × {0}.

(A) Pokazać, że X jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy A∩B 6= ∅ lub A∩B 6= ∅.
(B) Pokazać, że X jest łukowo spójny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją a ∈ A,

b ∈ B takie, że przedział o końcach a, b zawiera się w A ∪ B.

4.21. Niech I = [0, 1], a

n

∈ I, n = 1, 2, . . . i niech X b

,

edzie zbiorem na płasz-

czyźnie euklidesowej opisanym formuł

,

a

X = I × {0} ∪

∞

[

n=1

I × {

1

n

} ∪

∞

[

n=1

{a

n

} × [

1

n + 1

,

1

n

].

(A) Wykazać, że zbiór X jest spójny.
(B) Wykazać, że zbiór X jest łukowo spójny wtedy i tylko wtedy, gdy ci

,

ag

(a

n

)

n∈N

jest zbieżny.

4.22. Niech X = {(x

i

) ∈ l

2

: 0 ¬ x

i

¬

1

i

i dla co najwyżej jednej współrz

,

ednej

i, x

i

∈ (0,

1

i

)}. Czy zbiór X w przestrzeni Hilberta (l

2

, d

h

) jest

(A) zwarty,
(B) spójny,
(C) łukowo spójny?

4.23. ♠ Niech S będzie podzbiorem iloczynu kartezjańskiego X × Y przestrzeni
topologicznych X i Y .

(A) Wykazać, że S jest składową X × Y wtedy i tylko wtedy, gdy S jest

iloczynem kartezjańskim składowych w przestrzeniach X i Y .

(B) Wykazać, że S jest składową łukowej spójności X × Y wtedy i tylko wtedy,

gdy S jest iloczynem kartezjańskim składowych łukowej spójności w przestrze-
niach X i Y .

4.24. Niech (X, T ) b

,

edzie przestrzeni

,

a zwart

,

a, a ∈ X i niech C b

,

edzie przeci

,

e-

ciem wszystkich zbiorów zawieraj

,

acych a, które s

,

a jednocześnie otwarte i do-

mkni

,

ete w X. Wykazać, że C jest składową przestrzeni X.

Wskazówka. Założyć, że C = A ∪ B, gdzie A, B są domknięte, rozłączne i

niepuste, a ∈ A. Znaleźć rozłączne zbiory V i W otwarte w X, takie że A ⊂ V
i B ⊂ W , zob. Zadanie 2.17. Korzystając ze zwartości F = X \ (V ∪ W ) wy-
brać skończoną rodzinę U zbiorów jednocześnie otwartych i domkniętych w X,
rozłącznych z C i pokrywających F . Sprawdzić, że V \

S

U jest zbiorem otwar-

tym i domkniętym w X, zawierającym A i rozłącznym z B. Wyprowadzić stąd
sprzeczność.

4.25. Niech a = {(0, 0)}, b = {(1, 0)} i niech X = {a, b} ∪

S

∞
n=1

[0, 1] × {

1

n

}

będzie podprzestrzenią płaszczyzny euklidesowej. Pokazać, że {a} jest składową
przestrzeni X, ale przecięcie wszystkich podzbiorów X zawieraj

,

acych a, które s

,

a

jednocześnie otwarte i domkni

,

ete w X, jest równe {a, b}.

4.26. Niech (X, T ) będzie zwartą przestrzenią spójną i V ⊂ X niepustym zbio-
rem otwartym o niepustym dopełnieniu. Pokazać, że dla każdego punktu a ∈ V
istnieje zbiór spójny S ⊂ V taki, że a ∈ S i S \ V 6= ∅.

Wskazówka. Rozpatrzyć składową S punktu a w podprzestrzeni V i skorzystać

z Zadania 4.24.

68

4.27. Udowodnić twierdzenie Sierpińskiego: jeśli przestrzeń zwarta X jest prze-
liczalną sumą rozłącznych zbiorów domkniętych F

1

, F

2

, . . ., to każdy spójny pod-

zbiór X zawiera się w jednym ze zbiorów F

i

.

