1. WSTĘP

Elementami rezystancyjnymi nieliniowymi nazywamy elementy, które nie spełniają zależności proporcjonalności pomiędzy napięciem a prądem:

Dwójnik rezystancyjny nieliniowy jest elementem rozpraszającym energię elektryczną na energię np. cieplną. Pomiędzy zmiennymi zaciskowymi (u, i) zachodzi zależność:

Element rezystancyjny nieliniowy charakteryzuje się rezystancją statyczną

oraz dynamiczną

.

Przy zmianach napięcia i prądu zmieniają się wartości obydwu rezystancji.

2. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z właściwościami rezystancyjnymi elementów nieliniowych, pojęciami które je charakteryzują takimi jak rezystancja statyczna i dynamiczna oraz poznanie metod analitycznego przedstawienia funkcji zastępczej dla charakterystyk rzeczywistych elementów nieliniowych.

3. PRZEBIEG ĆWICZENIA

Ćwiczenie polega na zdjęciu kilku punktów charakterystyki elementu nieliniowego metodą techniczną poprzez odczyty wartości prądu i napięcia z mierników, dobierając odpowiednie źródła zasilające.

3.1. Żarówka z włóknem wolframowym.

Na rysunku 1 przedstawiono schemat do wyznaczania charakterystyki żarówki.

Rys.1.

W tabeli 1 zestawiono wyniki pomiarów.

Tabela pomiarowa 1.

Lp.	U [V]	I [mA]
1	10	0,014
2	20	0,020
3	30	0,025
4	40	0,030
5	50	0,034
6	60	0,038
7	70	0,042
8	80	0,045
9	90	0,049
10	100	0,052
11	120	0,058
12	140	0,064
13	160	0,069
14	180	0,074
15	200	0,079

3.2. Warystor.

Układ montażowy przedstawiony na rysunku 2. W układzie mierzymy dokładnie prąd.

W tabeli 2 zestawiono wyniki pomiarów.

Tabela 2.

Lp.	U [V]	I [mA]
1	10	0
2
3	110	0
4	130	0,010
5	140	0,020
6	145	0,025
7	165	0,045
8	175	0,065
zmiana biegunowości
1	120	0,005
2	130	0,009
3	140	0,015
4	165	0,035
5	175	0,055

3.3. Dioda Zenera.

Charakterystykę wyznaczamy z układu przedstawionego na rysunku 3. W układzie mierzymy dokładnie prąd.

Tabela 3. Wyniki pomiarów diody Zenera.

Lp.	U [V]	I [mA]
kierunek przewodzenia
1	0	0
2	0,1	0
3	0,2	0
4	0,3	0
5	0,4	0
6	0,5	0,05
7	0,6	0,215
8	0,7	3,1
9	0,725	8,8
kierunek zaporowy
1	0	0
2	5	0
3	6	0
4	7,4	0,025
5	7,6	0,03
6	7,8	0,05
7	8,0	1,8
9	8,2	3,7

4. OPRACOWANIE WYNIKÓW

4.1. Sporządzamy charakterystyki badanych dwójników rezystancyjnych.

Na podstawie tabeli 1 sporządzamy charakterystykę żarówki (rys.4.).

Na podstawie tabeli 2 sporządzamy charakterystykę warystora (rys.5.).

Na podstawie tabeli 3 sporządzamy charakterystykę diody Zenera (rys.6.).

4.2. Wyznaczamy przebieg rezystancji statycznej i dynamicznej badanych dwójników - sporządzamy ich wykresy.

Obliczamy R_s i R_d wg wzorów:

R_s = ktgα_i, R_d = ktgβ_i - gdzie i = 1, 2, …; k - dowolna liczba większa od zera, przyjmujemy k = 100; α,β - kąty nachylenia prostych - rys.7a, 7b, 7c.

(Z uwagi na duże zaciemnienie wykresu, prowadzimy tylko po jednej prostej dla poszczególnych kątów w celu pokazania metody. Dane w poniższych tabelach zostały tak samo wyznaczone).

Tabela 4 - Dla żarówki.

I [mA]	Rs [Ω]	I [mA]	Rd [Ω]
0,014	34
0,025	62
0,034	75
0,042	84
0,049	93
0,058	103
0,069	115
0,079	128

Na podstawie tab.4 rysujemy wykres (rys.8a, 8b)

Tabela 5 - Dla warystora.