Wskazówka. Założyć, że tak nie jest i określić indukcyjnie, korzystając z Zadań

2.17 i 4.26, zwarte zbiory spójne X

0

⊃ X

1

⊃ . . . nie zawierające się w żadnym ze

zbiorów F

i

i takie, że X

n

∩ F

n

= ∅ dla n > 0.

4.28. Niech X będzie przestrzenią opisaną w Zadaniu 4.25. Wykazać, że nie
istnieje przekształcenie ciągłe i wzajemnie jednoznaczne przestrzeni X na żadną
przestrzeń zwartą.

Wskazówka. Założyć, że takie f istnieje i korzystając z Zadania 4.27 zauważyć,

że składowa f ((0, 0)) jest zbiorem jednopunktowym. Wyprowadzić sprzeczność z
Zadań 4.24 i 4.25.

4.29. Niech ϕ(t) = (cos t, sin t) i niech X = {ϕ(t) : t ∈ [0, 2π)} ∪ {(1 − e

−t

)ϕ(t) :

t ∈ [0, ∞)} ∪ {(1 + e

−t

)ϕ(t) : t ∈ [0, ∞)} będzie podprzestrzenią płaszczyzny

euklidesowej. Pokazać, że X jest zwarta i spójna oraz wskazać składowe łukowej
spójności X.

69

5. Przestrzenie ilorazowe.

5.1. ♠ Niech D

n

= {(x

1

, . . . , x

n

) ∈ R

n

: x

2
1

+ . . . + x

2
n

¬ 1}, zaś S

n−1

=

{(x

1

, . . . , x

n

) ∈ R

n

: x

2
1

+ . . . + x

2
n

= 1}.

(A) Wskazać homeomorfizm D

2

/S

1

' S

2

.

(B) Wykazać, że D

n

/S

n−1

jest przestrzeni

,

a homeomorficzn

,

a z S

n

.

5.2. Niech I = [0, 1]. Wykazać, że przestrzeń I/A, gdzie A ⊂ I jest zbiorem
dwuelementowym, jest homeomorficzna z jedn

,

a z przestrzeni I/{0, 1}, I/{0,

1
2

},

I/{

1
3

,

2
3

} i żadne dwie z tych przestrzeni nie s

,

a homeomorficzne.

5.3. Niech C b

,

edzie zbiorem Cantora opisanym w 2.3 (12) i A = {0, 1,

1
2

,

1
3

, . . .}.

Pokazać, że przestrzenie [0, 1]/C i [0, 1]/A s

,

a homeomorficzne.

5.4. (A) Pokazać, że w przestrzeni R/Q, gdzie Q jest zbiorem liczb wymiernych,
każdy niepusty zbiór otwarty zawiera klas

,

e abstrakcji zera.

(B) Pokazać, że przestrzeń R/A jest Hausdorffa wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

A jest domkni

,

ety.

5.5. ♠ (A) Określić relacj

,

e równoważności na S

1

×S

1

tak, by przestrzeń ilorazowa

była homeomorficzna z S

2

.

(B) Określić relacj

,

e równoważności na S

1

× S

2

tak, by przestrzeń ilorazowa

była homeomorficzna z S

3

.

5.6. ♠ Niech A = [0, 1] ∪ [2, 3], B = [4, 5] ∪ [6, 7]. Niech f : A → B b

,

edzie

homeomorfizmem zadanym wzorem (f | [0, 1])(t) = 5 − t, (f | [2, 3])(t) = 9 − t.
Wykazać, że przestrzeń [0, 3] ∪

f

[4, 7] jest homeomorficzna z okr

,

egiem.

5.7. Niech π : R → R/A b

,

edzie przekształceniem ilorazowym, A ⊂ R.

(A) Pokazać, że jeśli A nie jest zbiorem jednopunktowym, to istnieje zbiór

otwarty U ⊂ R taki, że π(U ) nie jest zbiorem otwartym w R/A.

(B) Pokazać, że jeśli R/A jest przestrzeni

,

a metryzowaln

,

a, to A jest zbiorem

domkni

,

etym i zbiór A \ IntA jest zwarty.

Wskazówka. Zob. Zadanie 5.4 (B) i Przykład 5.1.4.

5.8. Butelk

,

a Kleina nazywa si

,

e przestrzeń [−1, 1]×[−1, 1]/ ∼, gdzie różne punkty

(x, y), (x

0

, y

0

) s

,

a w relacji ∼ wtedy i tylko wtedy, gdy |x| = 1 i (x

0

, y

0

) = −(x, y),

lub |y| = 1 i x = x

0

.

Pokazać, że butelka Kleina jest homeomorficzna z podprzestrzeni

,

a u([0, 2π] ×

[0, 2π]) przestrzeni euklidesowej (R

4

, d

e

), gdzie u(x, y) = ((2 + cos y) cos x, (2 +

cos y) sin x, cos

x

2

sin y, sin

x
2

sin y).

Wskazówka. Zauważyć, że funkcja u utożsamia w kwadracie [0, 2π] × [0, 2π]

każdy punkt (0, t) z punktem (2π, 2π − t), oraz każdy punkt (t, 0) z punktem
(t, 2π), nie utożsamiaj

,

ac innych punktów, zob. Uwaga 5.1.1 (B).

5.9. ♠ Niech X będzie przestrzenią opisaną w Zadaniu 4.25 i niech ∼ będzie
relacją należenia do tej samej składowej przestrzeni X, zob. 4.3.1. Pokazać, że
przestrzeń ilorazowa X/ ∼ nie jest przestrzenią Hausdorffa.

5.10. Niech T będzie przestrzenią opisaną w 4.1.9 i niech ∼ będzie relacją nale-
żenia do tej samej składowej łukowej spójności w T , zob. 4.3.2. Opisać topologię
ilorazową w T / ∼ i pokazać, że przestrzeń T / ∼ nie jest homeomorficzna z żadną
przestrzenią ilorazową X/ ∼

X

, gdzie ∼

X

jest relacją należenia do tej samej skła-

dowej przestrzeni topologicznej X.

5.11. Niech (X, d) b

,

edzie zwart

,

a przestrzeni

,

a metryczną i niech ∼ będzie relacją

należenia do tej samej składowej przestrzeni X, zob. 4.3.1.

70

(A) Pokazać, że każdy punkt przestrzeni ilorazowej X/ ∼ jest przecięciem zbio-

rów, które są jednocześnie otwarte i domknięte w X/ ∼. Wywnioskować stąd, że
X/ ∼ jest przestrzenią Hausdorffa.

Wskazówka. Skorzystać z Zadania 4.24.
(B) Wykazać, że przestrzeń X/ ∼ zanurza się w zbiór Cantora.
Wskazówka. Niech {B

i

: i ­ 1} będzie rodziną wszystkich podzbiorów X/ ∼,

które są jednocześnie otwarte i domknięte w X/ ∼, zob. Zadanie 2.26. Pokazać, że
funkcja f =

P

i

2

3

i

χ

Bi

, gdzie χ

Bi

jest funkcją charakterystyczną zbioru B

i

, zanurza

X w zbiór Cantora opisany w 2.3 (12).

71

6. Homotopie.

6.1. ♠ Pokazać, że każde przekształcenie ci

,

agłe f : X → S

n

takie, że f (X) 6= S

n

jest homotopijne z odwzorowaniem stałym.

6.2. ♠ Pokazać, że jeśli f, g : X → S

n

s

,

a dwoma przekształceniami ci

,

agłymi

takimi, że dla dowolnego x ∈ X, d

e

(f (x), g(x)) < 2, to f i g s

,

a homotopijne.

6.3. ♠ Niech X = {

1

n

: n ∈ N} ∪ {0} b

,

edzie podzbiorem prostej euklidesowej.

(A) Pokazać, że podprzestrzeń płaszczyzny euklidesowej Y = X ×[0, 1]∪[0, 1]×

{0} jest ści

,

agalna.