I [mA]	Rs [Ω]	I [mA]	Rd [Ω]
0,01	712
0,02	350
0,025	290
0,03	235
0,045	180
0,05	160
0,065	133

Na podstawie tab.5 rysujemy wykres (rys.9a, 9b)

Tabela 6 - Dla diody Zenera.

I [mA]	Rs [Ω]	I [mA]	Rd [Ω]
0,05	286
0,2	567
3,1	40
4	32
5	27
8,8	16

Na podstawie tab.6 rysujemy wykres (rys.10a, 10b)

4.3. Określamy analityczną postać charakterystyki żarówki przy pomocy metody linearyzacji.

Wstęp do metody.

Zależność nieliniowa opisująca charakterystykę rezystora może być przedstawiona w postaci:

I=f(U, α, β),

która zawiera dodatkowe dwa niezależne współczynniki α i β. Wprowadzając nowe zmienne u i i które związane są ze zmiennymi U i I zależnościami

u = ϕ₁(U, I), i = ϕ₂(U, I)

i nie zależą od α i β można charakterystykę nieliniową przekształcić w liniową o postaci i = au + b

w której współczynniki a i b są zależne od α i β, czyli

a = ϕ₃(α, β), b = ϕ₄(α, β).

Aby wyznaczyć a i b podstawia się do zależności liniowej pary wartości u₁ i i₁ obliczone z U₁ i I₁ dla konkretnych wartości otrzymanych z pomiarów. W metodzie tej stosuje się najczęściej funkcję wykładniczą i potęgową.

My stosujemy funkcję typu potęgowego

I = kUⁿ

po zlogarytmowaniu otrzymujemy lnI = lnk + nlnU, podstawiając lnI = i, lnU = u i lnk = b otrzymujemy funkcją o postaci liniowej.

W tabeli 7 zestawiamy wyniki obliczeń z w/w wzorów na u i i.

Tabela 7

Lp.	U [V]	I [mA]	u = lnU	i = lnI
1	10	0,014	2,30	-4,27
2	20	0,020	2,99	-3,91
3	30	0,025	3,40	-3,69
4	40	0,030	3,69	-3,51
5	50	0,034	3,91	-3,38
6	60	0,038	4,09	-3,27
7	70	0,042	4,25	-3,17
8	80	0,045	4,38	-3,10
9	90	0,049	4,50	-3,02
10	100	0,052	4,60	-2,96
11	120	0,058	4,79	-2,85
12	140	0,064	5,19	-2,6
13	160	0,069	5,08	-2,67
14	180	0,074	5,19	-2,6
15	200	0,079	5,3	-2,54

Układamy równania liniowe

-4,27 = 2,30a + b			-3,91 = 2,99a + b
-3,69 = 3,40a + b			-3,51 = 3,69a + b
-3,38 = 3,91a + b			-3,27 = 4,09a + b
-3,17 = 4,25a + b			3,10 = 4,38a + b
-3,02 = 4,50a + b			-2,96 = 4,60a + b
-2,85 = 4,79a + b			-2,60 = 5,19a + b
-2,67 = 5,08a + b			-2,54 = 5,30a + b
Σ	Σ	Σ	Σ	Σ	Σ
-23,05 = 28,23a + 7b			-22,1 = 29,88a = 7b

Znajdujemy a i b rozwiązując układ równań

7b = -22,1 - 29,88a

b = -3,16 - 4,27a

-23,05 = 28,23a + 7(-3,16 - 4,27a)

-23,05 = 28,23a - 22,1 - 29,88a

1,65a = 0,95

a = 0,58

b = -3,16 - 2,48 = -5,63

Jeżeli lnk = b, to k = e^b = e^-5,63 = 0,0036

Poszukiwana postać funkcji zastępczej opisującej charakterystykę rezystancyjną żarówki jest następująca:

I = 0,0036 U^0,58

W tabeli 8 zestawiono obliczenia prądu I.

Tabela 8.