(B) Pokazać, że nie istnieje homotopia H : Y ×I → Y ł

,

acz

,

aca id

Y

z przekształ-

ceniem stałym o jednopunktowym obrazie {(0, 1)}, taka, żeby dla dowolnego t ∈ I
zachodziło H((0, 1), t) = (0, 1).

6.4. ♠ Niech I(x, y) oznacza odcinek na płaszczyźnie ł

,

acz

,

acy x z y. W R

2

z

metryk

,

a euklidesow

,

a dane s

,

a podprzestrzenie X = I(x

0

, y) ∪

S

∞
n=1

I(x

n

, y) i

Y = X ∪ −X, gdzie x

0

= (0, 0), y = (0, 1), x

n

= (0,

1

n

), a −X oznacza zbiór syme-

tryczny do X wzgl

,

edem punktu (0, 0). Pokazać, że X jest przestrzeni

,

a ści

,

agaln

,

a,

ale przestrzeń Y nie jest ści

,

agalna.

6.5. Niech n ­ 2.

(A) Wykazać, że dla każdej p

,

etli α ∈ Ω(S

n

, a) istnieje homotopijna z ni

,

a p

,

etla

β ∈ Ω(S

n

, a) taka, że β(I) jest zbiorem brzegowym w S

n

.

Wskazówka. Wybrać m takie, że każdy zbiór α([

i

m

,

i+1

m

]), i = 0, . . . , m−1, leży w

pewnej otwartej półprzestrzeni wyznaczonej przez hiperpłaszczyzn

,

e przechodz

,

ac

,

a

przez 0 i przyj

,

ać β(t) =

u(t)

||u(t)||

, gdzie u(t) = (1 − (mt − i))α(

i

m

) + (mt − i)α(

i+1

m

),

dla t ∈ [

i

m

,

i+1

m

], i = 1, . . . , m − 1. Sprawdzić, że d

e

(α(t), β(t)) < 2, dla t ∈ I, zob.

Zadanie 6.2.

(B) Wykazać, że każda p

,

etla α ∈ Ω(S

n

, a) jest homotopijna z p

,

etl

,

a stał

,

a ε

a

.

Wskazówka. Sprawdzić, że dla p

,

etli β ∈ Ω(S

n

, a) opisanej w (A), β ∼ ε

a

, zob.

cz

,

eść 6.1.

6.6. Niech Y b

,

edzie przestrzeni

,

a ści

,

agaln

,

a. Pokazać, że każde przekształcenie

ci

,

agłe f : S

n

→ Y można przedłużyć do przekształcenia ci

,

agłego f : D

n+1

→ Y .

6.7. Niech E = {x ∈ R

n+1

: 1 ¬ d

e

(x, 0) ¬ 2}, ∂E = {x ∈ R

n+1

: d

e

(x, 0) =

1, lub d

e

(x, 0) = 2}. Pokazać, że każde przekształcenie ci

,

agłe f : ∂E → Y w

przestrzeń ści

,

agaln

,

a Y można przedłużyć do przekształcenia ci

,

agłego f : E → Y .

6.8. Niech f : [−1, 1]

2

→ R

2

będzie przekształceniem ciągłym kwadratu w płasz-

czyznę euklidesową przeprowadzającym każde dwa przeciwległe boki [−1, 1]

2

w

dwie różne domknięte półpłaszczyzny ograniczone osią współrzędnych równoległą
do tych boków. Wykazać, że (0, 0) ∈ f ([−1, 1]

2

).

Wskazówka. Założyć, że (0, 0) 6∈ f ([−1, 1]

2

), f = (f

1

, f

2

) i zastępując w razie

potrzeby f

i

przez −f

i

, że f przeprowadza każdy bok kwadratu w półpłaszczyznę

zawierającą przeciwległy bok. Pokazać, że g(x) = f (x)/(max{|f

1

(x)|, |f

2

(x)|})

przeprowadza [−1, 1]

2

w [−1, 1]

2

i nie ma punktu stałego.

6.9. Niech u i v będą drogami w kwadracie [−1, 1]

2

łączącymi dwie pary prze-

ciwległych boków tego kwadratu (to znaczy, że początek i koniec u leżą na prze-
ciwległych bokach [−1, 1]

2

, a początek i koniec v na dwóch pozostałych bokach

tego kwadratu). Pokazać, że obrazy dróg u i v mają punkt wspólny.

Wskazówka. Założyć, że u, v : [−1, 1] → [−1, 1]

2

, u(k) ∈ {k} × [−1, 1], v(k) ∈

[−1, 1] × {k}, dla k ∈ {−1, 1}. Rozważyć f : [−1, 1]

2

→ R

2

określone wzorem

f (s, t) = u(s) − v(t) dla (s, t) ∈ [−1, 1]

2

i pokazać sprzeczność z Zadaniem 6.8.

72

6.10. Niech A

−1

, A

1

, B

−1

, B

1

będą zbiorami domkniętymi w kwadracie [−1, 1]

2

takimi, że suma tych zbiorów pokrywa [−1, 1]

2

. Wykazać, ze jeśli {k} × [−1, 1] ⊂

A

k

i [−1, 1]×{k} ⊂ B

k

, dla k ∈ {−1, 1}, to jedno z przecięć A

−1

∩A

1

lub B

−1

∩B

1

jest niepuste.

Wskazówka. Założyc przeciwnie i rozpatrzyć funkcje ciągłe ϕ, ψ : [−1, 1]

2

→

[−1, 1] takie, że ϕ(x) = −k dla x ∈ A

k

, ψ(x) = −k dla x ∈ B

k

. Pokazać, że

f = (ϕ, ψ) : [−1, 1]

2

→ [−1, 1]

2

nie ma punktu stałego.

6.11. Niech u, v : [−1, 1] → [−1, 1] będą funkcjami ciągłymi takimi, że u

−1

(k) =

v

−1

(k) = {k} dla k ∈ {−1, 1}. Wykazać, że zbioru T = {(s, t) ∈ [−1, 1]

2

: u(s) =

v(t)} nie można rozłożyć na sumę dwóch rozłącznych zbiorów domkniętych, z
których jeden zawiera punkt (−1, −1), a drugi punkt (1, 1).

Wskazówka. Założyć przeciwnie, że T rozkłada się na rozłączne zbiory do-

mknięte C

−1

i C

1

, (k, k) ∈ C

k

. Określić zbiory otwarte U

k

w kwadracie [−1, 1]

2

ta-

kie, że C

k

⊂ U

k

, U

−1

∩U

1

= ∅ i U

k

nie przecina boków kwadratu nie zawierających

punktu (k, k). Przyjąć A

k

= U

k

∪({k}×[−1, 1]), B

k

= {(s, t) : ku(s) ¬ kv(t)}\U

−k

i pokazać sprzeczność z Zadaniem 6.10.

6.12. Niech X i Y b

,

ed

,

a przestrzeniami łukowo spójnymi, a ∈ X i b ∈ Y . Pokazać,

że grupa π

1

(X × Y, (a, b)) jest izomorficzna z grup

,

a π

1

(X, a) × π

1

(Y, b).

6.13. Niech Y b

,

edzie domkni

,

et

,

a podprzestrzeni

,

a łukowo spójnej przestrzeni X i

niech H : X×I → X b

,

edzie homotopi

,

a ł

,

acz

,

ac

,

a id

X

z przekształceniem r : X → Y

tak

,

a, że H(y, t) = y, dla y ∈ Y i t ∈ I. Pokazać, że grupy podstawowe π

1

(X) i

π

1

(Y ) s

,

a izomorficzne.

6.14. Znaleźć grup

,

e podstawow

,

a sfery z wyrzuconymi dwoma punktami i płasz-

czyzny rzutowej z wyrzuconym jednym punktem.

Wskazówka. Skorzystać z poprzedniego zadania.