Lp.	U [V]	I [mA]	Ia
1	10	0,014	0,0137
2	20	0,020	0,020
3	30	0,025	0,0259
4	40	0,030	0,0306
5	50	0,034	0,0348
6	60	0,038	0,0387
7	70	0,042	0,0423
8	80	0,045	0,0457
9	90	0,049	0,0489
10	100	0,052	0,0520
11	120	0,058	0,0578
12	140	0,064	0,0632
13	160	0,069	0,0683
14	180	0,074	0,0731
15	200	0,079	0,0778

Na podstawie obliczonych wartości tworzymy wykres (rys.11).

4.4. Rezystancja statyczna i dynamiczna badanego elementu (żarówka).

Aby obliczeniowo określić przebieg rezystancji statycznej i dynamicznej na podstawie funkcji zastępczej musimy wyrazić u(i), więc przekształcimy otrzymaną funkcję zastępczą w następujący sposób:

I(u) = I = 0,0036U^0,58

Rezystancja statyczna

ostatecznie

Wstawiamy do w/w wzoru zmierzony prąd i zestawiamy wyniki obliczeń w tabeli 9.

Tabela 9.

Lp.	I [mA]	Rs [Ω]
1	0,01	528
2	0,02	962
3	0,03	1290
4	0,04	1588
5	0,05	1867
6	0,06	2130
7	0,07	2382
8	0,08	2624

Na podstawie wartości w tabeli 9 rysujemy wykres (rys. 12).

Rezystancja dynamiczna

Jak widać ze wzoru potrzebna jest nam pochodna napięcia w funkcji prądu.

Wstawiamy do w/w wzoru zmierzony prąd i zestawiamy wyniki obliczeń w tabeli 10.

Tabela 10.

Lp.	I [mA]	Rd [Ω]
1	0,01	1023
2	0,02	1685
3	0,03	2256
4	0,04	2775
5	0,05	3259
6	0,06	3716
7	0,07	4152
8	0,08	4571

Na podstawie wartości w tabeli 9 rysujemy wykres (rys. 13).

5. WNIOSKI

Podczas wykonywania ćwiczenia którego zadaniem było praktyczne poznanie zmian płynącego prądu w funkcji zmieniającego się napięcia na elemencie rezystancyjnym nieliniowym (dioda Zenera) zauważyliśmy gwałtowny skok przepływającego prądu (kierunek przewodzenia) przy wartości ok. 0,7 V, choć nieduża wartość prądu była obserwowana już przy 0,5 V → 0,05 mA (skok prądu związany jest z gwałtownym zmniejszaniem rezystancji złącza półprzewodnikowego spowodowane wzrostem temperatury). W naszym przypadku rezystancja diody dla niskich napięć wynosi ≈∞, a konkretne wartości liczbowe przyjmuje od napięcia 0,5 V i wynosi 100Ω. Dla niskich napięć odczyt wartości prądu był niemożliwy ze względu na jego zakres i klasę miernika (błąd był porównywalny odczytanej wartości). Na ćwiczeniu nie mogliśmy w pełni wyznaczyć charakterystyki prądowo-napięciowej diody ze względu na zbyt małą wydajność źródła napięciowego ok. 0,8 V, ponieważ prąd płynący przez diodę wynosi 8,8 mA (prawie max wartość obciążenia źródła). W kierunku zaporowym również nastąpił duży skok prądu. Odbyło się to jednak przy dużo większym napięciu (8 V → 0,18 mA), zaobserwowany prąd początkowy 0,025 mA przy nap. 7,4 V. Zastosowanie większego napięcia było spowodowane zwiększeniem rezystancji przy przejściu ze strefy „n” do „p”.

W przypadku warystora w pewnym przedziale wartości napięcia i prądu jego charakterystyka jest płaska. Następnie zauważalny jest gwałtowny wzrost prądu spowodowany wzrostem nośników wraz ze wzrostem napięcia. W badanym warystorze nie udało uzyskać się symetryczności charakterystyki względem środka układu współrzędnych, co było niewątpliwie spowodowane błędami odczytu, klasą przyrządu oraz dodatkowymi rezystancjami przewodów styków.

Obserwując charakterystykę żarówki widać, że na początku ma bardzo stromy przebieg który w jej dalszej części przechodzi w łagodny łuk. Taki jej kształt jest spowodowany wzrostem rezystancji włókna wolframowego wraz ze wzrostem temperatury spowodowanej przepływem narastającego prądu.

---